林圣業(yè),王茂森,謝楊楊,李勇,戴勁松

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南京 210094;2.西北機(jī)電工程研究所,陜西 咸陽 712000)

0 引言

梁的彎曲振動(dòng)問題一直是學(xué)術(shù)界和工程界的研究熱點(diǎn)。目前,國內(nèi)外學(xué)者已開展了大量關(guān)于梁彎曲振動(dòng)的研究[1-3],分析方法主要包括解析法[4]、有限元法[5]和傳遞矩陣法[6]等。這些方法各具特色,均已在梁彎曲振動(dòng)分析中獲得廣泛應(yīng)用。但應(yīng)該看到,以上方法對(duì)外接口方式單一,不能很方便地嵌入到多能量范疇耦合的復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中。如針對(duì)火炮開展連發(fā)射擊條件下的發(fā)射動(dòng)力學(xué)研究時(shí),往往需要聯(lián)合仿真[7],費(fèi)效比高。

鍵合圖法[8-10]根據(jù)能量守恒,采用統(tǒng)一的方式描述多能量范疇物理量,是解決上述問題行之有效的方法。如慣性元-容性元(IC)混合場(chǎng)鍵合圖法[11]、雙功率流鍵合圖法[12]和拉格朗日鍵合圖法[13]等,都在梁彎曲振動(dòng)分析中獲得了成功應(yīng)用,取得了良好效果。然而,傳統(tǒng)的鍵合圖理論將平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)視為兩個(gè)能量范疇的運(yùn)動(dòng),為表征梁彎曲的平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)耦合作用,鍵合圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)十分復(fù)雜,給因果關(guān)系的確定帶來了困難,不利于發(fā)揮鍵合圖法自動(dòng)符號(hào)推導(dǎo)狀態(tài)方程的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。

本文針對(duì)梁發(fā)生小撓度彎曲振動(dòng)的特點(diǎn),在滿足功率守恒的條件下將平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)集成到一個(gè)能量范疇,構(gòu)建梁彎曲振動(dòng)的鍵合空間表示方法,繼而建立梁彎曲振動(dòng)的鍵合空間模型,推導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)方程,分析自由梁的固有頻率特性,以驗(yàn)證梁彎曲振動(dòng)系統(tǒng)鍵合空間模型的正確性,再將之嵌入到某火炮自動(dòng)機(jī)發(fā)射系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中,開展連發(fā)射擊條件下的炮口擾動(dòng)分析,通過射擊試驗(yàn)驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 梁彎曲振動(dòng)鍵合空間模型

1.1 梁的鍵合空間表示

以Timoshenko梁為研究對(duì)象,根據(jù)質(zhì)量不變?cè)瓌t和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變?cè)瓌t,將梁離散成由N-1個(gè)彈簧聯(lián)接而成的N個(gè)集中質(zhì)量-無質(zhì)量剛桿組合。定義梁單元的勢(shì)空間向量、流空間向量、動(dòng)量空間向量和位變空間向量分別為

(1)

(2)

(3)

(4)

根據(jù)功率流和因果關(guān)系繪制梁彎曲振動(dòng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖,如圖1所示。圖1中,集中質(zhì)量表示為共流結(jié)1和慣性元件I的組合,剛桿表示為轉(zhuǎn)換器TF,彈簧表示為共勢(shì)結(jié)0和容性元件C的組合。

圖1 梁彎曲振動(dòng)的鍵合空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.1 Bond space model for the beam unit

1.2 梁彎曲振動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)方程

從圖1可以看出,獨(dú)立的元件為Ii(i=1,2,…,N)和Ci,i+1(i=1,2,…,N-1),其特性方程如下：

1)慣性元件：

(5)

2)容性元件：

(6)

(7)

(8)

l為梁單元等效剛桿的長度,E為彈性模量,IB為慣性矩,ν為剪切系數(shù)。

(9)

(10)

式中：Ti為轉(zhuǎn)換模數(shù)矩陣,根據(jù)幾何關(guān)系得到第i個(gè)集中質(zhì)量左、右剛桿的模數(shù)矩陣分別為

(11)

(12)

2 梁彎曲振動(dòng)固有頻率求解

2.1 固有頻率求解方法

令：

(13)

將梁彎曲振動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程寫成矩陣形式：

(14)

(15)

(16)

式(14)的特征值問題為

λψ=Aψ

(17)

式中：λ為特征值;ψ為特征向量。

按王艾倫等[14]提出的方法求得特征值和相應(yīng)的特征向量,分別為

(18)

(19)

位移模態(tài)的表達(dá)式為

ψu(yù)ξ=diag[(IηSξ)-1]ψpξ

(20)

式中：ξ=1,2,…,β;η=1,2,…,α;Sξ為Laplace算子;α和β分別為獨(dú)立動(dòng)量變量和位變變量的個(gè)數(shù)。

2.2 算例

取一長度為1.2 m的等截面均質(zhì)自由梁,梁截面為圓環(huán)形,圓環(huán)外徑為50 mm,內(nèi)徑為30 mm,材料密度7 800 kg/m3,材料的彈性模量為204 GPa,泊松比為0.26。由于所研究自由梁是各向同性的,因此僅計(jì)算豎直方向的固有頻率。為驗(yàn)證所建立的梁彎曲振動(dòng)鍵合空間模型,同時(shí)采用解析法[15]計(jì)算自由梁的固有頻率和相應(yīng)振型：

(21)

Wn(x)=coshsnx+cossnx+vn(sinhsnx+sinsnx)

(22)

式中：ωn為第n階固有頻率,n=1,2,…;Wn(x)為與第n階固有頻率對(duì)應(yīng)的振型;sn和vn為系數(shù),表達(dá)式分別為

(23)

(24)

lb為梁的總長度。

采用鍵合空間法和解析法得到的固有頻率列于表1,相應(yīng)的振型如圖2～圖7所示。從對(duì)比結(jié)果可以看出,鍵合空間法與解析法的計(jì)算結(jié)果吻合較好,固有頻率最大相對(duì)誤差為0.796 0%,振型相關(guān)系數(shù)(MAC)不小于0.997 2,說明所建立的梁彎曲振動(dòng)鍵合空間模型是正確的。

表1 自由梁前6階固有頻率Table 1 First six natural frequencies of the free beam

圖2 1階固有振型Fig.2 First-order natural mode of vibration

圖3 2階固有振型Fig.3 Second-order natural mode of vibration

圖4 3階固有振型Fig.4 Third-order natural mode of vibration

圖5 4階固有振型Fig.5 Fourth-order natural mode of vibration

圖6 5階固有振型Fig.6 Fifth-order natural mode of vibration

圖7 6階固有振型Fig.7 Sixth-order natural mode of vibration

3 炮口擾動(dòng)分析

3.1 發(fā)射動(dòng)力學(xué)模型

炮口擾動(dòng)直接影響射擊密集度,一直是火炮發(fā)射動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[16-21]。將第1節(jié)建立的梁彎曲振動(dòng)鍵合空間模型嵌入到火炮自動(dòng)機(jī)發(fā)射動(dòng)力學(xué)模型中,同時(shí)考慮與彈丸的耦合作用,開展炮口擾動(dòng)分析。

根據(jù)某火炮自動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)特征,將其簡化成如圖8所示的剛?cè)狁詈夏＠?繼而繪制鍵合空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖,如圖9所示。圖9中各結(jié)點(diǎn)下標(biāo)的含義列于表2。

表2 各結(jié)點(diǎn)下標(biāo)的含義Table 2 Description of the subscripts

圖8 某火炮自動(dòng)機(jī)物理模型Fig.8 Physical model of the automatic gun

圖9 某火炮自動(dòng)機(jī)鍵合空間模型Fig.9 Bond space model of the automatic gun

從圖9可以看出,除了慣性元件I1外,其他所有慣性元件和容性元件都是獨(dú)立的。推導(dǎo)某火炮自動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：

1)對(duì)于炮箱,獨(dú)立的狀態(tài)變量包括炮箱與炮管交界處動(dòng)量p2、后導(dǎo)軌位變q1,r、前導(dǎo)軌位變q1,f。狀態(tài)方程為

(25)

(26)

(27)

式中：E1為炮膛合力對(duì)炮箱質(zhì)心的作用;C1,f和C1,r分別為炮箱前、后導(dǎo)軌支撐的等效柔度矩陣;n為力指數(shù);R1,f和R1,r分別為炮箱前、后導(dǎo)軌支撐的等效阻尼矩陣。C1,f、C1,r、n、R1,f和R1,r可由L-N接觸力模型[22]計(jì)算。

2)對(duì)于炮管,獨(dú)立的狀態(tài)變量包括炮管離散段動(dòng)量pi(i=3,4,…,N)、相鄰炮管離散段交界處相對(duì)位變qi,i+1(i=2,3,…,N-1)、炮管上安裝緩沖裝置處(xi=L)位變qi。狀態(tài)方程為

(28)

(29)

(30)

式中：Ei、Ci、Ri分別為緩沖裝置對(duì)炮管離散段作用的等效初力、柔度矩陣和阻尼矩陣;xi為炮管離散段的軸向坐標(biāo);L為炮管上與緩沖裝置連接處的軸向坐標(biāo);lr和lf分別為彈帶和前定心部的軸向坐標(biāo);Ri,r和Ri,f分別為炮管內(nèi)壁對(duì)彈帶和前定心部支撐的等效阻尼矩陣;δ(t)為分段函數(shù),其表達(dá)式為

(31)

t為時(shí)間。

3)對(duì)于彈丸,獨(dú)立的狀態(tài)變量包括彈丸動(dòng)量pN+1、彈帶相對(duì)各個(gè)炮管離散段的位變qi,r(i=2,3,…,N)、前定心部相對(duì)各個(gè)炮管離散段的位變qi,f(i=2,3,…,N)。狀態(tài)方程為

(32)

(33)

(34)

采用4階龍格-庫塔法求解方程組式(25)～式(34),得到火炮連發(fā)射擊條件下的炮口擾動(dòng)qN。

3.2 仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

將火炮自動(dòng)機(jī)安裝于水平固定臺(tái)架上開展連發(fā)射擊試驗(yàn)。采用雙目立體視覺測(cè)試系統(tǒng)測(cè)量炮口擾動(dòng),測(cè)試原理和實(shí)景圖分別如圖10和圖11所示。某火炮自動(dòng)機(jī)主要參數(shù)列于表3。由內(nèi)彈道計(jì)算得到膛壓曲線、彈丸行程和速度曲線分別如圖12～圖14 所示。計(jì)算得到彈帶及前定心部與炮管內(nèi)壁的接觸力曲線分別如圖15和圖16所示。

表3 某火炮自動(dòng)機(jī)主要參數(shù)Table 3 Parameters of the automatic gun

圖10 炮口擾動(dòng)測(cè)試原理Fig.10 Test principle for measuring the muzzle disturbance

圖11 測(cè)試實(shí)景圖Fig.11 Setup for measuring muzzle disturbance

圖12 膛底壓力-時(shí)間曲線Fig.12 Breech pressure

圖13 彈丸行程-時(shí)間曲線Fig.13 Displacement of the projectile with time

圖14 彈丸速度-時(shí)間曲線Fig.14 Velocity of the projectile with time

圖15 彈帶與炮管接觸力Fig.15 Contact force between the band and the barrel

圖16 彈丸前定心部與炮管接觸力Fig.16 Contact force between the front bourrelet of the projectile and the barrel

采用本文所建模型仿真的垂向炮口擾動(dòng)與測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)比結(jié)果如圖17所示。從圖17中可以看出,仿真與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好,說明采用本文方法開展炮口擾動(dòng)分析是可行的。

圖17 仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.17 Comparison between simulated and experimental results

4 結(jié)論

本文構(gòu)建了梁彎曲振動(dòng)的鍵合空間建模和固有頻率特性分析方法,結(jié)合某火炮自動(dòng)機(jī)具體結(jié)構(gòu),開展了十連發(fā)射擊條件下的炮口擾動(dòng)分析。得出主要結(jié)論如下：

1)構(gòu)建了Timoshenko梁小撓度彎曲振動(dòng)的鍵合空間表示方法,相較于傳統(tǒng)鍵合圖法,簡化了圖形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),更易于確定因果關(guān)系和符號(hào)推導(dǎo)狀態(tài)方程。

2)提出了梁固有頻率特性分析的鍵合空間法,相較于其他方法,包含動(dòng)量模態(tài)和變形模態(tài),具有更多的模態(tài)信息。

3)創(chuàng)建了考慮炮管彎曲變形的火炮自動(dòng)機(jī)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,能夠準(zhǔn)確計(jì)算自動(dòng)機(jī)在連發(fā)射擊條件下的炮口擾動(dòng)。