覃祖和，秦為民

(1. 廣西機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院,南寧市,530007; 2. 汽車仿真與控制國家重點實驗室,長春市,130022)

0 引言

1971年,Chua[1]在變量組合完備性原理的基礎(chǔ)上,通過分析電荷與磁通量之間的函數(shù)關(guān)系,成功預(yù)測了憶阻元件的存在,并在1976年將其分為流控型憶阻器和壓控型憶阻器。2009年,Di等[2-3]將記憶電阻的概念拓展到記憶電容和記憶電感中。因其獨有的儲能特點,含有記憶功能的電路元件被廣泛應(yīng)用于混沌電路系統(tǒng)的設(shè)計中。2008年,Strukov等[4]在Chua電路中使用分段線性憶阻器代替Chua二極管,實現(xiàn)了憶阻混沌振蕩器。在含記憶元件的混沌電路設(shè)計方面,大多數(shù)學(xué)者所設(shè)計的復(fù)合憶阻電路主要參考一些經(jīng)典電路,如Chua電路、Wien氏橋震蕩電路等[5-7],由于這些電路的具體實現(xiàn)過程較為復(fù)雜,簡單混沌電路的設(shè)計就顯得尤為重要:2013年,Bi-Rong[8]提出了使用壓控憶阻的最簡單的混沌電路;2016年,Mou等[9]提出了一個包含兩個電容和三個不同吸引子的混沌振蕩器;2019年,Wang等[10]設(shè)計了一種含流控記憶電容的混沌振蕩器。上述的簡單混沌系統(tǒng)的建立只包含一個存儲元件,沒有關(guān)于簡單混沌電路的文章提出一個兼容系統(tǒng)可以代表不同的混沌電路。

在拖拉機(jī)電路故障檢測領(lǐng)域,現(xiàn)有的拖拉機(jī)發(fā)動機(jī)故障檢測方式為故障特征的識別或整機(jī)下線進(jìn)行電路檢測[11],兩種方式都不能及時地對電路中可能出現(xiàn)的故障進(jìn)行預(yù)警,只能夠在故障發(fā)生時或是設(shè)備停止運行時對故障電路進(jìn)行檢測,因此提出一種能夠在故障未發(fā)生時的故障預(yù)警系統(tǒng)顯得尤為重要。

本文提出了一種可兼容串并聯(lián)的小型含憶阻原件的混沌電路系統(tǒng),并對一類并聯(lián)壓控型混沌電路進(jìn)行了具體混沌分析。分析計算了新型電路系統(tǒng)的分岔方式,利用混沌系統(tǒng)對參數(shù)的敏感性,首次將混沌系統(tǒng)的時滯Hopf分岔應(yīng)用于拖拉機(jī)發(fā)動機(jī)的電路故障檢測中,給出了具體的檢測流程圖和檢測方法,為履帶式拖拉機(jī)電路故障檢測提供了一種新的思路和方法。

1 含多個憶阻原件的小型混沌電路系統(tǒng)的建立

本文自主設(shè)計了一類含多個憶阻原件的小型混沌電路系統(tǒng),如圖1所示。

(a) 基于記憶電阻器和記憶電容的并聯(lián)電壓控制電路

(b) 基于記憶電阻和記憶電感的串聯(lián)

綜合圖1分析可得到如下方程。

(1)

式中:k——系統(tǒng)參數(shù);

z——圖1(a)和圖2(b)中通過記憶電容或記憶電感的電荷或磁通。

(a) w-z-x平面相圖

(b) x-y-z平面相圖

G(·),H(·),C(u)能夠通過式(2)、式(3)[12]表示。

A(t)=(m+nσ)B(t)=C(σ)B(t)

(2)

x=G(x,y,t)y

(3)

式中:x——記憶元件的輸出;

y——記憶元件的輸入;

G(·)、H(·)——記憶元件的多樣性。

在式(4)中,本文定義了一類流控型記憶元件和壓控型記憶元件。

式(2)能夠通過式(4)整理得到。

i(t)=(α+βσ1)φ(t)

u(t)=(γ+δσ2)q(t)

(4)

式中:α,β,γ,δ——憶阻元件的系數(shù);

σ1,σ2——磁通和電荷在一定時間內(nèi)的積分。

將式(2)、式(3)代入式(1)能夠得到如下系統(tǒng)。

(5)

(6)

在式(6)中,令a=0.001,b=0.005,c=0.5,e=4,β=1,d=2,r=0.01,α=1,u=43并通過仿真可以得到圖2,在特定的參數(shù)條件下,所構(gòu)建的電路系統(tǒng)能夠產(chǎn)生混沌吸引子。

2 系統(tǒng)的混沌特性分析

2.1 系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性分析

令式(6)左邊為0,并通過簡單計算不難得到系統(tǒng)的平衡點為M(0,0,0,u),在系統(tǒng)平衡點處計算能夠得到系統(tǒng)的雅克比矩陣。

其對應(yīng)的特征方程為

|λE-J*|=λ4+m1λ3+m2λ2+m3λ=0

其中,m1=d-b(α+βu),m2=(r-bd)(α+βu),m3=rd(α+βu),根據(jù)勞斯判據(jù)[13],能夠得到式(6)的穩(wěn)定性條件。

當(dāng)a=0.001,b=0.005,c=0.5,e=4,β=1,d=2,r=0.01,α=1時,有

經(jīng)過分析可以認(rèn)為,系統(tǒng)在任意平衡點上(u>1)都難以滿足上述穩(wěn)定條件,即系統(tǒng)(6)在任意平衡點上都處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

2.2 系統(tǒng)混沌特性分析

設(shè)系統(tǒng)參數(shù)a=0.001,b=0.005,c=0.5,e=4,β=1,d=2,α=1,u=43,通過Matlab仿真計算得到系統(tǒng)的四組混沌序列在參數(shù)r變化條件下的李雅普諾夫指數(shù)圖像(圖3(a))。本文所建立的電路混沌系統(tǒng)一般具有兩個大于0的李雅普諾夫指數(shù),因此能夠判定本文所建立的混沌系統(tǒng)為超混沌系統(tǒng)。在圖3(b)中,通過仿真計算得到了在參數(shù)r變化的條件下,混沌序列z的分岔圖像,仿真結(jié)果表明:系統(tǒng)在參數(shù)r變化時,會發(fā)生分岔現(xiàn)象,并產(chǎn)生混沌。本文通過改變系統(tǒng)參數(shù),分析了在參數(shù)a=0.001,b=0.005,c=0.5,e=4不變的條件下,系統(tǒng)的7種不同吸引子狀態(tài),并通過計算得到了每種狀態(tài)對應(yīng)不同混沌序列的李雅普諾夫指數(shù),如表1所示。

表1 系統(tǒng)七種不同類型的吸引子Tab. 1 System of seven different types of attractors

(a) 李雅普諾夫指數(shù)圖像

(b) 分岔圖像

2.3 系統(tǒng)在時滯條件下的分岔情況分析

在平衡點為M處將系統(tǒng)線性化,并在y序列中加入時滯項能夠由式(6)得到式(7)。

(7)

式中:τ——新引入的時滯變量,τ>0。

式(7)在平衡點M處的雅克比矩陣及其對應(yīng)特征方程如式(8)、式(9)所示。

(8)

λ4-αbλ3+rαλ2+(dλ3-αbdλ2+rαdλ)e-λτ=0

(9)

本文將規(guī)范型定理和Hopf分岔理論[14]相結(jié)合,基于文獻(xiàn)[15]的計算方法計算得到了當(dāng)參數(shù)a=0.001,b=0.005,c=0.5,e=4,β=1,d=2,r=0.01,α=1,u=43時系統(tǒng)的時滯分岔點τ=τ0=0.785 4,并通過仿真計算認(rèn)為:系統(tǒng)在時滯分岔點附近發(fā)生了超臨界Hopf分岔,且當(dāng)時滯參量τ的值持續(xù)增加時,系統(tǒng)吸引子狀態(tài)會由穩(wěn)定變?yōu)榛煦?τ>1.57)。圖4通過Matlab仿真計算給出了不同時滯條件下的系統(tǒng)吸引子圖像。圖4(a)為系統(tǒng)在時滯分岔點時吸引子的狀態(tài),此時系統(tǒng)在時滯分岔點處產(chǎn)生極限環(huán);圖4(b)為τ=1時系統(tǒng)吸引子的狀態(tài),此時系統(tǒng)仍處于穩(wěn)定狀態(tài),但極限環(huán)消失;圖4(c)為τ=1.57時系統(tǒng)吸引子的狀態(tài),此時系統(tǒng)狀態(tài)由穩(wěn)定變?yōu)榛煦?。通過圖4不難分析認(rèn)為,隨著時滯參量τ的增加,系統(tǒng)穩(wěn)定性發(fā)生了改變。

(a) τ=0.785 4

(b) τ=1

(c) τ=1.57

3 混沌電路系統(tǒng)在履帶式拖拉機(jī)電路故障檢測方向的應(yīng)用

履帶式挖掘機(jī)拖拉機(jī)的電路故障主要來源于發(fā)動機(jī)內(nèi)部控制單元的電路故障[16-17],因履帶式拖拉機(jī)發(fā)動機(jī)內(nèi)部的故障種類較為復(fù)雜,無法從發(fā)動機(jī)的內(nèi)部進(jìn)行故障的檢測,因此只能根據(jù)外部電信號的變化來判斷是否有故障產(chǎn)生。本文利用時滯混沌電路系統(tǒng)對時滯參量變化的敏感性,根據(jù)電磁閥驅(qū)動電路中反饋信號的強(qiáng)弱,來對履帶式拖拉機(jī)發(fā)動機(jī)內(nèi)部進(jìn)行短路故障檢測,并能夠在所設(shè)定的范圍內(nèi)做出有效的故障預(yù)警。

令故障檢測電路系統(tǒng)中的時滯參量τ=τ0(即系統(tǒng)處于Hopf分岔狀態(tài)并產(chǎn)生極限環(huán)),記錄系統(tǒng)任意時間序列在時滯參量變化條件下,其李雅普諾夫指數(shù)首次由負(fù)變正時,系統(tǒng)當(dāng)前的時滯參數(shù)(分別記為τm,τn)。令電磁閥驅(qū)動電路中反饋信號做歸一化處理后的值,作為混沌電路系統(tǒng)中的時滯參數(shù),并將τm、τn分別設(shè)定為其的上下限,檢測電路中時滯電路設(shè)計的部分可以采用電阻匹配的T型LCL濾波器來完成時滯[18],時滯參量的值用式(10)表示。

(10)

其中n表示時滯電路中T型LCL濾波器的個數(shù),通過調(diào)節(jié)可變電感L和可變電容C的值來改變時滯參量的值。當(dāng)反饋信號的值偏離了標(biāo)準(zhǔn)值但仍在可控范圍內(nèi)時(τm<τ<τn),系統(tǒng)發(fā)出故障預(yù)警并根據(jù)預(yù)警等級提示檢修;當(dāng)反饋信號的值越過τm、τn時,會使得電路系統(tǒng)由穩(wěn)定狀態(tài)變至混沌狀態(tài)(即對應(yīng)序列李雅普諾夫指數(shù)大于0),并根據(jù)反饋信號的值判斷履帶式拖拉機(jī)發(fā)動機(jī)內(nèi)部是否存在故障,并發(fā)出相應(yīng)的故障警報,混沌電路部分故障檢測流程圖如圖5所示。

圖5 混沌電路部分故障檢測流程圖

圖6展示了基于混沌電路的履帶式拖拉機(jī)電路故障檢測原理圖。以葉香美等介紹的挖掘機(jī)電子控制單元驅(qū)動電路為例,將其輸出信號先做歸一化處理后作為反饋信號輸入履帶式拖拉機(jī)故障檢測電路。

圖6 履帶式拖拉機(jī)電路故障檢測原理圖

R1,R2,C1和R3,R4,C2為兩組濾波電路,將由拖拉機(jī)電子控制單元驅(qū)動電路得到的反饋信號進(jìn)過濾波后送入運算放大器U1,并將數(shù)值處理后的信號分別送入比較器U2、U3以及時滯混沌電路中,首先根據(jù)邏輯運算電路判斷反饋信號是否在所設(shè)定的范圍區(qū)間內(nèi)(τm,τn),若反饋信號值超過所設(shè)定區(qū)間則觸發(fā)故障警報。若反饋信號值符合所設(shè)定范圍,則根據(jù)時滯混沌電路系統(tǒng)當(dāng)前吸引子狀態(tài)(序列李雅普霍夫指數(shù))判斷是否觸發(fā)相應(yīng)預(yù)警,此處還可以根據(jù)序列李雅普諾夫指數(shù)的具體數(shù)值,通過設(shè)置對應(yīng)的不同時滯參量,來實現(xiàn)對發(fā)動機(jī)電路系統(tǒng)不同級別的故障預(yù)警。

4 結(jié)論

1) 研究并建立了一類含多個憶阻元件的新型且易于實現(xiàn)的混沌電路系統(tǒng),具體分析得到了新建立系統(tǒng)的非線性方程,計算得到了電路系統(tǒng)的混沌特性并通過仿真驗證了系統(tǒng)在不同時滯條件下的穩(wěn)定性,通過仿真分析表明,系統(tǒng)在時滯分岔點附近發(fā)生了超臨界Hopf分岔,且當(dāng)時滯參量τ的值持續(xù)增加時,系統(tǒng)吸引子狀態(tài)會由穩(wěn)定變?yōu)榛煦?τ>1.57)。

2) 將電路混沌系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象應(yīng)用于履帶式拖拉機(jī)發(fā)動機(jī)的電路故障檢測?；诨煦珉娐匪⒌穆膸酵侠瓩C(jī)電路故障檢測系統(tǒng)能夠在實現(xiàn)故障警報的基礎(chǔ)上,通過調(diào)整電路參數(shù)設(shè)置故障預(yù)警的范圍(τm,τn),同時基于混沌系統(tǒng)對時滯參數(shù)的敏感性設(shè)置預(yù)警等級,最后通過故障檢測流程圖和履帶式拖拉機(jī)電路故障檢測原理圖的可行性分析可以認(rèn)為,混沌系統(tǒng)能夠應(yīng)用于履帶式拖拉機(jī)發(fā)動機(jī)的電路故障檢測。