■陜西省漢中市四〇五學(xué)校 侯有岐

絕對值函數(shù)和絕對值不等式是《不等式選講》中的重要內(nèi)容,也是高考數(shù)學(xué)選考題中?？嫉膶ο?。絕對值不等式中求參數(shù)范圍的題目,通常與基本不等式、絕對值三角不等式、柯西不等式等知識點(diǎn)相結(jié)合。這類題型有助于考查同學(xué)們的推理能力、探索能力和批判性思維能力,也有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新意識和綜合素質(zhì),具有一定的區(qū)分度,深受命題者的青睞。本文對絕對值不等式中求參數(shù)范圍問題的常見題型進(jìn)行分類解析,供讀者參考。

一、利用絕對值三角不等式求參數(shù)范圍

例1設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|-|a-1|(a∈R)。

(1)當(dāng)a=-1 時,求不等式f(x)＞|x+1|的解集;

(2)若存在x0使得不等式f(x0)＞2|x0+1|成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：(1)若a=-1,則不等式f(x)＞|x+1|?|2x-1|-2＞|x+1|。

當(dāng)x＜-1 時,不等式化為-2x+1-2＞-x-1,解得x＜0,所以x＜-1;

(2)不等式f(x0)＞2|x0+1|?|a-1|＜|2x0-1|-2|x0+1|。因?yàn)榇嬖趚0使得不等式f(x0)＞2|x0+1|成立,則存在x0使得不等式|a-1|＜|2x0-1|-2|x0+1|成立,而|2x0-1|-2|x0+1|=|2x0-1|-|2x0+2|≤|(2x0-1)-(2x0+2)|=3,當(dāng)且僅當(dāng)|2x0-1|≥|2x0+2|,且(2x0-1)(2x0+2)≥0,即x0≤-1時,等號成立。

因此|a-1|＜3,解得-2＜a＜4。

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-2,4)。

二、利用零點(diǎn)分段法及數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍

例2設(shè)函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+1|。

(1)求f(x)的最小值及取得最小值時x的取值范圍;

(2)若集合{x|f(x)+ax-1＞0}=R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

當(dāng)x＜-1時,f(x)=-2x+1＞3;當(dāng)x＞2時,f(x)=2x-1＞3。所以f(x)的最小值為3,且f(x)取得最小值時x的取值范圍為[-1,2]。

(2)因?yàn)閧x|f(x)+ax-1＞0}=R,所以對任意的x∈R,f(x)＞-ax+1恒成立。

令g(x)=-ax+1,其圖像為過點(diǎn)P(0,1),斜率為-a的一條直線,如圖1所示。

圖1

因?yàn)閒(x)＞g(x),所以-2＜-a＜1,即-1＜a＜2。

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,2)。

三、利用絕對值三角不等式與基本不等式求參數(shù)范圍

例3已知f(x)=|x-1|+|x+a|。

(1)當(dāng)a=2 時,求y=f(x)與y=6 所圍成的封閉圖形的面積;

(2)若對于任意的x∈R,都存在y∈(1,+∞),使得(y-1)f(x)≥y2+3 成立,求a的取值范圍。

分別畫出y=f(x)與y=6 的圖像,如圖2所示。當(dāng)f(x)=6時,有x=-3.5或x=2.5,由圖像可得,圍成的封閉圖形為等腰梯形,上底長為3,下底長為6,高為3,則所求封閉圖形的面積為(3+6)×3=13.5。

圖2

(2)f(x)=|x-1|+|x+a|≥|1-x+x+a|=|1+a|,當(dāng)且僅當(dāng)(x-1)(x+a)≤0時,等號成立。

因?yàn)閷τ谌我獾膞∈R,都存在y∈(1,+∞),使得(y-1)f(x)≥y2+3 成立,所以,當(dāng)且僅當(dāng)y=3時,等號成立,所以|1+a|≥6,解得a≤-7或a≥5,故a的取值范圍為(-∞,-7]∪[5,+∞)。

點(diǎn)評:求解對任意的x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)≥g(x2)成立的問題,可將其轉(zhuǎn)化為求解f(x)min≥g(x)min的問題。在利用基本不等式求最值時,要注意“一正、二定、三相等”這三個條件缺一不可,具體應(yīng)用時,對二定條件不滿足的形式需要變形配湊。另外,除配湊法外,我們還需要根據(jù)所給題目的已知與目標(biāo)式子的變量結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析,選擇不同的策略,如分離轉(zhuǎn)化法、拆項法、消元法、換元法、轉(zhuǎn)換構(gòu)造法、“1”的整體代換法等。無論采用哪種策略方法,其目的只有一個,那就是構(gòu)造出和為定值或者積為定值的兩項,然后才可以使用基本不等式,這是用基本不等式解決最值問題的根本所在。

四、利用絕對值三角不等式和多次使用均值不等式求參數(shù)范圍

例4已知f(x)=|x+4|-|x-m|。

(1)若m=2,求f(x)＜m的解集;

(2)若a＞0,b＞0,c＞0,abc=1,對任意的x∈R,(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2≥f(x)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析：(1)因?yàn)閙=2,所以f(x)=|x+4|-|x-2|＜2。

當(dāng)x≥2時,(x+4)-(x-2)＜2,無解;

當(dāng)-4＜x＜2時,(x+4)-(2-x)＜2,解得x＜0,所以-4＜x＜0;

當(dāng)x≤-4時,(-x-4)-(2-x)=-6＜2恒成立,所以x≤-4。

綜上可得,f(x)＜m的解集為{x|x＜0}。

(2)(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2≥4ab+4ac+4bc=4 (ab+ac+bc)≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,ab=bc=ac,即a=b=c=1時,等號成立。

由對任意的x∈R,(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2≥f(x)恒成立,可得f(x)=|x+4|-|x-m|≤|4+m|≤12,當(dāng)且僅當(dāng)|x+4|≥|x-m|,且(x+4)(x-m)≥0時,等號成立。

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-16,8]。

點(diǎn)評:求解對任意的x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)≥g(x2)成立的問題,可將其轉(zhuǎn)化為求解f(x)min≥g(x)max的問題。在求多變量函數(shù)的最值時,只要保證等號成立條件相同的情況下,可以多次利用基本不等式求最值,然后再解不等式求參數(shù)范圍。

五、利用等價轉(zhuǎn)化法求參數(shù)范圍

例5已知函數(shù)

(1)當(dāng)a＞0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若不存在正數(shù)a,使得不等式f(x)＜0對任意的x∈(0,1]恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍。

(2)先求存在正數(shù)a,使得不等式f(x)＜0對任意的x∈(0,1]恒成立時實(shí)數(shù)b的取值范圍。

當(dāng)b≥0時,對任意的x∈(0,1],不等式f(x)≥0恒成立,不滿足題意。

點(diǎn)評:本題第(2)問屬于“不存在性”問題,當(dāng)直接求解符合題意的參數(shù)范圍比較困難時,可以考慮利用命題與命題的否定之間的邏輯關(guān)系,采用“正難則反”的方法,先求使命題的否定成立時對應(yīng)參數(shù)的范圍,再取其補(bǔ)集即可,這樣可以簡化解題思維與解答過程,從而達(dá)到化繁為簡的目的。

總之,關(guān)于絕對值不等式中求參數(shù)范圍的問題不僅僅局限于這些方面,更多的內(nèi)容是涉及函數(shù)的相關(guān)知識,如單調(diào)性、最值等,但其基本解題思路都是:去掉絕對值符號,轉(zhuǎn)化為一般的不等式求解。轉(zhuǎn)化的策略方法一般有:零點(diǎn)分段、數(shù)形結(jié)合、絕對值三角不等式、均值不等式、柯西不等式等。以上內(nèi)容僅供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考,多熟悉其中轉(zhuǎn)化的思想方法,多領(lǐng)會其中的相關(guān)技巧。