葉小利

【摘要】初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸.隨著基礎(chǔ)教育的改革，高等數(shù)學(xué)的知識(shí)在下移，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的之間的銜接問(wèn)題成為關(guān)注的焦點(diǎn)，如何改善兩者的關(guān)系成了很多研究者的重心所在。本文從高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀出發(fā)，結(jié)合具體實(shí)例，對(duì)教材內(nèi)容、教法、數(shù)學(xué)思想在初等數(shù)和高等數(shù)學(xué)的銜接進(jìn)行探討。

【關(guān)鍵字】 對(duì)接教育? 思考? 聯(lián)系? 指導(dǎo)

一、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容銜接現(xiàn)狀

教材所給出的教學(xué)內(nèi)容是教師的教和學(xué)生的學(xué)的基礎(chǔ)，教師所謂的“三備”即備教材、備學(xué)

生、備教法，由此可知，教師的教的首要環(huán)節(jié)就是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)吃透教材內(nèi)容；學(xué)生學(xué)習(xí)也是根據(jù)教材內(nèi)容來(lái)確定范圍，教材中沒(méi)有涉及到的即可作興趣了解。因此，我們可以說(shuō)教學(xué)內(nèi)容對(duì)教學(xué)質(zhì)量的提高有著至關(guān)重要的作用。初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在教學(xué)內(nèi)容上的銜接可以通過(guò)課程改革來(lái)實(shí)現(xiàn)，從整體上達(dá)到前后連貫，循序漸進(jìn)，根據(jù)心理學(xué)的研究，符合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律。

二、初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的關(guān)系

就高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的銜接方面而言，高等數(shù)學(xué)中很多知識(shí)與初等數(shù)學(xué)聯(lián)系不緊密甚至斷裂的現(xiàn)象，下面就重點(diǎn)就“復(fù)數(shù)、因式分解和極坐標(biāo)”這部分內(nèi)容給出分析和比較。

復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算是初等數(shù)學(xué)討論的主要內(nèi)容，初等數(shù)學(xué)對(duì)復(fù)數(shù)的要求是：（1）在問(wèn)題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中的作用；（2）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件；（3）了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；（4）能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)的四則運(yùn)算。這是課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出的，其實(shí)對(duì)學(xué)生能力要求不高，學(xué)生掌握的也很好。高等數(shù)學(xué)以函數(shù)為主要研究對(duì)象，函數(shù)的積分為主要研究?jī)?nèi)容，書(shū)本開(kāi)篇對(duì)復(fù)數(shù)的概念作了一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹，接著就是復(fù)數(shù)其他更深入的知識(shí)，內(nèi)涵更加豐富，、知識(shí)點(diǎn)的難度大大的提升，高等數(shù)學(xué)大篇幅地研究復(fù)變函數(shù)的積分，對(duì)于不同類型的函數(shù)，給出相應(yīng)的積分公式，這對(duì)學(xué)生解題能力的要求較高。而初等數(shù)學(xué)重點(diǎn)研究過(guò)的復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，在高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用并不是很多。

三、高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的理論指導(dǎo)

高等數(shù)學(xué)以高觀點(diǎn)來(lái)指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)，很多在初等數(shù)學(xué)中很難或者無(wú)法解釋的問(wèn)題，我們都可以用高等數(shù)學(xué)來(lái)解釋，讓我們對(duì)事物的本質(zhì)有一個(gè)更加深刻的領(lǐng)悟。

1.函數(shù)作圖

在初等數(shù)學(xué)中，我們初步學(xué)過(guò)用描點(diǎn)的方法作出函數(shù)的圖像，如用五點(diǎn)法作二次函數(shù)、正弦函數(shù)的圖像，不過(guò)這樣作出的圖像是比較粗糙的，特別是一些拐點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)，函數(shù)凹凸性不一定能確切地反應(yīng)出來(lái)，到了高等數(shù)學(xué)深入研究了導(dǎo)數(shù)的知識(shí)之后，我們比較注重對(duì)函數(shù)單調(diào)性，拐點(diǎn)以及凹凸性的研究，再用描點(diǎn)法就能較準(zhǔn)確地描繪出函數(shù)的圖像。

例：作出函數(shù)的圖像

我們可以得到，函數(shù)在上遞減且恒大于0，在上函數(shù)圖像的斜率越來(lái)越小，即為凸函數(shù)，在上函數(shù)的圖像的斜率增大趨向于0，即為凹函數(shù)。因此在這個(gè)函數(shù)圖像的繪制中，這個(gè)點(diǎn)很重要，成為拐點(diǎn)。然后通過(guò)翻折畫(huà)出負(fù)半軸的圖像即可

2.因式分解

因式分解在初中要求比較低，只要求學(xué)生會(huì)用提取公因式、公式法會(huì)因式分解就可以，但是老師總會(huì)講，因式分解要分解到不能再分解為止，何為分解到不能再分解，在高等數(shù)學(xué)中，就對(duì)此作出了很明確的解釋，這里我們就討論“不能再分解”這個(gè)問(wèn)題，則必須要提到不可約多項(xiàng)式的概念了。

根據(jù)定義可知，一個(gè)多項(xiàng)式是否可約跟數(shù)域有關(guān)，在復(fù)數(shù)域上不可約因式是一次的，而在實(shí)數(shù)域上不可約因式是一次和的二次因式，三次及以上的多項(xiàng)式一定能分解。