王炎 陳輝 黃斌 柴滿

摘要 將混合攝動(dòng)?伽遼金方法和改進(jìn)的交叉模型交叉模態(tài)技術(shù)相結(jié)合，提出了一種隨機(jī)模型修正方法。該方法有效緩解了模型修正過程中測(cè)量數(shù)據(jù)有限和測(cè)量誤差不確定的影響。考慮到實(shí)測(cè)模態(tài)數(shù)據(jù)具有不確定性，基于改進(jìn)的交叉模型交叉模態(tài)方法，建立了一個(gè)新的描述結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)和隨機(jī)響應(yīng)關(guān)系的模型修正方程。利用混合攝動(dòng)?伽遼金方法求解該隨機(jī)修正方程，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)隨機(jī)修正參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征。簡(jiǎn)支梁的數(shù)值結(jié)果表明，該方法在測(cè)量數(shù)據(jù)不確定性較大時(shí)仍能保持很高的修正精度，同時(shí)計(jì)算效率比蒙特卡羅模擬方法高出一個(gè)數(shù)量級(jí)。在測(cè)量模態(tài)數(shù)據(jù)較少的情況下，該方法比單獨(dú)的混合攝動(dòng)?伽遼金修正方法修正效果好，且比交叉模型交叉模態(tài)法的修正精度更高。框架試驗(yàn)的結(jié)果表明，該方法可以同時(shí)修正結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量，修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)與預(yù)設(shè)工況基本吻合，同時(shí)能復(fù)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的測(cè)量模態(tài)，從而驗(yàn)證了所提方法的有效性。

關(guān)鍵詞 隨機(jī)模型修正; 隨機(jī)混合?攝動(dòng)伽遼金方法; 改進(jìn)的交叉模型交叉模態(tài)方法

引 言

近幾十年來，基于動(dòng)力測(cè)量數(shù)據(jù)的有限元模型修正方法越來越受到關(guān)注。許多研究人員在這一領(lǐng)域進(jìn)行了廣泛的研究，并取得了大量研究成果［1?4］。

在動(dòng)力有限元模型修正中，修正參數(shù)的選擇對(duì)修正結(jié)果有很大影響。如果修正參數(shù)過多，在修正過程中往往會(huì)出現(xiàn)病態(tài)問題，所以在修正模型之前首先要排除不敏感的修正參數(shù)［5］。關(guān)于動(dòng)力有限元模型修正方法，Hu等［6］提出了一種基于交叉模型交叉模態(tài)（CMCM）方法的模型修正技術(shù)。與傳統(tǒng)的模型修正方法不同，該方法可以同時(shí)修正結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。此外，該方法不用迭代計(jì)算，計(jì)算效率較高。在CMCM方法中，通過將結(jié)構(gòu)的實(shí)測(cè)模態(tài)和計(jì)算模態(tài)相乘，就可以僅用少量的測(cè)量模態(tài)構(gòu)建多個(gè)模型修正方程。李世龍等［7］利用CMCM方法，提出了一種有效識(shí)別子結(jié)構(gòu)邊界約束狀態(tài)的模型修正方法。Wang等［8］使用了CMCM方法對(duì)海上平臺(tái)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，證明了當(dāng)結(jié)構(gòu)的實(shí)際測(cè)量模態(tài)不完整且只有低階測(cè)量模態(tài)可用時(shí)CMCM方法的有效性。在已有的CMCM方法的基礎(chǔ)上，Liu等［9］提出了一種基于改進(jìn)的交叉模型交叉模態(tài)（ICMCM）的模型修正方法，該方法充分利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，進(jìn)一步增加了修正方程的個(gè)數(shù)。然而，這些方法僅涉及確定性有限元模型修正，當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性或者測(cè)量噪聲無法避免時(shí)，現(xiàn)有的CMCM方法將不適用。因此，充分利用CMCM方法的優(yōu)點(diǎn)，并將它融入隨機(jī)模型修正中，是一項(xiàng)非常有意義的工作。

在隨機(jī)模型修正領(lǐng)域中，蒙特卡羅方法、攝動(dòng)法以及貝葉斯方法被廣泛使用。Schu?ller等［10］使用了具有大樣本的蒙特卡羅模擬來計(jì)算模型修正的統(tǒng)計(jì)特性。宗周紅等［11］在對(duì)下白石連續(xù)剛構(gòu)橋進(jìn)行模型修正的過程中，利用蒙特卡羅模擬方法和有限元方法進(jìn)行不確定性量化分析，并評(píng)價(jià)模型的預(yù)測(cè)精度，實(shí)現(xiàn)對(duì)于連續(xù)剛構(gòu)橋的有限元模型確認(rèn)。但是對(duì)于大型結(jié)構(gòu)而言，這種方法的計(jì)算效率太低，耗時(shí)過長(zhǎng)。與蒙特卡羅方法不同的是，攝動(dòng)法具有推導(dǎo)簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高的特點(diǎn)。Hua等［12］使用一種改進(jìn)的攝動(dòng)法，利用隨機(jī)實(shí)測(cè)模態(tài)數(shù)據(jù)對(duì)桁架橋有限元模型進(jìn)行修正，并估計(jì)了結(jié)構(gòu)參數(shù)的均值和均方差。盡管攝動(dòng)法的計(jì)算效率比較高，但其對(duì)測(cè)量誤差的變異性要求比較苛刻。隨機(jī)模型修正方法中，另一個(gè)具有代表性的方法是基于馬爾可夫鏈與蒙特卡羅抽樣的貝葉斯方法［13?15］，但是基于此種抽樣的貝葉斯方法會(huì)面臨較大的挑戰(zhàn)，即需要非常耗時(shí)的重復(fù)有限元計(jì)算。為了提高計(jì)算效率，Wan等［16］和Fang等［17］分別采用了高斯代理模型和隨機(jī)響應(yīng)面模型對(duì)原有的貝葉斯方法進(jìn)行了改進(jìn)。與上述方法不同，Huang等［18］提出了一種基于混合攝動(dòng)?伽遼金方法（HPG）的隨機(jī)模型修正方法（HPG?SMUM），該方法在測(cè)量變異性較大情況下具有比較高的修正精度和效率，此方法也為確定性模型修正方法擴(kuò)展到隨機(jī)領(lǐng)域提出了一個(gè)新的思路和完整的框架。

本文將隨機(jī)攝動(dòng)?伽遼金方法與改進(jìn)的交叉模型交叉模態(tài)方法結(jié)合，提出一種隨機(jī)模型修正方法。該方法可利用含測(cè)量誤差的少量模態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)有限元模型的有效修正。文中用一個(gè)簡(jiǎn)支梁的數(shù)值算例來驗(yàn)證該方法的有效性和不同模態(tài)組合的穩(wěn)定性，并利用七層框架的模態(tài)試驗(yàn)來驗(yàn)證所提方法在較少測(cè)量模態(tài)情況下仍能同時(shí)有效地修正結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量。

1 基于ICMCM的隨機(jī)模型修正方程

考慮具有N個(gè)自由度的無阻尼結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)初始模型滿足以下特征值方程：

式中 Ka和Ma分別為初始結(jié)構(gòu)模型的整體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；λi和?i分別為初始模型的第i階特征值和特征向量；nc為初始模型的計(jì)算模態(tài)的個(gè)數(shù)。

類似地，實(shí)際結(jié)構(gòu)的特征值方程可以表示為：

式中 Kd和Md分別為實(shí)際結(jié)構(gòu)模型的整體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；λ?j和??j分別為實(shí)際模型的第j階特征值和特征向量；nm為實(shí)際模型的計(jì)算模態(tài)的個(gè)數(shù)。

初始結(jié)構(gòu)與實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣存在以下關(guān)系：

式中 Ne為結(jié)構(gòu)的單元個(gè)數(shù)；Kn和Mn分別為結(jié)構(gòu)第n個(gè)單元的N×N單元組裝矩陣；αn和βn分別為結(jié)構(gòu)第n個(gè)單元的剛度和質(zhì)量的修正系數(shù)，表示實(shí)際結(jié)構(gòu)的單元?jiǎng)偠群唾|(zhì)量相對(duì)于初始矩陣的變化率。

通過文獻(xiàn)［6］可以得到確定性的基于交叉模型交叉模態(tài)的模型修正方程為：

對(duì)式（5）進(jìn)行因式變換可以得到：

通過求解式（6）所示的方程組可以得到剛度和質(zhì)量的修正系數(shù)αn和βn。但是由于在實(shí)際的模態(tài)測(cè)量中只能精確測(cè)量出前幾階模態(tài)，使得修正系數(shù)方程組的方程個(gè)數(shù)比較少，導(dǎo)致求解結(jié)果不正確且不穩(wěn)定。因此Liu等［9］對(duì)傳統(tǒng)的CMCM方法進(jìn)行改進(jìn)，充分利用測(cè)量模態(tài)數(shù)據(jù)，在式（2）方程兩邊同時(shí)乘??Tj，得到如下所示的基于ICMCM的模型修正方程：

對(duì)式（7）進(jìn)行因式變換，可以得到：

顯然，式（8）也含有與方程（6）相同的修正系數(shù)，結(jié)合式（6）和（8），就可以得到更多的修正方程，確保修正方程的適定性。

在實(shí)際結(jié)構(gòu)的模態(tài)試驗(yàn)過程中，不可避免地會(huì)遇到測(cè)量誤差。假定第j階的特征值和特征向量可以表示為：

式中 λ?0j和??0j分別為測(cè)量的第j階特征值和特征向量均值；λ?1j和??1j分別為第j階測(cè)量誤差的確定性部分；ξj為與測(cè)量誤差相關(guān)的隨機(jī)變量，且隨機(jī)變量的分布類型由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征或者是工程經(jīng)驗(yàn)決定。

假設(shè)所有隨機(jī)變量ξj完全相關(guān)，并且表示為隨機(jī)變量ξ，則第n個(gè)剛度單元和質(zhì)量單元的修正系數(shù)可以分別用下式表示：

上述方法就是本文所提出的結(jié)合HPG和ICMCM的隨機(jī)模型修正方法（HPG?ICMCM）。假設(shè)用[C（0）E（0）]和[C（1）E（1）]代替式（19），（22）和（25）中的[C（0）IE（0）I]和[C（1）IE（1）I]，相應(yīng)的向量γ（0），γ（1），γ（2）也可以通過上述方式遞推得到。此時(shí)，HPG?ICMCM方法退化為HPG?CMCM方法。

需要注意的是，實(shí)際結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)角模態(tài)往往難以測(cè)量。此外，由于測(cè)量條件的限制，僅能測(cè)量包括部分測(cè)點(diǎn)的振型。因此，本文使用文獻(xiàn)［19］的模態(tài)擴(kuò)階方法得到完備振型的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。同時(shí)，在求解方程組（19），（22）和（25）的過程中，采用截?cái)嗥娈愔捣纸饣蛘週1正則化技術(shù)［20］避免方程病態(tài)的問題。

3 數(shù)值算例

考慮一個(gè)簡(jiǎn)支梁，如圖2所示。簡(jiǎn)支梁的跨度為6 m，截面為0.2 m×0.25 m，彈性模量為2.8×1010 Pa，密度為2.5×103 kg/m3。將該Euler?Bernoulli梁的有限元模型沿梁長(zhǎng)度方向劃分為15個(gè)相同的單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含豎向位移和轉(zhuǎn)角兩個(gè)自由度。

根據(jù)測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，可以假設(shè)實(shí)測(cè)模態(tài)數(shù)據(jù)服從某種概率分布，如正態(tài)分布或者β分布。由于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)是有界的，本文假設(shè)實(shí)測(cè)模態(tài)數(shù)據(jù)服從β分布。依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，動(dòng)力特性測(cè)試數(shù)據(jù)的變異系數(shù)一般在0.01～0.02之間，這里假設(shè)變異系數(shù)為0.02。

首先，考慮結(jié)構(gòu)質(zhì)量不發(fā)生變化，單元1，3，7，9和11的剛度分別減小30%，15%，20%，20%和30%，其余單元的剛度和初始模型相同。取前六階初始模型的計(jì)算模態(tài)和前六階測(cè)量模態(tài)，使用HPG?ICMCM方法和HPG?CMCM方法對(duì)模型進(jìn)行修正，同時(shí)利用與本文所提出的方法對(duì)應(yīng)的蒙特卡羅模擬方法（MC?ICMCM）和Huang等［18］的HPG?SMUM方法求解上述方法中的修正系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，在求解過程中使用奇異值分解正則化技術(shù)降低矩陣求逆的不適定性，以提高計(jì)算精度。修正結(jié)果如圖3和4所示。

觀察圖3和4，不難看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)的自由度比較多但測(cè)量模態(tài)有限時(shí)，通過HPG?SMUM方法得到的修正系數(shù)均值和預(yù)設(shè)的真實(shí)值差別比較大。例如，HPG?SMUM方法得到的單元1剛度修正系數(shù)均值為-0.02，和MC?ICMCM方法結(jié)果相比，相對(duì)誤差接近90%。同時(shí)，單元2，15的剛度修正系數(shù)均小于-0.1，出現(xiàn)了明顯誤判。對(duì)于單元8，10，13和15，HPG?SMUM方法的修正系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果和MC?ICMCM方法結(jié)果最大相對(duì)誤差達(dá)到400%，說明在這種情況下HPG?SMUM方法修正效果不能令人滿意。而通過HPG?ICMCM方法和HPG?CMCM方法得到的各單元修正系數(shù)與MC?ICMCM相比較，均值的絕對(duì)誤差均未超過0.03，標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差基本小于20%?？梢哉f明統(tǒng)計(jì)結(jié)果和仿真試驗(yàn)預(yù)設(shè)的結(jié)果基本吻合，并且HPG?ICMCM方法的均值結(jié)果吻合更好。

為了驗(yàn)證同時(shí)修正質(zhì)量和剛度時(shí)本文方法的有效性，假設(shè)單元3，5，6，8，9，11和13的實(shí)際質(zhì)量分別增加10%，20%，20%，20%，20%，20%和10%，同時(shí)，單元1，3，5，7，9，11和13的彈性模量分別降低30%，15%，20%，20%，20%，30%和30%，其余單元的質(zhì)量和剛度和初始模型相同。選擇這15個(gè)單元的質(zhì)量和彈性模量作為待修正的參數(shù)。首先假設(shè)測(cè)量得到了被測(cè)結(jié)構(gòu)的前六階模態(tài)的頻率和豎向位移振型，再通過模態(tài)擴(kuò)階方法得到被測(cè)模態(tài)的完整形式。之后對(duì)于初始模型，通過計(jì)算得到其前七階模態(tài)數(shù)據(jù)。這里分別使用MC?ICMCM，HPG?ICMCM和HPG?CMCM三種方法進(jìn)行模型修正。修正系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性如圖5～8所示。

從圖5～8中可以看出，一方面，在剛度和質(zhì)量出現(xiàn)變化的單元里，由HPG?ICMCM方法得到的剛度和質(zhì)量修正系數(shù)均值與MC?ICMCM方法得到結(jié)果的相對(duì)誤差均小于10%。并且，除了單元3之外，各單元?jiǎng)偠扰c質(zhì)量修正系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與MC?ICMCM方法相比均小于30%，這個(gè)現(xiàn)象說明所提出的HPG?ICMCM方法的修正精度和效果是令人滿意的。另一方面，HPG?CMCM方法的修正系數(shù)均值和預(yù)設(shè)的值相差較大，特別是在修正剛度時(shí)，除單元11和13以外，均出現(xiàn)了明顯的誤判。從而可以說明HPG?ICMCM方法得到的修正系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性比HPG?CMCM方法更加接近假定的真值，并且與MC?ICMCM方法得到的結(jié)果非常接近。除此之外，為了分析測(cè)量誤差變異系數(shù)對(duì)HPG?ICMCM方法和HPG?CMCM方法的影響，圖9給出了變異系數(shù)為0.02時(shí)，修正后結(jié)構(gòu)的前五階頻率的概率密度函數(shù)。

從圖9中可以看出，HPG?ICMCM方法與蒙特卡羅模擬方法的結(jié)果吻合，而通過HPG?CMCM方法得到的修正頻率不符合仿真預(yù)設(shè)的實(shí)測(cè)頻率。這進(jìn)一步說明了HPG?ICMCM方法的優(yōu)越性。此外，基于三萬(wàn)個(gè)樣本的MC?ICMCM方法在CPU為i5?10400、運(yùn)行內(nèi)存16 GB的個(gè)人計(jì)算機(jī)上計(jì)算時(shí)間超過了1800 s，而本文提出的HPG?ICMCM方法僅用時(shí)120 s，二者對(duì)比說明了此方法的高效率。

對(duì)于不同的模態(tài)組合，文獻(xiàn)［9］指出當(dāng)測(cè)量模態(tài)數(shù)據(jù)較少時(shí)，確定性CMCM方法可能會(huì)導(dǎo)致修正結(jié)果不穩(wěn)定。接下來，將驗(yàn)證在有限實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的情況下，HPG?ICMCM方法的穩(wěn)定性。假設(shè)質(zhì)量和剛度的折減量與之前簡(jiǎn)支梁仿真算例的預(yù)設(shè)值完全相同，不進(jìn)行模態(tài)擴(kuò)階，考慮計(jì)算和測(cè)量模態(tài)的不同組合工況。不同工況下，模態(tài)組合如表1所示。

在這四種工況下，采用HPG?ICMCM方法對(duì)簡(jiǎn)支梁進(jìn)行模型修正，得到單元修正系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，如圖10～13所示。圖10～13結(jié)果顯示在四種不同的模態(tài)組合中，獲得的修正系數(shù)統(tǒng)計(jì)特性非常接近。

從圖14中可以看到，選取不同的模態(tài)組合都可以得到較準(zhǔn)確的修正結(jié)果。由于采用了ICMCM方法增加了修正方程數(shù)量，盡管測(cè)量模態(tài)的數(shù)量逐漸減少，修正后的頻率仍然能很好地與測(cè)量結(jié)果吻合，說明了本文提出方法的穩(wěn)定性。

4 七層框架試驗(yàn)

為了驗(yàn)證HPG?ICMCM方法的有效性，制作了一個(gè)七層框架，如圖15（a）所示。該七層框架層高為150 mm，框架動(dòng)力模型采用葫蘆串模型，如圖15（b）所示，各單元質(zhì)量為每層鋁合金質(zhì)量塊及低頻傳感器和夾具組成。層間剛度由兩側(cè)的鋼板提供，兩側(cè)側(cè)板均采用1 mm厚的304不銹鋼板切割成型制作。框架的底部使用螺絲緊固在試驗(yàn)臺(tái)上。層間鋼板材料的彈性模量為194 GPa、密度為7.93 g/cm3，泊松比為0.3。每層側(cè)板的寬度為100 mm，在框架的模態(tài)試驗(yàn)中，將第2，4和6層間兩側(cè)的鋼板分別切除30%，10%和20%，用來模擬剛度退化。框架的各單元的質(zhì)量如表2所示，在單元2，4和5處附加質(zhì)量塊模擬質(zhì)量變化。在模態(tài)測(cè)試中，使用5個(gè)加速度傳感器分兩批測(cè)量。由于傳感器的重量不能忽略，為了使測(cè)試過程中每層質(zhì)量相同，因此在沒有布置傳感器的層中布置與傳感器等重的配重塊。試驗(yàn)中，采取了6種不同的傳感器布置方式進(jìn)行了6組測(cè)量。

每一組測(cè)量均采用不測(cè)力法對(duì)框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)測(cè)試。在采集了7個(gè)測(cè)量點(diǎn)的加速度數(shù)據(jù)之后，使用增強(qiáng)型頻域分解方法［21］識(shí)別該框架的模態(tài)，并采用測(cè)量軟件內(nèi)5種不同的分析點(diǎn)數(shù)（512，1024，2048，4096，8192）進(jìn)行模態(tài)分析。對(duì)30組樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析之后，得到前三階測(cè)量模態(tài)的均值，并且得出測(cè)量頻率的變異系數(shù)為0.01。預(yù)計(jì)在實(shí)際工程測(cè)量中變異系數(shù)會(huì)更大。

選擇前三階實(shí)測(cè)模態(tài)和初始模型的前四階計(jì)算模態(tài)用于模型修正，將7個(gè)單元的彈性模量和質(zhì)量作為修正系數(shù)，總共14個(gè)修正參數(shù)。其中，七層框架的剛度修正系數(shù)從下到上編號(hào)為1～7，每層對(duì)應(yīng)的質(zhì)量修正系數(shù)編號(hào)為8～14。采用HPG?ICMCM方法進(jìn)行計(jì)算，并使用L1正則化技術(shù)降低求解過程中矩陣求解的不適定性，得到修正系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性如圖16和17所示。

從圖16中可以看出，修正參數(shù)的均值與預(yù)設(shè)工況基本吻合。由于測(cè)量誤差的隨機(jī)性，修正后的參數(shù)也具有隨機(jī)性，修正系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差如圖17所示。從圖17中可以看出，修正系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差最大值為0.03，最小值為0.005。用修正后的參數(shù)計(jì)算結(jié)構(gòu)頻率的概率密度函數(shù)，如圖18所示。從圖18中可以看出，本文方法修正的結(jié)構(gòu)頻率概率密度與測(cè)量結(jié)果基本一致。這說明了本文方法對(duì)于試驗(yàn)框架結(jié)構(gòu)是有效的。

5 結(jié) 論

本文提出了一種交叉模型交叉模態(tài)隨機(jī)有限元模型修正方法。該方法成功地將確定性的改進(jìn)交叉模型交叉模態(tài)模型修正方法拓展到隨機(jī)領(lǐng)域。建立了基于ICMCM方法的隨機(jī)模型修正方程，并對(duì)方程進(jìn)行了求解。該方法同時(shí)具備了ICMCM方法僅用少量模態(tài)即可構(gòu)造大量修正方程的優(yōu)點(diǎn)，以及能夠考慮測(cè)量誤差的隨機(jī)性，并能用混合攝動(dòng)?伽遼金方法高效求解隨機(jī)模型修正方程的優(yōu)點(diǎn)。

簡(jiǎn)支梁算例的結(jié)果表明，本文方法可以有效處理測(cè)量數(shù)據(jù)中較大的不確定性，并且計(jì)算效率要比直接采用蒙特卡羅模擬方法高出1個(gè)數(shù)量級(jí)。當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)較少時(shí)，新的方法比已有的混合攝動(dòng)?伽遼金修正方法修正效果好，且比交叉模型交叉模態(tài)法的修正精度更高。七層框架結(jié)構(gòu)試驗(yàn)表明了本文方法對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)模型修正的有效性。

參考文獻(xiàn)

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Stochastic model updating method using the improved cross-model cross-mode technique

WANG Yan 1 ?CHEN Hui 1，2HUANG Bin 1 ?CHAI Man 1

1. School of Civil Engineering and Architecture， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， China；

2. College of Post and Telecommunication， Wuhan Institute of Technology， Wuhan 430073， China

Abstract In this paper， a new stochastic model updating method is proposed， which combines the random hybrid perturbation-Galerkin method with the improved cross-model cross-mode technique. This method effectively alleviates the impaction of limited measurement data and uncertain measurement errors on model updating. Considering the uncertainty of the measured modal data， a new stochastic updating equation with update coefficient vector is established based on the improved cross-model cross-mode method. Using the hybrid perturbation-Galerkin method to solve the stochastic updated equation， the update coefficient vector is obtained. The statistical characteristics of the update coefficients can then be determined. The numerical results of the simply supported beam show that the proposed method can effectively deal with the relatively large uncertainty in the actual measurement data， and shows relatively strong stability in the case of different modal combinations， and has a higher computational efficiency than the Monte Carlo method. Considering the rank deficit， the improved cross-model cross-mode method proposed in this paper can get better updating results than the cross-model cross-mode method. The experimental results of the frame show that the new method can simultaneously modify the stiffness and the quality of the structure， and the updated model can be used to obtain modal data consistent with the measured results， thus verifying the effectiveness of the proposed method.

Keywords stochastic model updating; hybrid perturbation-Galerkin method; improved cross-model cross-mode technique