丁志娟

對(duì)數(shù)學(xué)概念的深入理解是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)相關(guān)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。學(xué)生只有正確理解數(shù)學(xué)概念才能正確運(yùn)用數(shù)學(xué)概念判斷數(shù)量關(guān)系、抽象數(shù)學(xué)模型，才能合理計(jì)算解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。然而，在實(shí)際教學(xué)中，教師經(jīng)常直接把結(jié)果告知學(xué)生，直接揭示結(jié)論，讓學(xué)生閱讀幾遍后再通過(guò)練習(xí)加以鞏固。這種學(xué)習(xí)缺少深入思考和深切體驗(yàn)，嚴(yán)重阻礙了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升。

一、建構(gòu)“三階四環(huán)”的概念教學(xué)課堂組織樣式

（1）概念初識(shí)：通過(guò)情境的創(chuàng)設(shè)，把概念還原于生活，讓學(xué)生初步感受到概念學(xué)習(xí)的重要性和必要性，從而激發(fā)自身內(nèi)驅(qū)力；（2）概念學(xué)習(xí)：通過(guò)概念例題的教學(xué)和探討，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的基本要素，理解概念的基本屬性，讓學(xué)生有所感悟；（3）概念辨析：通過(guò)對(duì)概念的再度思維申辯，進(jìn)行質(zhì)疑，去除模糊殘存，明晰概念的本質(zhì)屬性；（4）概念運(yùn)用：概念的掌握關(guān)鍵是看概念的運(yùn)用和解釋?zhuān)ㄟ^(guò)生活化的舉例，用已學(xué)的概念知識(shí)來(lái)合理做出解釋?zhuān)@是內(nèi)化理解概念的外顯表現(xiàn)。

基于以上理解，我們?cè)O(shè)置了關(guān)于概念教學(xué)的“三階四環(huán)”課堂組織樣式導(dǎo)圖，如圖1所示。

二、運(yùn)用“三階四環(huán)”的課堂組織實(shí)踐

以人教版四年級(jí)下冊(cè)“平均數(shù)”的教學(xué)為例，采用“三階四環(huán)”的課堂樣式進(jìn)行教學(xué)，能夠讓學(xué)生經(jīng)歷“驅(qū)動(dòng)·感知·思辨·運(yùn)用”的過(guò)程，真正成為學(xué)習(xí)的主體，教師真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的觸發(fā)器，取得概念教學(xué)的最佳效果。

（一）教材編排與學(xué)生實(shí)際分析

1.厘清教材意圖，把正“編”之脈

“平均數(shù)”在人教版中編排在四年級(jí)下冊(cè)“統(tǒng)計(jì)”單元中，是一個(gè)刻畫(huà)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的重要統(tǒng)計(jì)量，是在學(xué)生第一學(xué)段已經(jīng)理解了平均分及除法運(yùn)算含義的基礎(chǔ)上出現(xiàn)的。平均數(shù)的概念與平均分的意義是不完全相同的，但日常生活中經(jīng)常用到，如平均成績(jī)、平均速度等，因此，用“移多補(bǔ)少”“求和平分”計(jì)算平均數(shù)不應(yīng)是教學(xué)的全部。其作為統(tǒng)計(jì)量，與復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖整合在一個(gè)單元，可見(jiàn)教材意圖很明顯，更強(qiáng)調(diào)其統(tǒng)計(jì)意義。

2.明晰學(xué)生實(shí)際，捏準(zhǔn)“編”之本

學(xué)習(xí)素材是引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的重要支架，教材提供的是學(xué)生收集礦泉水瓶和踢毽子的素材，這些素材雖不陌生，但平時(shí)學(xué)生接觸不多，課堂上創(chuàng)設(shè)類(lèi)似比賽情境，看似能讓學(xué)生的參與熱情高漲，實(shí)質(zhì)上總給人走過(guò)場(chǎng)的感覺(jué)，學(xué)生很難體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的關(guān)聯(lián)。同時(shí)，不管是查閱名師課堂還是多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，多數(shù)學(xué)生知道平均數(shù)這一概念，并能正確計(jì)算平均數(shù)，唯獨(dú)對(duì)平均數(shù)的意義、作用沒(méi)有感覺(jué)或缺乏主動(dòng)思考。基于上述兩點(diǎn)思考，筆者對(duì)課堂教學(xué)的架構(gòu)和教材進(jìn)行了進(jìn)一步的探索。

（二）課堂組織與實(shí)踐效果分析

1.真境驅(qū)動(dòng)，激發(fā)對(duì)平均數(shù)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力

學(xué)習(xí)材料的創(chuàng)編要在教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平之間找到契合點(diǎn)。從學(xué)生的心理需求出發(fā)，力求有趣、可操作性強(qiáng)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

例：“引入環(huán)節(jié)”對(duì)比

教材例1用象形統(tǒng)計(jì)圖呈現(xiàn)4位學(xué)生收集礦泉水瓶的數(shù)量，學(xué)生被動(dòng)接受，談?wù)撟疃嗟耐撬麄兪煜さ囊褧?huì)的平均數(shù)計(jì)算，甚至有的學(xué)生提不起學(xué)習(xí)的興致。課堂上創(chuàng)編情境：醫(yī)生建議每天走路3000米，可是小區(qū)道路是不規(guī)則的，到底走幾圈才最接近3000米呢？由此情境引發(fā)的問(wèn)題有效涉及課本知識(shí)內(nèi)容，雖最后呈現(xiàn)的與例1類(lèi)似，但這是在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的真實(shí)情境中產(chǎn)生的成果呈現(xiàn)，學(xué)生已經(jīng)將自己置身情境當(dāng)中，以求問(wèn)題解決滿(mǎn)足自我肯定的成就感。這樣化被動(dòng)為主動(dòng)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。創(chuàng)設(shè)如此情鏡，一是可激發(fā)興趣，滿(mǎn)足學(xué)生為老師解決煩心事的心理需求；二是讓學(xué)生近距離感受生活中的數(shù)學(xué)，無(wú)形中助力了利用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)解決實(shí)際生活問(wèn)題意識(shí)的形成。

2.引導(dǎo)感知，形成對(duì)平均數(shù)基本特征的初步認(rèn)識(shí)

經(jīng)過(guò)發(fā)自?xún)?nèi)心的驅(qū)動(dòng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)就顯得更加積極主動(dòng)，更容易進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)的概念時(shí)，切忌步子邁得太快，應(yīng)該讓學(xué)生在探究活動(dòng)中自然而然地對(duì)平均數(shù)的基本特質(zhì)有初步的認(rèn)識(shí)。

如對(duì)如何步測(cè)這個(gè)問(wèn)題，課堂上我們經(jīng)歷了下列過(guò)程——

生1：老師，你在教室走一步，測(cè)量你一步的長(zhǎng)度。到時(shí)你在小區(qū)只要記錄你走一圈的步數(shù)，每步長(zhǎng)×步數(shù)就可以求出一圈的米數(shù)，進(jìn)而求出大約需走幾步，這是步測(cè)法，你教過(guò)我們的。

生2：我補(bǔ)充一下，測(cè)一步，數(shù)據(jù)不一定準(zhǔn)確，應(yīng)該多測(cè)幾步，算一下平均每步的長(zhǎng)度。（沒(méi)有學(xué)生提及，教師可追問(wèn)生1：這樣測(cè)一步，有說(shuō)服力嗎？）

師點(diǎn)評(píng)：同學(xué)們的意思是只測(cè)一步具有偶然性，應(yīng)多測(cè)幾步，找到有代表性的長(zhǎng)度。我覺(jué)得很有道理。這是我4次步長(zhǎng)的條形統(tǒng)計(jì)圖，你們能一眼看出來(lái)哪個(gè)數(shù)最能代表我的步長(zhǎng)嗎？

生答：59、60、61。

師追問(wèn)：為什么大家不選58和62這兩個(gè)數(shù)？

生：58厘米太小，這個(gè)數(shù)作代表算出來(lái)的一圈就短了；而62厘米太大，這個(gè)數(shù)作代表算出來(lái)的一圈就長(zhǎng)了。作代表的數(shù)應(yīng)介于兩者之間。（教師課件演示平均線）

通過(guò)討論，學(xué)生利用“移多補(bǔ)少”“求和平分”（板書(shū)）求出平均數(shù)60厘米，明確平均數(shù)不多不少最能代表老師走一步的一般水平。（板書(shū)）

此部分的教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)4次不同步長(zhǎng)的比較，探討“哪個(gè)數(shù)最能代表我的步長(zhǎng)”這個(gè)問(wèn)題，從而認(rèn)識(shí)平均數(shù)不是最長(zhǎng)的，也不是最短的，而是多數(shù)步長(zhǎng)的一個(gè)代表數(shù)量。這樣學(xué)生就漸漸建立起了平均數(shù)的初步概念。

3．組織思辨，激活對(duì)平均數(shù)意義特征的深入理解

學(xué)生初步理解平均數(shù)后，教師可以通過(guò)多個(gè)維度辨析數(shù)據(jù)，使學(xué)生感悟平均數(shù)的“虛擬性”“敏感性”，進(jìn)一步體會(huì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義和不足，也為后續(xù)學(xué)習(xí)其他統(tǒng)計(jì)量做好鋪墊。

例如，在“平均數(shù)”這節(jié)課的反思環(huán)節(jié)，教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)，組織學(xué)生辯論：大家通過(guò)“移多補(bǔ)少”“求和平分”求出平均數(shù)60厘米，可原有數(shù)據(jù)一個(gè)也沒(méi)有，為什么大家一致認(rèn)為60厘米最能代表我的步長(zhǎng)？

學(xué)生通過(guò)思維碰撞明白：平均數(shù)只是理想化的數(shù)據(jù)，不是每一步走的實(shí)際長(zhǎng)度，它比真實(shí)數(shù)據(jù)最大的小一些，比最小的大一點(diǎn)。

此時(shí)，教師的小結(jié)就水到渠成了：平均數(shù)真實(shí)存在，但它不一定是某一步的實(shí)際數(shù)據(jù)，這是平均數(shù)的“虛擬性”，我們可以想象老師的每一步都是60厘米。

接著再引導(dǎo)學(xué)生預(yù)測(cè)老師第5步可能走幾厘米。學(xué)生會(huì)有三種情況，即60厘米、大于60厘米、小于60厘米。

教師在條形統(tǒng)計(jì)圖增加第五步60厘米，得出平均數(shù)不變。組織學(xué)生進(jìn)行第二次思辨：第五次的60厘米與平均數(shù)60厘米是同一個(gè)數(shù)嗎？（見(jiàn)下面課堂實(shí)錄）

生辨：這兩個(gè)60厘米數(shù)值一樣，上次考試班級(jí)平均分87分，我問(wèn)老師我考了幾分，老師說(shuō)我正好考了平均分，結(jié)果分?jǐn)?shù)下來(lái)剛好是87分，所以我認(rèn)為兩個(gè)60厘米應(yīng)是同一個(gè)數(shù)，意思一樣。

生駁：那是湊巧，我記得有一次我班語(yǔ)文平均分是80.35分，可從來(lái)沒(méi)有同學(xué)考過(guò)這樣的分?jǐn)?shù)，因此我認(rèn)為這兩個(gè)60厘米應(yīng)該不是同一個(gè)數(shù)。

師：是的，第五次的60厘米是指具體走了60厘米，而平均數(shù)60厘米不代表具體哪一次，它代表的是每一次的一般水平，兩者是有區(qū)別的。

師接著將第五步的60改成90，計(jì)算得出平均數(shù)為66厘米。三辨：66厘米代表我一步的長(zhǎng)，你覺(jué)得怎樣？

生辨：既然平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的一般水平，我覺(jué)得66厘米就代表老師一步的長(zhǎng)度，一點(diǎn)都沒(méi)問(wèn)題。

生駁：我有異議，前四步最大只有62厘米，第五步90厘米可能是遇到了一些特殊情況，這么走感覺(jué)怪怪的。

師：是的，平均數(shù)易受極端大小數(shù)據(jù)的干擾而導(dǎo)致失真，這是平均數(shù)的敏感性（板書(shū)）。這時(shí)的平均數(shù)就不能很好地代表整體的集中趨勢(shì)了。（多媒體出示某比賽打分計(jì)分時(shí)去掉一個(gè)最高分和最低分的小視頻）

當(dāng)然，課堂是千變?nèi)f化的，辨析應(yīng)在充分尊重學(xué)生主體的前提下進(jìn)行，教師需要積極參與，利用多媒體、數(shù)形結(jié)合、合理點(diǎn)撥評(píng)價(jià)等導(dǎo)順辨之實(shí)，讓辨走向深度，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)合具體情況分析數(shù)據(jù)的能力，解決實(shí)際問(wèn)題。

4．運(yùn)用解釋?zhuān)形蚱骄鶖?shù)概念的應(yīng)用價(jià)值

在明確平均數(shù)的意義和特征后，還應(yīng)趁熱打鐵組織多個(gè)典型的平均數(shù)應(yīng)用的練習(xí)，力求形式多變，如口答、搶答等，題型多變，如選擇、判斷等，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生鞏固對(duì)平均數(shù)的理解，從而進(jìn)一步掌握平均數(shù)的意義特征，運(yùn)用概念解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步感悟平均數(shù)的應(yīng)用價(jià)值。

【練習(xí)環(huán)節(jié)】

出示一組判斷題，要求能用學(xué)過(guò)的知識(shí)結(jié)合自己的理解加以說(shuō)明。

1.學(xué)校進(jìn)行仰臥起坐體能測(cè)試，406班第一列做了180個(gè)，第二列完成了200個(gè)，哪一列的成績(jī)好？

2.小區(qū)游泳池平均水深130厘米，小強(qiáng)身高160厘米，雖不會(huì)游泳，但可保證沒(méi)有危險(xiǎn)，你覺(jué)得怎樣？

繼續(xù)出示一組主觀題，要求靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

3.小林奶奶身體健康，今年80歲了，自從看了新聞“2019年杭州市平均壽命82.95歲，較2018年82.55歲上升了0.40歲”后身體日漸消瘦，你想對(duì)她說(shuō)什么？

4.蕭山兒童公園，宣傳說(shuō)兒童可免票進(jìn)園，張女士帶著上幼兒大班的兒子去游玩，卻被要求購(gòu)票入園，理由是孩子身高超過(guò)120厘米，請(qǐng)對(duì)此發(fā)表你的看法或建議。

由課堂反饋交流發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)辨析感悟，學(xué)生對(duì)平均數(shù)的意義有了一定的理解，知道了平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，理解了代表整體的一般水平與個(gè)體數(shù)據(jù)代表的實(shí)際量有較大的區(qū)別。后兩個(gè)主觀題，都知道平均壽命、平均身高不代表個(gè)體，但整體回答質(zhì)量一般，尤其是有何建議，大多數(shù)學(xué)生覺(jué)得120厘米的標(biāo)準(zhǔn)太低，自己曾經(jīng)也遇到過(guò)這種事，但建議均說(shuō)不到點(diǎn)子上，或隨口說(shuō)個(gè)150厘米了事。

學(xué)生因社會(huì)經(jīng)驗(yàn)、閱歷的局限，對(duì)免票限制線等來(lái)龍去脈并不知情，不了解抽樣調(diào)查及調(diào)查時(shí)限，不知道該平均數(shù)代表的是過(guò)去幾十年的一個(gè)數(shù)值，已經(jīng)不能很好地反映現(xiàn)有及未來(lái)的水平，所以沒(méi)有高質(zhì)量的回答也是情理之中。對(duì)于這種情況，教師可通過(guò)一定的背景補(bǔ)充加以解決，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生查閱資料分析數(shù)據(jù)、運(yùn)用數(shù)據(jù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

三、實(shí)踐“三階四環(huán)”的概念教學(xué)反思

（一）善編居首，至關(guān)全局

善編是最重要的，教學(xué)設(shè)計(jì)并非一條直線，有時(shí)候設(shè)計(jì)更像是一條螺旋形的曲線，是一個(gè)反復(fù)漸進(jìn)的過(guò)程。在充分熟悉教材和教學(xué)主體對(duì)象的基礎(chǔ)上，編制素材應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）對(duì)學(xué)習(xí)素材的加工，教師應(yīng)當(dāng)尋找學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的原材料。（2）要不斷豐富學(xué)習(xí)素材，并容易體現(xiàn)其數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)。（3）要充分融入學(xué)生，正確捕捉學(xué)生心理需求，開(kāi)發(fā)學(xué)習(xí)材料。（4）應(yīng)結(jié)合本地情況大膽開(kāi)發(fā)本土資源?！捌骄鶖?shù)”教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)合理合情的問(wèn)題情境，使每個(gè)學(xué)生均能置身實(shí)際場(chǎng)景，自然產(chǎn)生對(duì)平均數(shù)的學(xué)習(xí)需求，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，這樣才能真正放手讓學(xué)生探索平均數(shù)的計(jì)算方法。

（二）辨變隨行，順勢(shì)而為

由初步感知到深有體會(huì)，再到真正領(lǐng)悟，是一個(gè)遞進(jìn)的思考過(guò)程，在討論和爭(zhēng)論中，在生生互動(dòng)、師生互動(dòng)交流中讓學(xué)生原先認(rèn)識(shí)模糊的概念逐步明晰起來(lái)。

總之，數(shù)學(xué)概念的習(xí)得不是一蹴而就的，必須經(jīng)歷“感知—感悟—內(nèi)化”三個(gè)階段，作為一線教師，助推學(xué)生感知感悟，需要功在課前，用發(fā)展的眼光動(dòng)態(tài)觀察，基于真實(shí)素材進(jìn)行有效編制，并導(dǎo)順導(dǎo)實(shí)，這樣才能在課中做到道法自然、水到渠成，引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

（作者單位：浙江省杭州市蕭山區(qū)寧圍小學(xué)）

編輯：趙飛飛