吳越

平移、軸對稱、旋轉是圖形變換的三種基本形式.二次函數(shù)的圖象也有這三種變換形式.二次函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、對稱與旋轉變換后，圖象的位置會發(fā)生變化，從而也會引起解析式的變化.那么如何求圖象變換后函數(shù)的解析式呢？由于函數(shù)圖象是由點構成的，函數(shù)圖象位置的變化實質上就是圖象上點的位置的變化，而坐標決定點的位置，因此求圖象變換后的二次函數(shù)的解析式，只要求出變換后的圖象的某些點的坐標即可.

一、平移變換

拋物線的平移實質就是頂點的平移，二次項的系數(shù)不會改變，所以解題時先利用配方法將解析式化成頂點式，確定其頂點坐標，然后作出二次函數(shù)的圖象進行平移，平移的變化規(guī)律可以歸納為以下幾種：

1.上下平移

當拋物線 y =a（x - b）2+c 往下平移 k 個單位后（k >0），所得的拋物線的解析式為 y =a（x -b）2+c -k；當拋物線 y =a（x - b）2+c 往上平移 k個單位后（k >0），所得的拋物線的解析式為y =a（x - b）2+c +k.

2.左右平移

當拋物線 y =a（x - b）2+c 向右平移 k 個單位后（k >0），所得的拋物線的解析式為 y =a（x -b -k）2+c；當拋物線 y =a（x - b）2+c 向左平移 k個單位后（k >0），所得的拋物線的解析式為y =a（x - b +k）2+c.

例1將拋物線 y =-x2向左平移一個單位，接著再將其向上平移3個單位，最終可得到的二次函數(shù)解析式為（?? ）.

A. y =-（x +1）2+3? B. y =-（x -1）2+3

C. y =-（x +1）2-3? D. y =（x -1）2+3

解析：首先將拋物線y =-x2向左平移1個單位得到解析式 y =-（x +1）2，然后再將其向上平移3個單位后得到解析式y(tǒng) =-（x +1）2+3，因此本題正確答案為A項.

例2

解析：

二、對稱變換

二次函數(shù)圖象的對稱變換包括關于x軸對稱、y軸對稱、原點對稱、頂點對稱、任意點對稱五類.對稱變換后拋物線的解析式隨對稱中心的不同而不同，可以用一般式或頂點式表達：

1.關于 x 軸對稱

y = ax2 + bx + c 關于 x 軸對稱的函數(shù)解析式是 y = - ax2 - bx - c；

y = a（x - h）2 +k 關于 x 軸對稱的函數(shù)解析式是 y = - a（x - h）2 - k；

2.關于 y 軸對稱

y = ax2 + bx + c 關于 y 軸對稱的函數(shù)解析式是 y = ax2 - bx + c；

y = a（x - h）2 + k 關于 y 軸對稱的函數(shù)解析式是 y = a（x + h）2 + k；

3.關于原點對稱

y = ax2 + bx + c 關于原點對稱的函數(shù)解析式是 y = - ax2 + bx - c；

y = a（x - h）2 +k 關于原點對稱的函數(shù)解析式是 y = - a（x + h）2 -k；

4.關于頂點對稱

y =ax2+ bx +c 關于頂點對稱的函數(shù)解析式是 y =ax2- bx +c -；

y =a（x -h）2+k 關于頂點對稱的函數(shù)解析式是 y =-a（x -h）2+k；

5.關于任意點對稱

y =a（x -h）2+k 關于任意點（m，n）對稱的函數(shù)解析式是 y =-a（x +h -2m）2+2n +k

例3在平面直角坐標系中，拋物線 y = x2-4x +5與y 軸相交于點 C ，則該拋物線關于點 C 對稱的拋物線的表達式為（? ） .

A. y =-x2-4x +5 B. y =x2+4x +5

C. y =-x2+4x -5 D. y =-x2-4x -5

解析：先求出C 點坐標，當 x =0時，y =5，所以 C 點坐標為（0，5），設新拋物線上的點的坐標為（x，y），因為原拋物線與新拋物線關于點 C 對稱，由2×0-x =-x，2×5-y =10-y，所以對應的原拋物線上點的坐標是（-x， 10-y），代入原拋物線解析式可得：10-y =（-x）2-4×（-x）+5，得出 y =-x2-4x +5，故選 A項．

例4? 求拋物線 y =-x +2x +3關于原點 O 對稱的拋物線的解析式.

解析：因為點P（1，4）關于原點 O 的對稱點為 P（-1，-4），而且拋物線 y =-x2+2x +3關于原點 O 對稱的過程中開口方向由向下變?yōu)橄蛏?，所以所求拋物線的解析式為 y =（x +1）2-4，即 y =x2+2x -3.

三、旋轉變換

二次函數(shù)圖象的旋轉問題由于受限于函數(shù)這一前提，故只能將二次函數(shù)圖象旋轉180°.拋物線繞某點旋轉180°，即關于某點中心對稱.已知點（- m，k）關于原點的對稱點為（m，-k），所以拋物線 y =a（x + m）2+k 繞原點旋轉180°后所得的拋物線為 y =-a（x - m）2-k.圖象旋轉后形狀不變，開口方向和頂點坐標均改變.若拋物線繞頂點旋轉180°，則拋物線的形狀、頂點坐標不變，只是改變了拋物線的開口方向.故只需將原拋物線的解析式配成頂點式，然后改變“ a ”的符號即可.

例5當二次函數(shù)解析式 y =x2-2x +3繞原點旋轉180°，最終所呈現(xiàn)出的函數(shù)圖象解析式是__________.

解析：將拋物線 y =x2-2x +3化簡成 y =（x -1）2+2，可以得出頂點坐標是（1，2），將此點圍繞原點旋轉180°之后可以獲得新的頂點坐標（-1，-2），因此本題所求的二次函數(shù)圖象的解析式是 y =-（x +1）2-2.

例6在平面直角坐標系中，把一條拋物線先向上平移3個單位長度，然后繞原點旋轉180°得到拋物線 y =x2+5x +6，則原拋物線的解析式是（? ） .

A. y =-（x -）2-? B. y =-（x +）2-

C. y =-（x -）2-? D. y =-（x +）2+

解析：可先求出繞原點旋轉180°的拋物線的解析式，再求出向下平移3個單位長度的解析式.因為拋物線的解析式為 y =x2+5x +6，所以繞原點旋轉180°變?yōu)?y =-x2+5x -6，即y =-（x -）2+ ，然后向下平移3個單位長度的解析式為y =-（x -）2+ -3=-（x -）2-．故選 A項．

以二次函數(shù)為背景的幾何圖形的變換問題是近年來各地中考的熱點問題.解答此類問題時，要抓住函數(shù)圖象變換中變與不變的因素，理清點的坐標變化、函數(shù)圖象變化、函數(shù)解析式變化之間的關系，從而找到解題的突破口，提升解答函數(shù)問題的能力.