舒進輝 馬強 張吾渝

摘要 基于彈性波在非飽和多孔介質與單相彈性介質中的傳播理論，考慮在非飽和土地基中設置一定厚度的復合多層波阻板（復合多層波阻板以3層為例），利用Helmholtz矢量分解定理，推導了非飽和土地基中P1波通過復合多層波阻板的透射、反射振幅比的解析解。通過數(shù)值算例分析了層間波阻板剪切模量和密度等物理、力學參數(shù)對非飽和土地基中P1波通過復合多層波阻板時傳播特性的影響規(guī)律。結果表明：復合多層波阻板中層間波阻板材料的剪切模量對透、反射系數(shù)影響顯著，層間波阻板材料的密度對透、反射系數(shù)影響較小。故嚴格控制層間波阻板的剪切模量可以獲得很好的隔振效果，這為復合多層波阻板在地基振動控制領域中的應用提供理論指導。

關鍵詞 非飽和土; 復合多層波阻板; 波的傳播; 反射振幅比; 透射振幅比

引 言

隨著城鎮(zhèn)化建設的迅速發(fā)展，各種人工振動引起的振動污染問題日益突出，如交通荷載、工程施工、動力機器等引起的環(huán)境振動嚴重影響了精密儀器和設備的正常工作，同時給人們的工作環(huán)境和生活環(huán)境帶來了不同程度的影響。因此，分析彈性波通過隔振屏障的傳播過程和地基振動規(guī)律，從而找到能夠有效降低振動危害的隔振措施，是研究各種環(huán)境振動控制的根本目的，對實際工程應用具有重要的實用價值和現(xiàn)實意義。

目前，國內外學者關于連續(xù)屏障和非連續(xù)屏障等不同形式隔振屏障的減振隔振效果進行了大量研究［1?6］。除此之外，另一種可供選擇的隔振措施是Chouw等［7?8］提出的在地基中設置波阻板（Wave Impedance Block，WIB）進行減振隔振，其分析結果表明波阻板的被動隔振效果要優(yōu)于填充溝。隨后，Takemiya等［9］采用有限元法比較了波阻板和空溝的隔振效果，結果表明在低于截止頻率的頻率范圍內，WIB的隔振效果更好。文獻［10?12］對彈性地基中波阻板的隔振效果進行了研究，結果表明，增加WIB的厚度和模量是最有效的兩種隔振措施。李偉［13］采用半解析邊界元法，詳細分析了層狀地基中波阻板的隔振效果，建立了基本的隔振設計準則。高廣運等［14?17］對二維和三維波阻板進行了隔振性能研究，發(fā)現(xiàn)波阻板在低頻時具有較好的隔振效果。除了對均質波阻板的減振隔振研究，馬強等［18?19］還分析了移動荷載作用下彈性地基與飽和土地基中梯度非均勻波阻板的隔振效果。焦歐陽等［20］通過現(xiàn)場試驗對公路交通荷載作用下復雜地基中3種不同材料波阻板的實際隔振效果進行研究，得出了泡沫夾芯波阻板的隔振效果最好的結論。徐長節(jié)等［21］對飽和土中夾水混凝土復合式隔振屏障的隔振效果展開了分析，結果表明增加混凝土的彈性模量及泊松比可以增強隔振效果，且彈性模量對隔振效果的影響更為顯著。

需要指出的是，以往研究絕大多數(shù)都集中在彈性地基或飽和土地基中均質WIB隔振性能的情形，而對于自然界中更具普遍性的非飽和土地基中隔振性能的研究鮮有報道。此外，以往在地基振動控制研究中對均質波阻板的研究較多，而對復合多層非均勻材料作為隔振屏障的研究很少。根據(jù)文獻［22］可知，多層介質交界面差異性越大，彈性波透反射效應越顯著。因此本文提出一種復合多層波阻板作為隔振屏障的地基隔振體系，針對更具有普遍性的非飽和土地基的振動控制問題，主要研究非飽和土地基中彈性波通過復合多層波阻板的傳播特性?？紤]在非飽和土地基中設置復合多層波阻板，運用彈性波在非飽和多孔介質與單相彈性介質中的傳播理論以及Helmholtz分解定理，推導了在非飽和土地基中P1波通過復合多層波阻板后透、反射振幅比的解析解，利用數(shù)值算例分析了各層波阻板的剪切模量和密度對多層波阻板隔振性能的影響規(guī)律，旨在為復合多層波阻板隔振體系在地基振動控制領域中的應用提供設計準則。

1 非飽和土介質的波動方程

考慮非飽和土是由固?液?氣組成的多孔多相復雜結構，分別由上標“S”，“L”和“G”表示各相組分，在本文中用符號α分別定義各相組分，即α=S，L，G。用nα表示α相介質的體積分數(shù)，可以由孔隙率n和飽和度Sr表示，即nS=1?n，nL=nSr，nG=n（1?Sr）。

非飽和地基土層用非飽和多孔介質模擬。Chen等［23］基于多孔介質混合物理論，提出了如下非飽和孔隙介質的波動方程：

式中 uα表示α相介質的位移矢量；u˙α和u¨α分別表示α相介質的速度與加速度；ρα表示α相介質的密度；ζL和ζG分別表示固體骨架與液體和氣體之間的黏滯力參數(shù)；λS和μS是非飽和多孔介質骨架的Lamé常數(shù)；?2表示Laplace算子；系數(shù)γSS，γLL，γGG，γSL，γSG，γLG為孔隙介質參數(shù)［23］。

考慮三相介質的位移矢量并引入勢函數(shù)，采用Helmholtz矢量分解定理，將位移矢量做如下分解：

式中 ψα和Hα（α=S，L，G）分別為固、液、氣相三相介質的標量勢函數(shù)和矢量勢函數(shù)。

將式（2）代入式（1a）～（1c）中，則波動方程（1a）～（1c）可改寫為：

設式（3a）～（3f）的一般解具有如下形式：

根據(jù)公式（5a）和（5b）就可計算得到非飽和土介質中P波和S波的傳播速度為：

2 數(shù)學模型

考慮在非飽和土地基中設置一定厚度的復合多層波阻板，其中復合多層波阻板以3層為例，P1波從非飽和土入射到復合多層波阻板后再透射到非飽和土的過程中，在各個交界面上的反射與透射模型如圖1所示。P1波在非飽和多孔介質中以θ0的角度入射后，會激勵產(chǎn)生透射P波、透射S波、反射S波和3種反射P波。由于透射P波的能量至少是透射S波的14倍，因此本文忽略了能量較低的透射S波，只考慮能量較大的透射P波入射到非飽和土中，該理論依據(jù)在后文中詳細給出。然后透射P波穿過復合多層波阻板再透射到非飽和土介質后，同樣會激勵產(chǎn)生反射S波、反射P波、透射S波和3種透射P波。

3 P1波在分界面上的反射與透射

3.1 P1波從非飽和土介質入射到波阻板介質Ⅰ

在非飽和土介質與波阻板介質Ⅰ的分界面處，入射、透射和反射波的位移勢函數(shù)表示為如下形式：

（1）非飽和土介質中入射、反射波的勢函數(shù)為：

式中 下標i，r和t分別表示入射、反射和透射波；ciP是入射P1波的波速；crS和crP?分別為反射S波和三種反射P波的波速，其中?表示三種不同的P波（?=1，2，3）；ctP和ctS分別是透射P波和透射S波的波速；kiP是入射P1波的波數(shù)；krS和krP?分別為反射S波和三種反射P波的波數(shù)；ktP和ktS分別是透射P波和透射S波的波數(shù)；AαrP?表示三種反射P波在α相介質中的振幅值；BαrS表示反射S波在α相介質中的振幅值；AItP表示透射P波在波阻板介質Ⅰ中的振幅值；BItS表示透射S波在波阻板介質Ⅰ中的振幅值；liP，lItP，lrS，lrP?，lItS和niP，nItP，nrS，nrP?，nItS分別為入射P1波、透射P波、反射S波、3種反射P波和透射S波的方向矢量值。

根據(jù)Snell定律，透射角、反射角和入射角之間有如下關系：

在非飽和土地基和波阻板的分界面處，其邊界條件可表示為：

應力連續(xù)：

在式（11）中，非飽和多孔介質和波阻板介質中的應力張量采用如下形式表示［24］：

非飽和土介質中的應力張量為：

式中 δij表示克羅內克函數(shù)。

彈性波阻板介質中的應力張量為：

式中 λeβ和μeβ表示波阻板介質β的Lamé常數(shù)；β表示不同的波阻板介質（β=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）；θ為骨架顆粒的體積應變；εij為土體骨架的應變。

將式（12）～（13）代入式（11a）～（11b）中可得到用勢函數(shù)表示的邊界條件為：

在非飽和土介質與波阻板介質Ⅰ的分界面處時，此時式（14）中的參數(shù)為β=Ⅰ。將式（7）和（8）代入式（14）中，結合Snell定律式（9），得到如下的矩陣關系式：

式中 N=（AItP，BItS，ASrP1，ASrP2，ASrP3，BSrS）T，矩陣M和Q的系數(shù)見附錄A。

設入射波的振幅值AiP為1，則矩陣N中的系數(shù)分別表示非飽和土介質和波阻板介質Ⅰ分界面上的振幅透射系數(shù)與振幅反射系數(shù)（RItP，RItS，RrP1，RrP2，RrP3，RrS）。

3.2 透射P波從波阻板介質Ⅰ入射到波阻板介質Ⅱ

在波阻板介質Ⅰ與波阻板介質Ⅱ的分界面處，入射、透射和反射波的位移勢函數(shù)表示為如下形式：

式中 AβiP，AβrP，BβrS，AβtP和BβtS分別表示入射P波、反射P波、反射S波、透射P波和透射S波在波阻板介質β中的振幅值；cβiP，cβrP，cβrS，cβtP和cβtS分別表示入射P波、反射P波、反射S波、透射P波和透射S波在波阻板介質β中的波速；kβiP，kβrP，kβrS，kβtP和kβtS分別表示入射P波、反射P波、反射S波、透射P波和透射S波在波阻板介質β中的波數(shù)；lβiP與nβiP，lβrP與nβrP，lβrS與nβrS，lβtP與nβtP，lβtS與nβtS分別表示入射P波、反射P波、反射S波、透射P波和透射S波在波阻板介質β中的兩個方向矢量值。

4 數(shù)值計算與分析

4.1 驗 證

陳煒昀等［24］研究了平面P波從單相彈性介質入射到非飽和彈性介質分界面上的透、反射系數(shù)，為了驗證本文求解過程的正確性，取本文數(shù)學模型中P波從波阻板介質Ⅲ入射到非飽和多孔介質的部分，從而與文獻［24］的模型相一致。在驗證計算中取與文獻［24］相同的物理、力學參數(shù)，其中非飽和多孔介質和波阻板的物理、力學參數(shù)如表1所示［24］，取μeIII=8 GPa，ρeIII=2700 kg/m3。圖2給出了P波以ω=1000 Hz入射時，P波的反射、透射振幅比與入射角的關系，從圖中可以看出本文解答與文獻解答二者的計算結果高度吻合，說明了本文方法的正確性。

當P1波從非飽和土介質入射到波阻板時，存在入射臨界角θcr，取非飽和多孔介質的飽和度Sr=0.8，入射頻率ω=10 Hz，波阻板材料Ⅰ的剪切模量μeI=8 GPa。波阻板材料Ⅰ的密度ρeI=2700 kg/m3，其他計算參數(shù)同表1。根據(jù)壓縮波的特征方程可求得非飽和多孔介質中P1波的波速隨飽和度的變化曲線如圖3所示。在波阻板材料Ⅰ中，剪切波和壓縮波的波速可以通過彈性波動力學公式計算得到：

由于波阻板介質Ⅰ中透射P波的波速大于非飽和土中入射P1波的波速，所以波阻板中透射P波的透射角要大于非飽和土介質中入射P1波的入射角，因此當入射角超過臨界角θcr時，透射P波的透射角就超過了90°，此時透射將會消失。從圖3中可以看出，在飽和度從0.01～0.99變化的情況下，P1波的波速在2335～2506 m/s范圍，相應臨界角的變化范圍是46.51°～51.11°，所以后文中取入射角的變化范圍為0°～45°。

為了說明波阻板中透射P波和S波在反射與透射中所占能量大小問題，波阻板中透射P波與透射S波的振幅比隨入射角的變化關系如圖4所示。由圖4可知，不管P1波入射時入射角為多大，透射P波與透射S波的最小振幅比約為14，即透射P波的能量約為透射S波的14倍，而當入射角越小時透射P波的能量更是遠遠大于透射S波。所以本文主要考慮透射P波通過波阻板后對其隔振效果的影響，忽略了能量較小的透射S波的反射與透射。

為了研究多層波阻板層間材料參數(shù)如剪切模量和密度對其隔振性能的影響規(guī)律，本文將3層波阻板材料的剪切模量按相對大小關系采用以下4種情況分別進行分析：μeI>μeII>μeIII，μeI<μeII<μeIII，μeI>μeII且μeIII>μeII，μeI<μeII且μeIII<μeII。具體分析時針對以上每種情況下每層波阻板材料的密度關系又分別采用以下4種情況進行分析：Case1：ρeI>ρeII>ρeIII，取ρeI=2700 kg/m3，ρeII=2300 kg/m3，ρeIII=2000 kg/m3；Case2：ρeI<ρeII<ρeIII，取ρeI=2000 kg/m3，ρeII=2300 kg/m3，ρeIII=2700 kg/m3；Case3：ρeI>ρeII且ρeIII>ρeII，取ρeI=2700 kg/m3，ρeII=2000 kg/m3，ρeIII=2700 kg/m3；Case4：ρeI<ρeII且ρeIII<ρeII，取ρeI=2000 kg/m3，ρeII=2700 kg/m3，ρeIII=2000 kg/m3。

4.2 在μeI>μeII>μeIII下透、反射振幅比隨波阻板材料Ⅰ剪切模量的變化關系

取μeII=20 GPa，μeIII=8 GPa，θ0=21°，ω=10 Hz，Sr=0.8，其他計算參數(shù)同表1。當波阻板材料Ⅰ的剪切模量在μeI=20～120 GPa范圍內變化時，在4種密度情況下透/反射振幅比與波阻板材料I的剪切模量的關系曲線如圖5所示。從圖5中可以看出，當波阻板材料Ⅰ的剪切模量μeI在一定范圍內時，4種情況下的反射振幅比均大于透射振幅比，從能量守恒的角度而言，反射越多透射就會越少，4種彈性波經(jīng)過復合多層波阻板后傳播到地面的能量就會越少，從而達到減振隔振的目的。由圖5可知，當μeI在110 GPa或60～80 GPa范圍內時，Case2和Case4情況下的透射振幅比均趨于0，即當μeI在此范圍內時，3層波阻板的密度按照ρeI<ρeII<ρeIII或ρeI<ρeII且ρeIII<ρeII進行布置可以獲得很好的隔振效果。當μeI在70～110 GPa范圍內時，Case1和Case3情況下的透射振幅比均趨于0，即當μeI在此范圍內時，3層波阻板的密度按照ρeI>ρeII>ρeIII或ρeI>ρeII且ρeIII>ρeII進行布置可以獲得很好的隔振效果。另外需要注意的是，從圖5（a）中可以看出，當μeI大于113 GPa或在92～105 GPa范圍內時，P1波的透射振幅比大于1，即此時設置復合多層波阻板會造成振動放大現(xiàn)象，故在實際工程應用中想要讓復合多層波阻板獲得好的隔振效果，需要將波阻板材料的剪切模量避開此范圍。綜上所述，波阻板的剪切模量在μeI>μeII>μeIII情況下，復合多層波阻板層間材料的密度對其隔振性能影響較小，無論3層波阻板材料的密度按何種大小關系進行布置，當μeI在特定范圍內時復合多層波阻板均可取得最佳的隔振效果。因此，在進行復合多層波阻板隔振設計時，想要獲得更好的隔振效果，應選擇按照μeI>μeII>μeIII布置每層波阻板材料的剪切模量。

4.3 在μeI<μeII<μeIII下透、反射振幅比隨波阻板材料Ⅰ剪切模量的變化關系

取μeII=35 GPa，μeIII=45 GPa，θ0=21°，ω=10 Hz，Sr=0.8，其他參數(shù)同表1。當波阻板材料Ⅰ的剪切模量在μeI=0.001～35 GPa內變化時，4種密度情況下透/反射振幅比與波阻板材料Ⅰ的剪切模量的關系曲線如圖6所示。從圖6中可以看出，4種情況下P1波和S波的透射振幅比均隨剪切模量的增大先增大后減小，P1波的反射振幅比隨剪切模量的增加而增大，總體來說，透射振幅比都較大，此時波阻板隔振效果并不理想。由圖6（d）可知，Case1和Case3情況下S波的反射振幅比隨剪切模量的增加先減小后增大，并在μeI=2 GPa時其值趨于0，而Case2和Case4情況下S波的反射振幅比隨剪切模量的增加先減小后增大再減小，并在μeI=3 GPa時其值趨于0。從圖6（b）和（c）中可知，4種情況下P2波和P3波的反射振幅比均隨剪切模量的增加而減小，而其透射振幅比幾乎保持不變。綜上所述，當剪切模量在一定范圍內時透射振幅比小于反射振幅比，波阻板具有一定的隔振效果，其透射振幅比都不存在趨于0時對應波阻板材料的剪切模量取值范圍，故其隔振效果并不理想。所以波阻板層間材料的剪切模量在μeI<μeII<μeIII情況下時，無論3層波阻板材料的密度按何種大小關系進行布置，都不能取得最佳的隔振效果。因此，在進行復合多層波阻板隔振設計時，應避免將各層波阻板的剪切模量按μeI<μeII<μeIII進行布置。

4.4 在μeI>μeII且μeIII>μeII下透、反射振幅比隨波阻板材料Ⅰ剪切模量的變化關系

取μeII=8 GPa，μeIII=20 GPa，入射角θ0=21°，入射頻率ω=10 Hz，飽和度Sr=0.8，其他計算參數(shù)同表1。當波阻板材料Ⅰ的剪切模量在μeI=8～100 GPa范圍內變化時，4種情況下反射、透射振幅比與波阻板材料Ⅰ的剪切模量的關系曲線如圖7所示。從圖7可以看出，當波阻板材料Ⅰ的剪切模量μeI在一定范圍內時，反射振幅比大于透射振幅比，此時復合多層波阻板具有較好的隔振效果。由圖7可知，當μeI在70～100 GPa范圍內時，在Case1和Case3情況下4種彈性波的透射振幅比均趨于0，即當μeI在此范圍內時，3層波阻板的密度按照ρeI>ρeII>ρeIII或ρeI>ρeII且ρeIII>ρeII進行布置均可以獲得很好的隔振效果。當μeI在60～70 GPa范圍內時，Case2和Case4情況下的透射振幅比均趨于0，即當μeI在此范圍內時，3層波阻板的密度按照ρeI<ρeII<ρeIII或ρeI<ρeII且ρeIII<ρeII進行布置均可以獲得很好的隔振效果。從圖7（b）和（c）中可以看出，當μeI在10～88 GPa范圍內時，4種情況下P2波和P3波的透射振幅比均小于反射振幅比，此時復合多層波阻板對P2波和P3波具有較好的隔振效果，但值得注意的是，對比圖7（a）～（d）可以發(fā)現(xiàn)，P1波與S波的振幅值處于相同的數(shù)量級且比P2波和P3波的振幅值大好幾個數(shù)量級。綜上所述，在μeI>μeII且μeIII>μeII情況下，復合多層波阻板層間材料的密度對其隔振性能影響較小，無論3層波阻板材料的密度按何種大小關系進行布置，當μeI在特定范圍內時復合多層波阻板均可以取得很好的隔振效果。因此，在進行復合多層波阻板隔振設計時，想要獲得更好的隔振效果，應選擇按照μeI>μeII且μeIII>μeII布置每層波阻板材料的剪切模量。

4.5 在μeI<μeII且μeIII<μeII下透、反射振幅比隨波阻板材料Ⅰ剪切模量的變化關系

取μeII=40 GPa，μeIII=35 GPa，入射角θ0=21°，入射頻率ω=10 Hz，飽和度Sr=0.8，其他計算參數(shù)同表1。當波阻板材料Ⅰ的剪切模量在μeI=0.001～40 GPa范圍內變化時，4種情況下反射、透射振幅比與波阻板材料Ⅰ的剪切模量的關系曲線如圖8所示。從圖8（a）和（d）中可以看出，當剪切模量在特定范圍內時，P1波和S波的透射振幅比小于反射振幅比，然而相比反射振幅值，其透射振幅值降低效果并不明顯，此時波阻板具有一定的隔振效果，但隔振效果并不理想。從圖8（b）和（c）可知，4種情況下P2波和P3波的反射振幅比均大于透射振幅比，此時沒有隔振效果，但考慮到P2波和P3波的振幅值比P1波與S波的振幅值小幾個數(shù)量級，其振幅值幾乎可以忽略。綜上所述，波阻板的剪切模量在μeI<μeII且μeIII<μeII這種情況下時，無論3層波阻板介質的密度按何種大小關系進行布置，其透射振幅比都不存在趨于0時對應波阻板材料的剪切模量取值范圍，故此種情況下不能取得最佳的隔振效果。因此，在進行復合多層波阻板隔振設計時，應避免將各層波阻板材料的剪切模量按照μeI<μeII且μeIII<μeII進行布置。

5 結 論

針對非飽和土地基的振動控制問題，本文提出一類復合多層波阻板作為隔振屏障的地基隔振體系，分析了復合多層波阻板中每層波阻板剪切模量和密度的布置關系對波阻板隔振效果的影響規(guī)律，為復合多層波阻板在地基振動控制領域中的應用提供設計準則，得到以下主要結論：

（1）復合多層波阻板層間材料的剪切模量對波阻板隔振性能影響顯著，只有按照μeI>μeII>μeIII或μeI>μeII且μeIII>μeII這兩種情況進行布置時，復合多層波阻板才具有最佳隔振效果，應避免將3層波阻板的剪切模量按照μeI<μeII<μeIII或μeI<μeII且μeIII<μeII進行布置。

（2）復合多層波阻板材料的密度對其隔振效果影響較小，選擇復合多層波阻板在隔振效果最佳時的剪切模量參數(shù)值，無論波阻板層間材料的密度大小關系如何，復合多層波阻板均可取得很好的隔振效果，故在進行復合多層波阻板隔振設計時根據(jù)非飽和土地基物理、力學參數(shù)選擇最優(yōu)的波阻板層間材料的剪切模量。

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Propagation behavior of P1-wave passing through composite multilayer wave impeding block in unsaturated soil

SHU Jin-hui 1 ?MA Qiang 1，2 ?ZHANG Wu-yu 1，2

1. School of Civil Engineering， Qinghai University， Xining 810016， China；

2. Qinghai Provincial Key Laboratory of Energy-saving Building Materials and Engineering Safety， Xining 810016， China

Abstract Based on the propagation theory of elastic waves in unsaturated porous media and single-phase elastic media， considering that a composite multilayer wave impeding block（WIB） with a certain thickness is set in unsaturated soil （composite multilayer wave impeding block with 3 layers as an example）， and using Helmholtz vector decomposition theorem， the analytical solutions of transmitted/reflected amplitude ratio of P1-wave passing through composite multilayer wave impeding block in unsaturated soil are derived. The influences of physical and mechanical parameters such as shear modulus and density of interlayer wave impeding block on the propagation characteristics of P1-wave passing through composite multilayer wave impeding block in unsaturated soil are analyzed by numerical examples. The results show that the shear modulus of interlayer wave impeding block material has a significant influence on the transmission/reflection coefficient， and the density of interlayer wave impeding block material has little influence on the transmission/reflection coefficient. Therefore， strictly controlling the shear modulus of interlayer wave impeding block can obtain better vibration isolation performance， which provides a design criterion for the application of composite multilayer wave impeding block in the field of foundation vibration control.

Keywords unsaturated soil; composite multilayer wave impeding block; wave propagation; reflection amplitude ratio; transmission amplitude ratio