法 林,劉棟寧,梁 蕊,王寶妮,王藝美,史貴全,李玉霞,趙梅山

(1.西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院,陜西 西安 710121;2.西安翻譯學(xué)院 信息工程學(xué)院,陜西 西安 710105;3.中國(guó)石油集團(tuán)測(cè)井有限公司,陜西 西安 710061;4.芝加哥大學(xué)詹姆斯·弗蘭克研究所化學(xué)系,美國(guó) 伊利諾伊州 60637)

壓電換能器是一種利用壓電效應(yīng)實(shí)現(xiàn)聲能和電能之間相互轉(zhuǎn)換的器件,被廣泛應(yīng)用于多種不同的領(lǐng)域中,例如,材料學(xué)科中的無(wú)損檢測(cè)[1-4]、工程學(xué)科中的超聲清洗[5-6]、食品行業(yè)的超聲殺菌[7-9]和電子工程學(xué)科的無(wú)線通信[10-12]等。換能器的瞬態(tài)響應(yīng)是衡量聲波質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo),對(duì)換能器的瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行研究是準(zhǔn)確反演介質(zhì)信息以及提高聲學(xué)測(cè)量質(zhì)量最基本的前提。

在以往的聲學(xué)測(cè)量中,由于其復(fù)雜性,通常忽略激勵(lì)信號(hào)與換能器能量轉(zhuǎn)換的影響。如在聲波測(cè)井和地震勘探領(lǐng)域中,人們通常使用理想模型描述聲源信號(hào)[13-15]。在描述反演介質(zhì)特性時(shí),研究者通常會(huì)忽略換能器聲-電轉(zhuǎn)換的影響。由于換能器的機(jī)-電等效電路與激勵(lì)信號(hào)頻率有關(guān),激勵(lì)信號(hào)不同,換能器的機(jī)-電等效電路不同,測(cè)量聲信號(hào)也不同,所以,不能忽略激勵(lì)信號(hào)與換能器能量轉(zhuǎn)換對(duì)測(cè)量聲信號(hào)的影響。

考慮到激勵(lì)信號(hào)與換能器能量轉(zhuǎn)換對(duì)測(cè)量聲信號(hào)的影響,擬研究厚度極化薄圓片壓電換能器的瞬態(tài)響應(yīng)。在經(jīng)典壓電換能器的機(jī)-電等效電路中引入輻射阻和輻射質(zhì)量這兩個(gè)力學(xué)變量,建立厚度極化薄圓片壓電換能器的機(jī)-電等效電路,推導(dǎo)該壓電換能器的電-聲/聲-電沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)?？紤]到輻射阻和輻射質(zhì)量與頻率有關(guān),且在大多數(shù)聲學(xué)測(cè)量過(guò)程中,激勵(lì)換能器的電/聲信號(hào)是包含許多頻率分量的信號(hào)子波,進(jìn)而將聲學(xué)測(cè)量過(guò)程等效為一個(gè)并行傳輸網(wǎng)絡(luò)模型。在此基礎(chǔ)上對(duì)單頻與多頻信號(hào)激勵(lì)下?lián)Q能器的瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行仿真與分析,測(cè)量聲信號(hào)受到激勵(lì)信號(hào)與能量轉(zhuǎn)換的影響。

1 理論模型

圖1為沿厚度方向極化的厚度極化薄圓片壓電換能器模型示意圖。圖中,l和r分別為薄圓片換能器的厚度與半徑。由于該換能器的厚度遠(yuǎn)小于和厚度垂直的徑向尺寸,厚度方向的固有頻率遠(yuǎn)大于徑向方向的振動(dòng)頻率,所以,在厚度方向?qū)ΡA片壓電換能器施加電場(chǎng)時(shí),可以近似認(rèn)為壓電換能器在與極化方向垂直的徑向方向上來(lái)不及形變,處于夾持狀態(tài),只有沿厚度方向的應(yīng)變不等于零。該換能器縱向壓電方程[16]可以表示為

圖1 厚度極化薄圓片壓電換能器模型示意圖

TZZ=CZZSZZ-hZZDZ

(1)

EZ=-hZZSZZ+βZZDZ

(2)

式中:TZZ表示沿厚度方向作用于換能器圓面的應(yīng)力;EZ與DZ分別表示換能器厚度方向的電場(chǎng)強(qiáng)度分量和電位移分量;SZZ表示換能器在形變前后沿厚度方向的相對(duì)改變量;CZZ為沿厚度方向的彈性剛度常數(shù)分量,表示當(dāng)SZZ發(fā)生單位變化時(shí),TZZ的改變量;βZZ為沿厚度方向的介電隔離率分量,表示當(dāng)DZ發(fā)生單位變化時(shí),EZ的改變量;hZZ為沿厚度方向的壓電勁度常數(shù)分量,表示DZ發(fā)生單位變化時(shí),TZZ的改變量,或者表示SZZ發(fā)生單位變化時(shí),EZ的改變量。

假設(shè)薄圓片換能器的絕緣性能良好,不存在自由電荷,則沿厚度方向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程[16]可以表示為

(3)

式中:ρ表示換能器的密度;uZ表示厚度方向的質(zhì)點(diǎn)位移分量;t表示時(shí)間;Z表示換能器沿厚度方向的變化量。

薄圓片體積為

V0=πr2l

則式(3)兩邊同時(shí)乘以薄圓片體積V0,可得

(4)

式中,m表示薄圓片壓電換能器的質(zhì)量。

當(dāng)換能器工作在耦合液體中時(shí),其受到的合外力F包含聲場(chǎng)的反作用力Fr以及耦合液體的粘滯性引起的摩擦阻力Ff兩個(gè)部分,則在時(shí)刻t,Fr、Ff和F的計(jì)算表示式分別為

(5)

(6)

(7)

式中:Rm表示摩擦力阻,其大小與換能器振動(dòng)表面和耦合液體的接觸面積大小有關(guān);i為虛數(shù)單位;Rr表示換能器的輻射阻;Xr表示換能器的輻射抗。

換能器的輻射阻Rr和換能器的輻射抗Xr的計(jì)算表示式分別為

式中:ρ0表示耦合介質(zhì)的密度;c0表示耦合介質(zhì)中的聲速;k表示耦合介質(zhì)中的聲波波數(shù);S0表示聲源表面積。

因?yàn)閾Q能器的半徑r遠(yuǎn)大于厚度l且側(cè)面處于夾持狀態(tài),只有換能器的兩個(gè)電極面產(chǎn)生振動(dòng),所以,聲源表面積可以近似表示為

S0=2πrl+2πr2≈2πr2

當(dāng)驅(qū)動(dòng)電信號(hào)激勵(lì)換能器時(shí),除了受到自身產(chǎn)生的應(yīng)力外,還受到合外力F的作用,其運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

(8)

聯(lián)立式(1)與式(2)得

(9)

將式(9)代入式(8),可得

(10)

薄圓片壓電換能器滿足幾何方程

(11)

將式(11)代入式(10)中,得到時(shí)刻t薄圓片壓電換能器在耦合液體中振動(dòng)時(shí)的狀態(tài)方程為

(12)

若薄圓片壓電換能器的質(zhì)點(diǎn)沿厚度方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng),則質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻沿Z方向的位移可以表示為

uZ=u0ei(ωt-kZ)

(13)

式中:u0表示質(zhì)點(diǎn)的初始位移;ω表示角頻率。

將式(13)代入到式(12)中,得到時(shí)刻t薄圓片壓電換能器沿厚度方向的質(zhì)點(diǎn)位移表達(dá)式為

(14)

式中:Cm表示換能器的機(jī)械柔順性;mr表示換能器的輻射質(zhì)量。Cm和mr的計(jì)算表達(dá)式分別為

根據(jù)高斯定理,薄圓片換能器每個(gè)電極上的總電荷可以表示為

Q=?DZdA=DZπr2

(15)

式中,A表示換能器某一電極面的面積,表達(dá)式為

A=πr2

聯(lián)立式(2)和式(11)可得

(16)

時(shí)刻t的瞬時(shí)電流表達(dá)式為

(17)

式中:C0表示壓電換能器的靜電容;V表示施加在薄圓片換能器正負(fù)電極之間的電壓;φ表示壓電換能器的機(jī)電轉(zhuǎn)換系數(shù)。C0、V和φ的計(jì)算表示式分別為

根據(jù)瞬時(shí)電流表達(dá)式建立換能器的機(jī)-電等效電路圖。換能器的時(shí)域機(jī)-電等效電路如圖2所示。換能器的s域機(jī)-電等效電路如圖3所示。

圖2 換能器的時(shí)域機(jī)-電等效電路

圖3 換能器的s域機(jī)-電等效電路

圖2(a)與圖2(b)分別為發(fā)射換能器和接收換能器的時(shí)域機(jī)-電等效電路圖,圖3(a)與圖3(b)分別為發(fā)射換能器和接收換能器的s域機(jī)-電等效電路圖。圖2中,U1(t)表示時(shí)刻t的驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào),v(t)表示時(shí)刻t換能器表面的質(zhì)點(diǎn)位移速度,Ro為輸出電阻,U3(t)表示時(shí)刻t接收換能器電端的輸出電壓信號(hào),Ri表示輸入電阻。圖3中,s表示復(fù)頻率,U1(s)、v(s)以及U3(s)分別表示時(shí)刻t換能器的s域驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)、質(zhì)點(diǎn)位移速度以及輸出電壓信號(hào)。

與常規(guī)電路不同的是,換能器機(jī)-電等效電路圖中的輻射阻、輻射質(zhì)量的值均為頻率的函數(shù)。根據(jù)圖3(a)發(fā)射換能器s域機(jī)-電等效電路和基爾霍夫定律[17],可得

U1(s)=V(s)+I(s)Ro

(18)

I(s)=I1(s)+I2(s)=φv(s)+sC0V(s)

(19)

式中:I(s)、I1(s)和I2(s)分別表示圖3(a)不同支路上的s域電流;V(s)表示換能器正負(fù)電極之間的s域電壓。

將換能器的電-聲轉(zhuǎn)換系統(tǒng)函數(shù)定義為換能器s域表面振動(dòng)速度v(s)與驅(qū)動(dòng)電壓U1(s)的比值,即

(20)

式中,R1=φV(s)/v(s)=s(m+mr)+(Rm+Rr)+1/sCm。

為了便于計(jì)算,令

則可以將式(20)化簡(jiǎn)為

(21)

根據(jù)留數(shù)定理[18],討論和求解發(fā)射換能器可能出現(xiàn)的3種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的電-聲沖激響應(yīng)方程組為

(22)

式中,

當(dāng)換能器處于過(guò)阻尼模式D<0和臨界阻尼模式D=0時(shí),電-聲沖激響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律呈非周期性衰減,不會(huì)向外輻射聲波。當(dāng)換能器處于振蕩模式D>0時(shí),電-聲沖激響應(yīng)由一個(gè)按指數(shù)規(guī)律衰減的直流項(xiàng)和一個(gè)振蕩頻率為f1s=ω1s/2π的阻尼正弦波組成,此時(shí),換能器在驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)激勵(lì)下,會(huì)向外輻射聲波,是符合實(shí)際物理意義的解。

式(21)絕對(duì)可積,存在關(guān)系s=iω,則換能器的電-聲轉(zhuǎn)換系統(tǒng)函數(shù)可以被重寫(xiě)為

(23)

換能器聲-電轉(zhuǎn)換是電-聲轉(zhuǎn)換的逆過(guò)程,采用與發(fā)射換能器電-聲沖激響應(yīng)類(lèi)似的求解方法,得到在振蕩模式下,接收換能器t時(shí)刻的聲-電沖激響應(yīng)h3(t)和系統(tǒng)函數(shù)H3(iω)分別為

(24)

(25)

其中,

2 仿真與分析

在接下來(lái)的討論和計(jì)算中,選擇密度為856 kg/m、聲速為1 424 m/s的變壓器油作為換能器周?chē)鸟詈辖橘|(zhì),壓電材料選擇壓電元件(Piezoelectric Elements, PZT)PZT-5H,換能器的壓電參數(shù)和幾何參數(shù)如表1所示[16],使用Matlab進(jìn)行仿真模擬。

表1 換能器的壓電參數(shù)和幾何參數(shù)

定義系統(tǒng)函數(shù)最大幅值處對(duì)應(yīng)的頻率是中心頻率。根據(jù)式(23)與式(25)進(jìn)行計(jì)算得到,發(fā)射換能器有負(fù)載時(shí)的中心頻率為f1d=1.000 575 MHz,接收換能器有負(fù)載時(shí)的中心頻率為f3d=1.005 189 MHz,發(fā)射換能器無(wú)負(fù)載時(shí)的中心頻率f10=1.001 409 MHz,接收換能器無(wú)負(fù)載時(shí)的中心頻率f30=1.006 017 MHz。

發(fā)射換能器和接收換能器的振蕩角頻率為式(23)與式(25)中的ω1s和ω3s,則振蕩頻率為f1s=ω1s/2π和f3s=ω3s/2π。經(jīng)過(guò)計(jì)算,發(fā)射換能器無(wú)機(jī)械負(fù)載時(shí)的振蕩頻率為f1s0=1.002 307 MHz,接收換能器無(wú)機(jī)械負(fù)載時(shí)的振蕩頻率為f3s0=1.006 000 MHz。在有機(jī)械負(fù)載時(shí),換能器的振蕩頻率fsd隨施加在換能器上的正弦信號(hào)頻率f的增加而逐漸趨近于空載中心頻率,負(fù)載振蕩頻率與激勵(lì)信號(hào)頻率關(guān)系的仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 負(fù)載振蕩頻率與激勵(lì)信號(hào)頻率關(guān)系的仿真結(jié)果

2.1 換能器電-聲/聲-電沖激響應(yīng)

考慮到機(jī)-電等效電路圖2中的輻射阻和輻射質(zhì)量均為頻率的函數(shù),使用空載情況下發(fā)射換能器沖激響應(yīng)的時(shí)域最大值h10max和頻域最大值H10max對(duì)h1和H1n進(jìn)行歸一化處理,令

則發(fā)射換能器的電-聲沖激響應(yīng)仿真結(jié)果如圖5所示。其中,圖5(a)為發(fā)射換能器沖激響應(yīng)歸一化時(shí)域圖,圖5(b)為發(fā)射換能器沖激響應(yīng)歸一化幅度譜。

圖5 發(fā)射換能器的電-聲沖激響應(yīng)仿真結(jié)果

采用空載情況下接收換能器沖激響應(yīng)的時(shí)域最大值h30max和頻域最大值H30max對(duì)h3和H3進(jìn)行歸一化處理,令

則歸一化處理后接收換能器的聲-電沖激響應(yīng)仿真結(jié)果如圖6所示。其中,圖6(a)為接收換能器的歸一化時(shí)域圖,圖6(b)為接收換能器的歸一化幅度譜。

圖6 接收換能器的聲-電沖激響應(yīng)仿真結(jié)果

從圖5(a)和圖6(a)可以看出,換能器沖激響應(yīng)的幅值隨激勵(lì)信號(hào)頻率的增大而減小。從圖5(b)和圖6(b)可以看出,換能器在無(wú)機(jī)械負(fù)載時(shí)的沖激響應(yīng)中心頻率不隨信號(hào)頻率的變化而變化;換能器在有機(jī)械負(fù)載時(shí)的沖激響應(yīng)中心頻率隨信號(hào)頻率的增大而增大,并逐漸趨近于換能器空載中心頻率。另外,還可以看出,電-聲沖激響應(yīng)幅度譜帶寬比聲-電沖激響應(yīng)幅度譜帶寬要寬,即與發(fā)射換能器對(duì)驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)遠(yuǎn)離中心頻率的頻率分量的濾波作用相比,聲-電轉(zhuǎn)換對(duì)接收聲信號(hào)遠(yuǎn)離中心頻率的頻率分量有更強(qiáng)的濾波作用。

2.2 正弦電信號(hào)激勵(lì)下?lián)Q能器輻射的聲信號(hào)

選擇幅度為1 V,頻率分別為0.1f1d、0.5f1d、1f1d和1.3f1d的正弦驅(qū)動(dòng)信號(hào)激勵(lì)發(fā)射換能器,換能器振動(dòng)速度v的幅度譜為VF,使用振動(dòng)速度時(shí)域最大值vmax和頻域最大值VFmax分別對(duì)v和VFn進(jìn)行歸一化處理,令

則正弦信號(hào)激勵(lì)下?lián)Q能器輻射聲信號(hào)歸一化時(shí)域圖vn和歸一化幅度譜VFn的仿真結(jié)果分別如圖7和圖8所示。從圖7和圖8的仿真結(jié)果來(lái)看,在正弦驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)激勵(lì)下,換能器輻射聲波信號(hào)會(huì)經(jīng)歷一個(gè)靜止?fàn)顟B(tài)到穩(wěn)態(tài)正弦振動(dòng)的瞬態(tài)過(guò)程,幅度譜由穩(wěn)態(tài)過(guò)程對(duì)應(yīng)的脈沖與瞬態(tài)過(guò)程對(duì)應(yīng)的平滑振幅曲線兩部分組成。當(dāng)正弦驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)頻率等于負(fù)載中心頻率時(shí),發(fā)射換能器與正弦驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)發(fā)生共振,電-聲轉(zhuǎn)換效率最高,換能器電-聲轉(zhuǎn)換的頻譜與驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)頻譜疊加在負(fù)載中心頻率處。當(dāng)正弦驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)頻率遠(yuǎn)離,即大于或小于換能器負(fù)載中心頻率時(shí),輻射聲信號(hào)的幅值變小。

圖7 正弦信號(hào)激勵(lì)下?lián)Q能器輻射聲信號(hào)的歸一化時(shí)域圖

圖8 正弦信號(hào)激勵(lì)下?lián)Q能器輻射聲信號(hào)的歸一化幅度譜

2.3 接收換能器輸出端的電信號(hào)

雖然壓電換能器的聲-電轉(zhuǎn)換是電-聲轉(zhuǎn)換的逆過(guò)程,但是,聲-電轉(zhuǎn)換和電-聲轉(zhuǎn)換并不完全相同,下面分兩種情況來(lái)分析和討論換能器的聲-電轉(zhuǎn)換過(guò)程。

2.3.1 正弦聲波信號(hào)激勵(lì)下?lián)Q能器的測(cè)量電信號(hào)

選擇幅度為1 V,頻率分別為0.1f3d、0.5f3d、1f3d和1.3f3d的正弦聲波信號(hào)激勵(lì)接收換能器,分析換能器的聲-電轉(zhuǎn)換過(guò)程。接收換能器輸出端電信號(hào)U3的幅度譜為U3F,采用測(cè)量電信號(hào)時(shí)域最大值U3max和頻域最大值U3Fmax對(duì)U3和U3F進(jìn)行歸一化處理,令

則正弦信號(hào)激勵(lì)下?lián)Q能器測(cè)量電信號(hào)的歸一化時(shí)域圖U3n和歸一化幅度譜U3Fn分別如圖9和圖10所示。

圖9 正弦信號(hào)激勵(lì)下?lián)Q能器測(cè)量電信號(hào)的歸一化時(shí)域圖

圖10 正弦信號(hào)激勵(lì)下?lián)Q能器測(cè)量電信號(hào)的歸一化幅度譜

從圖9和圖10可以看出,與發(fā)射換能器輻射聲波信號(hào)類(lèi)似,接收換能器輸出端的電壓信號(hào)也存在一個(gè)由靜態(tài)過(guò)渡到穩(wěn)態(tài)正弦振動(dòng)的瞬態(tài)過(guò)程。通過(guò)對(duì)比圖7和圖9發(fā)現(xiàn),換能器聲-電轉(zhuǎn)換瞬態(tài)持續(xù)時(shí)間比電-聲轉(zhuǎn)換瞬態(tài)持續(xù)時(shí)間長(zhǎng),這是由于換能器聲-電沖激響應(yīng)幅度譜帶寬比電-聲轉(zhuǎn)換沖激響應(yīng)幅度譜帶寬窄的緣故。

2.3.2 正弦信號(hào)轉(zhuǎn)換后的測(cè)量電信號(hào)

將發(fā)射換能器和接收換能器放置在理想介質(zhì)中,該介質(zhì)的粘度和聲衰減系數(shù)均為0,使發(fā)射換能器和接收換能器相距0.15 m。頻率分別為0.1f1d、0.5f1d、1f1d和1.3f1d的正弦電信號(hào)經(jīng)電-聲轉(zhuǎn)換和聲-電轉(zhuǎn)換后的測(cè)量電信號(hào)歸一化時(shí)域圖和歸一化幅度譜分別如圖11和圖12所示。

圖11 正弦信號(hào)經(jīng)電-聲和聲-電轉(zhuǎn)換后的電信號(hào)歸一化時(shí)域圖

圖12 正弦信號(hào)經(jīng)電-聲和聲-電轉(zhuǎn)換后的電信號(hào)歸一化幅度譜

從圖11和圖12可以看出,當(dāng)正弦驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)的頻率接近發(fā)射-接收換能器綜合頻響特性的中心頻率時(shí),接收換能器輸出端電信號(hào)瞬態(tài)過(guò)程的振蕩周期數(shù)最少,此時(shí),正弦驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)的幅度譜疊加在發(fā)射-接收換能器綜合頻響特性對(duì)應(yīng)的幅度譜上。當(dāng)正弦驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)的頻率遠(yuǎn)離發(fā)射-接收換能器綜合頻響特性的中心頻率時(shí),接收換能器輸出端電信號(hào)從靜止?fàn)顟B(tài)到穩(wěn)定正弦振動(dòng)狀態(tài)的周期數(shù)增加,此時(shí),時(shí)域波形和幅度譜的幅值減小。

2.4 復(fù)頻電壓信號(hào)激勵(lì)換能器

在大多數(shù)聲學(xué)測(cè)量中,激勵(lì)發(fā)射換能器的驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)和到達(dá)接收換能器的聲波信號(hào)都不會(huì)是簡(jiǎn)單的正弦驅(qū)動(dòng)信號(hào),而是復(fù)頻信號(hào)。為此,在研究子波激勵(lì)下?lián)Q能器的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí),同樣不考慮傳媒介質(zhì)對(duì)輻射聲波的影響,認(rèn)為介質(zhì)是理想彈性介質(zhì)。

由于機(jī)-電等效電路中的輻射阻和輻射質(zhì)量與頻率有關(guān),每個(gè)頻率對(duì)應(yīng)其特有的沖激響應(yīng)。利用傅里葉變換,將激勵(lì)信號(hào)分解為不同幅度、頻率和相位的正弦分量,構(gòu)建一種并行傳輸網(wǎng)絡(luò)模型描述換能器的電-聲和聲-電轉(zhuǎn)換過(guò)程。構(gòu)建的并行傳輸網(wǎng)絡(luò)模型如圖13所示。圖中,第Ⅰ部分為發(fā)射換能器的電-聲轉(zhuǎn)換過(guò)程,第Ⅱ部分為聲波的傳播過(guò)程,第Ⅲ部分為接收換能器的聲-電轉(zhuǎn)換過(guò)程。U1(t)表示驅(qū)動(dòng)電信號(hào),U1j為U1(t)的第j(j= 1,2,…,N)個(gè)頻率分量;h1j(t,ωj)表示驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)的第j個(gè)正弦頻率分量對(duì)應(yīng)的電-聲沖激響應(yīng);v1j表示被驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)的正弦分量U1j激勵(lì)時(shí)的質(zhì)點(diǎn)位移速率;v2jk表示將v1j的瞬態(tài)過(guò)程進(jìn)行分解的第k(k= 1,2,…,M)個(gè)頻率分量,即質(zhì)點(diǎn)位移速度的第jk個(gè)頻率分量;v2ωj為v1j的穩(wěn)態(tài)正弦振動(dòng)的頻率分量,與U1j頻率相同;h2jk(t,ωjk)、v3jk、h3jk(t,ωjk)和U3jk分別表示第j個(gè)瞬態(tài)過(guò)渡過(guò)程分解的第k個(gè)頻率分量對(duì)應(yīng)的介質(zhì)的聲脈沖響應(yīng)、到達(dá)接收換能器的質(zhì)點(diǎn)位移速度、聲-電沖激響應(yīng)以及測(cè)量電信號(hào);h2ωj(t,ωj)、v3ωj、h3ωj(t,ωj)和U3ωj分別表示第j個(gè)穩(wěn)態(tài)正弦振動(dòng)對(duì)應(yīng)的介質(zhì)的聲脈沖響應(yīng)、到達(dá)接收換能器的質(zhì)點(diǎn)位移速度、聲-電沖激響應(yīng)以及測(cè)量電信號(hào);U3j為U1j激勵(lì)下的接收換能器電端的電信號(hào),U3(t)表示接收換能器電學(xué)端所有頻率分量的累加。

圖13 并行傳輸網(wǎng)絡(luò)模型

模型中,驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)U1(t)的頻率分量U1j(t)的計(jì)算表達(dá)式為

U1j(t)=|U1F(ωj)|cos[ωjt+φ(ωj)]

(26)

式中:ωj表示角頻率;U1F(ωj)表示幅度譜;φ(ωj)表示相位譜。

時(shí)刻t驅(qū)動(dòng)電信號(hào)U1(t) 的計(jì)算表達(dá)式為

(27)

圖13中的第Ⅰ部分時(shí)刻t第j個(gè)等效電路的輸出可以表示為

v1j(t)=U1j(t)·h1j(t,ωj)

(28)

時(shí)刻t發(fā)射換能器輻射聲信號(hào)的表達(dá)式為

(29)

式中,v1j除了頻率分量fj=ωj/2π外,還包含了與瞬態(tài)過(guò)程相對(duì)應(yīng)的其他的頻率分量。

若傳媒介質(zhì)為理想彈性介質(zhì),則換能器的沖激響應(yīng)可以表示為

h2jk(t,ωjk)≡δ(t-t1)

(30)

式中,t1表示聲波從發(fā)射換能器到接收換能器的傳播時(shí)間。

時(shí)刻t到達(dá)接收器的聲信號(hào)的第jk個(gè)頻率分量可以表示為

v3jk(t)=v2jk(t)·h2jk(t,ωjk)

(31)

將時(shí)刻t第j個(gè)瞬態(tài)過(guò)渡過(guò)程分解為k個(gè)頻率分量,其第k個(gè)頻率分量對(duì)應(yīng)的測(cè)量電信號(hào)表達(dá)式為

U3jk(t)=v3jk(t)·h3jk(t,ωjk)

(32)

圖13第Ⅲ部分中,所有電路的累積輸出,即接收換能器輸出端電信號(hào)子波可以表示為

(33)

選擇幅值為U0、角頻率為ωg及時(shí)間窗為t0的門(mén)選正弦信號(hào)作為發(fā)射換能器的驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào),則時(shí)刻t的該驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)可以表示為

U1(t)=[H(t)-H(t-t0)]U0sin(ωgt)

(34)

式中,H(·)為Heaviside函數(shù)。

驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)頻域表達(dá)式為

(35)

驅(qū)動(dòng)電壓門(mén)選正弦信號(hào)的圖譜如圖14所示。其中,圖14(a)、圖14(b)和圖14(c)分別為驅(qū)動(dòng)電壓正弦信號(hào)的時(shí)域波形、幅度譜和相位譜,ωg=ω1d=2πf1d,t0=6π/ωg,U0=1 V。從圖14(b)可以看出,幅度譜中幅值最大值處對(duì)應(yīng)的頻率略低于驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)頻率,為0.983 2 MHz。

圖14 驅(qū)動(dòng)電壓門(mén)選正弦信號(hào)的圖譜

選擇門(mén)選正弦信號(hào)分解的正弦頻率分量作為獨(dú)立信號(hào)源激勵(lì)發(fā)射換能器,所選頻率為0.4f1d、0.8f1d、1.2f1d和1.6f1d。發(fā)射換能器門(mén)選正弦信號(hào)頻率分量激勵(lì)下輻射聲信號(hào)的質(zhì)點(diǎn)位移速度如圖15所示。

圖15 門(mén)選正弦信號(hào)頻率分量激勵(lì)下的質(zhì)點(diǎn)位移速度

采用門(mén)選正弦信號(hào)所有頻率分量分別激勵(lì)發(fā)射換能器,并將其向外輻射聲波信號(hào)的累加輸出進(jìn)行歸一化處理,門(mén)選正弦信號(hào)激勵(lì)下的歸一化質(zhì)點(diǎn)位移速度如圖16所示。其中,圖16(a)和圖16(b)分別為門(mén)選正弦信號(hào)激勵(lì)下聲波信號(hào)的歸一化質(zhì)點(diǎn)位移時(shí)域圖和歸一化幅度譜。

圖16 門(mén)選正弦信號(hào)激勵(lì)下的歸一化質(zhì)點(diǎn)位移速度

從圖16的仿真結(jié)果可以看出,門(mén)選正弦信號(hào)激勵(lì)下的輻射聲波信號(hào)呈現(xiàn)出穩(wěn)定的周期性振蕩,其中心頻率為0.997 MHz,略低于門(mén)選正弦驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)的中心頻率。

接下來(lái),將討論電信號(hào)激勵(lì)發(fā)射換能器向外輻射聲波,以及聲波在介質(zhì)中傳播后經(jīng)接收換能器轉(zhuǎn)化的測(cè)量電信號(hào)。設(shè)置發(fā)射換能器分別被頻率為0.4f1d、0.8f1d、1.2f1d和1.6f1d的頻率分量激勵(lì),門(mén)選正弦信號(hào)頻率分量激勵(lì)下的測(cè)量電信號(hào)波形如圖17所示。

圖17 門(mén)選正弦信號(hào)頻率分量激勵(lì)下的測(cè)量電信號(hào)

在門(mén)選正弦信號(hào)激勵(lì)條件下,對(duì)接收換能器累加輸出的測(cè)量電信號(hào)進(jìn)行歸一化處理,門(mén)選正弦信號(hào)激勵(lì)條件下的歸一化測(cè)量電信號(hào)圖譜如圖18所示。其中,圖18(a)和圖18(b)分別為接收換能器累加輸出波形的歸一化時(shí)域圖與歸一化幅度譜。

圖18 門(mén)選正弦信號(hào)激勵(lì)下的歸一化測(cè)量電信號(hào)圖譜

通過(guò)對(duì)比圖16與圖18可以發(fā)現(xiàn),在門(mén)選正弦信號(hào)的激勵(lì)下,接收換能器輸出端電信號(hào)的瞬態(tài)過(guò)渡過(guò)程持續(xù)時(shí)間更長(zhǎng),時(shí)域波形更加無(wú)序,相應(yīng)幅度譜帶寬更窄,遠(yuǎn)離接收換能器中心頻率的頻率分量幅值顯著減小或消失。由于接收換能器對(duì)接收到的聲信號(hào)具有聲-電濾波作用,因此,導(dǎo)致接收換能器輸出端的電信號(hào)中心頻率為1.003 MHz,略高于發(fā)射換能器輻射聲信號(hào)的中心頻率。

3 結(jié)論

在運(yùn)動(dòng)方程與壓電方程的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了厚度極化薄圓片壓電換能器的電-聲/聲-電沖激響應(yīng)及傳輸函數(shù),建立了發(fā)射/接收換能器的機(jī)-電等效電路。分析了在正弦信號(hào)激勵(lì)下,發(fā)射換能器輻射的聲信號(hào)與接收換能器輸出端的電壓信號(hào)波形特征。考慮到輻射阻和輻射質(zhì)量是頻率的函數(shù),將機(jī)-電等效電路模型擴(kuò)展為一個(gè)并聯(lián)傳輸網(wǎng)絡(luò)模型,以描述多頻信號(hào)激勵(lì)下的電-聲和聲-電轉(zhuǎn)換過(guò)程,并選擇門(mén)選正弦信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào),對(duì)并聯(lián)傳輸網(wǎng)絡(luò)模型的輸出結(jié)果進(jìn)行仿真分析。

通過(guò)計(jì)算、推導(dǎo)和分析,得出以下幾點(diǎn)結(jié)論。

1)當(dāng)換能器的幾何參數(shù)與壓電參數(shù)確定后,空載振蕩頻率與空載中心頻率不隨激勵(lì)信號(hào)頻率的改變而改變。相比之下,換能器負(fù)載振蕩頻率和負(fù)載中心頻率隨激勵(lì)信號(hào)頻率的變化而變化。

2)換能器的電-聲/聲-電沖激響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)頻率有關(guān),沖激響應(yīng)幅值隨信號(hào)頻率的增加而降低,中心頻率隨信號(hào)頻率的增大而逐漸趨近于換能器的空載中心頻率。

3)由于慣性的存在,在正弦信號(hào)激勵(lì)下,換能器的輸出聲/電信號(hào)存在一個(gè)從靜止到穩(wěn)定的正弦振動(dòng)瞬態(tài)過(guò)程,其幅度譜由穩(wěn)態(tài)過(guò)程對(duì)應(yīng)的脈沖以及瞬態(tài)過(guò)程對(duì)應(yīng)的連續(xù)平滑的振幅曲線兩部分組成。

4)門(mén)選正弦信號(hào)激勵(lì)下?lián)Q能器的輸出波形呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期性振蕩,接收換能器輸出端電信號(hào)的振蕩持續(xù)時(shí)間比發(fā)射換能器輻射聲波信號(hào)的振蕩持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)。