何 娜|浙江省杭州市大成岳家灣實驗學校

在數學教學中培養(yǎng)學生的思維能力、提升其思維品質，已成為核心素養(yǎng)視域下數學教學的應然追求.數學思維品質是個體在數學活動中所表現出來的對數量關系及空間形式認識的個性特征，主要包括數學思維的靈活性、獨創(chuàng)性、批判性、廣闊性、深刻性和敏捷性.教學中，筆者通過設置實例“編制·評價·拓展”序列化任務重構課堂，讓學生在對比分析、抽象概括、質疑思辨、問題求解等思維活動中親歷知識的構建、內化和應用，建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系，使思維品質得到高層次發(fā)展，以下詳細闡述.

一、實例編制任務：立足思維路徑，指向思維的靈活性和獨創(chuàng)性

數學是研究數量關系和空間形式的科學，具有高度的抽象性、邏輯的嚴謹性和廣泛的應用性［1］.在形成數學概念、法則、定理以及解決問題的過程中，均需輔以一定范圍和數量的例證幫助學生理解.因此，筆者設計涵蓋整個單元知識的實例編制任務，促進數學知識與學生已有經驗的融合，提升學生思維的靈活性和獨創(chuàng)性.

（一）逆向融合：實例編制的價值取向

實例編制，指針對某個數學知識，通過師生活動，創(chuàng)造性地編制出契合的例子.傳統(tǒng)教學中，往往是教師出示實例，學生進行分析歸納，這容易導致數學知識與學生的生活經驗、學習經歷脫節(jié).反之，讓學生基于已有的數學知識和自身經驗編制實例，則是從逆向思維的角度，通過對數學知識內涵的認識，反向融合外延部分.如通過編制“平行四邊形”實例，學生可明確其知識成分是“邊、角和對角線”，厘清其內涵特征是“四條邊、兩組對邊分別平行”，認識其外延有“矩形、菱形、正方形”.

編制實例需要經歷比較、分析、綜合、概括等思維活動，可充分展示學生對數學知識的內涵、外延、特征、關聯等維度的認知偏差，或反映出學生對相關知識適用情境的思維定式與局限，使教師能更有針對性地進行教學.

（二）五環(huán)路徑：實例編制的結構分析

數學實例是數學“概念、法則、定理”的具體模型或生活例證，具有“式子（方程、不等式、函數）、圖形、圖表、事件”等諸多表征形式.如數與代數以式子為主，圖形與幾何以圖形為主，統(tǒng)計與概率以圖表和事件為主等.

在實例編制的過程中，師生需經歷“主題確定→成分拆析→情境關聯→組合實例→多元表征”五個環(huán)節(jié)的編制路徑.“主題確定”要求立足數學知識的整體性和數學方法的一貫性，緊扣單元大概念；“成分拆析”要求從知識的內涵與上下位概念的角度加以區(qū)分；“情境關聯”要求從知識的外延與意義的角度加以聯系；“組合實例”要求創(chuàng)造性地重組相關內容；“多元表征”要求選用與數學知識相契合的表達方式.

例如，筆者摘選“一次函數”復習課例，讓學生寫出一個一次函數，并賦予其實際意義.該實例的編制路徑詳見表1.

表1 “一次函數”實例的編制路徑

（三）分層編制：實例編制的實施策略

實例編制一般以學生為主、教師為輔.由于不同層次的學生對實例的感知水平不同，實例編制的任務要求與分工也應有所不同.教師可統(tǒng)籌“學生認知水平”和“任務復雜度”，給出相應的操作要求.

復雜任務：（1）認知水平高：教師呈現主題，學生獨立完成實例編制；（2）認知水平低：教師呈現典型實例，學生模仿完成實例編制.

中等任務：（1）認知水平高：教師呈現實例框架，學生填補框架內容；（2）認知水平低：教師呈現完備實例，學生分析實例內容.

為了凸顯實例的獨創(chuàng)性，避免出現同質化現象，教師應采用“先編后議”的形式：先讓學生獨立完成實例編制，再分組評價與借鑒.實例編制任務，除了要求學生聚焦實例本身外，還應要求學生提煉出編制的路徑、展示所編實例的類型等，從而提升學生思維的靈活性和獨創(chuàng)性.同時，這些鮮活、生動的實例能為后續(xù)的實例評價作鋪墊.

二、實例評價任務：立足標準制訂，指向思維的批判性和廣闊性

根據布盧姆認知目標分類理論，作為認知領域的高層次教育目標，評價是依據準則和標準來作出判斷，包括核查（有關內在一致性的判斷）和評判（基于外部準則所作的判斷），而且只有明確運用標準作出的判斷，才屬于評價［2］。因此，教師要為不同層次的學生提供機會，并給出相應的評價標準，引導學生解釋自己的推理、進行數學歸納，或在不同的概念、解題方法和表征之間建立關聯，進而對自己與他人的實例作出分析、提出疑問并逐步完善、修正，最終提升思維的批判性和廣闊性.

（一）搭建標準：實例評價的價值取向

評價是教學過程中的一個重要環(huán)節(jié).客觀而全面的評價，需要依據一套科學、合理的標準.但由于學生個體間存在數學學習水平差異，使不同學生對實例的評價標準并不一致，即使是根據同一知識而編制實例.因此，讓不同層次的學生對編制的實例進行辨析、討論，在思維充分碰撞后，建立起一套基于全班共識、科學合理的實例評價標準體系是實例評價任務的核心價值訴求.

評價標準可指向“求同、比異”兩個視角.“求同”，是抽象出自我與他人實例中的共同部分，能體現思維的關聯與完備.“比異”，是比較二者相異的部分，或修正知識的過度關聯等問題，能彰顯思維的批判與質疑.如筆者在課堂中呈現部分學生編制的“中位數”實例，引導學生通過“求同、比異”兩個視角的評價，逐步搭建出“中位數”的評價標準.由此，學生再次鞏固了“中位數”的概念，明確了它與樣本數據的“多少、間隔、呈現順序”等因素無關，與數據“按大小排序后的位置”有關.這可進一步揭示“中位數”與“平均數、眾數”等概念間的區(qū)別與聯系，促進學生對知識的本質理解.

（二）設立維度：實例評價的結構分析

實例評價標準體系，是由表征評價對象各方面特性及其相互聯系的多個指標所構成的有機整體.制訂評價標準體系，需設立評價標準維度.數學實例是結合學生的認知結構和現實經驗，使用“式子、圖形、圖表、事件”等形式來表征數學“概念、法則、定理”的具體模型或生活例證，因此我們可將知識理解、表征方式、特色創(chuàng)新等作為評價維度，設計實例的評價標準框架（詳見圖1）.

圖1 實例評價標準框架

設立評價維度后，教師可讓學生進一步細化評價維度，從而建立一套針對性、適用性較強且具有一定操作性、可測量的評價指標.通常，教師可引導學生小組合作，針對已編制的實例開展討論，通過有效追問、多元聯系，幫助學生的思維觸角向更寬更廣的未知領域縱橫求索，從而提出新見解.如在“分式運算”單元評價實例的“知識關聯”維度中，縱向上要與分式的概念、分式的基本性質、解分式方程相關聯，橫向上要與分數運算相關聯，體會數式通性.教師要引導學生通過縱向、橫向的分析、對比、歸納，形成系統(tǒng)化、結構化的知識體系，進而提升思維的廣闊性.

（三）辨正錯誤：實例評價的實施策略

實例評價任務的實施，以學生為主體，教師要尊重并合理利用學生的差異，聚焦實例“內容同質化、內涵過度關聯、外延過度擴張”三類問題，以組內互評、全班展評、自我評價等方式實施評價.

內容同質化：學生編制的實例在知識成分、表征形式等方面相互模仿，以致逐漸趨同的現象.如讓學生借助尺規(guī)作一個等腰三角形時，出現大量利用中垂線的性質繪制等腰三角形的情況，很少有學生想到利用同圓的半徑相等繪制等腰三角形等方法.

內涵過度關聯：將不存在的特征關聯到數學知識.如把“邊的長度”與“角的度數”過度關聯，錯誤地認為“角的兩邊越長，角度就越大”.

外延過度擴張：將概念的使用范圍擴大，使其現實意義缺失.如將平均數應用到“某學生從1 歲到13 歲的平均身高”，使數學知識缺失了實際意義.

組內互評即以小組形式開展生生間的交流，以一種完全開放的狀態(tài)，對實例編制的問題提出規(guī)避化的建議，并嘗試修正實例.全班展評是學生在班級范圍內，以評價標準框架為扶手，對已編制的實例進行各個維度的評價.自我評價指學生依據評價標準框架，對自己編制的實例進行分析、判斷和釋疑，進而重構已有知識結構，不斷走向自我認同與自我完善.

因此，教師要給學生創(chuàng)造交流評價的機會，使其依據實例評價的標準框架，從數學知識的各個維度對自己與他人的實例作出分析、提出質疑，在思維碰撞的過程中逐步修正自己的片面觀念，使思維從混沌走向通透，提升思維的批判性和廣闊性.

三、實例拓展任務：立足問題解決，指向思維的深刻性和敏捷性

目前，學科大概念與深度學習的教育理念已深入人心，而高通路遷移是實現深度學習的有效路徑.在實例編制與評價任務之后設計拓展任務，通過增加問題指向構建出新的數學問題，可促進學生構建良好的認知網絡，提煉相關實例的大概念，以高位的數學思想方法統(tǒng)攝數學知識，從而提升數學思維的深刻性和敏捷性.

（一）縱橫關聯：實例拓展的價值取向

知識掌握的核心指標，指該知識能在不同應用背景下遷移，其前提是學生能準確捕捉知識間的關聯.因此，在完成實例編制與評價后，教師還需挖掘知識間的關聯，依據條件或結論引導學生展開聯想，對已有實例作“縱向、橫向”兩個維度的拓展.如對“兩角互余”這個實例作拓展，學生可依據“90°是180°的一半”這條線索展開聯想，將其與“平角、同旁內角、圓周角、全等三角形”等知識關聯，設計拓展實例，部分示例（所涉及圖形均略）如下.

（1）平角為180°：若點O 是直線AC 上一點，OB 是一條射線，OF、OG 分別平分∠AOB、∠BOC，則∠COG和∠FOA互余.

（2）兩直線平行，同旁內角互補：若AB∥CD，直線EF 分別交AB、CD 于點E、F.∠BEF 的平分線與∠DFE 的平分線交于點G，則∠FEG和∠EFG互余.

（3）直徑所對的圓周角為90°：若AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，則∠A和∠B互余.

（4）全等三角形對應角相等：若正方形ABCD 中，點E、F 分別在邊CD、BC 上，且AF＝BE，則∠BAF和∠BEC互余.

因此，教師應幫助學生洞悉知識間的內在關聯，促進其對數學知識的本質化認知，使其建立起系統(tǒng)化、結構化的知識體系，從而提升解決問題的能力.

（二）五向拓展：實例拓展的結構分析

實例拓展任務，從結構上看，具備“增、刪、換、合、立”五大方向，教師可基于思維加工的視角，引導學生拓展某個核心知識的實例.“增”指增加數學知識的成分或背景材料，對其作特色化處理.“刪”指減少數學知識的成分或背景材料，縮小其內涵，弱化條件.“換”指將數學知識的成分作替換，調整為其他知識，如教師可將“菱形”特征中的“對角線垂直”替換為“對角線相等”，這樣就形成了“矩形”，然后引導學生比較二者的區(qū)別.“合”指將不同的數學知識成分加以組合，形成一個有意義的整體，如在學生掌握了“一次方程（組）、一元一次不等式、一次函數”的概念、性質和應用后，教師應引導學生進一步體會、思考三者間的關聯，構建整體觀下“一次式問題”的結構認知.“立”指針對同一個實例，通過不同分支的數學知識加以分析，形成全新的思維視角，如在學生學習了“相似三角形”的相關知識后，教師就可引導學生從“數”的方法解釋“反比例函數的圖象是中心對稱圖形”，并通過“形”的方法來推理證明.

上述拓展的過程，均圍繞某一個核心知識開展，能讓學生進一步體認到數學知識之間的聯系，如上位、下位、并列等邏輯關系.如此，通過更為廣泛的數學觀念的建立，實現實例的靈活拓展，可提升學生思維的深刻性和敏捷性.

（三）增設條件：實例拓展的實施策略

問題是數學的心臟，培養(yǎng)學生問題解決能力一直是數學教學的重要目標.傳統(tǒng)教學中，學生多是被動地解決由教師提出的問題，缺乏主動性和獨立性.因此，實例拓展任務的實施過程，應以“學生圍繞實例，設計一個相關的數學問題”為目標，讓每個學生都可依據自己的認知水平，沿著自己感興趣的方向去探索、思考和創(chuàng)造.教師要注重引導學生提升對問題增設指向的意識，使其能從多層面、多角度進行探究.在這一過程中，學生從“變”的現象中發(fā)現“不變”的本質，從“不變”中探求規(guī)律，然后通過同化、順應、結構重組等途徑實現經驗的整合與遷移，就可逐步完善認知結構，提升思維品質.

例如，在“函數與幾何”專題復習課中，筆者提出問題：“已知函數的圖象l，點A在l上，你能求出點A的坐標嗎？”片刻思考后，學生發(fā)現此題缺少條件，這就引發(fā)了學生的認知沖突.此時，筆者再引導學生增設條件，編制具有層次性、個性化的問題鏈.學生增設條件的部分方案詳見表2.

表2 “函數與幾何”問題增設條件的方案（學生）

上述方案充分展示了學生個性化的思考過程.而這個等量關系既可用“數”的形式給出，也可借助“形”間接獲?。?］.學生構建并解決問題后，教師還應引導學生對此類問題進行拓展、延伸，如“改變函數的類型”“改變內接幾何圖形的形狀”“增加內接幾何圖形的個數”等，讓學生感悟到解決此類問題的突破點是函數圖象與幾何圖形的交點.其實，增設問題指向的過程，也是學生對知識再發(fā)現、再創(chuàng)造、再認識的過程.從不同的角度、運用多種方法思考和解決問題，不僅可使學生的思維變得更靈活，而且可提升其對知識的遷移能力，使其舉一反三、觸類旁通，進而提升數學思維的深刻性和敏捷性.

綜上，為思維而教，應成為數學課堂教學的永恒追求，成為教師研究教學、指導學生的行動指南［4］.筆者通過實例“編制·評價·拓展”序列化任務，引導學生圍繞數學章節(jié)學習的大概念，編制與核心知識相匹配的實例，歸納實例編制的思維路徑，提升思維的靈活性和獨創(chuàng)性，然后依托社會交互型的合作分組評價實例，讓學生相互評價與自我修正實例，建立實例的評價標準，提升思維的批判性和廣闊性，最后讓學生對修正的實例進行多維度拓展，提升數學問題解決的模型遷移水平，提升思維的深刻性和敏捷性，取得了較好的教學效果.后續(xù)，筆者仍將探索更多指向學生思維發(fā)展的教學方法，以切實提升學生的數學核心素養(yǎng).