敖地珍，劉蘭蘭，劉艷

（貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550000）

H－矩陣在數(shù)學(xué)研究中有著非常重要的作用，特別是非奇異H－矩陣逆的無(wú)窮范數(shù)的上界可以用于矩陣分裂的收斂性分析，以及求解大稀疏性線性方程的矩陣多分裂迭代方程.近年來(lái)，H－矩陣逆的無(wú)窮大范數(shù)上界估計(jì)得到廣泛的關(guān)注和研究.NDSDD矩陣是在文獻(xiàn)［1］中定義的一類新的H－矩陣，目前對(duì)這個(gè)矩陣的研究還比較少.本文主要討論了它的無(wú)窮大范數(shù)問(wèn)題的上界，當(dāng)A是NDSDD矩陣，C是一般矩陣時(shí)，給出上界.特別是當(dāng)C為單位矩陣時(shí)，得出的上界.

1 預(yù)備知識(shí)

在整個(gè)文章中，將使用以下符號(hào).

首先介紹嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)（SDD）和（DSDD）矩陣等常用定義.

定義1［2］設(shè)A＝［aij］∈n×n，對(duì)于任意的i∈N，都有

則稱A是SDD嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

定義2［2］設(shè)A＝［aij］∈n×n，對(duì)于任意的i∈N，

則稱A是DSDD嚴(yán)格雙對(duì)角占優(yōu)矩陣.

文獻(xiàn)［3］證明SDD矩陣和DSDD矩陣是H－矩陣的子類，文獻(xiàn)［1］中提出一個(gè)新的H－矩陣的子類.然而，文獻(xiàn)［1］中并未對(duì)該矩陣命名，本文稱它為NDSDD矩陣，定義如下.

定義3［1］設(shè)矩陣A＝［aij］∈n×n，n≥2對(duì)于任意的i∈N，

則稱A是NDSDD矩陣.

顯然，SDD矩陣包含NDSDD矩陣，即｛SDD｝｛NDSDD｝.以下的例子說(shuō)明反包含不成立，即｛NDSDD｝｛SDD｝不成立.

定義4［4］設(shè)A＝［aij］∈n×n，若A的比較矩陣μ（A）＝［μij］，

是M－矩陣，［μ（A）］－1＞0，則A是一個(gè)H－ 矩陣.

文獻(xiàn)［4］表明若A是一個(gè)H－矩 陣，則［μ（A）］－1＞｜A｜－1，這里A≤B是指aij＜bij，｜A｜＝［｜aij｜］∈n×n，i，j∈N.

此外，NDSDD矩陣也是H－矩陣的子類，非奇異矩陣逆無(wú)窮范數(shù)的上界可用于矩陣分裂的收斂分析以及求解線性方程的矩陣多擬解迭代方法.該上界也可以應(yīng)用于矩陣［5，6］的最小奇異值.

尋找非奇異矩陣逆的無(wú)窮范數(shù)上界的一種傳統(tǒng)方法是利用給定矩陣類的定義和性質(zhì)，詳見(jiàn)文獻(xiàn)［7－10］.VARAH 首先在文獻(xiàn)［10］中給出SDD矩陣逆的無(wú)窮范數(shù)的上界.

定理1［10］如果A＝［aij］∈n×n是一個(gè)SDD矩陣，那么

然而，如果｜aii｜－ri（A）較小，則Varah界可能產(chǎn)生較大的值.2020年，基于Schur補(bǔ)，LI［11］得到SDD矩陣逆無(wú)窮范數(shù)的兩個(gè)上界.對(duì)SDD矩陣逆的無(wú)窮范數(shù)的每個(gè)界，利用DSDD矩陣的定義和性質(zhì)，文獻(xiàn)［9］中得到DSDD矩陣A的的上界如下.

定理2［11］如果A＝［aij］∈n×n是一個(gè)DSDD矩陣，那么

2 主要結(jié)果

下面結(jié)合NDSDD的定義和無(wú)窮范數(shù)的計(jì)算技巧［12－14］，給出當(dāng)A是NDSDD矩陣時(shí)，的上界以及當(dāng)A是NDSDD矩陣，A是一般矩陣時(shí)，的上界.

定理3設(shè)A＝［aij］∈n×n是NDSDD矩陣，則

因此矩陣B是DSDD矩陣.由定理2可知

定理4設(shè)A＝［aij］∈n×n是NDSDD矩陣，C＝［cij］∈n×m則

證明因?yàn)锳＝［aij］∈n×n是一個(gè)NDSDD矩陣，所以A是H－矩陣，因此［μ（A）］－1＞｜A｜－1，設(shè)

推論1設(shè)A＝［aij］∈n×n是NDSDD矩陣，取C為n階的單位矩陣，得到的結(jié)果如下：

3 數(shù)值算例

下面給出數(shù)值算例，對(duì)上述的理論進(jìn)行說(shuō)明.

例2 考慮以下的NDSDD矩陣及一般矩陣

通過(guò)計(jì)算可得出

所以可以得出矩陣A是一個(gè)NDSDD矩陣，故

例3 考慮以下的NDSDD矩陣

通過(guò)計(jì)算可得出