夏笠城，王姝旸，張晶，楊凌宇

(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191)

系統(tǒng)建模中的不確定性和系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中的干擾是控制理論與工程界需要解決的核心問(wèn)題之一。在多種不確定性和擾動(dòng)中，無(wú)法直接利用控制輸入補(bǔ)償?shù)姆瞧ヅ?、快?突變擾動(dòng)是最為復(fù)雜的，但同時(shí)在工程應(yīng)用中最為常見，如高超聲速滑翔飛行器的氣動(dòng)特性[1]、磁懸浮控制敏感陀螺的外部突變擾動(dòng)[2]及系統(tǒng)突發(fā)故障引起的參數(shù)跳變等。

在無(wú)人機(jī)控制領(lǐng)域，體重在100 g 以下的微型四旋翼無(wú)人機(jī)具有體積小、質(zhì)量輕等特點(diǎn)：①其運(yùn)動(dòng)更容易受到周圍環(huán)境擾動(dòng)的影響，對(duì)質(zhì)量、載荷和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的不確定變化也更加敏感[3]；②由于旋翼的動(dòng)態(tài)帶來(lái)的時(shí)滯特性，導(dǎo)致控制輸入無(wú)法對(duì)外部擾動(dòng)直接補(bǔ)償，使擾動(dòng)呈現(xiàn)典型的非匹配特征。針對(duì)非匹配快變/突變擾動(dòng)，探索工程可用的估計(jì)和補(bǔ)償控制方法，可有效提升微小型無(wú)人機(jī)的動(dòng)態(tài)性能和控制精度，同時(shí)對(duì)類似系統(tǒng)的自適應(yīng)、容錯(cuò)控制技術(shù)研究也具有重要的意義。

在快變/突變擾動(dòng)的估計(jì)中，擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（extended state observer, ESO）是 最 為 有 效 的 手 段之一[4]，被廣泛應(yīng)用于航空[5]、機(jī)器人[6]及其他領(lǐng)域[7]中。理論上，若擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的帶寬覆蓋了擾動(dòng)的頻段，其可以獲得足夠的估計(jì)精度，且?guī)捲酱?，估?jì)的精度越高，快速性越好；但當(dāng)實(shí)際系統(tǒng)存在量測(cè)噪聲時(shí)，增大觀測(cè)器帶寬會(huì)顯著放大噪聲的影響，造成精度下降甚至估計(jì)失效[8]。近年來(lái)，學(xué)者們針對(duì)估計(jì)擾動(dòng)和抑制噪聲存在矛盾的問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究。Xue 等提出了自適應(yīng)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，利用卡爾曼濾波的思想自適應(yīng)調(diào)整誤差的增益，在準(zhǔn)確估計(jì)擾動(dòng)和噪聲抑制之間尋求折中值[9]。Rsetam 等提出了分離擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，該觀測(cè)器將一個(gè)高階系統(tǒng)拆分成若干個(gè)低階系統(tǒng)，對(duì)于每個(gè)子系統(tǒng)都用一個(gè)低階線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行觀測(cè)從而降低誤差的增益[10]。Prasoy 和Khalil 等提出了一種非線性高增益觀測(cè)器，把觀測(cè)值與量測(cè)值的誤差作為判斷系統(tǒng)瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)的依據(jù)，分別配置合適的誤差增益[11]。Jo 等提出了一種噪聲抑制擾動(dòng)觀測(cè)器，在線性系統(tǒng)中擾動(dòng)觀測(cè)器的基礎(chǔ)上改善了其反饋形式，并通過(guò)Q 濾波器抑制噪聲的影響[12]。Tamhane[13]和Sun[14]等對(duì)滑模觀測(cè)器進(jìn)行了改進(jìn)，將輸出量的積分作為新的狀態(tài)變量，并選擇合適的滑模面來(lái)有效抑制噪聲的影響。Wang 等提出了一種非線性信號(hào)校正觀測(cè)器，并用于無(wú)人機(jī)系統(tǒng)中的信號(hào)觀測(cè)和校正[15]，但為提高擾動(dòng)的估計(jì)速度，觀測(cè)器的誤差增益需要增大，此時(shí)噪聲可能無(wú)法被有效抑制。其他研究也存在類似的問(wèn)題，在擾動(dòng)突變較小的情況下，觀測(cè)器才能抑制噪聲對(duì)擾動(dòng)估計(jì)效果的影響。此外，上述研究均采用了較為復(fù)雜的觀測(cè)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，這導(dǎo)致其調(diào)參難度大大增加，或者過(guò)多依賴于擾動(dòng)的先驗(yàn)知識(shí)，嚴(yán)重影響了上述方法的工程應(yīng)用。

從上述研究可以看出，有效估計(jì)擾動(dòng)和抑制噪聲之間的矛盾雖然能夠抑制，卻是不可消除的，尤其是在存在快速變化、高幅值擾動(dòng)的系統(tǒng)中，觀測(cè)器的誤差增益會(huì)為快速跟蹤擾動(dòng)而相應(yīng)增大，量測(cè)噪聲對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響會(huì)隨之變大，此時(shí)的折中解將更難選取。此外，對(duì)于非匹配的擾動(dòng)，反步法可以通過(guò)Lyapunov 方法設(shè)計(jì)控制律，保證系統(tǒng)對(duì)非匹配不確定性和擾動(dòng)的漸進(jìn)穩(wěn)定。Wan[16]和Zhang[17]等利用反步法對(duì)非匹配不確定性和擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，但是上述反步法補(bǔ)償?shù)牟淮_定性和擾動(dòng)都是慢變的且沒有考慮系統(tǒng)的量測(cè)噪聲，需要進(jìn)一步研究。因此，如果能夠?qū)Ψ瞧ヅ淇熳償_動(dòng)進(jìn)行準(zhǔn)確的估計(jì)，就可以使用反步法設(shè)計(jì)控制律補(bǔ)償擾動(dòng)，從而提高系統(tǒng)對(duì)不確定性和擾動(dòng)的魯棒性。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了基于雙頻擴(kuò)張狀態(tài)觀 測(cè) 器（bi-bandwidth extended state observer, BESO）的反步抗擾控制方法，并以微型四旋翼無(wú)人機(jī)的定高控制為例進(jìn)行了對(duì)比分析和驗(yàn)證。

1 問(wèn)題描述

不失一般性，帶有非匹配擾動(dòng)和量測(cè)噪聲的單輸入單輸出l階線性系統(tǒng)可表示為

式中：xi(i=1,2,···,l)為 狀態(tài)變量；u為 輸入；b為輸入增益；f(x1,x2,···,xl)為已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。設(shè)系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)量xi均存在不同程度的時(shí)變擾動(dòng)di，且滿足：

由于控制輸入u只 作用于xl，無(wú)法直接完成對(duì)所有擾動(dòng)的補(bǔ)償，因此屬于典型的非匹配不確定性問(wèn)題。

實(shí)際系統(tǒng)中，狀態(tài)xi的 測(cè)量值x?i往往受到噪聲污染，表示為式(2)的形式，其中，ni為方差 σi的高斯白噪聲，ni～N(0,σ2i)。

理論上，在不考慮量測(cè)噪聲情況下，現(xiàn)有干擾估計(jì)器的性能可以通過(guò)增大觀測(cè)增益任意提升，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)快變甚至突變擾動(dòng)的快速估計(jì)；但當(dāng)量測(cè)噪聲存在時(shí)，高增益對(duì)噪聲的放大將直接影響擾動(dòng)的估計(jì)精度，甚至導(dǎo)致觀測(cè)器失效。如何實(shí)現(xiàn)對(duì)快變/突變擾動(dòng)的快速估計(jì)，同時(shí)有效抑制噪聲的影響是干擾估計(jì)方法能否工程應(yīng)用的重要問(wèn)題之一。

因此，本文的目標(biāo)是在系統(tǒng)存在量測(cè)噪聲的情況下，完成對(duì)非匹配快變擾動(dòng)的準(zhǔn)確估計(jì)并設(shè)計(jì)抗擾控制律，完成對(duì)期望指令的快速準(zhǔn)確跟蹤，提高系統(tǒng)對(duì)不確定性和擾動(dòng)的魯棒性。

2 雙頻擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

對(duì)于系統(tǒng)不確定性和未知擾動(dòng)的估計(jì)，線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（linear extended state observer, LESO）可以通過(guò)增大觀測(cè)器的帶寬提高擾動(dòng)估計(jì)的精度，但是誤差的高增益會(huì)放大量測(cè)噪聲，估計(jì)擾動(dòng)和抑制噪聲之間存在矛盾。當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)存在快速時(shí)變擾動(dòng)和量測(cè)噪聲時(shí)，LESO 無(wú)法設(shè)計(jì)合理的帶寬以克服這個(gè)矛盾。本節(jié)基于文獻(xiàn)[18]，針對(duì)式(1)和式(2)所描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了BESO 的結(jié)構(gòu)，使得觀測(cè)器不需要知道擾動(dòng)的先驗(yàn)信息，能在準(zhǔn)確估計(jì)快變擾動(dòng)的情況下抑制量測(cè)噪聲的影響。

對(duì)于式(1)和式(2)表示的系統(tǒng)，構(gòu)造如式(4)所示的BESO，該觀測(cè)器由l組BESO 共同構(gòu)成，其中，前l(fā)?1組具有相同的結(jié)構(gòu)。

式中:ei為 對(duì)測(cè)量值x?i的觀測(cè)誤差；βi1和 βi2為對(duì)應(yīng)的觀測(cè)器的增益，可按LESO 的帶寬配置方法，將觀測(cè)器極點(diǎn)配置到 (?ωi,?ωi)處 。由此得到 βi1和 βi2的值如下：

式中: ωi>0表示BESO 的中心帶寬。與LESO 不同的是，BESO 的工作帶寬還與方向轉(zhuǎn)換因子 γi和雙帶寬比例因子 ηi相關(guān)，這3 個(gè)參數(shù)對(duì)BESO 性能的影響特點(diǎn)如下：

1）中心帶寬 ωi決定了觀測(cè)器的總體性能，ωi越大，BESO 對(duì)di的估計(jì)越準(zhǔn)確，收斂速度越快。對(duì)于頻率較大的di，其變化較快，應(yīng)選取較大的 ωi，反之，則選取較小的 ωi就可以達(dá)到較準(zhǔn)確的估計(jì)。因此，適當(dāng)?shù)剡x取中心帶寬可以對(duì)不同頻率的擾動(dòng)進(jìn)行有效的估計(jì)。

2）當(dāng) ηi=1時(shí) ，BESO 等價(jià)于LESO，當(dāng) ηi≠1時(shí)，BESO 具備雙帶寬的特點(diǎn)，即觀測(cè)器工作帶寬會(huì)隨著觀測(cè)誤差的收斂方向動(dòng)態(tài)調(diào)整。特別是取0<ηi<1時(shí)，若觀測(cè)誤差趨向于0，觀測(cè)器的工作帶寬變小，從而在穩(wěn)態(tài)抑制量測(cè)噪聲的影響；反之，若觀測(cè)誤差增大，則觀測(cè)器的工作帶寬也會(huì)變大，從而提高觀測(cè)器的快速性，使BESO 可以在di發(fā)生突變時(shí)進(jìn)行有效的估計(jì)。

3）當(dāng)中心帶寬 ωi固定時(shí)，ηi選取的越小，可切換的2 個(gè)工作帶寬相較于 ωi差距越大，BESO 對(duì)噪聲抑制的效果越好，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)的觀測(cè)結(jié)果也越準(zhǔn)確。

4）BESO 的可調(diào)參數(shù)只有2 個(gè)：ωi和 ηi，參數(shù)的調(diào)節(jié)過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單。

由式(4)可以看出，γi是隨觀測(cè)誤差絕對(duì)值的導(dǎo)數(shù)符號(hào)改變的，因此可以采用切換系統(tǒng)理論對(duì)BESO 的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。令真實(shí)觀測(cè)誤差為exi=x?i?xi，edi=d?i?di，注 意 有exi=ei?ni，結(jié) 合式(1)可以得到真實(shí)誤差的狀態(tài)方程如下：

式中：

由于l組觀測(cè)誤差方程中的誤差項(xiàng)具有相同的形式，且相互獨(dú)立，為推導(dǎo)方便，省略下標(biāo)i，將式(6)改寫為

注意h中 包了 ?f項(xiàng)，結(jié)合式(7)可做如下分析：當(dāng)f(·)為xi的線性函數(shù)時(shí)，?fl=f(n1,n2,···,nl)，其只是噪聲的函數(shù)，與 [ex,ed]無(wú)關(guān)，此時(shí)式(8)表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性完全由A陣 確定；特別的，若f(·)為xi的非線性函數(shù)時(shí)，理論上 ?fl與xi相關(guān)，但由于 ?fl主要是量測(cè)噪聲導(dǎo)致的誤差，考慮到噪聲均值是0 且幅值微小，因此 ?fl由噪聲項(xiàng)主導(dǎo)且相對(duì)較小，在工程應(yīng)用中可以忽略其對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，則式(8)的穩(wěn)定性可近似由A陣確定。

進(jìn)一步考慮到A陣參數(shù)的切換變化，為分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要找到一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣P滿足：

當(dāng)P存在時(shí)，該切換系統(tǒng)存在公共二次Lyapunov函數(shù)，即系統(tǒng)穩(wěn)定[19]。下面給出定理1 得到BESO穩(wěn)定的參數(shù)范圍。

定理1 式(4)表示的BESO 公共Lyapunov 存在即觀測(cè)器穩(wěn)定的充分條件如下：

基于以上結(jié)論，BESO 的參數(shù)調(diào)節(jié)方法如下：

步驟 1 ωi從較小的值逐漸增大，由于噪聲的存在，觀測(cè)器的觀測(cè)誤差會(huì)先減小后增大。因此，可以在增大 ωi的過(guò)程中通過(guò)觀察觀測(cè)器的觀測(cè)誤差變化尋找到一個(gè)合適的 ωi值。

步驟 2 ηi應(yīng)盡可能選取接近定理1 中的下界值，從而達(dá)到更好的噪聲抑制效果。如果 ηi選取到下界時(shí)仍無(wú)法達(dá)到理想的觀測(cè)結(jié)果，可以適當(dāng)?shù)乩^續(xù)減小 ηi。這是因?yàn)槎ɡ? 中給出的 ηi的范圍只是一個(gè)充分條件，適當(dāng)減小 ηi可以得到更好的觀測(cè)結(jié)果，此時(shí)BESO 可能是不穩(wěn)定的。因此，具體放寬ηi取值的程度還必須結(jié)合進(jìn)一步的仿真和測(cè)試驗(yàn)證。

3 基于BESO 的反步抗擾控制律設(shè)計(jì)

反步法是通過(guò)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov 函數(shù)進(jìn)行遞歸設(shè)計(jì)，從而使閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)有界且能夠收斂到平衡點(diǎn)的一種遞歸設(shè)計(jì)方法[20]，但其控制效果依賴于建模模型精度，本節(jié)將BESO 與反步控制相結(jié)合，利用BESO 估計(jì)系統(tǒng)擾動(dòng)，利用反步法實(shí)現(xiàn)非匹配不確定性的補(bǔ)償。

對(duì)于式(1)和式(2)表示的系統(tǒng)，首先給定指令跟蹤目標(biāo)為x1d，并定義跟蹤誤差為z1=x?1?x1d，x?2為虛擬輸入，可構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)：

可知，當(dāng)z2=x?2?x2d趨 向于0，即x?2→x2d時(shí) ，V˙1(z1)負(fù)定條件滿足。

進(jìn)一步以x2d為 期望動(dòng)態(tài)，x?3為虛擬輸入，設(shè)計(jì)反步控制律，可構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)：

對(duì)其求導(dǎo)得

同理可得，x3d=x˙2d?d2?z1?k2z2。

重復(fù)上述過(guò)程，設(shè)xj（d1

其導(dǎo)數(shù)為

為使V˙j(z1,z2,···,zj)負(fù)定，期望動(dòng)態(tài)需滿足：

式中：kj>0,j=1,2,···,l?1。

為綜合形成控制律u，可構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)：

求導(dǎo)得

當(dāng)u滿足式(24)時(shí)，V˙l(z1,z2,···,zl)負(fù)定，系統(tǒng)各級(jí)跟蹤誤差zi將漸進(jìn)收斂至0。

由于BESO 的觀測(cè)誤差exi、edi是有界且按指數(shù)收斂的，式(13)～式(24)中的di均可替換為d?i[21]。為得到式(24)，反步控制律設(shè)計(jì)了l個(gè)可調(diào)參數(shù)ki?；贐ESO 的反步控制律參數(shù)調(diào)節(jié)方法如下：

1）根據(jù)不同狀態(tài)擾動(dòng)的特點(diǎn)，按照第2 節(jié)方法確定各自BESO 的參數(shù) ωi、ηi，獲得d?i。

2）反步法中的參數(shù)首選根據(jù)快速性要求確定k1，然后可按照kj>4kj?1,1

考慮到實(shí)際系統(tǒng)輸入幅值限制，k1增大雖然會(huì)提高系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，但被控對(duì)象的實(shí)際輸入也會(huì)隨之增大，輸入一旦超過(guò)邊界值被限幅系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生較大的超調(diào)量，因此x2d可做如下修改：

式中：0 <α<1，修改后的V˙i依然是負(fù)定的。這樣在|z1|≤ε 時(shí)，z1的 增益較大，保證系統(tǒng)的快速性，|z1|>ε 時(shí) ，z1的增益較小，避免輸入限幅導(dǎo)致系統(tǒng)超調(diào)量過(guò)大的問(wèn)題。

4 仿真結(jié)果與分析

為驗(yàn)證本文方法的有效性，選取微型四旋翼無(wú)人機(jī)的懸停模態(tài)過(guò)程進(jìn)行驗(yàn)證，在懸停過(guò)程中，其核心控制變量為飛機(jī)的懸停高度。

首先電機(jī)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)如下：

式中：N為電機(jī)轉(zhuǎn)速；u為輸入電壓；輸入范圍為[0,10] V。

無(wú)人機(jī)的升力主要由4 個(gè)旋翼產(chǎn)生的拉力提供，在平衡狀態(tài)下，單個(gè)旋翼的拉力與電機(jī)轉(zhuǎn)速的關(guān)系如下：

式中：F為單個(gè)旋翼的拉力。

為使無(wú)人機(jī)保持水平懸停狀態(tài)，4 個(gè)旋翼產(chǎn)生的拉力相等，且俯仰角和滾轉(zhuǎn)角近似為0，因此無(wú)人機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程如下：

式 中：z為 高 度；m=58 g 為 無(wú) 人 機(jī) 的 質(zhì) 量；g=9.8 m/s2為重力加速度。

由于該微型無(wú)人機(jī)體積小、質(zhì)量輕，其飛行過(guò)程極易受到外界擾動(dòng)的影響，如周邊擾動(dòng)氣流、載荷的移動(dòng)、飛機(jī)姿態(tài)的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)、甚至槳葉或機(jī)身的變形等，這些問(wèn)題給無(wú)人機(jī)高精度控制帶來(lái)了一定的難度。由于作用機(jī)理的不同，可能會(huì)影響到高度運(yùn)動(dòng)的速度或者加速度。將各種不確定性與擾動(dòng)綜合在一起，作為總擾動(dòng)體現(xiàn)在速度和加速度2 個(gè)方程中，分別用d1和d2表 述，進(jìn)一步設(shè)x1=z，x2=z˙，x3=z¨，式(27)～式(29)可改寫成：

由于輸入電壓是通過(guò)控制電機(jī)轉(zhuǎn)速來(lái)改變升力的大小，進(jìn)而控制無(wú)人機(jī)的高度，因此u只作用于x3，無(wú)法對(duì)d1、d2進(jìn) 行直接補(bǔ)償，因此d1、d2屬于非匹配不確定性和擾動(dòng)。為綜合驗(yàn)證控制器的抗擾性能，仿真中d1、d2選擇為快變、慢變、突變的混合形式，使得擾動(dòng)的形式更具一般性，如下：

x1、x2、x3的測(cè)量受到量測(cè)噪聲的影響，如下：

式中：n1～N(0,0.01)，n2～N(0,0.1)，n3～N(0,0.5)。

針對(duì)式(30)表示的系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于BESO 的反步控制律，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1 所示。為體現(xiàn)該控制律的效果，用LESO 替換BESO 做對(duì)比，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖2 所示。

圖1 基于BESO 的反步控制律Fig.1 Backstepping control based on BESO

圖2 基于LESO 的反步控制律Fig.2 Backstepping control based on LESO

對(duì)比BESO 與LESO 擾動(dòng)估計(jì)的結(jié)果。仿真時(shí)間取15 s。對(duì)于d1的 估計(jì)，BESO 取 ω1=18，η1=0.42，LESO 取 ω1=16，觀測(cè)結(jié)果如圖3 所示。

圖3 d1估計(jì)結(jié)果Fig.3 Estimation results of d1

對(duì)于d2的估計(jì)，由于其變化更迅速，幅值更大，ω2應(yīng)選取更大的值。BESO 取ω2=35,η2=0.42，LESO取 ω2=36，估計(jì)結(jié)果如圖4 所示。

圖4 d2估計(jì)結(jié)果Fig.4 Estimation results of d2

由圖3 和圖4 可以看出，在相近的噪聲抑制情況下，BESO 的快速性明顯優(yōu)于LESO。為定量對(duì)比2 種方法的估計(jì)結(jié)果，給出性能指標(biāo)如下：

式中：J1為 總體估計(jì)性能指標(biāo)；J2為瞬態(tài)估計(jì)性能指標(biāo)；J3為穩(wěn)態(tài)估計(jì)性能指標(biāo)。

性能指標(biāo)越小，代表估計(jì)結(jié)果越好。分別計(jì)算BESO 與LESO 的性能指標(biāo)如表1 所示。

表1 BESO 與LESO 估計(jì)d 1,d2性能指標(biāo)Table 1 Performance indexes of BESO and LESO on d1

從圖3 和圖4 中可以看出，在5 s 和10 s 擾動(dòng)發(fā)生快速變化時(shí)，BESO 都能比LESO 更快速地估計(jì)擾動(dòng)。從表1 可以看出，BESO 的各項(xiàng)性能指標(biāo)都比LESO 的性能指標(biāo)小，說(shuō)明BESO 不但能在瞬態(tài)準(zhǔn)確估計(jì)擾動(dòng)，同時(shí)在穩(wěn)態(tài)不會(huì)放大量測(cè)噪聲，有效抑制了噪聲對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響。

接下來(lái)調(diào)節(jié)反步控制律的參數(shù)，由于存在輸入限幅，x2d按 式(25)和式(26)設(shè)計(jì)，取k2=40，k3=160，μ=0.1，α=0.2，輸入為單位階躍響應(yīng)。對(duì)于反步法中的x˙id，采用式(39)方式構(gòu)造濾波器生成：

式中：i=1,2,3，ξ=0.707，φ1=5，φ2=20，φ3=80。

未補(bǔ)償擾動(dòng)的反步法閉環(huán)響應(yīng)如圖5 所示。

圖5 未補(bǔ)償擾動(dòng)的反步法閉環(huán)響應(yīng)Fig.5 Closed-loop response of backstepping controller without disturbance compensation

從圖5 可以看出，閉環(huán)響應(yīng)無(wú)法有效跟蹤目標(biāo)指令，說(shuō)明只使用反步法無(wú)法有效抑制擾動(dòng)給系統(tǒng)帶來(lái)的影響。基于BESO 的反步控制律和LESO的反步控制律的閉環(huán)響應(yīng)結(jié)果如圖6 所示。

圖6 補(bǔ)償擾動(dòng)的反步法閉環(huán)響應(yīng)Fig.6 Closed-loop responses of two backstepping disturbance compensation

從圖6 可以看出，2 種方案的閉環(huán)響應(yīng)超調(diào)量均為11%，在 5 s 和10 s 出現(xiàn)快速變化的擾動(dòng)時(shí)，基于BESO 的反步控制律的閉環(huán)響應(yīng)收斂速度快于基于LESO 的閉環(huán)響應(yīng)，而且受到擾動(dòng)響應(yīng)變化的幅度較小，x2d的設(shè)計(jì)也克服了輸入限幅帶來(lái)的問(wèn)題。因此，基于BESO 的反步控制律在抑制擾動(dòng)的能力上較于LESO 有了明顯的提高。

接下來(lái)觀察被控對(duì)象的實(shí)際輸入u受噪聲的影響。將2 種方案仿真中噪聲去掉時(shí)的實(shí)際輸入作為基準(zhǔn)輸入，基于BESO 的反步控制律的實(shí)際輸入曲線如圖7 所示。

圖7 BESO+反步法實(shí)際輸入Fig.7 Input of backstepping control based on BESO

圖7 中，1 s、5 s、10 s 處都出現(xiàn)了輸入限幅，這是因?yàn)? s 時(shí)系統(tǒng)給定了跟蹤目標(biāo)需要較大的輸入電壓，5 s 和10 s 時(shí)擾動(dòng)都發(fā)生了突變需要較大的輸入電壓。為定量評(píng)價(jià)量測(cè)噪聲對(duì)實(shí)際輸入的影響，引入式(40)所示的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)：

式中：u0為 無(wú)噪聲下的基準(zhǔn)輸入。J4越小代表系統(tǒng)實(shí)際輸入受量測(cè)噪聲的影響越小。分別計(jì)算BESO 與LESO 的性能指標(biāo)如表2 所示。

表2 BESO 與LESO 實(shí)際輸入性能指標(biāo)Table 2 Performance indexes of BESO and LESO on actual input

從表2 可以看出，基于BESO 的反步控制律的J4較小，且相較于LESO 提升了約30%。因此，基于BESO 的反步控制律的被控對(duì)象實(shí)際輸入受量測(cè)噪聲的影響較小，該控制器有效抑制了量測(cè)噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響。

5 結(jié) 論

針對(duì)補(bǔ)償系統(tǒng)中非匹配快速時(shí)變擾動(dòng)和抑制量測(cè)噪聲的問(wèn)題，本文提出了基于雙頻擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的反步抗擾控制律設(shè)計(jì)方法，應(yīng)用于微型四旋翼無(wú)人機(jī)的定高控制，結(jié)論如下：

1）與線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器相比，雙頻擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器可以對(duì)快速時(shí)變的擾動(dòng)進(jìn)行更準(zhǔn)確的估計(jì)，同時(shí)避免放大量測(cè)噪聲，使得觀測(cè)器估計(jì)擾動(dòng)的性能得到明顯的提高。觀測(cè)器的可調(diào)參數(shù)較少，參數(shù)的調(diào)節(jié)過(guò)程比較簡(jiǎn)單，更容易推廣到工程應(yīng)用。

2）基于雙頻擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的反步抗擾控制律可以對(duì)系統(tǒng)中的非匹配擾動(dòng)進(jìn)行有效的補(bǔ)償，使得傳統(tǒng)反步法受擾動(dòng)影響大的問(wèn)題得到了明顯的改善。同時(shí)在量測(cè)噪聲存在的情況下，系統(tǒng)的實(shí)際輸入受噪聲的影響也明顯降低。