裴偉

【摘要】? 新高考中數(shù)學(xué)試題的綜合性、實(shí)踐性更強(qiáng)，這也對(duì)學(xué)生的解題思維能力提出了全新的要求.很多高中生在日常解題中，會(huì)出現(xiàn)思路不清、解題步驟混亂的情況，這降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.化歸思想可以讓學(xué)生將復(fù)雜的問(wèn)題變成自己熟悉、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，有助于學(xué)生解題能力提升.本文就高中數(shù)學(xué)解題中化歸思想的具體應(yīng)用策略進(jìn)行分析.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué)；化歸思想；解題

化歸思想主要指學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題處理時(shí)，對(duì)復(fù)雜、抽象的問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單化的處理，是一個(gè)化繁為簡(jiǎn)的過(guò)程.學(xué)生在學(xué)習(xí)中需要找出最佳問(wèn)題解決思路，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的高效處理.［1］化歸思想屬于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中十分重要的思想，其可以引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建完善的知識(shí)體系，并靈活地運(yùn)用多元知識(shí)來(lái)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力提升.

1 新高考下高中數(shù)學(xué)教學(xué)要求

從新高考命題情況看，更加關(guān)注學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、綜合能力培養(yǎng)，這也對(duì)高中數(shù)學(xué)教師日常教學(xué)活動(dòng)提出了全新的要求.新課程標(biāo)準(zhǔn)中指出在數(shù)學(xué)教學(xué)中需以學(xué)生自身發(fā)展為關(guān)鍵，關(guān)注學(xué)生的綜合能力、創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)，教師要引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注知識(shí)體系的構(gòu)建，注重基礎(chǔ)性知識(shí)、方法的獲取，并且要充分培育學(xué)生的實(shí)際問(wèn)題解決能力，促使學(xué)生能更好地應(yīng)對(duì)新高考要求.［2］

數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有很強(qiáng)的邏輯性，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該特別關(guān)注學(xué)生的邏輯思維能力發(fā)展情況，改變以往學(xué)生由于數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知不足而出現(xiàn)的問(wèn)題.很多高中生面對(duì)高度抽象的數(shù)學(xué)課程，會(huì)出現(xiàn)畏懼心理，加上高考中容易出現(xiàn)緊張心理，發(fā)揮會(huì)更加不穩(wěn)定.所以在新高考下，高中數(shù)學(xué)教師不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，更要培育學(xué)生的實(shí)際問(wèn)題解決能力，同時(shí)教師還要做好學(xué)生的心理承受力培養(yǎng)，指引學(xué)生更加沉穩(wěn)地處理數(shù)學(xué)問(wèn)題.

2 化歸思想的內(nèi)涵

化歸思想是高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用相對(duì)比較廣的一種手段，其強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)該在已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上，通過(guò)特殊的轉(zhuǎn)變方式，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單、基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣可以很好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解題效率.［3］

化歸思想是貫穿于整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)知識(shí)本身具有極強(qiáng)的抽象性，知識(shí)體系緊密關(guān)聯(lián)，大部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題都能做到從難到易的轉(zhuǎn)變.化歸思想則是幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的重要工具，其本身對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有很高要求，所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以此更好地將化歸思想融入數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，便于學(xué)生應(yīng)用自身所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

高中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)過(guò)程中，不能只關(guān)注學(xué)生的解題數(shù)量，更要注重學(xué)生本身的解題思維能力的發(fā)展.化歸思想本身是一個(gè)實(shí)用性極強(qiáng)的解題思維，其在方程計(jì)算、函數(shù)、數(shù)列等問(wèn)題中有很多應(yīng)用，化歸思想具有直觀、形象的特征，能讓學(xué)生更加準(zhǔn)確地處理問(wèn)題.如空間幾何類的習(xí)題中涉及高維幾何問(wèn)題，這些問(wèn)題對(duì)學(xué)生本身的空間想象力有很高要求，學(xué)生即便具有良好的空間想象力，在做題時(shí)依舊需要耗費(fèi)大量的時(shí)間及精力.［4］對(duì)此教師就可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)化歸思想，實(shí)現(xiàn)高維幾何問(wèn)題向低維幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)變，使得學(xué)生能順利地完成解題.

化歸思想的核心在于將未知化成已知、將復(fù)雜化成簡(jiǎn)單、將陌生化成熟悉，讓學(xué)生能根據(jù)自己已經(jīng)掌握的知識(shí)、條件進(jìn)行問(wèn)題處理.

3 高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用化歸思想的原則

高中數(shù)學(xué)教師引領(lǐng)學(xué)生利用化歸思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，還應(yīng)該堅(jiān)持相應(yīng)的原則，以更好地發(fā)揮化歸思想作用.［5］

首先是熟悉化原則.面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)練習(xí)題，為了確保學(xué)生具備良好的解題思路，找準(zhǔn)解題方向，教師就需要指引學(xué)生通過(guò)科學(xué)的方式來(lái)降低數(shù)學(xué)問(wèn)題難度.在化歸思想下，教師引領(lǐng)學(xué)生堅(jiān)持熟悉化原則，實(shí)現(xiàn)陌生問(wèn)題向熟悉內(nèi)容的轉(zhuǎn)變，然后要求學(xué)生以自身所學(xué)的知識(shí)為對(duì)照，對(duì)熟悉、陌生的問(wèn)題進(jìn)行類比，找出兩者的異同，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的順利解決.

其次是簡(jiǎn)單化原則.有的高中數(shù)學(xué)題看起來(lái)十分繁雜，題目中羅列有很多條件，而出題人也會(huì)對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行復(fù)雜化處理，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的考查.對(duì)于這類問(wèn)題，教師可以指引學(xué)生利用化歸思想，堅(jiān)持簡(jiǎn)單化原則，對(duì)數(shù)學(xué)題目進(jìn)行拆解，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成多個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)抽象問(wèn)題向直觀問(wèn)題的轉(zhuǎn)變，然后讓學(xué)生對(duì)各個(gè)層次的簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行梳理，得出問(wèn)題的最終答案.

最后是堅(jiān)持正難則反原則.高中階段的數(shù)學(xué)問(wèn)題復(fù)雜程度比較高，有的問(wèn)題可以利用化歸思想中的簡(jiǎn)化原則進(jìn)行處理，但是也有的問(wèn)題存在難以轉(zhuǎn)變成熟悉知識(shí)的情況.在這種情況下，教師就可以指引學(xué)生堅(jiān)持化歸思想中的“正難則反”原則，反向?qū)?wèn)題展開(kāi)討論，借助逆向思維思考并處理問(wèn)題，特別是在處理“不存在、至少”等問(wèn)題時(shí)，通過(guò)反向思考對(duì)“存在、至多”進(jìn)行考慮，能獲得意想不到的效果.［6］

4 高中數(shù)學(xué)解題中化歸思想的應(yīng)用策略

高中數(shù)學(xué)教師在解題中引領(lǐng)學(xué)生積極地應(yīng)用化歸思想，可以更好地整理數(shù)學(xué)知識(shí)脈絡(luò)，讓學(xué)生能準(zhǔn)確找到數(shù)學(xué)知識(shí)的相互關(guān)聯(lián)，高效推進(jìn)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，促進(jìn)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維的形成，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同步提升.［7］

4.1 動(dòng)靜轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，動(dòng)、靜之間的轉(zhuǎn)化屬于化歸思想最常見(jiàn)的應(yīng)用表現(xiàn)，尤其是在函數(shù)解題中，通過(guò)函數(shù)將生活中的變量關(guān)系反映出來(lái)，實(shí)現(xiàn)對(duì)事物的運(yùn)動(dòng)、變化規(guī)律進(jìn)行研究.在函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)中，教師需要指引學(xué)生對(duì)變量的關(guān)系進(jìn)行深度分析，并借助化歸思想實(shí)現(xiàn)靜態(tài)問(wèn)題向動(dòng)態(tài)問(wèn)題的轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生能從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)解決函數(shù)問(wèn)題，提升學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.［9］

例如 在對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)涉及比較大小的題目，教師指引學(xué)生掌握化歸思想可以更加輕松地處理這類問(wèn)題，借助化歸思想實(shí)現(xiàn)動(dòng)靜轉(zhuǎn)化，能在很大程度上簡(jiǎn)化題目的難度，讓學(xué)生快速掌握函數(shù)解題方法，尤其是在處理選擇、填空等問(wèn)題時(shí)，能讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)得出正確答案，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心.

4.2 等價(jià)與非等價(jià)轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用化歸思想時(shí)，還會(huì)涉及等價(jià)轉(zhuǎn)化、非等價(jià)轉(zhuǎn)化的情況.在等價(jià)轉(zhuǎn)化過(guò)程中，學(xué)生需要全面了解問(wèn)題的前因后果，確保轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)確性.一般來(lái)說(shuō)處理立體幾何問(wèn)題時(shí)，針對(duì)對(duì)稱、翻折等問(wèn)題，教師可以指引學(xué)生利用曲直轉(zhuǎn)化的方式，把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)變成平面問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)快速準(zhǔn)確地解題.

例1 直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠BCA =90°，A1B1的中點(diǎn)是M，A1C1的中點(diǎn)是N，如果CC1 = CA =BC，求BM與AN所成角的余弦值.

在本題中，如果學(xué)生直接從正面展開(kāi)求解，會(huì)出現(xiàn)沒(méi)有解題思路的情況.對(duì)此教師指引學(xué)生對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，嘗試將直三棱柱轉(zhuǎn)變成正方體，然后通過(guò)向量法對(duì)異面直線夾角進(jìn)行求解.根據(jù)題目中的信息，對(duì)直三棱柱進(jìn)行補(bǔ)充，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)是2，可以得出A、B、M、N等幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后寫(xiě)出向量BM、AN的坐標(biāo)，通過(guò)向量知識(shí)求出向量BM與向量AN的夾角余弦值.

教師引領(lǐng)學(xué)生利用化歸思想進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，需要保持邏輯的準(zhǔn)確性，如函數(shù)定義域及值域求解，需要結(jié)合其概念，轉(zhuǎn)變成不等式組，針對(duì)方程根的分布，對(duì)不等式進(jìn)行求解.

4.3 一般和特殊轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)解題中，有一些難度比較高的問(wèn)題需要做到特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化，借助特殊值、特殊情況完成解題.在解題過(guò)程中學(xué)生應(yīng)該綜合考慮自身已經(jīng)獲取的數(shù)學(xué)知識(shí)，并分析一般條件、特殊條件，進(jìn)行針對(duì)性轉(zhuǎn)變.一般情況是對(duì)特殊情況進(jìn)行深度總結(jié)及概括，具有較強(qiáng)的普遍性，高中生在解題中可以對(duì)數(shù)學(xué)題目進(jìn)行分析，找出特殊情況，在特殊基礎(chǔ)上開(kāi)展一般化總結(jié).

例2? 函數(shù)f（x）=x2+x， x≤0，ax2+bx，x＞0是奇函數(shù)，試求直線x=0，y=x與函數(shù)F（x）=bx+3ax上任意點(diǎn)P的切線所形成的圖形面積大小.

在本題中，結(jié)合題目給出的條件可以知道，坐標(biāo)系圍成的圖形面積是一定的，與P點(diǎn)位置關(guān)系關(guān)聯(lián)不大.對(duì)此，可以去掉P點(diǎn)，確定其特殊位置，然后結(jié)合函數(shù)式中的a與b的值完成求解.整個(gè)解題環(huán)節(jié)利用化歸思想，做到特殊與一般的轉(zhuǎn)化，使得解題過(guò)程更加簡(jiǎn)單，學(xué)生也可以利用自身學(xué)到的知識(shí)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單化的處理，促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)信息提取分析能力，有助于學(xué)生掌握多元化的解題方式，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率提升有良好幫助.

4.4 精簡(jiǎn)解題過(guò)程

高中生在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，教師還要指引學(xué)生善于思考，通過(guò)合理的思維及方式，對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行精簡(jiǎn)，優(yōu)化學(xué)生的解題過(guò)程.

例3 已知直線L：x12+y8=1，P是直線L上的一個(gè)點(diǎn).橢圓x224+y216=1，點(diǎn)R是OP與橢圓的交點(diǎn)，同時(shí)點(diǎn)Q在OP中滿足OQ·OP=OR2，如果P在直線L上移動(dòng)，試求出點(diǎn)Q的軌跡方程.

在本題中，學(xué)生需要具有明確的解題思路，如果學(xué)生先根據(jù)題意，假設(shè)出P、R、Q三點(diǎn)坐標(biāo)，使用三點(diǎn)共線條件分析三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，然后依據(jù)題意得出關(guān)于x、y的方程，再進(jìn)行后續(xù)解題.這樣的解題過(guò)程會(huì)十分復(fù)雜，同時(shí)有大量的計(jì)算，學(xué)生有可能出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的情況.對(duì)此教師就可以引領(lǐng)學(xué)生挖掘題目中的隱含條件，對(duì)原題進(jìn)行化簡(jiǎn).結(jié)合題目中OQ·OP=OR2的信息可知，三條線段呈等比數(shù)列形式，利用化歸思想，將二維數(shù)學(xué)題轉(zhuǎn)變成平面問(wèn)題，進(jìn)行解答.

假設(shè)P、R、Q三點(diǎn)坐標(biāo)是（xp，yp）、（xR，yR）、（x，y），

當(dāng)x、y不同時(shí)為0，P點(diǎn)不在y軸，點(diǎn)R在橢圓上，

依據(jù)O、Q、R三點(diǎn)共線得出

x2R24+y2R16=1，xRyR=yxx2R=48x22x2+3y2，y2R=48y22x2+3y2，

點(diǎn)P在直線L上，同時(shí)O、Q、P三點(diǎn)共線，

得出xp12+yp8=1，ypxp=yxxp=24x2x+3y，yp=24y2x+3y.

.若P點(diǎn)位于y軸，以上皆成立.

結(jié)合OQ·OP=OR2，

得出x2+y2·x2p+y2p=（x2R+y2R）2，

代入上兩個(gè)式子中，

化簡(jiǎn)得出24x2（x2+y2）2（2x+3y）2=48（x2+y2）2x2+3y2，

由于x與xp同號(hào)，或y與yp同號(hào)，

同時(shí)2x+3y＞0，

從而得出Q點(diǎn)的軌跡方程是

（x－1）252+（y－1）253=1.

高中數(shù)學(xué)教師在引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，如果遇到復(fù)雜的問(wèn)題，難以按照常規(guī)思路進(jìn)行解題，那么就可以從化歸的角度入手，對(duì)復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單化處理，這樣學(xué)生更容易找到解題思路，學(xué)生的解題能力也會(huì)因此得到提升.

5 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，新高考背景下，在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用化歸思想，可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題方式進(jìn)行創(chuàng)新，實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)為繁，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題用形象化的方式表現(xiàn)出來(lái).在化歸思想指引下，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題活動(dòng)會(huì)更加輕松，并且學(xué)生能做到綜合運(yùn)用各種知識(shí)解決問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)解題質(zhì)量提升有極大幫助.

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