彭安錄

縱覽近年高考數(shù)學(xué)試卷，圓錐曲線是高考必考內(nèi)容，而圓錐曲線最值問題作為對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合考查的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，在試卷中往往以把關(guān)題或壓軸題的形式出現(xiàn).圓錐曲線最值問題具有題型變化多樣、解法靈活多變的特點(diǎn)，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的綜合解題能力，成為學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，也是高考的失分點(diǎn).那么教師如何在課堂教學(xué)中，讓學(xué)生突破這個(gè)難點(diǎn)，高效求解圓錐曲線最值問題呢？筆者以一節(jié)專題復(fù)習(xí)課為例進(jìn)行探討.

一、介紹背景，回顧方法

在新課標(biāo)下，圓錐曲線的最值問題因考查知識(shí)量大，分析能力要求高，具有較好的區(qū)分度而廣受高考命題者的青睞，成為近年來(lái)高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)問題.最值問題解題方法較為靈活，涉及的知識(shí)面廣，常常讓學(xué)生感到無(wú)從下手.那么在教學(xué)中如何突破學(xué)生認(rèn)知上的瓶頸呢？筆者認(rèn)為在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生捋清楚相關(guān)支撐知識(shí)和常用解法是關(guān)鍵的一環(huán).圓錐曲線最值問題涉及的知識(shí)點(diǎn)主要有：三角形兩邊之和大于第三邊、兩點(diǎn)之間直線段最短、勾股定理、基本不等式、一元二次方程判別式、根與系數(shù)關(guān)系、函數(shù)單調(diào)性、三角函數(shù)的有界性、直線的斜率、直線的截距、線性規(guī)劃、參數(shù)及參數(shù)方程、弦長(zhǎng)公式等.常用的解答方法主要有：定義法、函數(shù)法、基本不等式法、切線法、參數(shù)法等.其中，函數(shù)法是指把所求最值的目標(biāo)表示為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)表達(dá)式.通過研究這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值來(lái)解答題目，是求解各類最值問題的普遍方法.

二、引入例題，開展討論

例3的解答過程巧妙地利用了橢圓的參數(shù)方程，建立起三角函數(shù)型函數(shù)，再利用三角函數(shù)的有界性達(dá)到了求解的目的.

一般情況下，當(dāng)涉及橢圓上的點(diǎn)的最值問題、定值問題、軌跡問題等，若直接處理不好下手時(shí)，教師可以考慮讓學(xué)生用該方法嘗試解答，使學(xué)生達(dá)到認(rèn)知升華.

五、反芻深化，總結(jié)提升

通過以上幾個(gè)例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，遇到有關(guān)圓錐曲線求最值的問題時(shí)，函數(shù)法是求解此類問題的最普遍方法.使用函數(shù)法的關(guān)鍵：先利用變化中不變的量或關(guān)系建立目標(biāo)函數(shù)，再利用函數(shù)和不等式的性質(zhì)來(lái)完成問題的解答.在解題過程中，涉及的函數(shù)最常見的是二次函數(shù)、三角函數(shù)型函數(shù)等.尤其需要注意的是變量的取值范圍不能遺漏，三角函數(shù)的有界性也不能被忽視，使用基本不等式時(shí)要滿足等號(hào)成立的條件等.

當(dāng)然，問題的處理方式并不止一種.在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)具體問題具體分析，求解過程中要多思考、多聯(lián)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，學(xué)會(huì)從不同角度進(jìn)行分析，以優(yōu)化解題策略.

另外，通過本案例的教學(xué)探究，我們不難發(fā)現(xiàn)，在日常教學(xué)中，如果教師能注意知識(shí)間的聯(lián)系并及時(shí)總結(jié)，那么不難捅破那層遮擋在解題者與數(shù)學(xué)問題之間的窗戶紙，讓學(xué)生做到準(zhǔn)確切入、快速解題，并形成“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的解題能力，切實(shí)提高學(xué)生的解題效率，并最終達(dá)到預(yù)期的教育教學(xué)目標(biāo).

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇