朱效洲,王 祎

(1. 軍事科學(xué)院國(guó)防科技創(chuàng)新研究院,北京 100071;2. 南京電子技術(shù)研究所,江蘇 南京 210039)

1 引言

近年來(lái),以在軌維護(hù)等為背景的航天器近距離接近成為航天器協(xié)同控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。任務(wù)航天器在對(duì)故障航天器進(jìn)行在軌維護(hù)時(shí),既要能夠在指定時(shí)間內(nèi)接近目標(biāo),又要避免與目標(biāo)發(fā)生碰撞。

接近目標(biāo)所需時(shí)間,即協(xié)同控制的收斂速率,是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)需考慮的主要因素之一。文獻(xiàn)[1,2]等可在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)收斂,但對(duì)調(diào)節(jié)時(shí)間的估計(jì)依賴(lài)于系統(tǒng)初始狀態(tài),極大地限制了其應(yīng)用范圍。固定時(shí)間控制(Fixed-time control,FTC)[3]可確保系統(tǒng)收斂時(shí)間與初始狀態(tài)無(wú)關(guān),但無(wú)法解決狀態(tài)約束問(wèn)題。

接近過(guò)程中的碰撞避免,即協(xié)同控制的安全性,是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)需考慮的另外一個(gè)主要因素。同時(shí),避撞問(wèn)題也是一種典型的狀態(tài)約束問(wèn)題。文獻(xiàn)[4,5]等將避撞問(wèn)題轉(zhuǎn)化為帶約束的優(yōu)化問(wèn)題,使用優(yōu)化算法設(shè)計(jì)軌跡,但過(guò)高的計(jì)算量限制了其應(yīng)用。為降低計(jì)算代價(jià),人工勢(shì)函數(shù)(Artificial Potential Function,APF)[6]方法被廣泛使用,解決了簡(jiǎn)單外形目標(biāo)的避撞問(wèn)題[7,8]。然而,復(fù)雜外形目標(biāo)的避撞問(wèn)題仍需解決。

為解決有限時(shí)間內(nèi)復(fù)雜外形目標(biāo)航天器的安全接近問(wèn)題,本文提出一種高斯混合模型固定時(shí)間控制(Gaussian Mixture Model based Fixed-time control, GMM-FTC)方法。

2 航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

(1)

(2)

則任意橢圓軌道上,非線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[9,10]可描述為

(3)

其中

(4)

(5)

3 高斯混合模型固定時(shí)間控制

3.1 復(fù)雜外形目標(biāo)航天器建模

假設(shè)復(fù)雜外形目標(biāo)航天器表面有N個(gè)采樣點(diǎn)組成的點(diǎn)云Ζ={Zi=[xi,yi,zi]T},使用高斯混合模型對(duì)其進(jìn)行表示,則某采樣點(diǎn)Zi滿足

(6)

(7)

為獲取復(fù)雜外形目標(biāo)航天器表面采樣點(diǎn)云的高斯混合模型,首先使用K均值算法[11]進(jìn)行聚類(lèi),確定點(diǎn)云的K個(gè)初始聚類(lèi)中心,隨后使用Expectation-Maximization(EM)算法[12]迭代對(duì)參數(shù)集Θ進(jìn)行估計(jì)。

3.2 固定時(shí)間控制

(8)

其中

(9)

(10)

其中

在此基礎(chǔ)上,使用固定時(shí)間控制FTC[3]來(lái)確保調(diào)節(jié)時(shí)間,控制參數(shù)ε、?和γ以及相應(yīng)系數(shù)計(jì)算如下

p1(q)=1,p2(q)=3+q

(11)

非線性坐標(biāo)變換sFTC定義為

sFTC-i=yi+φFTC-i,(i=1, 2)

(12)

其中

(13)

由式(12)和(13)可知,式(10)等價(jià)于

(14)

其中

ξ(y1,y2)=A21y1+A22y2+

(15)

yi(j)(i=1, 2)是yi(i=1, 2)的第j個(gè)元素。

切換面漸進(jìn)律定義為[13]

(16)

(17)

其中|·|表示絕對(duì)值。

因此,FTC的控制律為

(18)

3.3 基于高斯混合模型的固定時(shí)間控制

基于對(duì)復(fù)雜外形目標(biāo)航天器的建模,本文在傳統(tǒng)人工勢(shì)函數(shù)APF[6]基礎(chǔ)上,提出一種新的基于高斯混合函數(shù)的勢(shì)函數(shù)

(19)

其中P和M是正定增益矩陣。并進(jìn)一步將固定時(shí)間控制FTC[3]與基于高斯混合模型的勢(shì)函數(shù)相結(jié)合,提出高斯混合模型固定時(shí)間控制方法GMM-FTC。其非線性坐標(biāo)變換定義為

sGMM-FTC-i=yi+φGMM-FTC-i,(i=1, 2)

(20)

其中

(21)

ks是正定增益矩陣,?表示梯度,?rφ是基于混合高斯模型的勢(shì)函數(shù)φ相對(duì)于任務(wù)航天器位置矢量的梯度。

根據(jù)式(20)和(21),式(10)等價(jià)于

(22)

其中

ξGMM-FTC(y1,y2)=

(23)

切換面漸進(jìn)律定義為

(24)

其中SGMM-FTC-2(j)是SGMM-FTC-2的第j個(gè)元素,函數(shù)f(SGMM-FTC-2,αi)定義為

(25)

因此,GMM-FTC的控制律為

(26)

3.4 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

定義李雅普諾夫函數(shù)

(27)

則有

(28)

其中λi-min=min(λij)(j=1, 2, 3)。

可知

(29)

因此,根據(jù)李雅普諾夫定理,GMM-FTC有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定,且可以確保從任意初始狀態(tài)可在有限時(shí)間TGMM-FTC內(nèi)到達(dá)表面S(t)

(30)

此外,根據(jù)式(21),控制誤差y1和y2有限時(shí)間內(nèi)可在終端切換面收斂為0。

4 數(shù)值仿真

4.1 仿真環(huán)境

圖1所示為具有復(fù)雜外形(帶有凸出天線和太陽(yáng)能板)的目標(biāo)航天器以及LVLH坐標(biāo)系中任務(wù)航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)路徑。仿真中,任務(wù)航天器從起始位置(星號(hào)1)出發(fā),到達(dá)目標(biāo)航天器天線附近的終點(diǎn)位置(星號(hào)2)。目標(biāo)航天器和任務(wù)航天器的物理參數(shù)見(jiàn)表1,任務(wù)航天器在LVLH坐標(biāo)系中的初始狀態(tài)見(jiàn)表2。

表1 目標(biāo)航天器和任務(wù)航天器物理參數(shù)

表2 任務(wù)航天器在LVLH坐標(biāo)系中的初始狀態(tài)

圖1 目標(biāo)航天器以及LVLH坐標(biāo)系中任務(wù)航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)路徑

假設(shè)仿真的期望狀態(tài)為Xf=[-5 -0.913043 -0.304348 0 0 0]T;控制加速周期和積分步長(zhǎng)均為1s,終止時(shí)間為400s;地球引力常數(shù)為3.986×1014m3/s2

將本文提出的GMM-FTC方法用于有限時(shí)間內(nèi)復(fù)雜外形目標(biāo)航天器的安全接近,并與FTC[3]方法、原始APF與FTC結(jié)合的APF-FTC方法進(jìn)行仿真比較分析。仿真中的控制增益和參數(shù)如下所示,FTC、APF-FTC和GMM-FTC使用相同的公共參數(shù)。

對(duì)于GMM-FTC,高斯混合模型由10個(gè)分量組成,其初始聚類(lèi)中心為

4.2 仿真結(jié)果和分析

由初始聚類(lèi)中心開(kāi)始,先使用K均值算法[11]進(jìn)行聚類(lèi),再使用EM算法[12]進(jìn)行迭代求解,獲得目標(biāo)航天器外形的高斯混合模型表示,并通過(guò)采樣,以點(diǎn)云形式進(jìn)行顯示,如圖2所示?？梢钥闯?雖然目標(biāo)航天器具有復(fù)雜的外形,高斯混合模型仍可以很好地進(jìn)行表示。

圖2 目標(biāo)航天器點(diǎn)云形式顯示

圖3所示為目標(biāo)航天器的天線與任務(wù)航天器間最小距離,棕色虛線圈中的部分放大后在圖右上角進(jìn)行展示,紅色線表示判斷碰撞是否發(fā)生的臨界線。由圖可知,GMM-FTC、APF-FTC可以解決復(fù)雜外形條件下目標(biāo)航天器的避撞問(wèn)題,而FTC發(fā)生碰撞。

圖3 天線與任務(wù)航天器間最小距離

圖4所示為控制誤差隨時(shí)間變化情況,由圖可見(jiàn)APF-FTC雖能避撞,但任務(wù)航天器被推離目標(biāo)航天器,GMM-FTC相比APF-FTC控制精度更高。

圖4 不同初始位置條件下的位置誤差

圖4 控制誤差隨時(shí)間變化情況

使用相同控制參數(shù),任務(wù)航天器從表3所示的7個(gè)不同初始位置出發(fā),GMM-FTC的位置誤差如圖4所示。由圖可知,不同初始位置條件下用時(shí)相同,表明GMM-FTC可以確保調(diào)節(jié)時(shí)間與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。

表3 LVLH坐標(biāo)系下任務(wù)航天器不同初始狀態(tài)

5 總結(jié)

為解決有限時(shí)間內(nèi)復(fù)雜外形目標(biāo)航天器的安全接近問(wèn)題,本文提出一種高斯混合模型固定時(shí)間控制方法GMM-FTC。該方法使用混合高斯模型對(duì)復(fù)雜外形目標(biāo)進(jìn)行參數(shù)化表示,并將所提基于高斯混合模型的勢(shì)函數(shù)與有限時(shí)間控制相結(jié)合。李雅普諾夫穩(wěn)定性分析及仿真結(jié)果證明了方法的穩(wěn)定性和有效性。