潘靈榮, 王元恒

(1.浙江廣播電視大學(xué) 溫嶺學(xué)院,浙江 溫嶺 317500; 2.浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004)

變分不等式理論和不動(dòng)點(diǎn)理論已經(jīng)成為解決基礎(chǔ)科學(xué)和應(yīng)用科學(xué)中許多問題的重要工具,其在信號(hào)處理、均衡問題和優(yōu)化問題中都有廣泛的應(yīng)用,把這些問題轉(zhuǎn)化為不動(dòng)點(diǎn)問題是很多學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)(文獻(xiàn)[1-7]).隱中點(diǎn)規(guī)則是求解微分代數(shù)方程和普通微分方程的重要數(shù)值計(jì)算方法之一,許多學(xué)者運(yùn)用該方法進(jìn)行了黏性迭代算法的收斂性分析,詳見文獻(xiàn)[8-14].

2009年,Chang[15]給出了關(guān)于m-增生算子和非擴(kuò)張映射的黏性迭代算法:

并證明了關(guān)于m-增生算子和非擴(kuò)張映射的序列{xn}強(qiáng)收斂于公共不動(dòng)點(diǎn)p,這也是下列變分不等式問題的解:

〈(I-f)p,j(x-p)〉≥0,?x∈F(S)∩N(A).

(1)

2017年,Luo[16]在一致光滑Banach空間中研究了關(guān)于非擴(kuò)張映射的黏性隱式中點(diǎn)法則,迭代算法生成如下:

在適當(dāng)條件下,證明了該序列強(qiáng)收斂于p∈F(T),這也是下列變分不等式問題的解:

〈(I-f)p,j(x-p)〉≥0,?x∈F(T).

2018年,Zhang[17]在自反的一致凸Banach空間中研究關(guān)于m-增生算子和非擴(kuò)張映射的黏性隱式中點(diǎn)法則:

證明了該序列強(qiáng)收斂于p∈F(S)∩N(A),也是變分不等式(1)的解.

受以上文獻(xiàn)啟發(fā),我們?cè)贐anach空間中給出關(guān)于m-增生算子和非擴(kuò)張映射的廣義隱黏性迭代方法:

(2)

在適當(dāng)?shù)臈l件下,證明了該方法生成序列{xn}的強(qiáng)收斂定理,推廣和改進(jìn)了Luo[16]和Zhang[17]的主要結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)E是Banach空間,E*是E的對(duì)偶空間,對(duì)偶映射J:E→2E*定義為

J(x)=

其中〈·,·〉表示對(duì)偶配對(duì).

映射T:C→C稱為非擴(kuò)張映射,若

設(shè)F(T)是映射T的不動(dòng)點(diǎn)集.

映射f:C→C稱為壓縮映射,若存在k∈[0,1),滿足

映射A:C→E稱為增生算子,若存在j(x-y)∈J(x-y),滿足

〈Ax-Ay,j(x-y)〉≥0,?x,y∈C.

若對(duì)于所有的r>0,R(I+rA)=E,則稱A是m-增生算子.我們記Jr=(I+rA)-1(r>0)為A的預(yù)解式,N(A)={x∈E:0∈Ax},F(Jr)為Jr的不動(dòng)點(diǎn)集.眾所周知,Jr是非擴(kuò)張映射且N(A)=F(Jr).

引理1[17]Banach空間E是一致凸的,當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)連續(xù)嚴(yán)格遞增凸函數(shù)g:[0,+∞)→[0,+∞),g(0)=0,使得

(3)

引理2[19]若λ,μ>0,則對(duì)x∈E,有

xn+1=Vnxn+(1-Vn)en,

則有

引理4[21]設(shè)E是自反的一致凸Banach空間,具有一致G-微分范數(shù),C?E是非空閉凸集,具有正規(guī)結(jié)構(gòu).設(shè)T:C→C是非擴(kuò)張映射且F(T)≠?,f:C→C是壓縮映射,定義xv=vf(xv)+(1-v)Txv,v∈(0,1),則序列{xv}在F(T)上強(qiáng)收斂于一點(diǎn).

引理5[22]設(shè){Cn}是一非負(fù)實(shí)數(shù)列,使得Cn+1≤(1-δn)Cn+δnθn,?n≥0,其中{δn},{θn}滿足:

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)E是自反的一致凸Banach空間,具有一致G-微分范數(shù).C?E是非空閉凸集且具有正規(guī)結(jié)構(gòu).f:C→C是壓縮映射,壓縮系數(shù)k∈[0,1).A是E中的m-增生算子.T:C→C是非擴(kuò)張映射且F(S)∩N(A)≠?.對(duì)于任一x0∈C,?n∈N,序列{xn}由(2)式生成,其中{αn},{βn},{γn},{vn},{μn}和{rn}為(0,1)中的序列,且滿足下列條件:

則序列{xn}強(qiáng)收斂于一點(diǎn)p∈F(S)∩N(A),這也是變分不等式問題(1)的解.

證明證明過程分為以下幾個(gè)步驟.

第一步,證明序列{xn}有界.取p∈F(T)∩N(A),則

由序列{xn}的定義知

移項(xiàng)整理得

所以{xn}是有界的,從而{yn},{un},{Jrnyn},{Jrnxn},{Txn}和{Tyn}是有界的.

從而

(4)

由(2)式可知

(5)

(1-βn)(Jrnun-Jrn-1un-1)+

(6)

(7)

由引理2可知

(8)

由(5)～(8)式可得

移項(xiàng)整理得

(9)

其中

|vn-vn-1|+|μn-μn-1|+2μn|γn-γn-1|+

因此

結(jié)合(6)～(8)式,得到

由(9)式得到

其中

由條件(ⅰ)、(ⅲ)、(ⅳ)、(ⅴ)和(4)式可知

(10)

移項(xiàng)整理得

若

則

我們得到

(11)

觀察

結(jié)合(10)式和(11)式,我們得到

(12)

另外有

(13)

(14)

(15)

由{xn}的定義可知

xn+1-Tyn=αnf(xn)+vnxn+μnTyn-Tyn=

αn(f(xn)-Tyn)+vn(xn-xn+1+xn+1-Tyn),

移項(xiàng)整理得

(16)

而且

結(jié)合(10)式、(15)式和(16)式,有

(17)

我們知道T和Jrn是非擴(kuò)張映射,所以

由(11)式、(13)式、(15)式和(17)式得到

(18)

(19)

根據(jù)引理2可知

結(jié)合(18)式,有

(20)

由Jr是非擴(kuò)張映射得到

結(jié)合(15)式和(20)式,有

第四步,證明

設(shè)xt=tf(xt)+(1-t)Txt,由引理4知,{xt}強(qiáng)收斂到p∈PF(T)∩N(A)f(p),且是變分不等式〈p-f(p),j(p-q)〉≤0,?q∈F(T)∩N(A)的唯一解.

(1-t)〈Txt-Txn+Txn-xn,j(xt-xn)〉+

t〈f(xt)-xt+xt-xn,j(xt-xn)〉≤

t〈f(xt)-xt,j(xt-xn)〉,

移項(xiàng)整理得

〈xt-f(xt),j(xt-xn)〉≤

由(19)式可知

(21)

第五步,觀察

〈αnf(xn)+vnxn+μnTyn-p,j(xn+1-p)〉=

αn〈f(xn)-f(p)+f(p)-p,j(xn+1-p)〉+

vn〈xn-p,j(xn+1-p)〉+

μn〈Tyn-p,j(xn+1-p)〉≤

αnk〈xn-p,j(xn+1-p)〉+

αn〈f(p)-p,j(xn+1-p)〉+

αn〈f(p)-p,j(xn+1-p)〉+

αn〈f(p)-p,j(xn+1-p)〉+

αn〈f(p)-p,j(xn+1-p)〉,

移項(xiàng)合并整理得到

令

由(21)式可得

綜上,根據(jù)引理5得xn→p.