曾宇，汪洪波，孫明波，王超，劉旭

國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院 高超聲速?zèng)_壓發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410073

剪切應(yīng)力輸運(yùn)（Shear Stress Transport，SST）模型是一個(gè)性能出色的全能型RANS（Reynolds-Averaged Navier-Stokes）模型，也是目前廣泛使用的渦黏假設(shè)模型中性能評(píng)價(jià)最好的一個(gè)，因此受到模型研究者和有湍流模型使用經(jīng)驗(yàn)者的推崇。標(biāo)準(zhǔn)SST 湍流模型的基本原理是：在近壁面處采用k-ω模型［1-2］、在邊界層外區(qū)和自由剪切中使用k-ε模型［3］，并通過(guò)Bradshaw假設(shè)（在邊界層中，剪切應(yīng)力正比于湍動(dòng)能）引入雷諾剪切應(yīng)力輸運(yùn)的影響。因此它巧妙地結(jié)合了k-ω、k-ε以及J-K模型［4］的優(yōu)點(diǎn)，規(guī)避了它們的缺點(diǎn)，能較好地處理湍流剪切應(yīng)力在逆壓梯度和分離邊界層中的輸運(yùn)，以其精度高、魯棒性好、適用性廣的優(yōu)勢(shì)成為航空航天領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛的湍流模型之一。

隨著計(jì)算能力的快速增長(zhǎng)，計(jì)算流體力學(xué)（Computational Fluid Dynamics， CFD）也飛速發(fā)展，大渦模擬（Large Eddy Simulations，LES）技術(shù)和混合RANS/LES 技術(shù)等逐漸發(fā)展起來(lái)，人們可以用更精細(xì)的網(wǎng)格、精度更高的算法計(jì)算更多、更復(fù)雜的算例，畫出更絢麗的流動(dòng)圖像，得到更多有用的信息。但Spalart［5］指出，這一局面可能會(huì)導(dǎo)致湍流建模的停滯不前。閻超［6］認(rèn)為自SST 湍流模型提出的許多年里，在湍流模型核心理論方法方面沒(méi)有突出的成果面世。雖然在工程上RANS 取得了巨大成就，但湍流模型仍伴隨著很多未解決的問(wèn)題。而且，由于LES 提供了更加豐富、直觀的流場(chǎng)信息，研究者們更樂(lè)于通過(guò)該技術(shù)開(kāi)展理論研究。這些原因可能會(huì)導(dǎo)致RANS 湍流模型的競(jìng)爭(zhēng)力下降，并可能被LES 技術(shù)取代。但事實(shí)上，在計(jì)算能力上的提升不僅使RANS 的應(yīng)用市場(chǎng)擴(kuò)大了，而且RANS 分析更普遍地見(jiàn)于日益復(fù)雜的問(wèn)題中［7］。Hanjalic［8］也認(rèn)為，RANS 方法已經(jīng)在工程實(shí)踐中根深蒂固，將經(jīng)驗(yàn)公式與湍流模型相結(jié)合，獲得相對(duì)較高的預(yù)測(cè)精度，以及對(duì)絕大多數(shù)用戶友好等，這些特點(diǎn)使得RANS 并沒(méi)有走向消亡。在可預(yù)見(jiàn)的未來(lái)，湍流模型仍將是計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)分析，特別是工程研究最主要的手段［9］。

Durbin［10］在回顧湍流建模的進(jìn)展中也指出，湍流建模是數(shù)值分析的關(guān)鍵，而RANS 建模的對(duì)象主要是-，即雷諾應(yīng)力（“-”和上標(biāo)“′”分別表示雷諾平均方法和脈動(dòng)量）。根據(jù)建模方法的不同，主要可分為雷諾應(yīng)力模型（Reynolds Stress Model， RSM）和渦黏性模型（Eddy Viscosity Model， EVM）2 類，其中又以形式簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)的線性EVM 模型在工程領(lǐng)域發(fā)展較快。目前，根據(jù)需額外求解的湍流輸運(yùn)方程數(shù)量，線性EVM 模型大致可分為零方程（例如C-S 模型［11］，B-L 模型［12］）、一方程（例如B-B 模型［13］，S-A 模型［14］）和二方程湍流模型。幾十年來(lái)的湍流模型發(fā)展經(jīng)驗(yàn)表明，不同湍流模型的發(fā)展是緊密聯(lián)系的，例如：為改善混合長(zhǎng)度模型提出了C-S湍流模型；B-L 模型又是為了改善C-S 模型中特征長(zhǎng)度的計(jì)算；為改善零方程無(wú)法反映上游歷史影響的問(wèn)題提出了一方程；為改進(jìn)一方程中對(duì)湍流長(zhǎng)度尺度或時(shí)間尺度的計(jì)算從而研發(fā)了二方程?？傊?，湍流模型發(fā)展和改進(jìn)不是一蹴而就的，借鑒不同模型的建模理念和優(yōu)點(diǎn)普遍存在。比如與顯式代數(shù)雷諾應(yīng)力模型［15］（Explicit Algebraic Reynolds Stress Models， EARSMs）相結(jié)合的SST 湍流模型可以實(shí)現(xiàn)對(duì)二次運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)/曲率的敏感化［16］。近年來(lái)，許多學(xué)者都開(kāi)展了耦合不同物理現(xiàn)象到SST 湍流模型上的工作，豐富了對(duì)SST 的研究?jī)?nèi)容，同時(shí)取得了一定的成果，但研究也表明，大多只能從修正的角度較好地改善對(duì)應(yīng)問(wèn)題的預(yù)測(cè)，結(jié)果也比較單一。偶爾有耦合較好的SST 修正模型在仿真計(jì)算中取得了較好的結(jié)果，這是令人欣慰和大受鼓舞的。在未來(lái)的一段時(shí)間內(nèi)，合并已發(fā)展的物理現(xiàn)象修正方案將是改進(jìn)SST 湍流模型預(yù)測(cè)精度和應(yīng)用范圍的主要工作和進(jìn)一步研究的問(wèn)題。

本文從SST 湍流模型的角度梳理了不同學(xué)者納入流動(dòng)物理或物理現(xiàn)象的湍流模型改進(jìn)研究，對(duì)基于SST 湍流模型框架發(fā)展的修正研究進(jìn)行歸納和總結(jié)。在第1 節(jié)中介紹了標(biāo)準(zhǔn)SST 湍流模型及其能解釋的物理和流動(dòng)現(xiàn)象；第2 節(jié)闡述了在旋轉(zhuǎn)/曲率、可壓縮性、激波不穩(wěn)定性、雷諾應(yīng)力各向異性、應(yīng)力-應(yīng)變偏差特性和層流/湍流轉(zhuǎn)捩等6 個(gè)方面中SST 湍流模型的改進(jìn)與提升以及基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)開(kāi)展的湍流模型改進(jìn)；最后論述了目前的發(fā)展?fàn)顟B(tài)并展望了重點(diǎn)關(guān)注的方向。

1 標(biāo)準(zhǔn)SST 模型及其物理含義

Menter［1-2］提出的標(biāo)準(zhǔn)k-ωSST 湍流模型主要由湍動(dòng)能和比耗散率2 個(gè)脈動(dòng)量輸運(yùn)方程組成，具體表達(dá)式為

式中：ρ為密度；t為時(shí)間；k為湍動(dòng)能；ω為比耗散率；β*、σk、γ、β、σω、σω2為模型常數(shù)；μ為動(dòng)力學(xué)黏性；μt為湍流渦黏性；νt為湍流渦黏性系數(shù)；F1為混合函數(shù)。

其中：ui為笛卡爾坐標(biāo)系下xi方向上的速度分量；τij為雷諾應(yīng)力；δij為克羅內(nèi)克符號(hào)。

湍流渦黏性系數(shù)νt為

式中：a1為結(jié)構(gòu)參數(shù)，Menter［1-2］取值為0.31；F2為邊界層混合函數(shù)。需要說(shuō)明的是，式（2）中A′、B′和C′的上標(biāo)“′”旨在與式（1）中A、B和C區(qū)分。

模型常數(shù)通過(guò)混合函數(shù)F1計(jì)算得到，混合方式為

式中：?1為原始k-ω模型中的模型常數(shù)；?2為標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型中的模型常數(shù)；?為SST 模型中的模型常數(shù)?；旌现辉谶吔鐚游槽E區(qū)域內(nèi)進(jìn)行。

混合函數(shù)F1旨在實(shí)現(xiàn)使用k-ω模型對(duì)近壁面湍流流動(dòng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，而在遠(yuǎn)離壁面的流動(dòng)中通過(guò)k-ε模型實(shí)現(xiàn)對(duì)自由流的捕捉。這2 種模型分別對(duì)相應(yīng)的流場(chǎng)區(qū)域有較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。

此外，為改善對(duì)逆壓梯度流動(dòng)的預(yù)測(cè)精度，在湍流邊界層中還引入了雷諾應(yīng)力正比于湍動(dòng)能的假設(shè)，這是通過(guò)湍流渦黏性系數(shù)νt中的max函數(shù)實(shí)現(xiàn)的，并通過(guò)F2函數(shù)控制只在邊界層中使用該假設(shè)。函數(shù)F1和F2有相似的變化規(guī)律。

建模中使用到的一些其他關(guān)系為

式中：ν為分子運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)；ymin為到壁面的最小距離。

建模中使用到的2 組常數(shù)為：①（?1，Wilcox），σk1=0.85，σω1=0.5，β1=0.075，β*=0.09，κ=0.41，γ1=β1/β*-σω1κ2/；②（?2，標(biāo)準(zhǔn)k-ε），σk2=1.0，σω2=0.856，β2=0.082 8，β*=0.09，κ=0.41，γ2=β2/β*-σω2κ2/。

基于SST 湍流模型框架展開(kāi)的改進(jìn)研究如圖1 所示，近年來(lái)對(duì)這些內(nèi)容的研究仍在進(jìn)行，其中主要是以內(nèi)容的影響開(kāi)展的，而由此發(fā)展起來(lái)的修正可能會(huì)與實(shí)際流動(dòng)不符合，因?yàn)榻^大多數(shù)的流動(dòng)都會(huì)耦合2 種或多種圖示內(nèi)容的影響。合理地衡量這些內(nèi)容的影響，理清標(biāo)準(zhǔn)SST 湍流模型所能預(yù)測(cè)的物理現(xiàn)象和模型的缺陷，明確在流動(dòng)中的物理機(jī)制是如何用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)的，起主要影響作用和次要影響作用的機(jī)理該如何區(qū)分，這是研究SST 湍流模型必不可少的環(huán)節(jié)。

圖1 SST 湍流模型主要發(fā)展歷程Fig. 1 Major developments in SST turbulence model

標(biāo)準(zhǔn)SST 湍流模型對(duì)湍流運(yùn)動(dòng)物理現(xiàn)象的描述主要是通過(guò)式（1）和式（2）式實(shí)現(xiàn)的。首先，在不可壓縮條件下，引入了Boussinesq 假設(shè)，建立起雷諾應(yīng)力與平均速度應(yīng)變率的線性關(guān)系：。

其次，對(duì)湍動(dòng)能輸運(yùn)方程中的各項(xiàng)進(jìn)行建模。式（1）中的A項(xiàng)：，是流體平均變形抵抗雷諾應(yīng)力所做的功，表征從平均運(yùn)動(dòng)中輸送到湍流運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)能，此項(xiàng)通常為正，起到增加湍流動(dòng)能的作用，稱為湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)；式（1）中的B項(xiàng)：，是流體抵抗脈動(dòng)變形的脈動(dòng)黏性應(yīng)力所做的變形功，表征脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)引起的能量耗散，它總是消耗湍流的動(dòng)能將其轉(zhuǎn)化為熱能，稱為湍動(dòng)能耗散項(xiàng)；式（1）中的C項(xiàng)：·，是由流體自然分子輸運(yùn)和湍流輸運(yùn)過(guò)程產(chǎn)生的湍流能量擴(kuò)散，表征脈動(dòng)壓力、雷諾應(yīng)力和脈動(dòng)黏性應(yīng)力對(duì)脈動(dòng)能量的輸送，稱為湍動(dòng)能擴(kuò)散項(xiàng)。

然后，類比湍動(dòng)能方程的建模，可通過(guò)Navier-Stokes 方程得到湍流脈動(dòng)耗散率ε或比耗散率ω的精確方程。Kolmogorov［17］指出，流動(dòng)中最普遍的幾個(gè)物理過(guò)程是非定常、對(duì)流（或者平流）、擴(kuò)散、耗散、散布以及產(chǎn)生過(guò)程，結(jié)合物理和量綱分析，給出了比耗散率輸運(yùn)方程的建模。經(jīng)過(guò)一系列發(fā)展，最終形成了目前使用的式（2）形式，其中A′、B′和C′這3 項(xiàng)在表達(dá)形式和物理意義上與湍動(dòng)能輸運(yùn)方程中的A、B、C這3 項(xiàng)的內(nèi)容一致。

需要指出的是，式（2）中的D項(xiàng)：

是根據(jù)ε=β*kω的關(guān)系，將ε輸運(yùn)方程轉(zhuǎn)換為ω方程時(shí)產(chǎn)生的，稱為比耗散率交叉擴(kuò)散項(xiàng)。

通過(guò)上述分析可得，標(biāo)準(zhǔn)SST 湍流模型主要描述的流動(dòng)物理為

標(biāo)準(zhǔn)SST 湍流模型是在不可壓縮條件下發(fā)展起來(lái)的，建模后的雷諾應(yīng)力具有各向同性的性質(zhì)，對(duì)具有方向性的力不敏感，一些其他行為的影響被忽略，從而獲得了相對(duì)精確的SST 湍流模型，既保證了一定的流動(dòng)預(yù)測(cè)能力，又具有易于實(shí)現(xiàn)的計(jì)算形式和較少的計(jì)算量。然而，隨著計(jì)算能力的提升，應(yīng)用范圍的拓展，標(biāo)準(zhǔn)SST 湍流模型顯現(xiàn)出預(yù)測(cè)能力不足的問(wèn)題。由上可知，限制SST 湍流模型預(yù)測(cè)精度和應(yīng)用范圍的正是建模過(guò)程中的一些限定條件：比如，不可壓縮流動(dòng)；Boussinesq 假設(shè)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；忽略了高階脈動(dòng)關(guān)聯(lián)項(xiàng)的影響以及標(biāo)定的模型常數(shù)。學(xué)者們分別從以上幾點(diǎn)限定條件展開(kāi)研究來(lái)改善湍流模型工作性能，使其具有反映應(yīng)用環(huán)境的能力。

2 SST 湍流模型改進(jìn)研究

近年來(lái)許多學(xué)者已經(jīng)提出了切實(shí)可行的修正方案來(lái)解決SST 湍流模型對(duì)旋轉(zhuǎn)/曲率效應(yīng)、可壓縮效應(yīng)、激波效應(yīng)、各向異性效應(yīng)、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的偏差效應(yīng)以及層流/湍流轉(zhuǎn)捩效應(yīng)預(yù)測(cè)不準(zhǔn)的問(wèn)題。雖然面臨的問(wèn)題對(duì)象不同，但解決問(wèn)題的具體方法大體是一致的，主要可以歸類為以下幾種方式來(lái)改進(jìn)k和ω的輸運(yùn)方程，從而改善對(duì)物理現(xiàn)象的捕捉：① 直接限定湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)；② 改進(jìn)渦黏系數(shù)表達(dá)式；③ 改進(jìn)雷諾應(yīng)力表達(dá)式；④ 改進(jìn)耗散項(xiàng)系數(shù)表達(dá)式；⑤ 增添脈動(dòng)關(guān)聯(lián)項(xiàng)的建模關(guān)系式；⑥ 改進(jìn)常系數(shù)數(shù)值；⑦ 增加新的輸運(yùn)方程。這些方法或多或少提升了應(yīng)用領(lǐng)域中關(guān)注物理量的預(yù)測(cè)精度，但這些修正是否會(huì)產(chǎn)生破壞其他物理量的行為仍待考察。此外，基于不同物理現(xiàn)象發(fā)展的修正方案能否合并耦合到SST 湍流模型中，以及合并耦合的內(nèi)在機(jī)理尚未有定論。為進(jìn)一步探索這些問(wèn)題，現(xiàn)對(duì)SST 湍流模型的改進(jìn)研究做一個(gè)系統(tǒng)的梳理。

2. 1 旋轉(zhuǎn)/流線曲率效應(yīng)

SST 模型是坐標(biāo)不變的，很難在不修改的前提下準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)具有特定方向影響的流動(dòng)，其中最具有代表性的是參考系旋轉(zhuǎn)/彎曲壁面流動(dòng)，顯著增加了湍流的復(fù)雜性。許多研究人員對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行了系統(tǒng)研究［18-23］，指出系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)和流線曲率之間存在類比，2 種現(xiàn)象對(duì)流場(chǎng)的影響是一致的，故而大多以流向曲率作為研究對(duì)象。流線曲率包括2 種類型，“凸”面和“凹”面，這里術(shù)語(yǔ)“凸”面是指沿壁邊界層的曲率中心位于表面內(nèi)，另一種則相反［24-25］。Durbin［26］指出，2 種曲面中會(huì)存在2 種旋轉(zhuǎn)，一種是旋轉(zhuǎn)方向與剪切方向相同，旋轉(zhuǎn)降低湍流強(qiáng)度；另一種是旋轉(zhuǎn)方向與剪切方向相反，增大湍流強(qiáng)度。在沒(méi)有旋轉(zhuǎn)的情況下，Brethouwer［27］發(fā)現(xiàn)，湍動(dòng)能k由平均切應(yīng)變產(chǎn)生，隨時(shí)間增長(zhǎng)；但引入旋轉(zhuǎn)后，可以提高或降低k的產(chǎn)生速率。另外，對(duì)旋轉(zhuǎn)的通道研究表明，靠近一側(cè)墻面的湍流增強(qiáng)，并且靠近另一側(cè)墻面的湍流減弱，流動(dòng)出現(xiàn)不對(duì)稱［28-30］。由此可知流場(chǎng)在方向性力（離心力、向心力、科氏力等）的影響下，湍流中能量分配的機(jī)制會(huì)發(fā)生一定的變化，這不僅在宏觀上表現(xiàn)出湍動(dòng)能的增大或減小，在力的方面體現(xiàn)為雷諾應(yīng)力的各向異性。

SST 湍流模型中對(duì)雷諾應(yīng)力的建模是根據(jù)Boussinesq 提出的渦黏假設(shè)：τij=μt·，當(dāng)i≠j時(shí)，其退化為2μtSij，這表明雷諾應(yīng)力在本質(zhì)上是各向同性的，但實(shí)際情況旋轉(zhuǎn)/流線曲率引起的影響是特定方向上的，這會(huì)使得雷諾應(yīng)力在不同的方向上有不一樣的表達(dá)，從而呈現(xiàn)出明顯的各向異性特征，然而該表達(dá)式無(wú)法復(fù)現(xiàn)這一特征。除此之外，SST 模型求解的是2 個(gè)標(biāo)量k和ω的輸運(yùn)方程。這使得旋轉(zhuǎn)/曲率引起的這些效應(yīng)不會(huì)被各向同性的、標(biāo)量的、對(duì)旋轉(zhuǎn)/曲率不敏感的SST 渦黏模型捕捉到。Menter［2］和Wilcox［31］對(duì)如何將物理現(xiàn)象或影響效應(yīng)納入到湍流模型中去給出了指導(dǎo)，工程湍流建模在強(qiáng)調(diào)理論概念的同時(shí)，也應(yīng)注重該學(xué)科的經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)，湍流模型要求的是對(duì)流動(dòng)物理的建模而不是對(duì)其微分方程進(jìn)行建模。

曲率效應(yīng)作用到湍流中的宏觀表現(xiàn)是增強(qiáng)或抑制湍流強(qiáng)度，即促進(jìn)或抑制k的產(chǎn)生，這也就是說(shuō)在SST 模型基本框架不變的前提下，這一影響可以通過(guò)一定的方法耦合到k和ω的輸運(yùn)方程中。另一個(gè)角度是從力的影響來(lái)考慮的，旋轉(zhuǎn)/曲率主要是改變了雷諾應(yīng)力的表達(dá)，進(jìn)而影響了能量分配和傳遞過(guò)程。Huang 等［23］綜述了旋轉(zhuǎn)/曲率的影響，指出這些效應(yīng)可以通過(guò)將模型常數(shù)參數(shù)化，以實(shí)現(xiàn)抑制或增加湍流動(dòng)能的增長(zhǎng)速率或者將渦黏系數(shù)參數(shù)化來(lái)實(shí)現(xiàn)曲率效應(yīng)。主要是在湍流模型方程式（1）和式（2）中的A、B、A′和B′這4 項(xiàng)上展開(kāi)修正，或者引入額外的輸運(yùn)方程，從而使改進(jìn)后的SST 模型對(duì)旋轉(zhuǎn)/曲率敏感。需要指出的是，在保持SST 模型框架不變的前提下，額外的輸運(yùn)方程是通過(guò)中間參數(shù)來(lái)影響k和ω輸運(yùn)方程中A、B、A′和B′這4 項(xiàng)的表達(dá)，從而達(dá)到旋轉(zhuǎn)/曲率修正的效果。

2.1.1 對(duì)輸運(yùn)方程中特定項(xiàng)的修正

Spalart 和Shur［32］指出，在均勻旋轉(zhuǎn)剪切流和弱曲率/旋轉(zhuǎn)的2 種極端類型的剪切流動(dòng)中，前者的強(qiáng)旋轉(zhuǎn)抵消了雷諾應(yīng)力的效果，而后者雷諾應(yīng)力水平有相當(dāng)大的變化，通過(guò)比較渦量和應(yīng)變速率的大小可以得到衡量旋轉(zhuǎn)/曲率效應(yīng)的伽利略不變量度。在不穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)/曲率影響下，應(yīng)變率S會(huì)超過(guò)渦量Ω，反之亦然。由此提出可以設(shè)計(jì)基于S/Ω比值的經(jīng)驗(yàn)修正，并在S-A 湍流模型［14］上給出了一種基于比值S/Ω的、經(jīng)驗(yàn)主義的旋轉(zhuǎn)/曲率修正方案，即在湍流模型方程中的產(chǎn)生項(xiàng)上乘以“旋轉(zhuǎn)”函數(shù)fr1，其表達(dá)式為

其中：

式中：DSij/Dt為應(yīng)變張量的拉格朗日導(dǎo)數(shù)；為參考系的旋轉(zhuǎn)角速度；ξijk為符號(hào)函數(shù)。

修正后的S-A 模型在較寬范圍的旋轉(zhuǎn)/曲率流中獲得了更精確的結(jié)果［33］，這激發(fā)了Smirnov和Menter［34］將這種修正方法應(yīng)用到SST 模型當(dāng)中的興趣，對(duì)拓展到SST 模型的曲率修正函數(shù)做了適當(dāng)?shù)男薷?，然后通過(guò)它控制SST 模型中湍動(dòng)能的產(chǎn)生和比耗散率的生成行為，曲率修正后的SST 模型為

曲率修正函數(shù)的下限為0，表征強(qiáng)凸曲率穩(wěn)定流動(dòng)情形（無(wú)湍流產(chǎn)生）；上限表征強(qiáng)凹曲率情形（湍流增強(qiáng)），1.25 為文獻(xiàn)［34］中給出的最佳經(jīng)驗(yàn)常數(shù)值。

應(yīng)用到SST 中需要的一些修改為

式中：D2=max(S2，0.09ω2)；cr1=cr3=1，cr2=2。

修正后的SST 湍流模型顯著提高了捕捉旋轉(zhuǎn)引起的非對(duì)稱速度分布的能力和預(yù)測(cè)精度，與直接數(shù)值模擬（Direct Numerical Simulation，DNS）和RSM 模型的結(jié)果對(duì)比表明，修正后的SST 模型具有相當(dāng)?shù)母?jìng)爭(zhēng)力，且計(jì)算成本顯著低于RSM。但就實(shí)現(xiàn)而言，在求解r?中使用了應(yīng)變率張量的導(dǎo)數(shù)，而這在代碼中實(shí)現(xiàn)十分復(fù)雜。Musa 等［35］對(duì)此做了改進(jìn)，將r?的求解式變?yōu)?/p>

在U 形管道中測(cè)試了改進(jìn)后的r?，結(jié)果表明能一樣有效地預(yù)測(cè)旋轉(zhuǎn)/曲率效應(yīng)，并且需要較少的計(jì)算量［36］。

此外，Bradshaw［37］研究了Richardson 數(shù)與旋轉(zhuǎn)/曲率影響之間的關(guān)系，指出這兩者之間存在相似的特征，并提出用Richardson 數(shù)來(lái)表達(dá)曲率的影響的建議。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期發(fā)展，提出了許多依賴Richardson 數(shù)的旋轉(zhuǎn)/曲率影響方法，將影響歸入到對(duì)湍流長(zhǎng)度尺度變化的修正［38-40］，具體的表達(dá)式為

式中：l為湍流長(zhǎng)度尺度；l0為零旋轉(zhuǎn)時(shí)的混合長(zhǎng)度；Crc為旋轉(zhuǎn)/曲率敏感常數(shù)系數(shù)；Ri為Richardson 數(shù)。

根據(jù)湍流渦黏性μt與湍流長(zhǎng)度尺度l成正比，可以直接在渦黏性表達(dá)式上乘以湍流長(zhǎng)度尺度變化的修正公式。然而，在雙方程湍流模型中，對(duì)輸運(yùn)方程中一個(gè)或多個(gè)湍流源項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行修正更有吸引力，其中又以對(duì)耗散率方程/比耗散率方程的耗散項(xiàng)進(jìn)行修正較為普遍。Hellsten［41］將旋轉(zhuǎn)/曲率效應(yīng)歸入到SST 模型中k方程的耗散項(xiàng)上，通過(guò)改變耗散行為從而間接影響湍動(dòng)能的表達(dá)。修正后的比耗散率輸運(yùn)方程為

給出的修正公式為

Richardson 數(shù)的廣義定義為

由Ri的表達(dá)式可知，當(dāng)Ω/S=1/2，Ri有最小值-1/4。如果曲率足夠強(qiáng)（Ri＞0），函數(shù)F4會(huì)降低B′modified項(xiàng)，從而增加ω的增長(zhǎng)率，這表明曲率對(duì)湍流的抑制。研究結(jié)果表明了修正后的SST 湍流模型在旋轉(zhuǎn)數(shù)低于0.1 時(shí)與展向旋轉(zhuǎn)通道流和凸曲面邊界層流動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果更吻合的預(yù)測(cè)，但在凹曲面壁流動(dòng)和旋轉(zhuǎn)圓柱體的軸向流動(dòng)中是否具有更好的預(yù)測(cè)能力仍需進(jìn)一步評(píng)估。

任蕓等［42］在SST 湍流模型上結(jié)合了Spalart和Shur［32］以及Hellsten［41］提出的旋轉(zhuǎn)/曲率修正方法，同時(shí)對(duì)式（1）中的A項(xiàng)和式（2）中的A′項(xiàng)和B′項(xiàng)引入旋轉(zhuǎn)/曲率敏感化修正。這種直接結(jié)合的修正方法為湍流模型的研究提供了參考，但這種結(jié)合的內(nèi)在聯(lián)系沒(méi)有得到進(jìn)一步的闡述。

旋轉(zhuǎn)湍流的穩(wěn)定性是一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，穩(wěn)定性的程度與旋轉(zhuǎn)的強(qiáng)弱有關(guān)，其中“穩(wěn)定”指的是湍流動(dòng)能的衰減，“不穩(wěn)定”指的是湍流動(dòng)能的增長(zhǎng)［43-44］。從穩(wěn)定性的角度，Reif 等［45］提出，如果湍流模型能夠捕獲從不穩(wěn)定到穩(wěn)定的分岔，或者捕獲從穩(wěn)定到不穩(wěn)定的分岔，則認(rèn)為模型能夠反映局部旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，并將這種方法稱為“分岔法”。Arolla 和Durbin［46］通過(guò)對(duì)“分岔法”的理解，提出在比耗散率方程中的產(chǎn)生項(xiàng)上乘以旋轉(zhuǎn)/曲率效應(yīng)乘法因子的修正模型，乘法因子為

式中：α1=-0.2。

修正SST 模型的ω方程為

在測(cè)試案例中對(duì)該模型進(jìn)行了測(cè)試，并比較了基于“分岔法”的修正和其他修正系數(shù)的方法，結(jié)果表明該模型得到的結(jié)果是令人鼓舞的。

Huang 等［23］指出，直接在輸運(yùn)方程的產(chǎn)生行為和耗散行為上引入旋轉(zhuǎn)/曲率的修正所能實(shí)現(xiàn)的改進(jìn)是有限的，值得注意的是，旋轉(zhuǎn)/曲率通過(guò)雷諾應(yīng)力影響平均流動(dòng)，而雷諾應(yīng)力受應(yīng)變率張量影響，其中切向雷諾應(yīng)力（偏雷諾應(yīng)力）與應(yīng)變率張量線性相關(guān)，因此，一種可能的方法是修改渦黏性μt來(lái)將旋轉(zhuǎn)效應(yīng)納入模型。

2.1.2 對(duì)渦黏性表達(dá)式的改進(jìn)

Reif 等［45］在EARSM［47］解的指導(dǎo)下，通過(guò)對(duì)渦黏性進(jìn)行修正來(lái)考慮近壁面湍流中的曲率效應(yīng)，渦黏性系數(shù)可以寫為

式中：Cμ為模型系數(shù)，一般為0.09；f(k，ε，ω，…)為流場(chǎng)輸運(yùn)量的函數(shù)，由湍流模型決定。

若通過(guò)渦黏性實(shí)現(xiàn)對(duì)旋轉(zhuǎn)/曲率敏感化，一般情況下，使Cμ對(duì)旋轉(zhuǎn)/曲率敏感更方便。Reif等［45］采用橢圓松弛建模方法來(lái)考慮靠近壁面效應(yīng)，給出修正的模型系數(shù)為

在非旋轉(zhuǎn)/曲率流動(dòng)條件下，該修正公式會(huì)自動(dòng)簡(jiǎn)化為原始的標(biāo)量形式。

Arolla 和Durbin［46］直接將Reif 等［45］提出的方法拓展到SST 模型上，渦黏系數(shù)的表達(dá)為

為保證數(shù)值穩(wěn)定性，給定了修正渦黏系數(shù)的上限值為2.5。再通過(guò)對(duì)的理解和分析，又推出了更簡(jiǎn)潔的渦黏系數(shù)修正公式：

顯式代數(shù)雷諾應(yīng)力湍流模型對(duì)旋轉(zhuǎn)/曲率是敏感的。York 等［48］采用廣義EARSM 的解來(lái)計(jì)算雷諾應(yīng)力的各向異性張量，由此給出對(duì)旋轉(zhuǎn)/曲率的修正：

式中：K1～K8為模型常數(shù)；W為旋轉(zhuǎn)項(xiàng)，計(jì)算式為

而W常采用經(jīng)驗(yàn)公式，表達(dá)式為

Dhakal 和Walters［49］將York 等［48］對(duì)旋轉(zhuǎn)/曲率的修正直接應(yīng)用到SST 模型上，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)SST模型中的渦黏性系數(shù)表達(dá)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：νt=，然后用替代其中的Cμ。結(jié)果表明該修正方法相較于標(biāo)準(zhǔn)SST 模型能更好地取得與實(shí)驗(yàn)和LES 數(shù)據(jù)的一致性，但也會(huì)存在高估旋轉(zhuǎn)/曲率引起的湍流抑制以及低估湍流增強(qiáng)的現(xiàn)象。

2.1.3 增加輸運(yùn)方程

受旋轉(zhuǎn)/曲率影響的湍流是高度各向異性的，而SST 模型的基礎(chǔ)是渦黏假設(shè)，本質(zhì)上不具備反映雷諾應(yīng)力各向異性的能力。發(fā)展對(duì)旋轉(zhuǎn)/曲率敏感化最合適的起點(diǎn)是對(duì)雷諾應(yīng)力各向異性張量的輸運(yùn)方程進(jìn)行理解和分析，如EARSM和RSM 模型，然后通過(guò)對(duì)這些模型做合理的簡(jiǎn)化，可以得到滿足應(yīng)用需要的簡(jiǎn)化模型，其優(yōu)點(diǎn)在于該簡(jiǎn)化模型也能一定程度上呈現(xiàn)雷諾應(yīng)力本身的特性，從而能夠更好地預(yù)測(cè)流場(chǎng)信息。除了上述這些方法外，通過(guò)增加新的輸運(yùn)方程來(lái)衡量旋轉(zhuǎn)/曲率效應(yīng)的修正方案是合理的，這里新增的輸運(yùn)變量主要是用來(lái)描述流動(dòng)的各向異性特征。

Durbin［50］提出的一個(gè)新變量為ν2，表示垂直于流線的湍流應(yīng)力，并給出了這一變量的輸運(yùn)方程為

受這一模型的啟發(fā)，Dhakal 和Walters［51］提出了對(duì)旋轉(zhuǎn)和曲率敏感的三方程模型，對(duì)渦黏性系數(shù)的定義為

ν2的輸運(yùn)方程為

λ的表達(dá)式為

式中：x=2(1-W/S)/9。相關(guān)參數(shù)含義可參考文獻(xiàn)［50］。

可以把ν2=λ2k作為旋轉(zhuǎn)效果的判斷變量，當(dāng)λ=1 時(shí)，渦黏性系數(shù)就恢復(fù)到標(biāo)準(zhǔn)SST 模型，當(dāng)λ＜1 時(shí)，旋轉(zhuǎn)/曲率修正生效。

圖2［51］展示了在旋轉(zhuǎn)管道流中不同修正模型對(duì)湍動(dòng)能分布的預(yù)測(cè)結(jié)果，其中縱坐標(biāo)k*已采用平均壁面摩擦速度的平方進(jìn)行歸一化。通過(guò)對(duì)比可知，三方程的SST 模型預(yù)測(cè)精度更好，這在于該模型結(jié)合了旋轉(zhuǎn)校正和各向異性輸運(yùn)方程，對(duì)存在系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)/曲線曲率的流場(chǎng)的預(yù)測(cè)精度進(jìn)一步提高。同樣地，其他修正也取得了正確的預(yù)測(cè)趨勢(shì)。

圖2 旋轉(zhuǎn)通道流湍動(dòng)能剖面［51］Fig. 2 Turbulent kinetic energy profile of rotating channel flow［51］

通過(guò)上述的分析可知，從不同的角度，使用不同的修正方法都能一定程度地提高SST 湍流模型在旋轉(zhuǎn)/曲率中的預(yù)測(cè)精度，而最具有發(fā)展前景的方向可能是突破Boussinesq 假設(shè)本身的桎梏，使雷諾應(yīng)力盡可能地呈現(xiàn)出各向異性的能力，逐漸趨于雷諾應(yīng)力本身的特性。RSM 和EARSM 模型是目前最趨于雷諾應(yīng)力本身性質(zhì)的湍流模型，而從宏觀上控制湍動(dòng)能或比耗散率的產(chǎn)生行為或耗散行為的修正方法要比從力的角度給出的修正方案表現(xiàn)出較差的預(yù)測(cè)性能。然而具有發(fā)展前景的是分岔模型和三方程模型，兩者都借鑒了EARSM 的求解方法和發(fā)展思路，這是使得修正后的SST 模型具有更好預(yù)測(cè)精度和更廣泛預(yù)測(cè)范圍的主要原因。此外，直接將渦黏性擴(kuò)展到應(yīng)變率的二階關(guān)系式或更高階的關(guān)系式，從而使雷諾應(yīng)力可以表現(xiàn)出各向異性的特征，也可以實(shí)現(xiàn)對(duì)旋轉(zhuǎn)/曲率效應(yīng)的捕捉。

2. 2 可壓縮效應(yīng)

壓力波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致流體單元體積波動(dòng)的湍流稱為可壓縮湍流，進(jìn)而通過(guò)速度、溫度和密度的脈動(dòng)，影響湍流平均運(yùn)動(dòng)［52］。Morkovin［53］研究了來(lái)流馬赫數(shù)＜5 的超聲速平板邊界層，并提出了Morkovin 假說(shuō)：脈動(dòng)密度的均方根相對(duì)于平均密度較小時(shí)，密度可以看作是一個(gè)被動(dòng)標(biāo)量，可壓縮湍流邊界層的結(jié)構(gòu)與不可壓縮湍流邊界層的結(jié)構(gòu)是相似的。Gatski 和Erlebacher［54］和Pirozzoli 等［55］也表明來(lái)流馬赫數(shù)＜5 時(shí)，可壓縮湍流和不可壓縮湍流大部分特性差異較小，可壓縮效應(yīng)可以忽略不計(jì)。Bradshaw［56］討論了湍流模型是否需要修正，指出不可壓湍流模型仍然是一個(gè)很好的基礎(chǔ)，甚至可以直接使用。基于這些研究，Morkovin 假說(shuō)被應(yīng)用于大多數(shù)工程可壓縮壁面湍流的計(jì)算，比如SST 湍流模型直接通過(guò)計(jì)及密度的影響而應(yīng)用到可壓縮流動(dòng)。

Coleman 等［57］指出可壓縮效應(yīng)對(duì)于可壓縮湍流2 個(gè)方面的影響：① 當(dāng)流場(chǎng)Ma＜5 時(shí)，可壓縮效應(yīng)主要影響平均量；② 壓縮效應(yīng)會(huì)影響到流場(chǎng)中熱力學(xué)量（壓力、密度和溫度等）的脈動(dòng)。在第1 種情況下，Morkovin 假說(shuō)在邊界層中較好地成立；在第2 種情況下，流體的可壓縮性會(huì)引起湍流結(jié)構(gòu)及湍流動(dòng)力學(xué)特性的變化，不能使用Morkovin 假說(shuō)?；诓豢蓧嚎s條件發(fā)展起來(lái)的SST 模型并不能正確反映這些變化，必須對(duì)其改進(jìn)，納入可壓縮效應(yīng)的影響。為了更好地理清楚可壓縮對(duì)流場(chǎng)的影響機(jī)制，Wilcox［58］、Sarkar［59］和Zeman［60］在模擬高速流動(dòng)中對(duì)流體的可壓縮性影響方面進(jìn)行了探索性研究，認(rèn)為由于壓縮或擴(kuò)張作用引起的湍動(dòng)能和熱能之間的交換是影響可壓縮湍流的重要因素?？蓧嚎s湍流中平均內(nèi)能、平均動(dòng)能和湍動(dòng)能之間能量傳遞方式如圖3［52］所示，圖中平均動(dòng)能、平均內(nèi)能和湍動(dòng)能之間的交換通過(guò)細(xì)箭頭所示的項(xiàng)進(jìn)行，該圖清晰地展示了能量與能量之間是通過(guò)哪些量直接影響的。

圖3 可壓縮湍流的能量平衡［52］Fig. 3 Balance of energy in compressible turbulent flow［52］

對(duì)可壓縮湍流流動(dòng)一般采用Favre 質(zhì)量加權(quán)平均方法進(jìn)行處理。在可壓縮條件下，密度ρ不再為常數(shù)，F(xiàn)avre 平均的湍動(dòng)能方程相對(duì)不可壓縮條件下的湍動(dòng)能方程主要變化在式（9）中的B″、E和F這3 項(xiàng)。E項(xiàng)和F項(xiàng)是由于體積膨脹而多出來(lái)的項(xiàng)，其中前者為脈動(dòng)壓力與脈動(dòng)速度散度的相關(guān)項(xiàng)（即壓力膨脹項(xiàng)），后者為脈動(dòng)湍流質(zhì)量通量與壓力的相關(guān)項(xiàng)（壓力做功項(xiàng)）［61］；B″項(xiàng)為采用Favre 平均方法而導(dǎo)致的可壓縮性耗散率。三大守恒方程在2 種情況下是相似的。

式中：P為Favre 平均的壓力；“～”表示Favre 平均；。

然而，SST 湍流模型是在不可壓縮條件下由近壁面湍流模型k-ω和自由流湍流模型k-ε組成，現(xiàn)在要使SST 湍流模型具備可壓縮效應(yīng)的捕捉能力，那么按照上面的分析可知，可壓縮條件下SST 模型中的k-ω模型在Ma＜5 的條件下變化不大，具有不可壓的特性；在Ma＞5 時(shí)，應(yīng)該能考慮邊界層流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的變化；而k-ε模型則應(yīng)該很好地反映流場(chǎng)中各脈動(dòng)量的可壓縮效應(yīng)。除此之外，可壓縮修正后的SST 模型還應(yīng)該能反映可壓縮下湍動(dòng)能和熱能之間的傳遞行為。

基于以上這些分析，下面將主要從考慮可壓縮效應(yīng)后模型方程中新增的項(xiàng)以及流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的變化等方面進(jìn)行闡述，同時(shí)給出考慮這些可壓縮效應(yīng)后的SST 湍流模型的主要變化，及其在預(yù)測(cè)能力上的改變。

2.2.1 湍動(dòng)能耗散率修正

通過(guò)上述分析可知，在輸運(yùn)方程k、ω以及ε等其中任意一方上的可壓縮改進(jìn)在理論上都可以被借鑒并引入SST 中。Sarkar［59］和Zeman［60］通過(guò)對(duì)可壓縮流的DNS 分析指出可壓縮性對(duì)湍流流場(chǎng)的影響是耗散的。

這里忽略了一些高階項(xiàng)。再令

進(jìn)一步變換得到

一般而言，

這一關(guān)系式在均勻湍流中是準(zhǔn)確的，在高雷諾數(shù)、非均勻湍流中也是一個(gè)很好的近似。

無(wú)散度耗散率是由能量級(jí)串過(guò)程引起的，且在各向同性湍流中只與脈動(dòng)渦量的平方有關(guān)，通常認(rèn)為該項(xiàng)不受可壓縮性影響，它可以被認(rèn)為是等效的“不可壓縮”耗散率，即。

而膨脹耗散率與脈動(dòng)速度的散度有關(guān)，只在可壓縮湍流中出現(xiàn)。

Zeman［62］假設(shè)可壓縮湍流流場(chǎng)中存在渦旋激波，這些渦旋激波直接影響膨脹耗散率，而不影響無(wú)散度耗散率。再對(duì)照實(shí)驗(yàn)和DNS 結(jié)果的分析，給出了表征可壓縮效應(yīng)的無(wú)量綱參數(shù)，湍流馬赫數(shù)Mat為

式中：c為當(dāng)?shù)芈曀佟?/p>

湍流馬赫數(shù)表征湍流波動(dòng)信息傳播速度與聲傳播速度的比值，這里湍動(dòng)能反映了湍流波動(dòng)傳遞信息的特征速度尺度。

基于湍流馬赫數(shù)對(duì)膨脹耗散率εd建模：

式中：γ為比熱比。

Sarkar［59］考慮了湍流波動(dòng)在聲學(xué)時(shí)間尺度上的演化，表明可壓縮性的變化對(duì)耗散率的無(wú)散度分量的影響相對(duì)于對(duì)膨脹分量的影響可以忽略不計(jì)。還觀察到膨脹耗散率與無(wú)散度耗散率之比與湍流馬赫數(shù)的平方有關(guān)?；趯?duì)聲波時(shí)間尺度上漲落演化的分析，給出的膨脹耗散率模型為

Wilcox［31］指出上述膨脹可壓縮修正都能很好地預(yù)測(cè)混合層的增長(zhǎng)速度，但都不能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)壁面邊界層情況下表面摩擦系數(shù)的變化。這表明流場(chǎng)的可壓縮效應(yīng)在不同的區(qū)域可能是不同的，即在流場(chǎng)中間或遠(yuǎn)離壁面區(qū)域的可壓縮機(jī)制，與近壁面邊界層的可壓縮機(jī)制存在差異，而這種差異不能僅僅反映在湍流馬赫數(shù)數(shù)值的變化上。

El Baz 和Launder［63］沒(méi)有給出εd的具體表達(dá)式，但從對(duì)不可壓縮模型進(jìn)行可壓縮修正的角度提出了一種修正，以解釋由于壓縮效應(yīng)而產(chǎn)生的額外耗散率，并選擇ε輸運(yùn)方程中耗散項(xiàng)的模型常數(shù)進(jìn)行修改，以此來(lái)匹配觀測(cè)到的可壓縮各向同性湍流的衰減率。這個(gè)常數(shù)修改為

有了上述工作，Wilcox［64］根據(jù)耗散率ε與比耗散率ω之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系ε=β*kω，對(duì)其變換后有

這表明可壓縮效應(yīng)在k和ω輸運(yùn)方程中是同時(shí)存在的?；赟arkar［59］和Zeman［62］對(duì)膨脹壓縮性修正的工作，Wilcox［64］改進(jìn)了輸運(yùn)方程中耗散項(xiàng)的常數(shù)系數(shù)β和β*，使其隨湍流馬赫數(shù)變化：

通過(guò)上述可知，一是找出無(wú)散度耗散率εs和膨脹耗散率εd之間的關(guān)系，從而在湍流模型中納入膨脹耗散的影響；二是直接修正輸運(yùn)方程中耗散項(xiàng)的系數(shù)來(lái)引入可壓縮膨脹耗散效應(yīng)。雖然采用的方式不同，但最終體現(xiàn)在湍流模型方程上的修正方式卻是類似的，即在無(wú)散度耗散率項(xiàng)前乘以表征可壓縮膨脹耗散效應(yīng)的函數(shù)，改變耗散項(xiàng)的表達(dá)，達(dá)到納入可壓縮膨脹耗散效應(yīng)影響的目的。

Erdem 和Kontis［65］類比k-ω湍流模型與SST模型有相似的結(jié)構(gòu)，直接將Wilcox［64］對(duì)膨脹耗散率的修正方法引入SST 模型中。可壓縮性參與了湍動(dòng)能方程中的耗散項(xiàng)和比耗散率方程中的耗散項(xiàng)。引入膨脹耗散影響的SST 湍流模型為

結(jié)果表明，在較寬的壓力比范圍內(nèi)，該方法與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，具有一定的預(yù)測(cè)精度。

Wilcox［64］在函數(shù)F(Mat)中使用了Mat0，這是為了在湍流馬赫數(shù)較高的可壓縮自由剪切層中膨脹可壓縮修正生效，而在趨于湍流馬赫數(shù)較低的邊界層近壁面區(qū)域不生效。Brown［66］發(fā)現(xiàn)對(duì)于馬赫數(shù)＞5 的湍流邊界層，湍流馬赫數(shù)很容易超過(guò)Mat0值，這導(dǎo)致了高馬赫數(shù)湍流邊界層的表面摩擦和換熱顯著減小。為了對(duì)馬赫數(shù)＞5 的情況也能使用這種可壓縮性校正，重新定義湍流馬赫數(shù)為

通過(guò)這一修正，可以實(shí)現(xiàn)可壓縮膨脹率修正只應(yīng)用在近壁面區(qū)域湍流邊界層的外部區(qū)域而無(wú)需考慮湍流馬赫數(shù)。Tu 等［67］評(píng)估了這種修正，并表明湍流馬赫數(shù)的修正使分離區(qū)域比標(biāo)準(zhǔn)SST 模型略小。

Suzen 和Hoffmann［68］將膨脹耗散的可壓縮效應(yīng)同時(shí)引入SST 模型中，但同時(shí)也考慮了壓力膨脹的效應(yīng)（式（9）中的F項(xiàng)），可壓縮效應(yīng)主要在SST 模型中的k-ε方程上進(jìn)行，然后通過(guò)混合函數(shù)F1將這些影響引入SST 模型中。

可壓縮修正后的SST 模型為

式（13）采用了Sarkar［59］提出的壓力膨脹耗散率?；椒ǎ?/p>

修正后的SST 模型包括了可壓縮耗散和壓力膨脹的影響。Tu 等［67］指出同時(shí)考慮膨脹耗散和壓力膨脹修正會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)的分離區(qū)域比實(shí)驗(yàn)測(cè)量的大，與標(biāo)準(zhǔn)SST 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比表現(xiàn)出更差的預(yù)測(cè)精度。

康宏琳［69］也在標(biāo)準(zhǔn)SST 模型的框架上給出了結(jié)合式（9）中B″、E和F這3 項(xiàng)可壓縮修正的湍流模型，旨在準(zhǔn)確模擬高超聲速湍流流動(dòng)，在這種流動(dòng)中基于不可壓縮條件發(fā)展的湍流模型已不再適用。

這些方法都旨在實(shí)現(xiàn)根據(jù)流場(chǎng)中局部湍流馬赫數(shù)信息來(lái)判斷在哪些區(qū)域引入膨脹可壓縮效應(yīng)修正，從而改善湍流模型對(duì)流場(chǎng)結(jié)構(gòu)捕捉精度的目的。

2.2.2 壓力膨脹項(xiàng)修正

式（9）中的E項(xiàng)為壓力膨脹項(xiàng)，是由于壓力波動(dòng)而同時(shí)引起的體積波動(dòng)所產(chǎn)生的功。它可以是正的，也可以是負(fù)的，為負(fù)數(shù)的情況下表示額外的耗散［59，62-63］。

Fujiwara 和Arakawa［70］對(duì)可壓縮各向同性和均勻剪切湍流的DNS 數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，壓力波動(dòng)和膨脹兩者的相關(guān)性可以用湍流雷諾數(shù)和湍流動(dòng)能產(chǎn)生與耗散率之比的影響來(lái)表征。Sarkar［59］對(duì)衰減的可壓縮湍流和均質(zhì)剪切湍流中的壓力膨脹相關(guān)性演化進(jìn)行了分析，建立了壓力波動(dòng)的泊松方程，考慮壓力波動(dòng)不可壓縮部分和可壓縮部分的演化，并將壓力波動(dòng)分解為快速變化部分和緩慢變化部分，基于不可壓縮湍流中壓力-應(yīng)變關(guān)系的建模思想，提出了對(duì)壓力膨脹項(xiàng)的修正：

Zeman［62］根據(jù)壓力波動(dòng)方差的輸運(yùn)方程的平衡，也給出了壓力膨脹項(xiàng)的模化公式：

式中：相關(guān)參數(shù)含義可參考文獻(xiàn)［62］。

El Baz［71］提出的修正主要是基于不可壓縮流動(dòng)中壓力-應(yīng)變相關(guān)項(xiàng)的模型，可壓縮性的變化是通過(guò)引入一個(gè)常數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，這個(gè)常數(shù)被認(rèn)為是可壓縮性的一個(gè)本征函數(shù)，在不可壓縮極限時(shí)其值為零。由此得到了壓力膨脹項(xiàng)的模型為

Shyy 和Krishnamurty［61］指出Sarkar［59］模型以及El Baz［71］的模型都是用于混合層的，當(dāng)將其應(yīng)用于邊界層時(shí)，它們會(huì)降低湍動(dòng)能的水平，這是一個(gè)不希望出現(xiàn)的結(jié)果；Zeman［62］提出的模型改善了邊界層中對(duì)數(shù)層分布規(guī)律的預(yù)測(cè)。

壓力膨脹修正也表明，可壓縮效應(yīng)在流場(chǎng)的不同區(qū)域表現(xiàn)出不同的物理行為，基于混合層發(fā)展的壓力膨脹修正模型應(yīng)用于壁面邊界層時(shí)不能提高預(yù)測(cè)精度。然而目前的修正方案還無(wú)法根據(jù)修正公式嚴(yán)格地區(qū)分這些。

2.2.3 壓力做功項(xiàng)修正

雙方程模型在不可壓縮流體中成功的原因之一是，除了εs或ω輸運(yùn)方程外，所有其他方程都是精確輸運(yùn)方程的模型形式。對(duì)于可壓縮流動(dòng)，湍動(dòng)能方程經(jīng)過(guò)Favre 變換后，除了上述2 處不同之外，還有式（9）中的F項(xiàng)，其是湍流質(zhì)量通量與壓力梯度之間的相關(guān)項(xiàng)，這一項(xiàng)的未知量是湍流質(zhì)量通量，表明可壓縮性的影響是通過(guò)密度變化來(lái)實(shí)現(xiàn)的。此外，湍流質(zhì)量通量似乎也是非均勻可壓縮湍流的基礎(chǔ)，因?yàn)槠浔碚髌骄芏忍荻鹊挠绊?，可以類比各向異性張量表征的是平均速度梯度的影響?/p>

Ristorcelli［74］指出，除非存在較大的密度梯度，否則質(zhì)量通量對(duì)常見(jiàn)的單向剪切流（如平板邊界層和各種自由剪切層）的貢獻(xiàn)不大。預(yù)計(jì)質(zhì)量通量項(xiàng)在更復(fù)雜的流動(dòng)中是重要的：這些流動(dòng)包括由于高馬赫數(shù)或燃燒、分離或再附著（拐點(diǎn)）、冷壁面邊界條件、平均膨脹、沖擊、逆壓梯度或在斜坡型流動(dòng)中發(fā)生的強(qiáng)流向流動(dòng)。因此，提出了對(duì)湍流質(zhì)量通量的可壓縮修正方法，試圖通過(guò)湍流質(zhì)量通量模型來(lái)引入壓力做功項(xiàng)對(duì)湍流增強(qiáng)或減弱的影響。

Gaviglio 等［75］在實(shí)驗(yàn)中觀察到的總焓不變是成立的?；谶@一點(diǎn)，Krishnamurty 和Shyy［72］假定滯止焓是不變的，由此推導(dǎo)出了湍流質(zhì)量通量的表達(dá)式為

式中：相關(guān)變量含義可參考文獻(xiàn)［75］。

Rubesin［76］特別引入了關(guān)于波動(dòng)焓的假設(shè)，并要求規(guī)定一個(gè)多變常數(shù)，提出對(duì)質(zhì)量通量的?；癁?/p>

式中：相關(guān)變量含義可參考文獻(xiàn)［76］。

Ristorcelli［74］對(duì)質(zhì)量通量的建模進(jìn)行了回顧，通過(guò)推導(dǎo)湍流質(zhì)量通量的演化方程，得到質(zhì)量通量與平均密度梯度成正比的結(jié)論。Chassaing［77］在對(duì)可變密度湍流的回顧中給出了對(duì)質(zhì)量通量的模型：

劉景源［78］研究了上述可壓縮修正的SST 模型與標(biāo)準(zhǔn)SST 模型在高超聲速繞流中的表現(xiàn)，表明可壓縮修正后的SST 模型具有更高的預(yù)測(cè)精度。甘文彪等［79］在分離流動(dòng)中使用了可壓縮修正的SST 模型，表明適當(dāng)?shù)目蓧嚎s修正能改善超聲速和高超聲速分離流動(dòng)的預(yù)測(cè)。

2.2.4 其他可壓縮性修正

針對(duì)在可壓縮條件下湍動(dòng)能輸運(yùn)方程新增項(xiàng)的建模工作已經(jīng)有很多，并取得了一定的成果，但將全部的可壓縮修正方案統(tǒng)一應(yīng)用于流動(dòng)計(jì)算中，并且取得較好結(jié)果的公開(kāi)資料卻很少?；诓煌锢砑僭O(shè)發(fā)展起來(lái)的可壓縮修正模型耦合應(yīng)用仍然需進(jìn)一步探索和研究。2.2.1～2.2.3 節(jié)的內(nèi)容闡述了在可壓縮條件下湍動(dòng)能k方程中新增的膨脹耗散率部分、壓力膨脹部分和壓力做功部分，在理論上給出了精確的湍動(dòng)能方程，并對(duì)其新增的部分給出了合適的建模方法，使得湍動(dòng)能方程盡可能多地涵蓋了流場(chǎng)的信息。然而雙方程輸運(yùn)模型以及其中的SST 湍流模型除了包含有湍動(dòng)能方程外，還有比耗散率ω輸運(yùn)方程或耗散率ε（ε=β*kω）輸運(yùn)方程。通過(guò)Navier-Stokes 方程和湍動(dòng)能方程可推導(dǎo)ε精確的輸運(yùn)方程，并且研究表明，可壓縮下的ε方程與不可壓下的有所不同，這一點(diǎn)與湍動(dòng)能方程是一致的，即也會(huì)出現(xiàn)類似湍動(dòng)能方程一樣的可壓縮效應(yīng)。

Krishnamurty 和Shyy［72］認(rèn)為精確的耗散率輸運(yùn)方程在考慮可壓縮效應(yīng)后，會(huì)像湍動(dòng)能方程一樣出現(xiàn)一些具有可壓縮特征的項(xiàng)，并將這與無(wú)散度耗散率輸運(yùn)方程形式不同的項(xiàng)稱之為斜壓扭矩影響的項(xiàng)（Bε），這是由壓力梯度和密度梯度方向不同而產(chǎn)生的產(chǎn)生項(xiàng)。εs輸運(yùn)方程通常遵循不可壓縮形式，從而忽略了斜壓扭矩的影響。而缺乏Bε的影響可能是造成計(jì)算不準(zhǔn)確的原因之一，故對(duì)Bε進(jìn)行了?；?，并將其加入到無(wú)散度耗散率 輸運(yùn)方程中以考慮這一影響。Bε的?；问綖?/p>

式中：Cε1=1.43，需要指出的是沒(méi)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或DNS 數(shù)據(jù)來(lái)指導(dǎo)選擇這個(gè)常數(shù)。

除此之外，隨著馬赫數(shù)的增加，流場(chǎng)的結(jié)構(gòu)也會(huì)有所變化?；诓豢蓧嚎s條件發(fā)展起來(lái)的可壓縮湍流模型認(rèn)為流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的變化不大，并認(rèn)為不需要特意考慮這一影響。正如Morkovin［53］指出的，在馬赫數(shù)＜5 的情況下，可壓縮湍流邊界層的結(jié)構(gòu)與不可壓縮湍流邊界層的結(jié)構(gòu)是相似的。但這也意味著馬赫數(shù)越大邊界層的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)存在改變的可能性，而自由流區(qū)域更有可能。為了提高預(yù)測(cè)精度，在湍流模型中引入結(jié)構(gòu)變化的影響也是必不可少的。

Sarkar［80］較早地研究了可壓縮流動(dòng)下流場(chǎng)結(jié)構(gòu)是否會(huì)發(fā)生變化的問(wèn)題，觀測(cè)表明可壓縮性會(huì)極大地減少湍動(dòng)能的再分配行為。研究發(fā)現(xiàn)梯度馬赫數(shù)可以很好地作為一個(gè)無(wú)量綱參數(shù)來(lái)衡量可壓縮對(duì)流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的影響，梯度馬赫數(shù)為

式中：l為湍流長(zhǎng)度尺度；c為聲速。

最初最具代表性的結(jié)構(gòu)壓縮效應(yīng)模型，是由Heinz［81］提出的，通過(guò)對(duì)的值與湍動(dòng)能產(chǎn)生率和耗散率比值的研究，對(duì)k-ε模型中的常數(shù)Cμ進(jìn)行了修正，使其隨梯度馬赫數(shù)進(jìn)行變化來(lái)引入可壓縮對(duì)流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的影響，這也就是說(shuō)常數(shù)Cμ可以表征為流場(chǎng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)：

而當(dāng)梯度馬赫數(shù)為0 時(shí)，系數(shù)的值與不可壓下的常數(shù)值0.09 不一致，因此Niu 和Hou［82］將其改進(jìn)為

Cμ和SST 模型中的系數(shù)β*是一致的，將上述修正應(yīng)用到SST 模型當(dāng)中去，只要進(jìn)行替換。

韓省思［83］指出通過(guò)Cμ=0.09exp (-0.4Mag)表征的結(jié)構(gòu)可壓縮修正來(lái)計(jì)算耦合的湍流渦黏性μt可能會(huì)產(chǎn)生較大的誤差甚至錯(cuò)誤的結(jié)果，為解決這一問(wèn)題，引入了Durbin［84］提出的渦黏性可實(shí)現(xiàn)性限定來(lái)保證其在正確的范圍，限定式為

此外，SST 模型中在近壁面區(qū)域內(nèi)采用的是Bradshaw 的假設(shè)，即湍流邊界層中的主湍流應(yīng)力與湍流動(dòng)能成正比，由此引入了結(jié)構(gòu)參數(shù)a1，并取值0.31，這是基于不可壓縮平衡邊界層數(shù)據(jù)。值得注意的是，可壓縮零壓力梯度邊界層的結(jié)構(gòu)參數(shù)也表現(xiàn)出相似的值［85-86］。而對(duì)于非平衡可壓縮流，結(jié)構(gòu)參數(shù)值需要增大才能獲得更好的預(yù)測(cè)結(jié)果。劉景源［87］指出SST 湍流模型引入的結(jié)構(gòu)參數(shù)a1在高超聲速繞流中并不成立。一些研究者在使用標(biāo)準(zhǔn)SST 模型研究激波不穩(wěn)定現(xiàn)象中也指出，Menter［2］校準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)參數(shù)a1在預(yù)測(cè)激波誘導(dǎo)分離中有較大的影響。Georgiadis 和Yoder［88］在激波/湍流邊界層相互干擾（Shock Wave/Turbulent Boundary Layer Interaction， SWTBLI）的流動(dòng)中研究了0.31 ≤a1≤0.4 范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)參數(shù)a1的影響規(guī)律，表明渦黏系數(shù)限制器中結(jié)構(gòu)參數(shù)在預(yù)測(cè)雷諾應(yīng)力中確實(shí)存在重要影響，將a1提升到0.355 附近，可以顯著提高激波與湍流邊界層相互作用的分離流預(yù)測(cè)精度，如表1［88］所示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和SST 模型對(duì)分離程度的測(cè)量結(jié)果。Evans 和Lardeau［89］進(jìn)一步指出將結(jié)構(gòu)參數(shù)a1提高到0.355，它可以完全消除SST 模型中渦黏系數(shù)限制器本身的任何影響，但在許多復(fù)雜的流動(dòng)配置中得到了很大的改善，在復(fù)雜的流動(dòng)結(jié)構(gòu)中，將a1增加到至少0.36 可得到更穩(wěn)定的解?？傮w而言，標(biāo)準(zhǔn)SST 湍流模型中的結(jié)構(gòu)參數(shù)a1在很大程度上高估了分離區(qū)域的湍流黏度比，同時(shí)也低估了回流區(qū)域的湍流黏度比，而通過(guò)改變結(jié)構(gòu)參數(shù)的值可以實(shí)現(xiàn)更好的預(yù)測(cè)精度。

表1 在Ma=2.25 的UFAST SWTBLI 算例中實(shí)驗(yàn)與不同a1值的SST 模型對(duì)分離程度的測(cè)量結(jié)果［88］Table 1 Measurement results of separation extent for experiment and SST model with different a1 in UFAST SWTBLI of Ma=2.25［88］

通過(guò)以上的研究可知，可壓縮效應(yīng)的影響隨著馬赫數(shù)的增加而不斷增強(qiáng)，雖然應(yīng)用不可壓縮條件發(fā)展的湍流模型能取得一定精度的計(jì)算結(jié)果，但完備的可壓縮模型在理論上是更完備的。針對(duì)可壓縮效應(yīng)的脈動(dòng)關(guān)聯(lián)項(xiàng)以及流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的變化等開(kāi)展了工作，得出了一些有意義的結(jié)論，可壓縮性是區(qū)域性的，但單獨(dú)使用基于湍流馬赫數(shù)或梯度馬赫數(shù)發(fā)展的可壓縮機(jī)理還不能很好地表征可壓縮效應(yīng)，直接耦合不同的可壓縮修正也難以取得更好的預(yù)測(cè)精度，這可能在于可壓縮下建模的脈動(dòng)關(guān)聯(lián)項(xiàng)在本質(zhì)上也是流動(dòng)物理的產(chǎn)生行為、耗散行為和擴(kuò)散行為中的一部分。

2. 3 激波不穩(wěn)定性效應(yīng)

無(wú)論是膨脹可壓縮性修正還是結(jié)構(gòu)可壓縮性修正，均是在可壓縮混合層這一基本自由發(fā)展的湍流流動(dòng)研究中發(fā)展來(lái)的，而本節(jié)的出發(fā)點(diǎn)旨在將激波/湍流邊界層相互作用這一基本物理現(xiàn)象對(duì)流場(chǎng)的影響納入湍流模型中。

過(guò)去幾十年通過(guò)壓縮角、膨脹壓縮角、正激波和斜激波等裝置［90-92］對(duì)SWTBLI 做了廣泛的研究，在高速環(huán)境中激波與湍流邊界層之間的耦合非常強(qiáng)，常伴隨著邊界層分離和激波低頻脈動(dòng)現(xiàn)象。流動(dòng)分離常常與逆壓梯度相統(tǒng)一，而對(duì)于產(chǎn)生激波低頻不穩(wěn)定現(xiàn)象的機(jī)理仍沒(méi)有完全統(tǒng)一。在激波與均勻各向同性湍流、均勻剪切湍流、湍流射流、剪切層、湍流尾流等相互作用研究的回顧中可知［93-97］，激波區(qū)域中的湍流特征速度、時(shí)間和長(zhǎng)度尺度發(fā)生了很大的變化，而這取決于激波的強(qiáng)度、方向、位置和形狀，以及流動(dòng)幾何形狀和邊界條件，但速度波動(dòng)的放大和長(zhǎng)度尺度的實(shí)質(zhì)性變化是激波/湍流邊界層相互作用最本質(zhì)的結(jié)果。

張昊元等［98］研究了SST 模型中湍動(dòng)能k忽略對(duì)RANS 方程的影響，指出部分湍動(dòng)能項(xiàng)的忽略會(huì)改變有效平均壓力場(chǎng)，從而影響分離點(diǎn)附近的逆壓梯度，使得流動(dòng)分離區(qū)范圍大幅度變化。Clemens 和Narayanaswamy［96］提出剪切層卷吸再補(bǔ)給機(jī)制來(lái)描述激波的低頻脈動(dòng)，認(rèn)為上游邊界層波動(dòng)似乎是擾動(dòng)的一個(gè)重要來(lái)源，且影響隨著分離流尺寸的增大而減小。此外，范孝華等［99］就激波低頻非定常性的幾種物理機(jī)制做了評(píng)述，指出不同的物理機(jī)制都在一定程度上提及了上游/下游機(jī)制的綜合作用，表明調(diào)和上游/下游機(jī)制之間的爭(zhēng)論，對(duì)于解決SWTBLI 低頻非定常性的驅(qū)動(dòng)機(jī)制具有較大潛力。程劍銳等［100］構(gòu)建了一種新的彎曲激波/邊界層干擾理論體系，將流場(chǎng)劃分為彎曲激波/膨脹波干擾區(qū)、彎曲激波/分離激波干擾區(qū)和邊界層流動(dòng)分離區(qū)3 個(gè)典型流動(dòng)區(qū)域。這些工作為更好地將激波/湍流邊界層干擾流動(dòng)物理納入湍流模型中奠定了基礎(chǔ)。

2010 年AIAA 的SWTBLI 研討會(huì)報(bào)告指出，湍流模型對(duì)激波/湍流邊界層相互作用預(yù)測(cè)的影響與網(wǎng)格的影響一樣強(qiáng)烈［101］。Vieira 和Azevedo［102］比較了不同湍流模型的預(yù)測(cè)能力，指出相較于其他渦黏模型，SST 湍流模型在大多數(shù)SWTBLI 情況下顯示了更好的結(jié)果。EARSM和RSM 是可以改善結(jié)果的替代方案［103］。

盡管標(biāo)準(zhǔn)SST 湍流模型在預(yù)測(cè)激波/湍流邊界層的相互干擾中整體表現(xiàn)出較好的結(jié)果，但其計(jì)算的平均激波厚度比實(shí)驗(yàn)中觀察到的更小，這在于激波不穩(wěn)定性導(dǎo)致激波平均厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于穩(wěn)態(tài)激波的平均厚度，而標(biāo)準(zhǔn)SST 模型并沒(méi)有考慮這一物理現(xiàn)象。此外，激波厚度還取決于計(jì)算的數(shù)值格式和激波附近網(wǎng)格的分辨率［101］。Sinha等［104］指出計(jì)算的激波變薄，會(huì)使得湍動(dòng)能和無(wú)散度耗散率的放大量迅速增加，而這是由于產(chǎn)生項(xiàng)和壓力膨脹項(xiàng)與激波厚度倒數(shù)相關(guān)的非物理變化導(dǎo)致，通過(guò)對(duì)相關(guān)工作的歸納整理，認(rèn)為原來(lái)的渦流黏度假設(shè)在通過(guò)激波的高度非平衡流中失效，但通過(guò)等式，將渦黏性μt設(shè)為0，能獲得更精確的湍動(dòng)能k。進(jìn)一步指出，非定常激波運(yùn)動(dòng)會(huì)抑制k在激波區(qū)域中的放大，并建議通過(guò)抑制激波區(qū)域內(nèi)湍流動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)或渦黏系數(shù)從一定程度上衡量激波不穩(wěn)定性效應(yīng)。根據(jù)線性分析結(jié)果，提出了一個(gè)可行的激波不穩(wěn)定性修正模型，要求在激波區(qū)域湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)的計(jì)算式為

式中：b′1為激波非穩(wěn)態(tài)參數(shù)，表征由激波不穩(wěn)定性和上游速度波動(dòng)之間的耦合引起的阻尼效應(yīng)，當(dāng)M1n＜1 時(shí)，不應(yīng)用激波不穩(wěn)定性修正；u1為激波前的來(lái)流速度；c1為激波前的當(dāng)?shù)芈曀?。M1n是在相對(duì)于激波靜止的參考系中的測(cè)量值。

為將這一約定與原來(lái)的湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)公式耦合起來(lái)，故將湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)中的渦黏性μt替換為，故有

以此實(shí)現(xiàn)在激波區(qū)域內(nèi)對(duì)k的捕捉［105］。

在k-ω模型中，fs和ξ的求解方式為

式中：激波區(qū)域根據(jù)比值Sii/Ss確定，在高可壓縮區(qū)域fs=1，在不可壓縮區(qū)域中fs=0。

激波不穩(wěn)定性修正僅適用于k方程。激波不穩(wěn)定模型改變了平均動(dòng)能和湍流動(dòng)能之間的傳遞，但不影響總能量的整體守恒。此外，使用激波不穩(wěn)定修正獲得的解是穩(wěn)態(tài)的，并且修正考慮的是沖擊不穩(wěn)定的平均效應(yīng)。采用這一修正可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)激波/均勻湍流相互作用下湍動(dòng)能k的放大。

后續(xù)工作中對(duì)C′μ和fs的求解方式為［106-108］

式中：U∞為自由流速度；δ0為入射邊界層厚度。Raje 和Sinha［109-110］進(jìn)一步將激波/湍流邊界層相互干擾的物理納入SST 模型中，此外還納入了各向異性和流場(chǎng)結(jié)構(gòu)變化的物理模型，類比Menter［2］的分析，湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)的等效形式為

即湍動(dòng)能的產(chǎn)生項(xiàng)用等效雷諾應(yīng)力τeq和平均膨脹Sii表示。根據(jù)近壁面邊界層附近雷諾應(yīng)力正比于湍動(dòng)能的關(guān)系，可得

式中：su為考慮激波不穩(wěn)定效應(yīng)的參數(shù)。

通過(guò)變換可以得到

將其寫成SST 模型中渦黏系數(shù)的表達(dá)形式：

需要指出的是，這里使用的是應(yīng)變率張量的值S，而不是渦量張量的值Ω。對(duì)于弱激波，激波非定常模型參數(shù)su假定值為2 左右；對(duì)于M1n→∞，su的漸近線為1.29，這表明激波不穩(wěn)定性修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)取值在0.4 ≤≤0.62 范圍內(nèi)。更大的產(chǎn)生較小的分離和相互作用區(qū)域。 此外激波強(qiáng)度也有影響。 Raje 和Sinha［109-110］選擇=0.4 作為激波區(qū)域結(jié)構(gòu)參數(shù)的極限值，以滿足整個(gè)馬赫數(shù)范圍的約束，而且選取恒定的結(jié)構(gòu)參數(shù)常數(shù)值使得模型方便實(shí)現(xiàn)。

最后通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)SST 模型中混合函數(shù)F2進(jìn)行改進(jìn)納入修正，改進(jìn)后的混合函數(shù)為

混合函數(shù)F′2保證了只在邊界層中有效，然后通過(guò)比較，由fs識(shí)別出激波區(qū)域，它從激波區(qū)域外的0 值光滑地過(guò)渡到激波區(qū)域內(nèi)的數(shù)值1。用到的一些其他關(guān)系為

式中：相關(guān)變量含義請(qǐng)參考文獻(xiàn)［109］。

圖4［110］展示了納入激波/湍流邊界層相互干擾現(xiàn)象的SST 模型與其他模型在壓縮拐角中的預(yù)測(cè)結(jié)果。通過(guò)對(duì)比可知，考慮了激波不穩(wěn)定影響的SST 模型顯示出了更好的預(yù)測(cè)能力，明顯改善了對(duì)激波誘導(dǎo)分離點(diǎn)和再附著點(diǎn)的預(yù)測(cè)。

圖4 Ma=8 的SWTBLI 案例中不同斜坡角下不同湍流模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的壁面壓力結(jié)果比較［110］Fig. 4 Comparison of wall pressure profile from different turbulence models with experimental data under different slope angles in SWTBLI case of Ma=8［110］

激波區(qū)域內(nèi)各種流動(dòng)參數(shù)變化較劇烈，相應(yīng)的梯度也較大，該區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)是一個(gè)高度非平衡的流動(dòng)，從廣義上說(shuō)，結(jié)構(gòu)可壓縮性和激波不穩(wěn)定性均表征了高馬赫數(shù)湍流的非平衡特性，兩者之間存在統(tǒng)一，韓省思等［111］指出，開(kāi)展激波不穩(wěn)定性修正工作可以在一定程度上借鑒結(jié)構(gòu)可壓縮修正的方法和思路。Niu 和Hou［82］也提出根據(jù)激波不穩(wěn)定性會(huì)導(dǎo)致湍動(dòng)能預(yù)測(cè)過(guò)大的現(xiàn)象，可直接在湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)上設(shè)置限定值來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)激波不穩(wěn)定性的修正。

上述對(duì)激波與湍流邊界層相互干擾對(duì)流場(chǎng)的影響進(jìn)行了分析，并給出了一些提高預(yù)測(cè)精度的方案，然這些方法的主題都是針對(duì)流動(dòng)經(jīng)過(guò)激波區(qū)域后湍動(dòng)能會(huì)增加這一現(xiàn)象來(lái)開(kāi)展工作的，有的是直接限定湍動(dòng)能的產(chǎn)生項(xiàng)，有的是將激波效應(yīng)耦合在渦黏性表達(dá)式上，還有的是通過(guò)改進(jìn)渦黏系數(shù)中的常數(shù)值來(lái)考慮激波/湍流邊界層的相互作用效應(yīng)。然而，目前處理激波問(wèn)題有效的手段是改進(jìn)SST 湍流模型中結(jié)構(gòu)參數(shù)的數(shù)值大小，將激波與湍流邊界層相互干擾的物理現(xiàn)象納入湍流模型中仍需進(jìn)一步的研究。

2. 4 雷諾應(yīng)力各向異性效應(yīng)

在平均應(yīng)變率突變的、流過(guò)曲面的、帶二次運(yùn)動(dòng)管道的、三維的和激波/湍流相互作用的流動(dòng)中SST 湍流模型不能獲得較好的預(yù)測(cè)結(jié)果［112-113］。在這些流動(dòng)中，雷諾應(yīng)力均表現(xiàn)出強(qiáng)烈的各向異性，而SST 模型采用的是雷諾應(yīng)力與平均應(yīng)變率之間的線性關(guān)系，這使得SST 模型在本質(zhì)上不能正確地反映這類流場(chǎng)現(xiàn)象。Pope［114］對(duì)Boussinesq 線性渦黏假設(shè)在具有各向異性的或強(qiáng)逆壓梯度的流場(chǎng)中的預(yù)測(cè)能力不足，提出了非線性渦黏性湍流模型理論，以使雷諾應(yīng)力表達(dá)式具有表達(dá)各向異性的能力。非線性渦黏湍流模型基本思想是將一階應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系拓展到更高階，使雷諾應(yīng)力張量不僅包含剪切應(yīng)變張量的線性相關(guān)項(xiàng)，而且還包含剪切應(yīng)變張量和旋轉(zhuǎn)應(yīng)變張量的高階點(diǎn)積復(fù)雜相關(guān)項(xiàng)［115］，非線性雷諾應(yīng)力可以表示為

式中：α′n為模型常數(shù)；為流場(chǎng)量的張量形式。

數(shù)學(xué)上嚴(yán)格推導(dǎo)出的各非線性項(xiàng)表達(dá)形式確定不變，但各項(xiàng)的系數(shù)不確定，由此可以構(gòu)造不同的非線性湍流模型。對(duì)于SST 湍流模型，2 個(gè)輸運(yùn)量仍通過(guò)求解常規(guī)的兩方程得到。

在工程實(shí)際應(yīng)用中，常使用介于一般的線性雙方程模型和完全非線性模型之間的中間模型，這在一定程度上能實(shí)現(xiàn)各向異性的能力，也能較線性模型更好地預(yù)測(cè)一些流動(dòng)現(xiàn)象，并且簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，計(jì)算量不大。其基本思想是在不引入更高階應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的前提下，改進(jìn)雷諾應(yīng)力或渦黏性的表達(dá)式［116］。

例如，目前常用的雷諾應(yīng)力關(guān)系：τij=，在i、j、k這3 個(gè)主流方向上，正應(yīng)力引入了湍動(dòng)能k的影響，但切應(yīng)力仍采用與應(yīng)變率的線性關(guān)系。又例如，SST 湍流模型使用的渦黏性系數(shù)的定義：νt=，在湍流邊界層中，采用了Bradshaw 提出的雷諾應(yīng)力正比于湍動(dòng)能的假設(shè)，渦黏性與渦量有關(guān)。

這些方法在本質(zhì)上偏離了線性的應(yīng)力-應(yīng)變線性關(guān)系，在某些方向上、某些流場(chǎng)區(qū)域中表現(xiàn)出一定的非線性，從而表現(xiàn)了一定的各向異性，但不具有非線性渦黏的通用表達(dá)形式，故而稱其是弱非線性的。

為了更好地捕捉大流向梯度、流體分離、撞擊、流線彎曲/旋轉(zhuǎn)下的流動(dòng)現(xiàn)象，Wilcox 和Rubesin［117］發(fā)展了二階應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的WR 模型。Shih 等［118］也提出了典型的二階SZL 模型。除此之外，也發(fā)展出了一些三階應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的模型：CLS 模型［119］和AL 模型［120］。但這些非線性模型較為復(fù)雜，應(yīng)用不方便，沒(méi)有得到廣泛使用。

事實(shí)上，在翼身接合區(qū)角回流區(qū)流動(dòng)和三維強(qiáng)激波誘導(dǎo)分離等典型航空分離流流動(dòng)問(wèn)題中雷諾應(yīng)力模型較渦黏模型更有優(yōu)勢(shì)［121］。然而，只要將線性的雷諾應(yīng)力表達(dá)式拓展到應(yīng)力-應(yīng)變的二階關(guān)系式就能使雷諾應(yīng)力具有各向異性，能更好地反映流場(chǎng)現(xiàn)象，滿足工程應(yīng)用的需求。RSM輸運(yùn)方程是雷諾應(yīng)力的具體表達(dá)形式，完整地體現(xiàn)了雷諾應(yīng)力的各向異性，是非線性渦黏模型建模工作很好的起點(diǎn)?；赗SM 發(fā)展起來(lái)的EARSM 不僅簡(jiǎn)化了對(duì)雷諾應(yīng)力各項(xiàng)的建模工作，而且為改進(jìn)渦黏模型本構(gòu)關(guān)系提供了適合的思路和方法。通過(guò)將雷諾應(yīng)力輸運(yùn)模型層面對(duì)部分高階物理過(guò)程的描述轉(zhuǎn)移到SST 湍流模型層面上，可解決SST 模型對(duì)各向異性預(yù)測(cè)能力不足的問(wèn)題，達(dá)到拓寬SST 應(yīng)用范圍和預(yù)測(cè)精度的目的。

Raje 和Sinha［109-110］在擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)SST 模型的適用性和有效性范圍的工作中，選擇了EARSM作為改進(jìn)非線性關(guān)系的研究對(duì)象。根據(jù)Wallin和Johansson［122］指出的，雷諾應(yīng)力與平均應(yīng)變率和渦度張量之間的一般關(guān)系可以用有效湍流渦黏性和額外的各向異性項(xiàng)表示：

選擇在預(yù)測(cè)跨聲速分離流中取得成功的二次應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系［123］?；~外的各向異性項(xiàng)，其為局部平均應(yīng)變率的函數(shù)：

式中：τ=1/(Cμω)為湍流時(shí)間尺度。各向異性參數(shù)的定義為

需要用到的一些其他關(guān)系為

式中：gc為Rung 等［123］采用的壓力膨脹模型形式的壓縮系數(shù)修正，模擬了壓力-應(yīng)變關(guān)系的膨脹部分，這代表了湍流的重新分布和松弛的機(jī)制。

然后通過(guò)以下渦黏性關(guān)系，耦合到SST 模型中：

式中：F2′ 已在2.3 節(jié)中闡述；為實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)可壓縮修正和激波不穩(wěn)定修正而給出的相關(guān)修正函數(shù)［109-110］。圖5［110］給出了激波/湍流邊界層相互作用區(qū)域附近值的分布，可以看出改進(jìn)后的SST模型（SUQ-SST）給出的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)得到的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)是一致的，在激波/湍流邊界層相互干擾的、具有雷諾應(yīng)力各向異性的流動(dòng)中給出了較好的預(yù)測(cè)，即納入應(yīng)力-應(yīng)變二次關(guān)系式增強(qiáng)了SST 模型在反映各向異性上的能力。

圖5 激波/湍流邊界層相互作用區(qū)域附近流場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與SUQ-SST 模擬結(jié)果對(duì)比［110］Fig. 5 Comparison of experimental data and SUQSST simulation results of flow field near shock/turbulent boundary layer interaction region［110］

為了改善Boussinesq 假設(shè)的局限性，研究者一直探究實(shí)現(xiàn)雷諾應(yīng)力原本能力的方法，但多年來(lái)對(duì)Boussinesq 的使用，奠定了渦黏假設(shè)關(guān)系框架不變是改進(jìn)研究的基礎(chǔ)。目前大多改善雷諾應(yīng)力表達(dá)式的方法是通過(guò)增加額外的項(xiàng)或修正模型系數(shù)來(lái)完善雷諾應(yīng)力表達(dá)式的表達(dá)能力，主要是采用流場(chǎng)中的應(yīng)變率張量和渦量參數(shù)。這在一定程度上實(shí)現(xiàn)了雷諾應(yīng)力的各向異性，而且需要較少的計(jì)算量，同時(shí)也沒(méi)有增加SST 湍流模型的復(fù)雜度。更好地復(fù)現(xiàn)雷諾應(yīng)力的特征，EARSM 和RSM 是雷諾應(yīng)力進(jìn)一步改善的主要參考依據(jù)。

2. 5 應(yīng)力-應(yīng)變偏差效應(yīng)

目前對(duì)k-ωSST 湍流模型已經(jīng)做了許多改進(jìn)工作，以解決其在旋轉(zhuǎn)/曲率、可壓縮性和各向異性流動(dòng)中預(yù)測(cè)不準(zhǔn)的問(wèn)題。然而，這些解決方案在工業(yè)中并不普遍使用，因?yàn)樗鼈兘?jīng)常被發(fā)現(xiàn)要么不可靠（在特定地區(qū)改善結(jié)果，在其他地區(qū)惡化結(jié)果），要么不夠穩(wěn)?。y以實(shí)現(xiàn)完全融合），要么不完整。每個(gè)修復(fù)都會(huì)帶來(lái)一系列的問(wèn)題。從RANS 的角度來(lái)看，Boussinesq 假設(shè)只使用了雷諾應(yīng)力與應(yīng)變率張量的一階線性關(guān)系，即使在非線性等修正中，試圖引入二階、三階、甚至更高階的關(guān)系，但總的來(lái)說(shuō)，在應(yīng)力-應(yīng)變之間仍然存在偏差，而忽略偏差可能會(huì)導(dǎo)致過(guò)高估計(jì)湍流動(dòng)能的產(chǎn)生，特別是在非平衡湍流中應(yīng)力-應(yīng)變偏差起著重要作用。

為衡量Boussinesq 近似關(guān)系引起的應(yīng)力-應(yīng)變偏差的影響，Revell 等［124］在傳統(tǒng)的線性渦黏模型上，研究了應(yīng)變張量與應(yīng)力張量主分量之間的不對(duì)齊，并稱其為滯后模型研究，而所謂的滯后模型是從RSM 模型一個(gè)潛在的解導(dǎo)出的，這避免了使用完整RSM 模型的復(fù)雜性，同時(shí)引入了應(yīng)力-應(yīng)變偏差的影響。從本質(zhì)上說(shuō)，在應(yīng)力-應(yīng)變偏差較大的區(qū)域，滯后會(huì)改變湍流動(dòng)能的產(chǎn)生，從而改善湍流剪應(yīng)力的預(yù)測(cè)。

一個(gè)偏差參數(shù)被定義為

通過(guò)以下輸運(yùn)方程求解Cas：

將應(yīng)力-應(yīng)變偏差的影響引入到SST 公式中，使用Cas來(lái)降低發(fā)生錯(cuò)位時(shí)的湍動(dòng)能的產(chǎn)量，對(duì)渦黏性系數(shù)的修正為

式中：Cas的最大限制值為0.3，并使用max 函數(shù)確保了渦黏性系數(shù)仍然是正的，避免了可能導(dǎo)致的數(shù)值不穩(wěn)定。

Cas輸運(yùn)方程旨在提供與使用全雷諾應(yīng)力輸運(yùn)模型類似的對(duì)平均流動(dòng)不穩(wěn)定性的敏感性的描述，同時(shí)只求解3 個(gè)輸運(yùn)方程，而不是7 個(gè)。新增的輸運(yùn)方程改變了耦合SST 兩方程的行為，使它得到的結(jié)果與RSM 的結(jié)果接近?？紤]了應(yīng)力-應(yīng)變偏差影響的SST 模型比標(biāo)準(zhǔn)SST 模型更能改善平均流場(chǎng)的預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)結(jié)果與更復(fù)雜的RSM 和成本更高的DES-SST（Detached-Eddy Simulations SST）模型相似。

Lardeau 和Billard［125］擴(kuò)展了Revell 等［124］的研究結(jié)果，建立了修正的橢圓混合滯后輸運(yùn)方程，橢圓滯后的輸運(yùn)參數(shù)定義為φ，以衡量應(yīng)力-應(yīng)變偏差對(duì)渦黏性的影響：

采用橢圓混合雷諾應(yīng)力模型［126］推導(dǎo)φ的輸運(yùn)方程：

式中：相關(guān)變量的含義可參考文獻(xiàn)［126］。

滯后方程允許φ(x)捕捉與壓力-速度相關(guān)性相關(guān)的效應(yīng)，從而增強(qiáng)了預(yù)測(cè)能力。

模型的橢圓度由α公式建立，其滿足

Biswas 等［127］在其基礎(chǔ)上發(fā)展了“橢圓混合滯后k-ω模型”。盡管滯后模型的動(dòng)機(jī)是表示應(yīng)力和應(yīng)變速率之間的不平衡，但它的一個(gè)非常重要的方面是對(duì)近壁面湍流行為的改進(jìn)，對(duì)中度分離流的預(yù)測(cè)也有較好的精度。這里使用的橢圓滯后輸運(yùn)參數(shù)為φ*，其表達(dá)式為

Shang 和Agarwal［128］總結(jié)了以上研究者的工作，借鑒其方法將橢圓混合滯后方程引入到SST湍流模型中，提出了橢圓混合滯后SST 模型。k-ω模型與SST 模型有很相似的情況，對(duì)Biswas等［127］提出的滯后方法做微調(diào)就可以用于求解滯后參數(shù)φ*，應(yīng)用于SST 模型的滯后參數(shù)φ*的輸運(yùn)方程為

一些其他項(xiàng)的關(guān)系為

引入應(yīng)力-應(yīng)變偏差效應(yīng)的渦黏性系數(shù)為

其他相關(guān)變量的含義參考文獻(xiàn)［128］。

圖6［128］給出了駝峰表面壓力系數(shù)分布預(yù)測(cè)的結(jié)果對(duì)比，可知橢圓滯后SST（LAGSST）模型整體性能優(yōu)于SST 模型，并與實(shí)驗(yàn)取得很好的一致性。

圖6 二維駝峰上LAGSST 和SST 模型計(jì)算的壓力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較［128］Fig. 6 Comparison of calculated pressure coefficient with LAGSST and SST models with experimental data for two-dimensional hump［128］

隨后，Shang 和Agarwal［129］在無(wú)壁距（WDF）SST 模型［130］的基礎(chǔ)上發(fā)展了無(wú)壁距橢圓滯后方法。

無(wú)壁距橢圓滯后SST 模型的實(shí)現(xiàn)主要在于對(duì)混合函數(shù)F1和F2進(jìn)行修改：

式中：相關(guān)參數(shù)的含義可參考文獻(xiàn)［129］。

通過(guò)幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的基準(zhǔn)測(cè)試用例表明，橢圓滯后方法很好地修正了湍動(dòng)能的產(chǎn)生，使用無(wú)壁距湍流模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)一步提高。橢圓滯后混合SST 模型彌補(bǔ)了Boussinesq 近似渦黏性關(guān)系的局限性，抑制了湍動(dòng)能過(guò)高的預(yù)測(cè)，但由于橢圓滯后輸運(yùn)方程的加入，計(jì)算時(shí)間也相對(duì)增加，在未來(lái)的發(fā)展中尋找更簡(jiǎn)化的滯后模型將是一個(gè)發(fā)展方向。雖然該方法通過(guò)滯后參數(shù)的定義推導(dǎo)而來(lái)，但其通過(guò)橢圓混合滯后方程納入了壁面緊鄰性。

標(biāo)準(zhǔn)SST 湍流模型采用的是一階應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的渦黏關(guān)系式，其截?cái)嗔硕A項(xiàng)、更高階項(xiàng)的影響，這在應(yīng)變率張量值不大的區(qū)域是合理的近似，但對(duì)于流場(chǎng)梯度變化顯著的區(qū)域，截?cái)囗?xiàng)的影響是不可忽略的。將雷諾應(yīng)力擴(kuò)展到二階項(xiàng)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)旋轉(zhuǎn)/曲率的捕捉，這也在一定程度上表明二階項(xiàng)、更高階項(xiàng)的影響是預(yù)測(cè)不準(zhǔn)的原因之一。雖然應(yīng)力-應(yīng)變率關(guān)系式在本質(zhì)上存在偏差的影響，但橢圓滯后混合方法可以評(píng)估一定的截?cái)嘤绊?，而且修正后的橢圓滯后混合SST湍流模型在本質(zhì)上更趨于完備。

2. 6 層流/湍流轉(zhuǎn)捩效應(yīng)

除了改善SST 模型在湍流狀態(tài)中的預(yù)測(cè)精度外，另一個(gè)研究?jī)?nèi)容是層流-湍流轉(zhuǎn)捩過(guò)程對(duì)流場(chǎng)細(xì)節(jié)和整體性能的影響，然而轉(zhuǎn)捩過(guò)程可以由許多路徑觸發(fā)，如自然［131］、旁路［132］、分離誘導(dǎo)［133］等，這使得基于物理的方程框架很難對(duì)所有這些機(jī)制（或其中幾個(gè)）進(jìn)行建模。還有就是傳統(tǒng)的雷諾平均程序消除了線性擾動(dòng)增長(zhǎng)的影響，然而在轉(zhuǎn)捩流中線性和非線性效應(yīng)是相關(guān)的。工程上除了采用低雷諾數(shù)湍流模型外，還通過(guò)底層湍流模型的壁面阻尼函數(shù)觸發(fā)轉(zhuǎn)捩的開(kāi)始。還有一種方法是使用實(shí)驗(yàn)相關(guān)性，相關(guān)性的關(guān)系式通常是將自由流湍流強(qiáng)度與轉(zhuǎn)捩開(kāi)始時(shí)的動(dòng)量厚度雷諾數(shù)相關(guān)聯(lián)。為了避免在基于相關(guān)模型中需要用到的非局部信息，Menter 等［134-136］提出了基于局部相關(guān)性的過(guò)渡建模（Local Correlation-based Transition Modeling， LCTM）的統(tǒng)一概念來(lái)處理不同的轉(zhuǎn)捩機(jī)制，只使用局部信息來(lái)激活間歇方程中的產(chǎn)生項(xiàng)，利用渦度雷諾數(shù)將相關(guān)關(guān)系與間歇方程聯(lián)系起來(lái)。間歇因子用于開(kāi)啟轉(zhuǎn)捩點(diǎn)下游湍動(dòng)能的產(chǎn)生項(xiàng)。轉(zhuǎn)捩起始動(dòng)量厚度雷諾數(shù)用來(lái)捕捉湍流強(qiáng)度的非局部影響，這里湍流強(qiáng)度的變化是由于自由流中的湍流動(dòng)能的衰減，以及邊界層外自由流速度的變化。2 個(gè)輸運(yùn)方程已經(jīng)被建立起來(lái)：一個(gè)是湍流間歇輸運(yùn)方程γ，另一個(gè)是轉(zhuǎn)捩動(dòng)量厚度雷諾數(shù)的輸運(yùn)方程，被稱為模型，模型方程為

將間歇公式與SST 湍流模型耦合實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)捩過(guò)程的預(yù)測(cè)，它是根據(jù)轉(zhuǎn)捩動(dòng)量厚度與應(yīng)變率雷諾數(shù)的關(guān)系來(lái)打開(kāi)轉(zhuǎn)捩點(diǎn)下游湍動(dòng)能的產(chǎn)生項(xiàng)。引入轉(zhuǎn)捩過(guò)程的SST 模型為

一些其他關(guān)系為

式中：γreff為有效間歇因子。

此外，需重新定義SST 湍流模型中的函數(shù)F1使其在層流邊界層中也可使用。方法為

式中：F1orig為標(biāo)準(zhǔn)SST 模型中的混合函數(shù)F1。

間歇因子γ對(duì)湍動(dòng)能k方程有直接的影響，而過(guò)渡動(dòng)量厚度雷諾數(shù)Reθt只對(duì)間歇因子有直接的影響。改進(jìn)后的SST 模型能夠更加精確地預(yù)測(cè)自然、旁路和分離誘導(dǎo)的層流轉(zhuǎn)捩的位置。

后來(lái)，Menter 等［134-136］充分披露了γ-Reθ模型完整的相關(guān)性，以便繼續(xù)進(jìn)一步驗(yàn)證和可能的擴(kuò)展或改進(jìn)［137］。孟德虹等［138］指出在中等雷諾數(shù)范圍，層流區(qū)域和湍流區(qū)域有相同的量級(jí)，采用γ-Reθ模型才能更準(zhǔn)確地模擬氣動(dòng)力。

Hou 等［139］在γ-ReθSST 模型的基礎(chǔ)上耦合了基于等效沙粒方法［140］的表面粗糙度修正，幾種不同模型對(duì)轉(zhuǎn)捩過(guò)程預(yù)測(cè)的對(duì)比如圖7［139］所示?？紤]粗糙度的修正模型也能很好地呈現(xiàn)層流-湍流轉(zhuǎn)捩過(guò)程的相應(yīng)趨勢(shì)。γ-Reθ模型在和EARSM 模型結(jié)合的模擬中也取得了更好的結(jié)果，肯定了通過(guò)間歇性因子實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)捩過(guò)程捕捉研究的可行性［141］。

圖7 有粗糙度的T3A 平板表面摩擦阻力分布［139］Fig. 7 Surface frictional resistance distribution of T3A plate with roughness［139］

Barrouillet 等［142］也對(duì)這一模型進(jìn)行了修改和重新校準(zhǔn)，以更好地匹配實(shí)驗(yàn)結(jié)果。一些改進(jìn)如下：

1） 提高對(duì)沿表面的過(guò)渡起始點(diǎn)的預(yù)測(cè)，又不影響其他特征，改進(jìn)了Fonset3，得到

2） 為了避免在一些情況下，在前緣位置處有非物理解，將FTu的計(jì)算式修改為

3） 采用的湍動(dòng)能方程中耗散項(xiàng)的計(jì)算式為

4） 研究發(fā)現(xiàn)，不可微函數(shù)會(huì)引入不穩(wěn)定性，阻礙收斂。Piotrowski 和Zingg［143］提出了相同的觀察結(jié)果，故對(duì)Fonset公式作出改進(jìn)：

式中：相關(guān)變量可參考文獻(xiàn)［142］。

根據(jù)Durbin［144］和Ge 等［145］基于局部變量單個(gè)間歇輸運(yùn)方程提出的轉(zhuǎn)捩模型，Menter 等［146］對(duì)γ-Reθ模型進(jìn)行了改進(jìn)，給出了只用間歇因子的輸運(yùn)方程與SST 模型結(jié)合的模型。改進(jìn)后的間歇因子輸運(yùn)方程為

式中：Pγ為轉(zhuǎn)捩源項(xiàng)；Eγ為耗散項(xiàng)/再層流化源項(xiàng)。

這里間歇因子γ觸發(fā)層流邊界層向湍流邊界層的轉(zhuǎn)變。在自由流中，間歇因子被設(shè)置為1，在層流邊界層中，間歇因子向0 變小。

耦合了轉(zhuǎn)捩過(guò)程的SST 湍流模型為

需要指出的是，為了避免滯止區(qū)湍流強(qiáng)度過(guò)高，對(duì)湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)采用Pk=μtSΩ［147］計(jì)算（注意，當(dāng)使用此公式時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)SST 模型中產(chǎn)生項(xiàng)的限制器停用）。相比γ-Reθ模型，這里在k方程中還引入了一個(gè)額外的產(chǎn)生項(xiàng)，以確保在任意低（降至0）湍流強(qiáng)度水平下，在過(guò)渡點(diǎn)產(chǎn)生適當(dāng)?shù)膋。該方法能很好地預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象，包括起始位置和轉(zhuǎn)捩長(zhǎng)度［148］。

一般工業(yè)CFD 基本上不考慮轉(zhuǎn)捩過(guò)程的影響，這不僅在于轉(zhuǎn)捩方式種類多，而且在平均流場(chǎng)中也難以實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)捩過(guò)程的捕捉。然而提出的LCTM 概念較好地解決了這些問(wèn)題，并發(fā)展出了轉(zhuǎn)捩模型，而且對(duì)于基礎(chǔ)湍流模型而言，轉(zhuǎn)捩模型的間歇性概念是通用的，容易與SST 湍流模型相結(jié)合，其只需要通過(guò)間歇性因子控制湍動(dòng)能方程中的產(chǎn)生項(xiàng)和耗散項(xiàng)，從而將轉(zhuǎn)捩過(guò)程對(duì)湍流發(fā)展的影響納入模型中。

2. 7 基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)的模型改進(jìn)研究

基于理論模型框架建模雖然降低了湍流計(jì)算復(fù)雜性，但不可避免地引入了不確定性和誤差，而且需要研究者對(duì)物理過(guò)程有深刻的理解。近年來(lái)，Weatheritt 和Sandberg［149］指出，通過(guò)對(duì)高保真仿真/實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)可以促進(jìn)對(duì)不確定性的理解并減小誤差。對(duì)此，學(xué)者們已開(kāi)展了許多基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)對(duì)湍流模型改善以及更復(fù)雜機(jī)器學(xué)習(xí)方法應(yīng)用的研究工作［150］。

鑒于Boussinesq 線性渦黏本構(gòu)關(guān)系是導(dǎo)致湍流模型在非平衡、分離和激波/湍流邊界層干擾等流動(dòng)中預(yù)測(cè)不確定性和誤差的主要來(lái)源［151］，Ling 等［152］指出預(yù)測(cè)的雷諾應(yīng)力差異是基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)研究的合適目標(biāo)，而且現(xiàn)有的非線性渦黏模型［114，119，122］因其可以在理論上彌補(bǔ)線性渦黏模型的缺陷，還可以通過(guò)平均流場(chǎng)的物理量來(lái)定量解釋高階非線性渦黏關(guān)系式與線性渦黏關(guān)系式之間的差異，是用于機(jī)器學(xué)習(xí)很好的先驗(yàn)假設(shè)。Wang 等［153］進(jìn)一步指出，這些差異可能是普遍的量，并且可以從一種流動(dòng)外推到另一種流動(dòng)，至少在具有相同特征的不同流動(dòng)之間是這樣的，例如分離流。

Weatheritt 和Sandberg［149］選取BSL 模型作為機(jī)器學(xué)習(xí)的基準(zhǔn)模型，根據(jù)經(jīng)典EARSM 模型的雷諾應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系，選擇以下4 個(gè)基函數(shù)和2 個(gè)標(biāo)量不變量來(lái)構(gòu)造非線性渦黏假設(shè)的各向異性部分：

采用M-GEP（Multidimensional Gene Expression Programming）算法在BFS（Backward Facing Step）和PH（Periodic Hills）流動(dòng)算例中進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，分別得到了以下2 個(gè)函數(shù)：

式中：τI為湍流時(shí)間尺度。2 個(gè)函數(shù)都來(lái)自算法的2 次單獨(dú)運(yùn)行，這意味著不同的初始種群和隨機(jī)常數(shù)產(chǎn)生了2 個(gè)語(yǔ)法相似的函數(shù)，同時(shí)也表明非確定性算法已經(jīng)收斂到結(jié)構(gòu)組成相似的表達(dá)式，這是令人興奮和鼓舞的。

圖8［149］顯示了基于機(jī)器學(xué)習(xí)方法改進(jìn)的BSL 湍流模型在PH 算例下x/h=4.0 處的應(yīng)力和速度曲線圖，其中M-GEP 樣本的置信區(qū)間的均值為99.9%，表面摩擦力系數(shù)和速度分布與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，預(yù)測(cè)的雷諾應(yīng)力也在趨勢(shì)上取得了更好的一致性，在一定程度上表明了基于機(jī)器學(xué)習(xí)方法研究湍流模型改進(jìn)的可能性。米俊亦［154］對(duì)雷諾應(yīng)力展開(kāi)了研究，結(jié)果也表明數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)有助于重新構(gòu)建雷諾應(yīng)力的本構(gòu)關(guān)系。孫亮［155］也探究了機(jī)器學(xué)習(xí)算法對(duì)湍流模型預(yù)測(cè)能力的改善。

圖8 PH 算例的統(tǒng)計(jì)結(jié)果［149］Fig. 8 Statistical results from PH Case［149］

近期，Banko 和Eaton［156］提出最佳張量基擴(kuò)展的概念，通過(guò)最優(yōu)擴(kuò)展實(shí)現(xiàn)給定張量基與流場(chǎng)各點(diǎn)的真實(shí)各向異性張量的最佳擬合。葉舒然等［157］也指出卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的非線性映射能力以及分層提取信息特征的功能是當(dāng)下流場(chǎng)特征研究不容忽視的工具?；跀?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)發(fā)展流體力學(xué)多學(xué)科、多物理耦合建模以及流動(dòng)智能自適應(yīng)控制等方面是有益的［158］。

目前數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)主要是使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、基因表達(dá)編程或隨機(jī)森林的機(jī)器學(xué)習(xí)方法在與要預(yù)測(cè)的流動(dòng)具有相似特征的訓(xùn)練流DNS（Direct Numerical Simulation）數(shù)據(jù)庫(kù)/高保真LES 數(shù)據(jù)庫(kù)中來(lái)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，構(gòu)建局部平均流場(chǎng)標(biāo)量和張量與建模項(xiàng)之間的復(fù)雜函數(shù)［159-161］，其中建模項(xiàng)的主要對(duì)象是雷諾應(yīng)力的各向異性部分和單方程的渦黏性。一些經(jīng)此修正的湍流模型已在曲面壁流、方形管道二次流以及不對(duì)稱擴(kuò)散器分離流中進(jìn)行測(cè)試，計(jì)算精度得到一定改善。

雖然基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)改進(jìn)湍流模型的研究取得了一定的成功，但是該方法也產(chǎn)生了新的問(wèn)題，即用于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)開(kāi)展訓(xùn)練的流場(chǎng)是特定的或是特定的參數(shù)范圍，由此得到的修正模型在推廣到更廣泛的流場(chǎng)或更通用的條件中仍需進(jìn)一步工作。結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)開(kāi)展湍流模型改進(jìn)研究大多是對(duì)k-ε、k-ω和S-A 湍流模型開(kāi)展的，針對(duì)SST 湍流模型的研究少有報(bào)道。而SST 湍流模型在邊界層中使用了雷諾應(yīng)力正比于湍動(dòng)能的假設(shè)可能會(huì)是制約該研究工作的一個(gè)挑戰(zhàn)。此外，盡管基于機(jī)器學(xué)習(xí)的模型改進(jìn)工作已經(jīng)取得了一定的成功，但基于機(jī)器學(xué)習(xí)的改進(jìn)是否受到選取張量基、輸入特征或算法等因素的限制尚不清楚。

3 結(jié)論與展望

SST 湍流模型面世以來(lái)，得到廣泛研究和應(yīng)用，是目前使用最廣泛的模型，在很多問(wèn)題上取得很好的預(yù)測(cè)效果，但是還存在預(yù)測(cè)精度不高、應(yīng)用范圍局限以及改進(jìn)模型難以拓展等問(wèn)題，主要原因是：① Boussinesq 線性渦黏關(guān)系式；② 忽略了一些力或高階脈動(dòng)關(guān)聯(lián)項(xiàng)的影響。

針對(duì)此，學(xué)者們開(kāi)展了旋轉(zhuǎn)/曲率、可壓縮性、激波不穩(wěn)定性、雷諾應(yīng)力和層流/湍流轉(zhuǎn)捩等方面的改進(jìn)，并取得了較好的研究成果。從基于局部信息來(lái)主動(dòng)控制宏觀湍流量表達(dá)轉(zhuǎn)變?yōu)橥ㄟ^(guò)力的作用來(lái)影響湍流量的表達(dá)，能夠使SST 模型得到更好的改善。對(duì)現(xiàn)有的研究成果和研究?jī)?nèi)容進(jìn)行整理，可以發(fā)現(xiàn)集成/耦合出更加完備的湍流模型是一個(gè)有前景的研究方向，目前耦合雷諾應(yīng)力模型與SST 模型的工作以及合并雷諾應(yīng)力各向異性、激波不穩(wěn)定性和可壓縮性結(jié)構(gòu)變化的工作證明了該方法的可行性。

然而，目前開(kāi)展的這些工作還沒(méi)有完全解決問(wèn)題。構(gòu)造流場(chǎng)中剪切應(yīng)變率張量、渦量、湍動(dòng)能、當(dāng)?shù)芈曀俚任锢砹康暮瘮?shù)關(guān)系式，然后將該函數(shù)結(jié)合到湍流模型方程中的某些項(xiàng)或模型常數(shù)上，從而改變這些項(xiàng)或常數(shù)的表達(dá)，實(shí)現(xiàn)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的修正，但是這種修正會(huì)因流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的不同而表現(xiàn)出不一樣的預(yù)測(cè)能力，存在預(yù)測(cè)性能的不確定性。針對(duì)這些物理量，采用不同的分析方法和組合方式可以得到解決不同物理問(wèn)題的修正函數(shù)，但這些函數(shù)有可能是作用于同一項(xiàng)或同一模型常數(shù)，所以也很難判斷耦合多種修正策略的方法是改善預(yù)測(cè)還是破壞預(yù)測(cè)。

此外，現(xiàn)有的改進(jìn)工作大多是對(duì)基于不可壓縮條件開(kāi)發(fā)的SST 湍流模型開(kāi)展的，對(duì)基于可壓縮條件下SST 的發(fā)展和改進(jìn)仍然較少。學(xué)者們已經(jīng)對(duì)膨脹耗散、壓力膨脹耗散和壓力做功展開(kāi)了可壓縮效應(yīng)研究，但大多是構(gòu)建梯度馬赫數(shù)或湍流馬赫數(shù)與不可壓縮湍流模型中的產(chǎn)生項(xiàng)、耗散項(xiàng)等的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行修正，而這種可壓縮效應(yīng)修正策略與湍流模型納入其他物理現(xiàn)象的修正在實(shí)現(xiàn)方法上是基本一致的，最終均是改變某些項(xiàng)的系數(shù)的表達(dá)來(lái)納入相關(guān)效應(yīng)的影響，所以可能由于相同的原因?qū)е埋詈峡蓧嚎s修正工作進(jìn)展緩慢。

近年來(lái)基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)研究湍流模型為改善仿真計(jì)算提供了另外一種研究策略?；跀?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)改進(jìn)湍流模型能夠一定程度上提高復(fù)雜流場(chǎng)的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性和時(shí)效性，并降低模型封閉或湍流相關(guān)變量建模的難度，這是有吸引力的，但是也面臨著亟需解決的新問(wèn)題。目前的工作主要在于改進(jìn)雷諾應(yīng)力各向異性部分和渦黏性，然而改進(jìn)是否會(huì)受到算法、輸入特征量等因素的影響還不清楚。選取SST 作為基準(zhǔn)模型的機(jī)器學(xué)習(xí)研究也少見(jiàn)報(bào)道。

通過(guò)對(duì)SST 湍流模型改進(jìn)研究的不斷深入探索和學(xué)習(xí)，對(duì)于進(jìn)一步發(fā)展SST 湍流模型，有以下幾點(diǎn)值得注意：

1） 合理集成現(xiàn)有物理現(xiàn)象的研究成果仍是SST 湍流模型改進(jìn)研究的可行方案之一。

2） 對(duì)耦合不同的修正方案存在預(yù)測(cè)性能不穩(wěn)定以及實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)的問(wèn)題，需進(jìn)一步研究揭示耦合的內(nèi)在機(jī)理。

3） 納入可壓縮效應(yīng)修正的耦合研究有待加強(qiáng)。

4） 基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)開(kāi)展SST 湍流模型改進(jìn)研究是一個(gè)頗有前景的方向。