張瑩

［摘 要］“變教為學(xué)”已成為新的教學(xué)潮流受到熱捧，但是很多時(shí)候卻被誤讀和曲解，教師只是從形式上削弱了教學(xué)行為，單純?cè)黾硬僮骰顒?dòng)量，卻不放手讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)。真正的“變教為學(xué)”應(yīng)該是教師科學(xué)設(shè)計(jì)操作活動(dòng)，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律。

［關(guān)鍵詞］三角形的內(nèi)角和；變教為學(xué)；角度

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）02-0056-03

“三角形的內(nèi)角和”這一知識(shí)點(diǎn)在小學(xué)教材和初中教材里均有編排。這一定理的完整表述應(yīng)當(dāng)是“平面上任意三角形的內(nèi)角和都是180°”，“平面上”這個(gè)大前提非常必要，且凸顯出數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，一旦這個(gè)前提條件有變，那么結(jié)論將會(huì)不同，比如球面上的三角形的內(nèi)角和大于180°。

一、追尋數(shù)學(xué)歷史的腳印

科學(xué)史籍上最早關(guān)于“三角形的內(nèi)角和”的記載出現(xiàn)在古希臘歐幾里德著述的《原本》第三十二個(gè)命題中。這個(gè)命題主要包括兩個(gè)結(jié)論，第一個(gè)結(jié)論是“任意三角形的一個(gè)外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”，第二個(gè)結(jié)論是“三角形三個(gè)內(nèi)角之和可以換算成兩個(gè)直角”。原文之所以這樣晦澀，是因?yàn)楫?dāng)時(shí)還沒有“度”這個(gè)計(jì)量單位，數(shù)學(xué)界通行的辦法是用直角和平角作為度量標(biāo)準(zhǔn)，來測(cè)量一切幾何角度，角的兩條邊張開程度小于直角的角一律稱為銳角，角的兩條邊張開程度大于直角的角一律稱為鈍角，比平角小的角一律稱為劣角，比平角大的角一律稱為優(yōu)角。

17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家布萊茲·帕斯卡12歲時(shí)，在用小棒拼擺出各種幾何圖形的過程中，無意間證明了《原本》中的命題結(jié)論之一：三角形三個(gè)內(nèi)角之和可以換算成兩個(gè)直角。他的父親知道后非常驚訝，于是將《原本》推薦給他閱讀，帕斯卡很快就無師自通。

在我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有時(shí)會(huì)提到這個(gè)經(jīng)典故事，目的就是為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的歷史文化性。但是有些學(xué)生會(huì)誤將帕斯卡當(dāng)作“三角形的內(nèi)角和是180°”這個(gè)結(jié)論的首創(chuàng)者。這一內(nèi)容一般出現(xiàn)在四年級(jí)或五年級(jí)教材中，學(xué)生的年紀(jì)與當(dāng)時(shí)證明出“三角形三個(gè)內(nèi)角之和可以換算成兩個(gè)直角”的帕斯卡相當(dāng)，因此教師一般會(huì)順?biāo)浦?，借此故事激?lì)學(xué)生上進(jìn)。其實(shí)，帕斯卡的過人之處不僅在于能證實(shí)這個(gè)結(jié)論，更在于他對(duì)數(shù)學(xué)的癡迷和熱愛，他即使在擺弄小棒，也不忘思考問題，這樣的精神值得學(xué)生學(xué)習(xí)。

“變教為學(xué)”的前提是要激發(fā)學(xué)生的興趣。當(dāng)學(xué)生對(duì)一件事漠不關(guān)心或者對(duì)某個(gè)知識(shí)態(tài)度冷淡時(shí)，是不可能“變教為學(xué)”的，教師一個(gè)勁地教，而學(xué)生則是勉勉強(qiáng)強(qiáng)地學(xué)。對(duì)于三角形內(nèi)角和定理，通過設(shè)置懸念，是可以在一定程度上激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的，但這個(gè)定理沒什么趣味性，也很難據(jù)此設(shè)計(jì)出好玩的情境，因此，學(xué)生對(duì)此的態(tài)度還是不冷不熱。而通過對(duì)三角形內(nèi)角和定理歷史故事的追溯，可以極大激發(fā)學(xué)生的興趣，尤其是帕斯卡的故事，更是能激起學(xué)生的斗志，他們會(huì)按捺不住內(nèi)心的敬佩和沖動(dòng)，試圖去看看這個(gè)定理到底有多簡(jiǎn)單，才能被一個(gè)12歲的孩子破解，說不定自己也能做到。再加上對(duì)歷史進(jìn)行考究，發(fā)現(xiàn)由于當(dāng)時(shí)沒有“度”這個(gè)單位，最早的三角形內(nèi)角和定理與當(dāng)今教材的表述不太一樣，學(xué)生就會(huì)急于想知道那時(shí)的內(nèi)角和定理的真面貌。

二、用任務(wù)驅(qū)動(dòng)激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性

人教版教材中設(shè)計(jì)了兩個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)（如圖1）。

任務(wù)一：畫出幾個(gè)不同的三角形，算出各個(gè)三角形的內(nèi)角和。

任務(wù)二：先將一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角剪下來，再拼到一起，觀察拼成了什么角。

這兩個(gè)任務(wù)有一個(gè)共同點(diǎn)：直接告知操作流程和步驟。各環(huán)節(jié)都已經(jīng)設(shè)計(jì)好了規(guī)定動(dòng)作，這樣牽著學(xué)生走，會(huì)使學(xué)生喪失創(chuàng)造力和獨(dú)立思考精神。另外，這兩個(gè)任務(wù)都是直接將探究目標(biāo)和盤托出，結(jié)論“三角形的內(nèi)角和是180°”會(huì)一直縈繞在學(xué)生腦海，學(xué)生不能在運(yùn)動(dòng)與變化中發(fā)現(xiàn)不變因素，“三角形的內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論的科學(xué)性和可靠性就會(huì)被淡化。實(shí)際上，“平面上任意三角形的內(nèi)角和是180°”中的“任意”二字已經(jīng)暗含了這一結(jié)論的客觀性、科學(xué)性和普遍性。客觀性指結(jié)論是真真切切存在的；科學(xué)性指結(jié)論是基于邏輯推理得出的，蘊(yùn)含著某種事物的內(nèi)部規(guī)律；普遍性指結(jié)論沒有例外，強(qiáng)化了這一結(jié)論的本質(zhì)屬性。

這一結(jié)論從本質(zhì)上應(yīng)該一分為二。

結(jié)論一：平面上任意三角形的內(nèi)角和為定值。這樣的描述給三角形內(nèi)角和定性，無論什么樣的三角形，其內(nèi)角和都是一個(gè)定量。然后，追問這個(gè)定量是多少就順理成章了，可以順?biāo)浦鄣贸龆棵枋觥?/p>

結(jié)論二：這個(gè)定值是180°。這屬于板上釘釘?shù)亩ɡ?，這是對(duì)客觀規(guī)律的描述。

對(duì)于已經(jīng)客觀存在的規(guī)律，得出結(jié)論本質(zhì)上是發(fā)現(xiàn)的過程，而不是發(fā)明。發(fā)現(xiàn)過程的關(guān)鍵思路是觀察、對(duì)比、歸納。觀察之前需要確定對(duì)象與動(dòng)機(jī)，也就是思考“觀察什么”和“為什么觀察”等問題。根據(jù)觀察到的現(xiàn)象初步得出的結(jié)論可以稱為猜想，猜想往往是憑借直覺得出的，有時(shí)是錯(cuò)誤的，后續(xù)要對(duì)猜想進(jìn)行反復(fù)驗(yàn)證，直到得出科學(xué)合理而且經(jīng)得起質(zhì)疑和考驗(yàn)的結(jié)論，最后就是對(duì)結(jié)論的拓展與應(yīng)用。

例如，在構(gòu)建“對(duì)象與動(dòng)機(jī)”一環(huán)中，教師設(shè)計(jì)了一個(gè)活動(dòng)：隨意畫一個(gè)三角形，盡量放大其中一個(gè)內(nèi)角，觀察這個(gè)三角形的內(nèi)角是怎么樣的；再畫一個(gè)三角形，盡量縮小其中兩個(gè)內(nèi)角，觀察這個(gè)三角形的內(nèi)角是怎么樣的。

學(xué)生經(jīng)過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，如果三角形中的一個(gè)內(nèi)角非常大，另外兩個(gè)內(nèi)角就非常??；一個(gè)內(nèi)角再大也不會(huì)等于或大于180°。學(xué)生通過操作獲得神奇有趣的發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇心和探究欲，這種好奇心和探秘欲望會(huì)使學(xué)生一步步深入鉆研知識(shí)。當(dāng)學(xué)生感受到三個(gè)內(nèi)角“此消彼長(zhǎng)”的現(xiàn)象時(shí)，可能會(huì)將其遷移到加法運(yùn)算中的和不變定律。與此同時(shí)，學(xué)生也可能猜到，三角形的內(nèi)角和為定值，是固定不變的，這樣就確立了下一步探究的目標(biāo)。

“變教為學(xué)”主要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)性，如果教師過多干涉，或者一開始就將結(jié)論和盤托出，學(xué)生再按照教師提供的操作步驟一步步求證結(jié)論，那么學(xué)生即使出錯(cuò)了，或者有了自己的想法，也不敢吱聲，因?yàn)樗麄儾桓曳瘩g教師，這就談不上“變教為學(xué)”了。要想做到“變教為學(xué)”，教師就要最大限度地放權(quán)，所有的提示和指導(dǎo)都要極盡模糊抽象，比如讓學(xué)生比較多個(gè)三角形內(nèi)角和的大小，但學(xué)生發(fā)現(xiàn)比不出大小，因?yàn)樗腥切蔚膬?nèi)角和都一樣，既然一樣，必為定值，接著就要確定這個(gè)定值是多少。這樣一步步下來，三角形內(nèi)角和定理就是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的，而不是教師傳授的。

三、驗(yàn)證方法多樣化

規(guī)律性知識(shí)的特點(diǎn)是結(jié)論是唯一確定的，但是探究的方法和途徑卻是多種多樣的。對(duì)三角形內(nèi)角和定理的驗(yàn)證，在小學(xué)階段，通常采用測(cè)算、剪接、拼貼的方法。這些方法直觀形象，易操作，適合形象思維較強(qiáng)的小學(xué)生。到了初中一般采用兩種方法證明。第一種類似《原本》中的方法，即應(yīng)用同位角相等和內(nèi)錯(cuò)角相等的結(jié)論，將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一塊，組成一個(gè)平角（如圖2）。

第二種是利用“任意多邊形的外角和是360°”的定律來推導(dǎo)。三角形三個(gè)外角之和是360°，而每個(gè)內(nèi)角與相應(yīng)外角組成平角180°，可推算三角形的內(nèi)角和為180°×3-360°=180°。

2011年4月，一本名為《Math Horizons》的雜志發(fā)表了一篇文章，其中給出了“三角形的內(nèi)角和是180°”的操作性解釋。

如圖3所示，在一個(gè)三角形的左下頂點(diǎn)處放置一根與底邊重合的火柴，然后不斷旋轉(zhuǎn)、平移這根火柴。

第一次：將火柴沿著內(nèi)角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，與另一邊重合。

第二次：將火柴沿著重合的邊平移至另一個(gè)頂點(diǎn)。

第三次：將火柴沿著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至第三條邊。

第四次：將火柴沿著這一邊平移至第三個(gè)頂點(diǎn)處。

第五次：將火柴沿著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至底部的邊。

第六次：將火柴沿著底部的邊平移至出發(fā)點(diǎn)。

此時(shí)，火柴回到原點(diǎn)?；鸩竦恼麄€(gè)運(yùn)動(dòng)過程一共包含三次旋轉(zhuǎn)和三次平移，旋轉(zhuǎn)和平移交替進(jìn)行。平移時(shí)火柴保持方向不變，引起火柴轉(zhuǎn)向的主要是旋轉(zhuǎn)，三次旋轉(zhuǎn)的角度之和恰好就是三角形三個(gè)內(nèi)角的和，最后火柴水平調(diào)頭轉(zhuǎn)向說明它整體旋轉(zhuǎn)的角度是180°，這也就證明三角形的內(nèi)角和是180°。

這一方法的優(yōu)勢(shì)在于運(yùn)用動(dòng)態(tài)變化證明了靜態(tài)的幾何規(guī)律。同時(shí)，用“角”這一概念來度量方向的變化，將平移與旋轉(zhuǎn)的差別揭示出來，即平移運(yùn)動(dòng)是位置改變，方向不變，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)則是位置和方向改變。

驗(yàn)證方法雖多樣，但不是所有方法都適合小學(xué)生使用，比如利用內(nèi)錯(cuò)角來證明對(duì)小學(xué)生來說是超綱的，利用外角和來證明也不合時(shí)宜，利用直觀的裁剪拼湊法來證明也無法令人信服，因?yàn)橹庇^操作的例子畢竟是有限的，屬于不完全歸納，學(xué)生目前的聯(lián)想能力和推理能力還不足以理解這種證明方法，也無法腦補(bǔ)出三角形三個(gè)內(nèi)角湊到一起形成平角的景象。而利用火柴的旋轉(zhuǎn)和平移來證明，則能輕松理解，因?yàn)槠揭坪托D(zhuǎn)是小學(xué)階段必備的基本幾何技能，學(xué)生通過平移和旋轉(zhuǎn)的特性來理解火柴在三個(gè)內(nèi)角處旋轉(zhuǎn)三次，每次旋轉(zhuǎn)的角度恰好就是所跨越的內(nèi)角度數(shù)，一共旋轉(zhuǎn)了三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之和，火柴最后回到初始位置，但是兩端調(diào)頭，說明三個(gè)內(nèi)角和為180°。

“變教為學(xué)”倡導(dǎo)將教師的教學(xué)活動(dòng)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的主動(dòng)探究活動(dòng)，師生的主體地位發(fā)生扭轉(zhuǎn)。這種轉(zhuǎn)變要想獲得成功，必須有科學(xué)的學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)活動(dòng)做支撐?！白兘虨閷W(xué)”中的操作活動(dòng)，其實(shí)就是訓(xùn)練學(xué)生綜合技能的機(jī)會(huì)。學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和學(xué)習(xí)方法是學(xué)習(xí)者保持學(xué)習(xí)熱情的原動(dòng)力。因此，教師在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，要設(shè)身處地為學(xué)生著想，讓學(xué)生自覺學(xué)習(xí)，而不是被迫執(zhí)行教師的指令，同時(shí)，在驗(yàn)證環(huán)節(jié)，要為學(xué)生創(chuàng)造自主探究的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)，牢牢掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 王亞.開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，提高教學(xué)的適切性：以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)《多邊形的內(nèi)角和》一課教學(xué)為例[J].小學(xué)教學(xué)參考，2021（21）：10-11.

[2] 劉馳.利用教學(xué)資源? ?構(gòu)建生命課堂：《多邊形的內(nèi)角和》教學(xué)設(shè)計(jì)[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2021（17）：51-53.

[3] 吳青.深刻理解內(nèi)角概念? ?完善三角形內(nèi)角和教學(xué)[J].課程教材教學(xué)研究（小教研究），2021（Z3）：42-46.

（責(zé)編 黃 露）