唐銘坤 馮振華 趙貞玉

摘 要：期權市場中存在大量的套利手段，現有理論模型多基于完全信息市場假設對套利行為的機理進行描述，且在預測套利利潤分布上存在一定不足。為刻畫不完全信息市場中期權組合套利行為，文章將傳統(tǒng)貝葉斯博弈框架推廣為更一般的形式，構建了多個期權組合的貝葉斯博弈模型，探究交易者均衡策略下的套利空間，并分析該套利空間的特征。依照模型，文章證明了在一定參數條件下，即使在參與者各方達到最優(yōu)策略的條件下，市場上仍然存在套利機會；市場上存在無風險博取超額收益的投資機會；這種機會的利潤分布近似帕累托分布。最后，文章用市場數據檢驗了這些結論。

關鍵詞：不完全信息 貝葉斯博弈 期權組合 套利

DOI：10.19592/j.cnki.scje.401349

JEL分類號：C78，D50，G11? ?中圖分類號：F832.5

文獻標識碼：A? ?文章編號：1000 - 6249（2023）04 - 079 - 22

一、引言

2022年7月22日中證1000股指期權正式掛牌交易，進一步完善了我國金融期權產品體系，推進了我國金融市場深化改革。我國股指期權市場成立時間較晚，市場仍處于發(fā)展階段。期權作為一種對沖價格波動的工具，能夠顯著提升資產的流動性，推動市場價格趨于理性。從長期來看，期權交易還能促進市場投資者結構優(yōu)化，吸引更多機構投資者進行長期投資（史慶盛、樊瑞鐸，2016）。對期權組合套利機制的研究，不僅能幫助投資者獲得投資回報，而且有助于維持金融市場的價格穩(wěn)定，助力資本市場平穩(wěn)運行。

學者們對期權套利機制的研究眾多，傳統(tǒng)期權定價理論認為，套利現象是市場未能達到均衡的表現，且無風險資產組合只能獲得無風險收入；新興定價理論則認為，應當將套利現象納入均衡的研究，套利的收益應當被視為一種隨機過程。這些理論基于完全信息市場假設，對套利機會進行了深入的分析，但是未能應用于不完全信息市場的分析，且不能對套利的利潤做一個有效的預測，在指導期權組合套利投資中略顯不足。為此，本文旨在基于不完全信息市場假設對期權組合的套利行為進行研究，并分析該套利空間特征，下面對主要文獻進行簡要回顧。

關于期權組合套利手段的研究，學者們做了大量工作，并發(fā)現市場中往往存在較多的套利機會。stoll（1969）提出了期權平價定理（Put and Call Parity， PCP）為后世提供了期權組合套利的思路。據此，Billingsley and Chance（1985）設計了著名的盒式價差策略（Box Spread Strategy）。該策略往往被學者們用來檢測期權市場的效率（Fung and Mok，2001; 施利斌、欒長福，2009）。國內的陳勝榮（2008）根據風險中性原則，重構了日歷價差期權組合策略，減少了套利組合的波動。山磊、鄭柏茹（2016）則應用期權價格的凸性的性質，建立了基于不等式關系的期權套利組合，并指出不等式套利策略的成交概率遠大于以往的等式套利，且單次套利有可能獲得較高回報。

傳統(tǒng)期權定價理論（Fischer and Scholes，1973）雖然能夠有效地解釋期權的價格規(guī)律，但應用其解釋市場中存在的套利現象，則略顯單薄。崔援民、楊春鵬（1998）在數學上證明了BS模型的風險中性定價假設事實上意味著無風險套利機會不存在。根據傳統(tǒng)期權定價理論，套利空間的產生往往意味著市場未能達到均衡，且市場中存在“錯誤定價”的現象。

部分學者對標準套利（standard arbitrage）過程進行分析，認為傳統(tǒng)定價理論中均衡價格的考慮仍然有所欠缺，市場中的套利行為，應當被視為均衡的組成部分。Fiflewski（1989）分析了不完美的期權市場中不確定波動性，交易成本，交易數量不可分割性等因素對套利活動的影響，并提出在股票指數期權等實際市場中，標準套利活動事實上面臨著巨大的風險和交易成本，因此均衡價格應該是一個廣泛的區(qū)間范圍。Illinski and Stepanenko（1999）提出將套利考慮進均衡狀態(tài)中，將套利的收入設為隨機過程，得到新的均衡價格。Contreras et al.（2020）研究了套利行為出現時在期權定價中的共振現象。Contreras（2021）通過隨機性泡沫產生套利并顯性表示在BS方程中的方式，得出原始BS模型可視作更為一般的隨機模型的弱泡沫極限形式的結論。

雖然這些理論從一方面，對價格活動的變化解釋更加深入了。但是，這些理論對于套利活動的刻畫更多著眼于標準套利過程，即標的資產與相應期權之間的套利行為，對不同期權組合之間的套利解釋上，稍有欠缺。此外，新均衡理論更多討論的是完全信息市場的投資者行為，而實際市場中，大多數投資者面臨的是不完全信息決策問題。張格等（2012）應用實證模型刻畫了我國股票市場的私有信息與公共信息的相對比重，結果表明我國股票市場中確實存在信息不對稱問題。完全信息假設對投資者行為的解釋并不夠全面。

Bagehot（1971）率先提出一個不完全信息股票市場的交易模型，應用該模型闡釋不完全信息對做市商價差均衡的影響。不完全信息模型在解釋動量效應或反轉效應等股票異象上也非常有效。針對不完全信息市場設定，Chatterjee and Samuelson（1983）提出了一種靜態(tài)貝葉斯博弈分析框架，并推導出不完全信息市場中參與各方的最優(yōu)策略，該模型思想可以被廣泛應用于各類不完全信息市場的分析。借鑒于此，扈文秀、韓仁德（2006）將不完全信息狀態(tài)的博弈思想引入實物期權的分析，得到占優(yōu)型實物期權博弈均衡策略。在不完信息市場博弈框架中，交易者的均衡沒有隨機過程項，交易行為更加有跡可循，對于均衡形成的機理說明更加深入。

由文獻回顧梳理可知，既有國內外相關研究成果斐然，但尚存改進與發(fā)展空間。傳統(tǒng)定價理論基于無套利狀態(tài)的市場動態(tài)均衡，認為期權市場中套利機會的出現意味著市場未能達到均衡狀態(tài)，市場存在“錯誤定價”；新興的定價理論認為，鑒于不完美期權市場中套利活動的復雜性與潛在風險，套利行為應當被視為均衡的一部分，并且對套利行為的收益用隨機過程來進行表示，套利行為被解釋為一種隨機過程。這些理論對均衡價格的刻畫鞭辟入里，但其描述的仍然是完全信息市場下的均衡，與交易者面對的不完全信息決策問題仍有一定距離；此外定價理論中主要研究的是標準套利過程，該理論對期權組合間套利空間的形成解釋不足。為更好描述市場行為，學者們構建了各種不完全信息市場模型，并應用其有效地解釋了各種市場異象。應用貝葉斯博弈框架，求解市場參與各方的最優(yōu)策略的方法也被引入到期權市場的研究中。但是目前，應用貝葉斯博弈框架的研究主要集中在實物期權的研究，與參與各方均衡策略的研究，并不能直接用于說明期權組合間套利空間形成的機理，或用于預測套利的利潤分布。

為進一步闡釋期權組合間套利空間形成的機理，本文基于不完全信息市場的假設，構建了兩個貝葉斯博弈模型。在此基礎上，研究集合競價機制下，不同期權組合交易者的貝葉斯均衡策略，并由均衡策略探究不同期權間套利的可能性與條件，分析套利空間的特征，并預測套利的利潤分布。為檢驗模型，本文在理論上嘗試構建一種既無風險又保留超額收益機會的反直覺的期權套利組合，并計算其套利空間。根據本文理論思想，創(chuàng)新性地在市場中構造了這一組合，分析市場結果與理論模擬結果的異同，從而完成對模型的檢驗。

與已有研究相比，本文可能的邊際貢獻如下。（1）現有理論，基于完全信息市場假設，著眼于標的資產與衍生品之間的套利，本文則從不完全信息市場假設出發(fā)，探究期權組合之間的套利機理，對現有理論進行了補充。（2）現有理論體系中，套利的收益率無法確定，但是應用本文的框架能夠初步得到套利空間利潤的分布，分析其特征，并用市場數據進行驗證。（3）本文應用貝葉斯博弈框架時，在傳統(tǒng)貝葉斯博弈基礎上，引入新的參數，得到更一般形式的均衡策略，該方法增強了傳統(tǒng)貝葉斯博弈框架的解釋范圍。（4）市場認為無風險資產組合只能獲得無風險回報，模型證明了無風險資產組合在特定交易條件下可以保留獲取超額收益的機會，本文用模型刻畫了其產生的機理，并用市場數據進行驗證。

二、期權市場貝葉斯博弈模型構建與求解

（一）模型的設定

經典期權套利組合往往利用方向相反的一對期權組合對沖風險，從而構建無風險期權組合。類似地，本文對獲利方向相反期權組合的交易者行為進行研究。設定期權市場中有兩類參與者1和2。其中參與者1認為未來標的資產是單邊上漲或單邊下跌的趨勢，而參與者2認為未來標的資產價格在一個區(qū)間內波動。兩類參與者利用期權組合1和期權組合2獲利。在市場中，蝶式期權和跨式期權恰好滿足這兩類投資者的需求。

正向蝶式價差組合，能夠捕捉波動帶來的收益，但在單邊行情下，有一定的虧損，對應期權組合1；多頭跨式期權組合則在單邊行情中能獲得收益，在波動行情則有相應的虧損，對應期權組合2。根據這兩類期權組合特點建模1。若到期資產價格越靠近當前價格，則期權組合1的收益越高，期權組合1的獲利區(qū)間為[[0， L1]]；若到期資產價格越偏離當前價格，則期權組合2的收益越高，組合2的獲利區(qū)間為[[0，L2]]；設[L2>L1]。

兩種期權組合的權利金需要期權組合供給方與需求方競價得出，其中期權組合1的供給方要價為[ps1]，需求方出價為[pb1]。同樣地，期權組合2的要價與出價分別為[ps2]與[pb2]?？紤]到后續(xù)獲取數據的難度，本文將利用開盤數據檢驗理論。由于開盤價是集合競價的結果，此處應當對成交條件進行一定的約束。為簡化集合競價的成交條件，本文設當[ps≤pb]時，雙方成交，成交價[pd=（ps+pb）/2]；若[ps>pb]，則雙方不成交。雙方出價結束后，期權買方以成交價給付給賣方權利金，期權賣方向交易所支付保證金，作為履行義務的擔保。標的資產到期后，若符合買方行權條件，則賣方將相應金額交割給買方，交易所返還賣方保證金。

考慮買賣雙方的博弈為不完全信息博弈，期權組合1買方期望收益為[v1]，則[v1∈[0，L1]]；賣方預期的賠付損失為[c1]，且[c1∈[0，L1]]；期權組合的買賣雙方僅知道自己的類型空間以及對方類型取值的分布，并不知曉對方的具體類型。相同地，在期權組合2的博弈中，買方的期望收入為[v2]，[v2∈[0，L2]]；賣方的預期損失為[c2]，[c2∈[0，L2]]；博弈雙方僅知道自己的類型，而不知道對方的類型。在此基礎上，以期權組合1的博弈為例，買賣雙方的效用函數分別為：

[ub1=v1?（ps1+pb1）/2ps1≤pb10ps1>pb1] （1）

[us1=（ps1+pb1）/2?c1ps1≤pb10ps1>pb1] （2）

在靜態(tài)貝葉斯博弈框架中，參與人策略應為其類型的嚴格遞增函數，設買賣雙方采用線性報價策略，以期權組合1的博弈為例，則買賣雙方的均衡策略為：

[ps1（c1）=αs1+βs1c1pb1（v1）=αb1+βb1v1] （3）

買賣雙方的出價是關于其自身的類型[c1]和[v1]的函數。上式中，[αs1]為不變成本系數，[αb1]為不變收入系數，[βs1]與[βb1]分別為可變成本系數和可變收入系數。設[c1]與[v1]均在[[0，L1]]上服從均勻分布，則[pb1]在[[αb1，αb1+βb1L1]]上服從均勻分布，[ps1]在[[αs1，αs1+βs1L1]]上服從均勻分布。上述兩個博弈游戲構成兩個貝葉斯博弈過程，下文對這兩個博弈的均衡策略進行求解。

（二）均衡策略

以期權組合1博弈為例，求解該博弈買賣雙方的均衡策略。對期權組合賣方而言，由于[pb1]在[[αb1，αb1+βb1L1]]上服從均勻分布，在線性策略的條件下，可得：

[Pr（pb1≥ps1）=αb1+βb1L1?ps1βb1L1] （4）

根據條件期望公式，期權組合賣方可得買方的期望有效報價為：

[E（pb1|pb1≥ps1）=1βb1L1ps1αb1+βb1L1x?dxPr（pb1≥ps1）=12（αb1+βb1L1+ps1）] （5）

又由于期權組合1賣方的最優(yōu)策略可以改寫為以下目標函數的解：

[maxps1{12[ps1+E（pb1|pb1≥ps1）]?c1}?Pr（pb1≥ps1）] （6）

將上面式（4）（5）代入式（6）中，可得目標函數：

[maxps1{12[ps1+12（αb1+βb1L1+ps1）]?c1}?αb1+βb1L1?ps1βb1L1] （7）

對函數求導分析，可知函數存在最大值，且最大值于一階導等于0處取得。計算得，期權組合1賣方的最佳出價策略為：

[ps1=13（αb1+βb1L1）+23c1] （8）

同理，對于期權組合1買方而言，其估計下的賣方的有效競價概率為：

[Pr（pb1≥ps1）=pb1?αs1βs1L1] （9）

賣方的期望有效報價為：

[E（ps1|pb1≥ps1）=1βs1L1αs1pb1x?dxPr（pb1≥ps1）=12（pb1+αs1）] （10）

又已知買方的目標函數為：

[maxpb1{v1?12[pb1+E（ps1|pb1≥ps1）]}?Pr（pb1≥ps1）] （11）

將式（9）（10）代入式（11）中，可得新目標函數：

[maxpb1{v1?12[pb1+12（pb1+αs1）]}?pb1?αs1βs1L1] （12）

對該函數的二階導分析，可知該函數存在最大值，且最大值于一階導等于0處取得。計算得期權組合1買方的最佳出價策略為：

[pb1=13αs1+23v1] （13）

至此，可得期權組合1博弈中買賣雙方的均衡報價策略為：

[ps1=13（αb1+βb1L1）+23c1pb1=13αs1+23v1] （14）

將式（14）代入線性報價策略式（3）中，可得

[αs1+βs1c1=13（αb1+βb1L1）+23c1αb1+βb1v=13αs1+23v1] （15）

由于上述方程對所有的[c1]和[v1]成立，應用待定系數法，得到方程組：

[αs1=13（αb1+βb1L1）βs1=23αb1=13αs1βb1=23] （16）

解得期權組合1博弈中的均衡報價策略為：

[ps1（c1）=14L1+23c1pb1（v1）=112L1+23v1] （17）

同理，計算得期權組合2博弈中的均衡策略為：

[ps2（c2）=14L2+23c2pb2（v2）=112L2+23v2] （18）

在均衡策略條件下，下文將探究兩個期權組合博弈之間的套利空間。

（三）套利空間的求解

首先，根據均衡報價策略，計算買賣雙方有效報價范圍對應的[c]和[v]的取值，并根據成交條件，得到博弈雙方的交易區(qū)域。由最優(yōu)報價策略可知[minps1（c1）=14L1]，[maxpb1（v1）=34L1]，記[ps1（c1）]與[pb1（v1）]的逆函數為[ps1?1（?）]與[pb1?1（?）]，則[c1]與[v1]重合區(qū)間的上下限為：

[v1down=pb1?1（minps1（c1））=pb1?1（14L1）=14L1] （19）

[v1up=ps1?1（maxps1（v1））=L1] （20）

[c1down=pb1?1（minpb1（c1））=0] （21）

[c1up=ps1?1（maxpb1（v1））=pb1?1（34L1）=34L1] （22）

求解得，[c1]與[v1]的重合區(qū)間為，[v1∈[14L1，L1]]，[c1∈[0，34L1]]。又由于雙方成交時，需滿足[pb1（v1）≥ps1（c1）]，將最優(yōu)報價策略代入該條件，可得[v1≥14L1+c1]。因此，期權組合1博弈的交易空間可以表示為：

[v1≥14L1+c1，c1∈[0，34L1]] （23）

同理，本文計算得到期權組合2博弈的交易空間為：

[v2≥14L2+c2，c2∈[0，34L2]] （24）

在該交易空間中，考慮不同期權組合間套利手段。若投資者希望獲得無風險收益，則其考慮不管未來標的資產價格如何變動，最終總能獲得收益。構建一個全范圍的期權投資組合，若同時參加兩項博弈，仍能獲利收益，則證明即使在兩個博弈均處于均衡策略的狀態(tài)下，仍存在一定的套利空間。

若同時作為兩個期權組合的買方，根據行權條件，若期權組合1可以行權，則期權組合2也必然行權；期權組合2行權，期權組合1不一定行權。對于賭單邊行情的期權組合2而言，其在任何情況下均能行權，購買期權組合2的風險在于其參與的成本與最終行權收益的差額。若同時參與兩種博弈均獲利，則以下兩個不等式組應當同時成立：

[L'2+L'1?pd1?pd2>0L'1=L1?S（t）?S（0）L'2=S（t）?S（0）] （25）

[L'2?pd1?pd2>0L'2=S（t）?S（0）S（t）?S（0）>L1] （26）

上式（25）（26）中，[L'1]和[L'2]為期權組合買方取得的收益，[S（t）]為標的資產到期價格，[S（0）]為標的資產初始價格。易得，若上述兩個不等式組同時成立，僅需不等式組（25）成立，問題轉變?yōu)樽C明式（27）：

[L1?pd1?pd2>0] （27）

將式（17）（18）代入上式（27）得：

[L1?16（L1+L2）?13（c1+c2+v1+v2）>0] （28）

因為交易空間可以表示為式（23）和式（24），以該交易空間為定義域，計算得式（28）的值域為：[[14L1?34L2，34L1?14L2]]。因此，若滿足[L1

此外，取[L1=1]，[L2=2]，對[c1]，[c2]，[v1]，[v2]，[L'1]和[L'2]的取值進行模擬，模擬10000次后，統(tǒng)計可以構成套利的游戲中套利的利潤分布，得到圖3，計算套利收益率，并繪制其分布得到圖4。

由圖3和圖4可知，模擬套利獲利的利潤主要以小利潤為主，且隨著獲利的增加，套利機會在逐漸減小。另外，利潤率的分布近似服從帕累托分布。

三、實證檢驗

（一）實證檢驗的思路

基于模型的博弈套利思想，在上文的競價框架下，方向相反的期權組合，往往具有一定的套利空間。但是，在本文模型的設定中，蝶式期權組合的中間行權價（頂點）與跨式期權的行權價（頂點）均相等，且恰好等于當前的資產價格。然而，現實市場中，期權行權價的個位數往往取0，如50ETF沽2350，而資產價格又精確到個位，如2353，所以難以在市場中形成有效配對，實證難度較大。此外，本文還希望拓展本模型的解釋對象，希望其不僅能解釋頂點相同的期權組合間的套利，也能解釋頂點不同的期權組合的套利。因此，我們需要探討不同期權組合的頂點和當前價格對套利空間的影響。

利用到期收益函數可以對不同期權組合的參數進行調整，并確定市場中無風險組合的特征。下文對蝶式期權組合的行權價、跨式期權組合的行權價與行權規(guī)則分析，求解無風險組合的參數條件，并說明其在模型中的體現。最后，檢驗拓展模型與市場是否有套利空間，比較拓展模型的套利利潤分布與市場套利利潤分布的特征。

（二）變異蝶式價差組合的套利策略構建

首先，構建正向蝶式價差組合的到期收益函數，即投資者持有該策略到期的收益的函數。正向蝶式價差組合可分為看漲期權的正向蝶式價差組合和看跌期權的正向蝶式價差組合。本文取看漲期權的正向蝶式價差組合研究。正向蝶式價差組合由一份行權價較高的多頭買權，兩份行權價居中的空頭買權和一份行權價較低的多頭買權構成。設期權的行權價從低到高為[a]，[b]，[c]；資產的到期價格為[ST]；行權價由低到高分別為[Ca]，[Cb]和[Cc]；三份期權的到期收益分別為[CT（a）]，[?CT（b）]和[CT（c）]。由此可得三份期權的到期收益函數分別為：

[CT（a）=?CaST?a?CaSTa] （29）

[?CT（b）=Cbb?ST+CbSTb] （30）

[CT（c）=?CcST?c?CcSTc] （31）

正向蝶式價差組合的收益[R=CT（a）?2CT（b）+CT（c）]，可得正向蝶式價差組合的收益函數：

[R=2Cb?Ca?CcST?a?Ca+2Cb?Cc?ST+2b?a+（2Cb?Ca?Cc）2b?a?c+（2Cb?Ca?Cc）STc] （32）

同理，構建多頭跨式期權組合的到期收益函數。多頭跨式期權由兩份相同行權價的多頭買權和多頭賣權構成，設多頭買權和多頭賣權的行權價為[d]；多頭買權的期權費為[Cd]；多頭賣權的期權費為[Pd]；多頭跨式期權的到期收益為[R1]，可得多頭跨式期權組合的到期收益函數為：

[R1=d?ST?Pd?CdST?d?Pd?CdSTd] （33）

分析正向蝶式價差組合的收益區(qū)間與多頭跨式期權組合的收益區(qū)間可知，正向蝶式價差組合利用小范圍波動獲利，單邊行情下有一定損失，而多頭跨式期權則在小范圍波動內虧損，單邊行情下獲得較大收益。因此，若令這兩個組合的風險完全對沖，則蝶式價差組合具有正收益的部分應當完全彌補多頭跨式期權組合的虧損。若多頭跨式組合的收益轉折點小于[a]，或大于[c]時，多頭跨式組合虧損的部分就無法由正向蝶式價差組合彌補。因此，需要分析多頭跨式組合的行權價在[a]，[c]之間的情況，分類討論三種情況：[d=b]，[db]。

1.[d=b]

設變異蝶式價差組合的到期收益為[R']，可得：[R'=R+R1]。變異蝶式價差組合的到期收益函數為：

[R'=Cb?Ca?Cc+b?ST?Pdb?a?Ca+Cb?Cc?Pdb?a?Ca+Cb?Cc?Pdb?a?c+ST?Ca+Cb?Cc?PdSTc] （34）

若組合無風險，則分段函數每一個區(qū)間均大于0，對應的四個不等式組需同時成立，求解令四個不等式組均成立的更嚴格的條件，得到變異蝶式價差組合的第一個策略：

[Cb?Ca?Cc?Pd>a?bd=ba

2.[a

同樣地，該條件下期權組合的到期收益函數為：

[R'=2Cb?Ca?Cc?Cd?Pd+d?ST2Cb?Ca?Cc?Cd?Pd?a+d2Cb?Ca?Cc?Cd?Pd+2ST?a?d2Cb?Ca?Cc?Cd?Pd?a?d+2b2Cb?Ca?Cc?Cd?Pd?a?d+2b?c+STSTc] （36）

同理，若組合無風險，則分段函數的每一個區(qū)間均大于0，對應五個不等式組同時成立，求解得變異蝶式價差組合的第二個策略：

[2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd>a?da

3. [b

該條件下，組合的到期收益函數為：

[R'=2Cb?Ca?Cc+d?ST?Pd?Cdd?a+2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd2b+d?a?2ST+2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd2b?d?a+2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd2b?a?c?d+ST+2Cb?Ca?Cc?Pd?CdSTc] （38）

同理，若組合無風險，求解令各個區(qū)間函數值均大于0的條件，得變異蝶式價差組合的第三個策略：

[2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd>a+d?2ba

（三）變異蝶式價差組合與拓展模型

考慮到策略1的兩期權組合的頂點相同，但其與當前資產的交易價格并不一致。將原模型修改為拓展的博弈模型，即將原模型中式（25）與（26），分別改寫為：

[L'2+L'1?pd1?pd2>0L'1=L1?St1?HL'2=St1?HSt1?H

[L'2+L'1?pd1?pd2>0L'2=St2?HSt2?H>L1] （41）

其中，[St1]和[St2]分別為波動行情下的資產到期價格，單邊行情下的資產到期價格；[H]為蝶式期權組合與跨式期權組合的頂點。令式（40）（41）同時成立，可得不等式組更嚴格條件為：

[L1?pd1?pd2>0] （42）

結合均衡報價策略，式（42）可改寫為：

[L1?16（L1+L2）?13（c1+c2+v1+v2）>0] （43）

在均衡交易空間下，式（30）的值域為：[[14L1?34L2，34L1?14L2]]。因此，若滿足[L1

由圖5和圖6可知，策略1的利潤率分布也是服從帕累托分布的。

策略2的組合中，蝶式期權組合的頂點在右，跨式期權組合頂點在左，而策略3的組合正好相反，因而兩者在博弈模型中的行權函數正好是對稱的，兩者結論基本一致。此處僅討論策略2，不再贅述。

同樣地，對于策略2的博弈而言，將原博弈模型的（25）（26）改寫為：

[L'2+L'1?pd1?pd2>0L'1=L1?St1?H1L'2=St1?H2St1?H1+St1?H2=H1?H2H1

[L'2+L'1?pd1?pd2>0L'1=L1?St2?H1L'2=St2?H2St2?H1=St2?H2+（H1?H2）H1?L1

[L'2+L'1?pd1?pd2>0L'1=L1?St3?H1L'2=St3?H2St3?H2=St3?H1+（H1?H2）H1

[L'2?pd1?pd2>0L'2=St4?H2St4?H1>L1St4?H2>L2] （47）

[L'2?pd1?pd2>0L'2=St5?H2St5?H1>L1St5?H1=St5?H1?（H1?H2）] （48）

上述不等式組中，[St1]、[St2]、[St3]、[St4]和[St5]為不同范圍內的資產到期價格；[H1]和[H2]分別為蝶式組合的頂點與跨式組合的頂點。求解上述5個不等式組同時成立的更嚴格條件得：

[L1?（H1?H2）?pd1?pd2>0] （49）

利用報價均衡策略與交易空間，可得上式的值域為[（14L1?34L2?（H1?H2），34L1?14L2?（H1?H2））]，因此，若滿足[L1

假設兩個期權組合頂點，在當前資產價格的周圍取均勻分布，對該博弈過程進行模擬，可得套利利潤與利潤率分布：

由圖7和圖8可知，策略1的套利利潤分布也是服從帕累托分布的。策略3的結果與策略2的拓展模型推導基本一致，此處不過多贅述。根據拓展模型可知，可以在市場上構建這三種無風險組合，且其收益率分布應當服從帕累托分布。

（四）實證檢驗的數據處理

在做實證檢驗之前，需確保變異蝶式價差組合的套利收益不包含交易成本、保證金占用、滑點等因素帶來的“額外收益”，提高實證檢驗的說服力。

1.樣本選取

本文推導的期權組合有一個隱含大前提，即所有期權的到期日相同。在此基礎上，挑選符合要求的期權進行配比，得到套利組合。此外，在實際交易中，期權買賣是按照合約張數為單位進行的，但由于派發(fā)股息等原因，期權合約的合約單位不盡相同，不同合約單位的期權合約匹配將造成風險的暴露。因此在回測時，僅選取相同合約單位的期權合約進行配對組合。本文取50ETF在2021年的所有期權數據，以及2021年1月至2022年3月資產價格數據進行回測，數據來源Wind數據庫。

本文選擇2021年作為數據樣本的原因有三。其一，套利空間的測定與大盤走勢并無關系，在本文構建無風險組合之時，已在數學上證明這樣的無風險組合并不會產生虧損風險，所以在無風險組合的前提下，能夠獲取收益，即說明市場存在套利空間。數據區(qū)間為一年，能夠確保數據量足以刻畫出無風險組合的收益情況。其二，2021年為當下最近的一個完整年份，數據較新。其三，由于期權的收益是在未來資產價格落定時兌現，考慮到部分期權的收益信息的完整性（如：2021年部分期權的行權日為2022年），若應用最新的2022年9月的期權市場數據，則部分期權的到期收益未知，因而收益情況的分布也會有所缺漏。因此本文選擇2021年作為回測的區(qū)間既確保采用了較新的數據，又保證了不漏放期權數據的收益信息。

2.交易成本

將交易費用視為損失，則套利策略的構成條件應當再進一步限制。此外，由于期權的交易費用按合約張數來計費，需將交易費用修改為一個合約單位的費率，則套利策略的構成條件應為：

（1）[d=b]

[Cb?Ca?Cc?Pd?tran>a?ba

（2）[a

[2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd?tran>a?da

（3）[b

[2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd?tran>a+d?2ba

其中[tran]為一個期權組合的交易費率。其計算如下：

[tran=N?F/n] （53）

式中，[N]為期權組合中合約的總張數，[F]為一張期權合約的固定交易費用，[n]為一張期權合約的合約單位。上海證券交易所對一張合約收取1.3元，中國結算對一張合約收取0.3元，證券公司或期貨公司對一張合約收取2-5元，因此，一張合約的固定交易費用約為3.6-6.6元。

3.保證金占用

本文中三個策略需要賣出認購期權，根據上海證券交易所規(guī)則，賣出期權需要繳納保證金。隨著價格的波動，期權的保證金的數額發(fā)生變化。為模擬保證金充足的情形，本文將取期權存續(xù)期的最高維持保證金為回測的保證金，并將該保證金的支付與退回分別視為組合的現金流出與現金流入，計算收益率。

4.無風險收益

若期權組合在一開始賣出期權的收益能夠覆蓋買入期權的成本并且有盈余，該部分盈余可以用來投資無風險資產獲得無風險收益，從而適當提升組合的策略的收益率。考慮2021年一年期國債的利率為2.1119%-2.7155%，為提升結論的說服力，本文取年無風險收益率為2%。

5.滑點

本文將預期交易失敗的費用作為實際發(fā)生的成本計入回測，從而得到滑點調整后的預期收益情況。由于期權交易的特點，在建倉當天可以通過反向交易來實施平倉。構建策略失敗對現金流出的主要影響是構建期權組合和反向交易的交易費用，所以預期交易失敗的費用計算方式如下：

[E（L）=ploss?2E（N?Nmiss）?F] （54）

上式中，[E（L）]為預期交易失敗的費用，[ploss]為交易失敗的概率，[N]為期權組合中合約的總張數，[Nmiss]為期權組合中未能交易成功的合約張數，[E（N?Nmiss）]為出現合約交易失敗時，已經開倉的合約數量的期望值，[F]則為一張期權合約的固定交易費用。股票量化交易回測中通常取交易失敗概率為0.001，類似地，此處設單個期權合約成交失敗的概率為[p'loss=0.001]。策略1的合約張數為5，則策略1期權組合交易失敗的概率：

[ploss=1?（1?p'loss）5≈0.4990%] （55）

同理可得，策略2和策略3期權組合交易失敗的概率為：

[ploss=1?（1?p'loss）6≈0.5985%] （56）

此外，為了盡可能模擬出合約交易失敗時，已經開倉的合約數量，本文采用了[E（N?Nmiss）]，計算公式如下：

[E（N?Nmiss）=i=1N?1i?P（Ai|B）=i=1N?1i?p'loss?（1?p'loss）iploss] （57）

其中，[P（Ai|B）]表示交易失敗時，已開倉[i]張合約的概率。同樣設[p'loss=0.001]，則策略1中[E（N?Nmiss）≈1.9980]，策略2和策略3中[E（N?Nmiss）≈2.4971]。一張合約固定費用為3.6-6.6元，則構建一個策略1組合，[0.0718

（五）實證結果

按照最低交易費用與最高交易費用，分別對變異蝶式價差組合的三種套利策略進行回測。對[d=b]的策略進行回測得到以下結果：

由于策略1中95.65%的單次收益率小于3%，為更好觀察收益率分布，繪制0-3%區(qū)間的收益率分布，得圖9與圖10。在低交易費用限制下，市場上總共有12239次構建機會，單次平均收益率為2.2881%；高交易費用限制下，市場上總共有9390次交易機會，單次平均收益率為2.8347%。受滑點等因素影響，低交易費用條件下所有套利組合中發(fā)生了7次虧損，高交易費用條件下所有套利組合中發(fā)生了3次虧損，基本可以視為無風險期權組合。由圖9圖10可知，期權組合的具有低收益率的頻數較多，而高收益率的頻數較少的特征。取單次收益率大于10%的交易，繪制其收益率分布。

結合圖11圖12可知，策略1期權組合的收益率整體上呈現出帕累托分布的特征。

對[a

在低交易費用限制下，市場上總共有5108次構建機會，單次平均收益率為23.0734%；高交易費用限制下，市場上總共有3857次交易機會，單次平均收益率為22.7389%。策略2的回測并未發(fā)生過虧損，策略可以視為無風險策略。對圖像分析可得，策略2的單次收益率頻數分布基本符合帕累托分布，且策略2比策略1有更多的高回報投資機會。

對[b

由于策略3中98.25%的收益小于5%，為更好觀察收益率分布，繪制0-5%區(qū)間的收益率分布，得圖17與圖18。由圖17、圖18可知，策略3的單次收益率頻數分布基本符合帕累托分布，且策略3的表現遜色于策略1與策略2。據回測數據可知，在2021年全年，在低交易費用的限制下，構建策略3的機會共有4183次。期望虧損的期權組合共有880個，達到總策略的21.04%，但綜合來看策略的單次收益率平均值仍能達到0.56%，虧損期權組合的平均損失為0.05%。在高交易費用的限制下，構建策略3的機會共有4183次。期望虧損的期權組合共有1428次，達到總策略的34.14%，但綜合來看策略的單次收益率平均值仍能達到0.48%，虧損期權組合的平均損失為0.0098%。受交易成本、滑點等因素影響，策略3的表現并不搶眼，但利用策略3可以實現統(tǒng)計套利。

通過對3個推導出的期權組合進行回測，可以發(fā)現市場上確實存在本文理論所說的套利空間，且套利后的利潤分布特征與理論模擬的分布基本一致。

（六）穩(wěn)健性分析

為了增加本文結論的可靠性，本文補充了結論的穩(wěn)健性分析。為證明本文測得的套利空間并不來自于無風險收益率、滑點與交易手續(xù)費，本文對這三個因素進行了敏感性分析，得到結果如下：1

依表1和表2可知，在調整三個參數后，無風險組合仍然具有套利空間。組合的套利空間基本不受無風險利率和交易失敗概率的影響。交易費用對組合的收益有影響，但組合仍然具有套利空間。同理，本文對策略2和策略3的組合進行了檢驗，得到相同結論。

檢驗這三個因素對無風險組合利潤分布的影響，得到如下結果：

由圖21到圖23可知，在調整三個參數后，無風險組合策略的套利空間的利潤分布變化不大，仍然服從帕累托分布。同理，本文對策略2和策略3的組合進行了檢驗，得到相同結論。本文實證部分結果具有穩(wěn)健性。

四、結論與組合投資建議

本文構建了貝葉斯博弈模型框架，刻畫了不同獲利區(qū)間的期權組合交易過程，并在此基礎上探究不同期權組合間的套利空間。相較于傳統(tǒng)的貝葉斯博弈模型，本文引入了參數[L]，推廣了參與方的私有信息的取值范圍，并且探討參數[L]對期權組合套利空間的影響。本文證明了在集合競價的條件下，即使期權組合的買賣雙方采取了最優(yōu)報價策略，仍然可以在市場上構造無風險獲利的期權組合。應用模型推導出不同期權組合間套利空間的判定條件。依照這個條件可知，在均衡報價策略之下，不同期權組合間是否有套利空間，主要取決于各個組合間的獲利區(qū)間的范圍。

本文證明了市場上仍存在無風險且保留超額收益機會的期權組合，并用實證研究檢驗了這一結論。一般而言，無風險資產組合往往只能獲得無風險收入，因此在無風險狀態(tài)下保留高回報收益的可能性非常難得，但這并不意味著市場中不存在這樣的機會。以往理論認為，投資者的“錯誤定價”催生出了這樣的機會。但根據本文推導，博弈各方為獲得自身利益最大化而采取的均衡報價策略，催生出了保留超額收益機會的套利空間。套利空間的出現，并不全是“錯誤定價”的原因，在一定程度上，反而是博弈各方為達到自身效用最大化導致的“理性”結果。此外，本文應用模擬的方法，得到無風險獲利期權組合的利潤率分布，該利潤率分布與最終實證結果基本一致。

基于研究中獲取無風險收益的方法，本文將蝶式期權與跨式期權結合，推導出3種無風險獲利期權組合策略。這些期權組合豐富了投資者的套利手段?；販y結果表明，應用本文推導的期權策略，長期仍能獲得較高收益。對三個策略進行對比研究可知，這三個策略在市場上均有較多的機會，其中構建策略1期權組合的機會最多。構建策略2和策略3的機會大致相當。從交易深度看，策略1和策略2有更深的交易深度，策略3的期權組合不具備交易深度。從每筆交易持有的時間上看，策略3的期權組合持有時間最短，但可利用多次短線交易彌補單次收益率的不足。雖然，該組合在套取穩(wěn)定的無風險收益上存在一定的不足，但是應用該組合捕捉一些超額收益仍然是可行的。綜上所述，該策略承擔了無法獲取穩(wěn)定的無風險收益，期權組合構建失敗，收益波動的風險，換得捕捉超額收益的機會。

相較于簡單期權組合而言，本文提出的復雜期權組合的交易指標更加明確，且風險更加可控。以跨式期權為例，雖然從投資效果來看，跨式期權也能夠做到付出較小的風險，保留捕捉較大的收益的機會。但市場上每一行權價均能構成跨式期權，投資者應如何選擇期權組合并不明確，且跨式期權組合承擔的風險也明顯大于本文組合中的風險。由于本文組合具有風險可控，保留捕捉超額收益的機會的特點，本文的期權組合可以應用于結構性存款等產品的設計中。

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Research on Option Portfolio Arbitrage under Bayesian Game Framework：

Theoretical Model and Market Data Validation

Tang Mingkun Feng Zhenhua Zhao Zhenyu

Abstract： There are a large number of options arbitrage opportunity in the option market. Most of the existing theoretical models describe the mechanism of Arbitrage Behavior in the market based on the assumption of complete information， and there are some deficiencies in predicting the distribution of arbitrage profits. In order to describe the Arbitrage Behavior of option portfolio in incomplete information market， this paper extends the traditional Bayesian game framework to a more general form， constructs a Bayesian game model of multiple option portfolios， explores the arbitrage space under the trader's equilibrium strategy， and analyzes the characteristics of the arbitrage return. According to the model， this paper proves that there are some arbitrage opportunities in the market under certain parameters， even if all participants reach the optimal conditions； there are risk-free investment opportunities to win excess returns in the market； the profit distribution of this opportunity is similar to Pareto distribution. Finally， this paper testifies these conclusions with market data.

Keywords： Incomplete Information； Bayesian Game； Option Portfolio； Arbitrage

（責任編輯：柳陽）

*唐銘坤，上海大學經濟學院，E-mail：tang-mingkun@foxmail.com，通訊地址：上海市寶山區(qū)上大路99號，郵編：200444；馮振華（通訊作者），天津理工大學管理學院，E-mail：fengzh13@tsinghua.org.cn，通訊地址：天津市西青區(qū)賓水西道391號，郵編：300384；趙貞玉，上海大學經濟學院，E-mail：zhyzhao610@staff.shu.edu.cn。作者文責自負。

基金項目：本文受國家社會科學基金一般項目“動態(tài)視角下數字經濟時代平臺壟斷競爭與反壟斷政策研究”（20BJL114）和天津理工大學教學基金一般項目“學生學術興趣與創(chuàng)新表現激勵研究——基于博弈均衡的理論分析與模擬驗證”（YB20－08）的資助。

1蝶式價差組合和跨式組合是分別代表兩種交易思維特征的期權基本組合，模型并不失一般性。

1由于篇幅所限，這里僅展示策略1組合的收益的敏感性分析。若需要其他組合的敏感性分析結果，可聯(lián)系作者領取。