■江蘇省張家港中等專業(yè)學(xué)校 韓文美

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)體系的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn),借助導(dǎo)數(shù)法,以函數(shù)為根本,實(shí)現(xiàn)函數(shù)問題的進(jìn)一步深入與拓展,是歷年高考中考查的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一。涉及導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用問題,可以從以下四個(gè)“基本點(diǎn)”入手解答。

1.夯實(shí)基點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用中的基點(diǎn)是:利用函數(shù)的構(gòu)造或已有函數(shù)的應(yīng)用,通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等,關(guān)鍵在于基本運(yùn)算。

綜上分析,當(dāng)x∈(-∞,x0)時(shí),r(x)≥0,即h′(x)≥0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),r(x)<0,即h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減。

而h(0)=0,當(dāng)x<0時(shí),h(x)0時(shí),x>sinx,h(x)>0,且當(dāng)x趨于正無窮時(shí),h(x)趨于0。

點(diǎn)評(píng):本題以多選題的形式出現(xiàn),利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)問題,實(shí)現(xiàn)題設(shè)條件與結(jié)論之間的無縫鏈接,借助構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來確定新函數(shù)的單調(diào)性,這是此類問題中最重要的基本考點(diǎn),也是解決問題的關(guān)鍵所在。

2.突出重點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中的重點(diǎn)是:指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算,以及與之相應(yīng)的不等式存在或恒成立問題,涉及恒成立問題、存在性問題以及極值點(diǎn)偏移問題,關(guān)鍵在于函數(shù)作差。

分析:根據(jù)題設(shè)中給定的變量取值范圍所對(duì)應(yīng)的不等式恒成立,通過等價(jià)轉(zhuǎn)化與指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的恒等變形,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性合理構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式,利用函數(shù)求導(dǎo)并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),以及不同區(qū)間的包含關(guān)系來確定參數(shù)的最值。

點(diǎn)評(píng):本題以含參背景下不等式恒成立問題為背景,轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定區(qū)間下的單調(diào)性問題,合理構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),并結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解以及導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的確定等一系列“常規(guī)性”的動(dòng)作來分析與處理,實(shí)現(xiàn)函數(shù)模型的構(gòu)建與應(yīng)用,達(dá)到利用導(dǎo)數(shù)解決綜合應(yīng)用問題的目的。

3.關(guān)注熱點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用中的熱點(diǎn)是:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程的關(guān)系,導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)的交匯,特別涉及相關(guān)函數(shù)的周期、對(duì)稱性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,關(guān)鍵在于分段計(jì)算。

例3(2023 屆上海市松江區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷)已知函數(shù)f(x)=,若函數(shù)y=f(x)-g(x)的圖像經(jīng)過四個(gè)象限,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )。

分析:依題意,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在x軸的正負(fù)半軸都有兩個(gè)交點(diǎn)。作出函數(shù)y=f(x)的圖像,而直線g(x)=kx+1 過定點(diǎn)P(0,1),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線y=kx+1 與函數(shù)y=x2-4x+2(x≥0)相切時(shí)的切線斜率,再求出直線y=kx+1過點(diǎn)(-2,0)的斜率,數(shù)形結(jié)合即可求出k的取值范圍。

解:如圖1所示。

圖1

過點(diǎn)P(0,1)作y=x2-4x+2(x≥0)的切線,切點(diǎn)設(shè)為M(x0,x02-4x0+2)。

由于y′=2x-4,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知k=2x0-4。

所以切線的方程為y-(x02-4x0+2)=(2x0-4)(x-x0)。

把點(diǎn)P(0,1)代入上述切線方程,可得1-x02+4x0-2=-x0(2x0-4),解得x0=1或-1(舍去),所以k=-2。

點(diǎn)評(píng):此題以分段函數(shù)的圖像和零點(diǎn)個(gè)數(shù)來命題,結(jié)合函數(shù)的圖像與基本性質(zhì)進(jìn)行解題,實(shí)現(xiàn)參數(shù)取值范圍的直觀分析與判斷。從函數(shù)的解析式、函數(shù)與方程、函數(shù)與零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行問題的設(shè)置,利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來分析與處理,是高考中此類命題設(shè)置的熟悉面孔與熱點(diǎn)問題之一。

4.突破難點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用中的難點(diǎn)是:構(gòu)建函數(shù)模型,借助放縮來判斷或證明對(duì)應(yīng)的不等式,實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的判定、不等式的證明等相關(guān)綜合應(yīng)用問題,關(guān)鍵在于超越放縮。

分析:根據(jù)題設(shè)中變量的取值范圍,合理構(gòu)造函數(shù)模型,通過求導(dǎo)及其應(yīng)用確定對(duì)應(yīng)的三角不等式,進(jìn)而加以合理放縮與巧妙應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)角大小關(guān)系的比較與判斷。解題的關(guān)鍵是對(duì)常見三角不等式模型的理解記憶,對(duì)放縮的要求較高。

點(diǎn)評(píng):本題是以三角函數(shù)為背景的角的大小比較問題,利用相關(guān)的三角不等式進(jìn)行放縮和構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解。含有一定條件(等式或不等式)的比較大小問題,日漸成為高考數(shù)學(xué)考試命題的一個(gè)熱點(diǎn)。而多變量往往是這類問題中處理的一個(gè)難點(diǎn),解決的途徑通常首先分離變量,結(jié)合表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征,合理構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助函數(shù)的單調(diào)性與最值等相關(guān)問題來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用。

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容與工具性知識(shí)之一,也是高考考查的主要重點(diǎn)之一。同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中,要抓住問題的本質(zhì),從導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用自身特點(diǎn)入手,打?qū)嵒A(chǔ),夯實(shí)基點(diǎn),突出重點(diǎn),把握考點(diǎn),關(guān)注熱點(diǎn),突破難點(diǎn),進(jìn)而真正有效備考。