黎淑儀

一、案例背景

數(shù)學(xué)家羅素說(shuō)過(guò)：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯?！狈?hào)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)，數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維方法的載體。教師往往比較重視運(yùn)算，忽視了學(xué)生對(duì)符號(hào)的理解及運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用符號(hào)的意識(shí)比較薄弱。學(xué)生雖然每天都在和符號(hào)打交道，但深層次理解符號(hào)思想的并不多，大部分學(xué)生沒(méi)有體會(huì)到數(shù)學(xué)符號(hào)應(yīng)用的意義，學(xué)生自主運(yùn)用符號(hào)的能力還沒(méi)有達(dá)到課標(biāo)要求。

從符號(hào)意識(shí)概念的轉(zhuǎn)變過(guò)程來(lái)看，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出“符號(hào)感主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)來(lái)表示；理解符號(hào)所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會(huì)進(jìn)行符號(hào)間的轉(zhuǎn)換，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號(hào)所表達(dá)的問(wèn)題”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》修改為“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》則指出“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠感悟符號(hào)的數(shù)學(xué)功能，知道符號(hào)表達(dá)的現(xiàn)實(shí)意義；能夠初步運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律；知道用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算規(guī)律和推理結(jié)論具有一般性；初步體會(huì)符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式，符號(hào)意識(shí)是形成抽象能力和推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)”。從“符號(hào)感”到“符號(hào)意識(shí)”的改變，不僅是改換了一個(gè)表述，而是鮮明地體現(xiàn)了“主動(dòng)”和“被動(dòng)”的差異，數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)主要的不是潛意識(shí)、直覺(jué)或感覺(jué)，而是一種主動(dòng)的使用符號(hào)的心理傾向，是一種自覺(jué)的心理活動(dòng)。更加側(cè)重符號(hào)在現(xiàn)實(shí)情境中的意義和運(yùn)用，有利于學(xué)生分析問(wèn)題和理解問(wèn)題能力的提高，對(duì)學(xué)生高階思維能力的形成以及核心素養(yǎng)的提高有著推動(dòng)作用?！敖鉀Q‘之間有幾個(gè)的問(wèn)題”一課來(lái)源于人教版教材一年級(jí)上冊(cè)第六單元，其教學(xué)定位是讓學(xué)生靈活地解答“之間有幾個(gè)”的簡(jiǎn)單問(wèn)題，體會(huì)策略的多樣性，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)對(duì)案例中兩個(gè)教學(xué)片斷的研究，揭示這一素材在數(shù)學(xué)符號(hào)方面所蘊(yùn)含的深刻數(shù)學(xué)思想及內(nèi)涵。

二、教學(xué)片斷

（一）片斷一：初步感知，掌握基本方法

例題：在一列隊(duì)伍中，小麗排第10，小宇排第15，小麗和小宇之間有幾人？（出示圖例）

師：從題目中你知道了什么？要解決什么問(wèn)題？你是怎樣解決的？

生1：我知道小麗排第10，小宇排第15。問(wèn)題是“小麗和小宇之間有幾人？”

生2：從前向后數(shù)，小麗排在第10位，她前面有9人。

生3：從前向后數(shù)，小宇排在第15位，他前面有14人。小麗在小宇的前面。

師：“之間”又是什么意思？小麗和小宇要數(shù)嗎？

生：小麗和小宇之間就是不包括小麗和小宇。

生4：不數(shù)，所以我從小麗后面一個(gè)開(kāi)始數(shù)，應(yīng)該是4人。

生5：我直接從第11開(kāi)始數(shù)，11、12、13、14，也能數(shù)到他們之間有4人。

師：我們可以用“數(shù)一數(shù)”的方法，解決這一類(lèi)的問(wèn)題。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生剛接觸解決問(wèn)題不久，從具體情境中抽象出問(wèn)題并解決問(wèn)題的能力還比較薄弱。充分利用主題圖呈現(xiàn)生活情境，幫助學(xué)生把抽象的問(wèn)題具體化、直觀化，有利于學(xué)生對(duì)基數(shù)與序數(shù)的理解。讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。激活學(xué)生舊知的經(jīng)驗(yàn)，以最簡(jiǎn)單易懂的“數(shù)數(shù)法”解決問(wèn)題，讓學(xué)生獲得解決問(wèn)題的基本經(jīng)驗(yàn)和方法，從而提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。

（二）片斷二：拓展延伸，內(nèi)化規(guī)律

1. 自主探究解決問(wèn)題的方法，體會(huì)畫(huà)圖、運(yùn)算等“符號(hào)化”過(guò)程

師：還可以怎么解決“小麗和小宇之間有幾人？”這個(gè)問(wèn)題？請(qǐng)?jiān)谒娜诵〗M內(nèi)交流討論，找出更多的解決方法。

生1：可以用15－10＝5（人）計(jì)算。

學(xué)生受之前解決問(wèn)題的列式計(jì)算影響，直觀地以為用“大數(shù)減小數(shù)”就能解決。這時(shí)教師不要急著否定他們，而是給學(xué)生自主開(kāi)展深入的考究與辯證。

生2：他們算的5人不對(duì)，因?yàn)槲覀兘M用數(shù)的方法，得出結(jié)果是4人。

于是該組同學(xué)請(qǐng)了15個(gè)同學(xué)出來(lái)排一排，經(jīng)實(shí)操再次驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)第10與第15之間確實(shí)只有4人。

生3：我們組是這樣想的，小麗和小宇之間不包括小麗和小宇。小麗排在第10，我就從第11開(kāi)始數(shù)，11、12、13、14。所以他們之間有4人。

生4：我們組是用畫(huà)圖的方法，用“O”代替人，從第10開(kāi)始畫(huà)一畫(huà)，畫(huà)到第15，再數(shù)數(shù)就知道是4人了。

……

2. 以學(xué)生最常見(jiàn)的錯(cuò)誤資源，拓展類(lèi)推，引出字母符號(hào)的使用

師：為什么剛才用15－10＝5（人）不對(duì)呢？15－10表示什么？

生：用15減10，表示求出第10個(gè)后面有幾人。而后面的人中不包括15，所以還要減去第15這一個(gè)，即5還要再減1。

板書(shū)算式：15－10－1＝4（人）

師：如果把題目改成第7個(gè)與第16個(gè)之間有幾人？你會(huì)算嗎？

生：16－7－1＝8（人）

師：第3個(gè)與第19個(gè)之間有幾人呢？

生：19－3－1＝15（人）

……

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，并推導(dǎo)總結(jié)方法：只要求出兩個(gè)序數(shù)的差再減1，就可以求出它們之間有幾個(gè)了。

拓展了解用字母表示數(shù)，讓學(xué)生用列式計(jì)算的方法概括解決這類(lèi)問(wèn)題的方法，為以后的“植樹(shù)問(wèn)題”積累經(jīng)驗(yàn)。

歸納小結(jié)：求兩個(gè)數(shù)之間有幾個(gè)數(shù)，我們可以用數(shù)數(shù)法、畫(huà)圖法，還可以用計(jì)算法。解決問(wèn)題時(shí)可以選擇你最容易理解、最喜歡的方法。

【設(shè)計(jì)意圖】注重培養(yǎng)學(xué)生從圖中獲取信息、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題的意識(shí)和能力，鼓勵(lì)學(xué)生小組合作探究不同的解決問(wèn)題的策略方法；注重讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)具體物體的數(shù)量到用抽象的數(shù)字來(lái)表示的學(xué)習(xí)過(guò)程，理解作為符號(hào)的數(shù)字所表示的含義，為以后學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”鋪墊；抓住課堂生成的契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題“符號(hào)化”，逐步體會(huì)用數(shù)、圖形將實(shí)際問(wèn)題“符號(hào)化”的優(yōu)越性、直觀性、簡(jiǎn)約性；體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律、從特殊到一般的探索和歸納過(guò)程，建構(gòu)與積累符號(hào)意識(shí)。

三、教學(xué)分析

下面是執(zhí)教者就“解決‘之間有幾個(gè)的問(wèn)題”這一實(shí)踐案例，談?wù)剬?duì)小學(xué)數(shù)學(xué)在解決問(wèn)題教學(xué)中的實(shí)踐思考，主要圍繞“符號(hào)意識(shí)”的培養(yǎng)策略進(jìn)行簡(jiǎn)要闡述。這也為今后開(kāi)展小學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的教學(xué)積累經(jīng)驗(yàn)，并有效地服務(wù)于日常教學(xué)。

（一）挖掘生活經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)符號(hào)的親切感

學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)認(rèn)知不強(qiáng)烈的主要原因在于數(shù)學(xué)符號(hào)是抽象的，學(xué)生在生活中很少使用。想要培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，就要將數(shù)學(xué)符號(hào)融入學(xué)生的日常生活，讓數(shù)學(xué)符號(hào)變得更加貼近生活，更加富有親切感。如：本課以排隊(duì)這一熟悉的生活情境引入要解決的問(wèn)題“小麗和小宇之間有幾人？”借助形象、直觀的生活情境圖，緊密聯(lián)系生活，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的親切感，促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)的靈活運(yùn)用，減少其與數(shù)學(xué)符號(hào)的距離。

（二）明確內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，提高符號(hào)的理解能力

在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)所表示的意義的理解。例如對(duì)一些枯燥無(wú)味的概念或者公式定律，教師可以根據(jù)其發(fā)展歷程及相關(guān)的有趣故事來(lái)引起學(xué)生對(duì)這些數(shù)學(xué)符號(hào)的學(xué)習(xí)興趣。也可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生一起推導(dǎo)新的公式，增強(qiáng)學(xué)生的參與感，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的印象。對(duì)于一些相近的或辨識(shí)度不高的符號(hào)，則需要通過(guò)對(duì)比的方法揭示各自的本質(zhì)，從而加深學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)的識(shí)別能力，使得學(xué)生能正確的使用數(shù)學(xué)符號(hào)。如：在學(xué)生用列式計(jì)算的方法解決問(wèn)題后，再一起推導(dǎo)概括出這三個(gè)問(wèn)題的計(jì)算公式b－a－1、b－a、b－a＋1，比較它們之間的區(qū)別，加深理解和記憶。

（三）積累數(shù)學(xué)語(yǔ)言，提升符號(hào)的表達(dá)能力

基于研學(xué)后教3.0課堂教學(xué)改革理念下，日常的課堂教學(xué)更注重引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)思考、主動(dòng)合作探究，有利于學(xué)生積極表達(dá)自己的觀點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力與合作交流能力，為學(xué)生提供更寬廣的認(rèn)識(shí)與交流符號(hào)知識(shí)的平臺(tái)。幫助學(xué)生學(xué)會(huì)在數(shù)學(xué)問(wèn)題中提取有用的數(shù)學(xué)信息，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，并將煩瑣的題目文字符號(hào)化。用數(shù)學(xué)符號(hào)的方式準(zhǔn)確地表達(dá)題意，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為更易理解的數(shù)學(xué)方式，掌握必要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，提升學(xué)生的符號(hào)表達(dá)能力。

（四）解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)符號(hào)的運(yùn)用能力

充分利用實(shí)際問(wèn)題情境，幫助學(xué)生建立符號(hào)模型解決問(wèn)題，觸發(fā)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的強(qiáng)烈要求，而“問(wèn)題解決”是檢測(cè)符號(hào)運(yùn)用的方法之一。解決問(wèn)題的第一步就是將問(wèn)題“符號(hào)化”，逐步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“具體情境→抽象的符號(hào)表示→深化應(yīng)用”這一過(guò)程，并在實(shí)際問(wèn)題中促進(jìn)符號(hào)意識(shí)的形成。因此，在“解決‘之間有幾個(gè)的問(wèn)題”教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生充分地經(jīng)歷分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和檢驗(yàn)回顧的一般過(guò)程，積累經(jīng)驗(yàn)，并注重引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)水平進(jìn)行多元化的培養(yǎng)，讓學(xué)生根據(jù)自己的能力，選擇更合適的數(shù)學(xué)方法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)用能力。

通過(guò)組織開(kāi)展“解決‘之間有幾個(gè)的問(wèn)題”一課的教學(xué)，讓學(xué)生更深入體會(huì)到數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)表示、計(jì)算、推理、交流和解決問(wèn)題的思維工具。數(shù)學(xué)符號(hào)有利于促進(jìn)思維的“自由”創(chuàng)造，通過(guò)給思維對(duì)象以符號(hào)，化繁從簡(jiǎn)、提煉本質(zhì)，體會(huì)符號(hào)創(chuàng)造的過(guò)程。學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程中，并要從低年級(jí)抓起，使學(xué)生從小就習(xí)慣用數(shù)學(xué)符號(hào)解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)本身的問(wèn)題，給學(xué)生埋下符號(hào)意識(shí)的種子。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，理解符號(hào)化的意義，是促進(jìn)數(shù)學(xué)思考、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需要，為他們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。