徐小鋒

[摘 ?要] 文章從學生解決一道例題時思維受阻的實際情況出發(fā)，認為高三階段學生在解決綜合型問題時常見的思維受阻情況有“基礎知識不牢固，解題方向不清”“解題方法不完善，解題過程混亂”“解題思路無條理，解題過程煩瑣”等，并從“轉(zhuǎn)化已知條件”“變更問題形式”“調(diào)整解題思路”三方面提出應對措施.

[關(guān)鍵詞] 思維受阻;解題;思路;思維

新課標強調(diào)高中數(shù)學教學應注重培養(yǎng)學生幾何直觀、分析概括、數(shù)學運算以及邏輯推理等能力，使學生能用所學知識解決實際問題. 這要求教師在綜合復習教學中找出學生思維受阻的節(jié)點，幫助學生厘清頭緒，避免解題過程中思維受阻.

問題掃描

人腦在獲取知識的過程中能形成技能，在知識的實際應用中能激活思維，形成良好的思維方式與處理問題的能力. 因此，真正意義上的數(shù)學教學是學生獲取知識、積累經(jīng)驗、形成基本技能與能力的過程. 但實際教學過程中，學生常因某一環(huán)節(jié)的疏忽，導致思維受阻，出現(xiàn)了各種問題. 教師以一道題為例，掃描學生思維受阻的情況，如下：

問題：若方程2x+x+2=0與logx+x+2=0的根分別為p，q，且函數(shù)f（x）=（x+p）（x+q）+2，求f（0），f（1），f（2）的大小關(guān)系.

本題難度系數(shù)并不大，但學生的解題情況不容樂觀：班上48名學生參與解題，其中有29人出現(xiàn)了解題錯誤. 經(jīng)過與學生溝通交流，發(fā)現(xiàn)他們出現(xiàn)解題錯誤的主要原因有以下幾種：

第一種，沒有完全理解求解方程根的方法.有些學生從函數(shù)g（x）=2x+x+2與函數(shù)h（x）=logx+x+2著手，通過求導、作圖求函數(shù)的零點. 事實證明，從函數(shù)g（x），h（x）的零點出發(fā)，基于圖象進行分析，并不能解決本題.

第二種，沒有完全理解函數(shù)的性質(zhì). 有些學生在解題過程中，分別作出函數(shù)y=2x，y=-x-2與y=logx的圖象后，卻無法厘清函數(shù)y=2x，y=logx圖象之間的關(guān)系，因而無法獲得方程根的關(guān)系.

第三種，沒有完全理解圖象的對稱性. 有些學生沒有發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=2x與y=logx的圖象關(guān)于直線y=x對稱的關(guān)系，也沒有理解x=1是二次函數(shù)f（x）=（x+p）（x+q）+2的對稱軸，從而導致解題思維受阻.

第四種，無法靈活應用二次函數(shù)圖象以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等，也無法從函數(shù)值大小以及函數(shù)圖象的角度對函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，對函數(shù)圖象的對稱性、單調(diào)性的理解不透徹.

綜上所述，學生對于問題無法做到認真思考與分析，更沒有形成縱橫聯(lián)系與互相轉(zhuǎn)化的習慣，當遇到實際的綜合型問題時，解題思維自然受阻.

思維受阻原因的分析

1. 基礎知識不牢固，解題方向不清

高三復習過程中遇到的一些綜合型問題往往由多個基礎的數(shù)學概念組合而來，學生只有對各個概念的內(nèi)涵及外延有清晰的認識，才能輕松找出解題方向，獲得解題思路與方法. 但有些概念由于學習時間久遠，學生難免出現(xiàn)遺忘或概念不清的情況，當遇到實際問題時，對已知條件轉(zhuǎn)化途徑會產(chǎn)生方向不清晰的狀態(tài). 主要表現(xiàn)在不知道如何建立條件與結(jié)論的聯(lián)系，也不知道該將條件往哪個方面進行轉(zhuǎn)化.

例1 已知△ABC中，·=9，·=-16，那么AB邊的長是多少？

如果學生不了解向量積的表現(xiàn)形式具有互相轉(zhuǎn)化的功能，那么本題求解將困難重重. 學生可從向量數(shù)量積的不同表示方法著手進行分析，解題思路如下.

方向1 從向量數(shù)量積的定義著手進行分析.

因為·=9，∠A為向量與的夾角，所以AB·AC·cosA=9. 結(jié)合余弦定理，可得=9. 同理，結(jié)合余弦定理，由·=-16可得=16. 上述兩式相加即可獲得AB邊的長.

方向2 用基底向量，表示所研究的向量.

因為·=-16，所以·（-）=-16，即·-2=-16，由此可得AB邊的長.

方向3 從向量數(shù)量積的幾何意義著手進行分析.

∠A為向量與的夾角，根據(jù)·=9>0這個條件，可知∠A為銳角，同理可知∠B為銳角. 如圖1所示，過點C作CD⊥AB，垂足為D，則AB·AD=9，BD·AB=16，由此可得AB邊的長.

點撥 如果學生對向量的符號、圖形與坐標缺乏認識與理解，那么無法從這三種語言出發(fā)進行向量問題的思考與解決. 基于向量的基本概念，最常見的問題設計與解決思路有：①選擇合適的基底，從向量符號出發(fā)，研究相關(guān)的數(shù)量積、夾角、模型等;②構(gòu)造向量圖形，從向量的幾何意義著手進行探究，以“形”助解;③建立坐標系，將向量問題用坐標語言表達出來，從實數(shù)運算的角度解決問題.

2. 解題方法不完善，解題過程混亂

眾所周知，問題是數(shù)學思維形成的核心，是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎. 問題的解決需要學習者在數(shù)學模式識別與學習的基礎上，對一些數(shù)學元素的性質(zhì)或關(guān)系做出合理解釋，這也是基本解題方法形成的過程. 若學生在數(shù)學基本方法的積累或記憶上出現(xiàn)偏差、遺漏或不完善的現(xiàn)象，則會導致解題思維受阻.

例2 假設集合A={xx2+4x=0，x∈R}，集合B={x

x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R}，且B?A，則實數(shù)a的取值范圍是什么？

根據(jù)B?A這個條件，學生容易獲知集合B中的所有元素均在集合A里，由A={-4，0}可得-4與0為方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的根，那么a的值就是1，-1，7.

若學生無法厘清集合內(nèi)容或集合間的關(guān)系，則在解題過程中會出現(xiàn)思維受阻的現(xiàn)象. 為了避免思維受阻這種現(xiàn)象的出現(xiàn)，需要教師帶領(lǐng)學生從以下兩個方面進行思考，以達到完善認知結(jié)構(gòu)的教學目的.

解法1 先解方程x2+4x=0，可得x=0或-4，可知A={-4，0};再解方程x2+2（a+1）x+a2-1=0，從方程是否有解的角度進行思考與分析：

Δ=4（a+1）2-4（a2-1）=8a+8.

當Δ<0時，可知a<-1，此時方程無解，B= ，與本題條件相符.

當Δ=0時，可知a=-1，方程為x2=0，解得x=0，此時B={0}，B?A.

當Δ>0時，可知a>-1，方程存在兩個根分別為x，x，因此B={x，x}. 根據(jù)B?A，可知{x，x}?{-4，0}，所以方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的兩根分別是-4和0. 列方程組-2（a+1）=-4，

a2-1=0，解得a=1.

綜上分析，可確定a=1或a≤-1.

解法2 根據(jù)題設條件，可直接確定集合A中的元素，因為集合B中的方程x2+2（a+1）x+a2-1=0含有參數(shù)a，可知集合B中的元素比較繁雜.

從另外一個角度來分析，根據(jù)B?A以及子集的定義，可知B為 ，{0}，{-4}，{-4，0}，于是從這四種情況進行分析：

①當B= 時，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0無解，因此Δ<0，可得a< -1;

②當B={-4}時，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0存在兩個相同的根，此時-2（a+1）=-8，a2-1=16，不存在解;

③在B={0}時，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0存在兩個相同的根，此時-2（a+1）=0，a2-1=0，可解得a=-1;

④在B={-4，0}時，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0存在兩個根，分別為-4與0，此時-2（a+1）=-4，a2-1=0，解得a=1.

綜上分析，可確定a=1或a≤-1.

點撥 遇到集合問題時，首先要從集合的屬性出發(fā)，弄清集合中究竟存在哪些元素;其次要搞清楚兩個集合之間的關(guān)系. 本題需要確定集合A中的元素為集合B中方程的根，且集合A中方程的系數(shù)是明確的數(shù)，因此能夠直接獲得待求方程的根是多少.

于集合B而言，因為方程系數(shù)含有參數(shù)，所以需要從不同的角度來分析問題：①從集合B著手解方程，根據(jù)方程系數(shù)含有參數(shù)的條件，需要對判別式分類討論;②從B?A以及子集的定義出發(fā)，確定集合A={0，-4}存在四個子集，也就是集合B分別為 ，{0}，{-4}，{-4，0}，再依次求出實數(shù)a的取值范圍.

如果將一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元二次不等式，也可以從以上兩個角度出發(fā)，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)最值問題或一元二次方程根分布問題而破解. 將問題條件進行科學、合理的轉(zhuǎn)化，是一種重要的解題思路，在復習過程中要注重歸納與積累.

3. 解題思路無條理，解題過程煩瑣

數(shù)學解題講究七分構(gòu)思與三分表達，構(gòu)思指讀題、審題、聯(lián)想與歸納等，表達主要包含書寫、運算、反思與回顧等. 數(shù)學學習涵蓋了思考過程與問題結(jié)果的思考，需要注重規(guī)范表達與書寫. 但有些學生在解題過程中，因缺乏良好的讀題、審題以及規(guī)范表達的習慣，導致解題思路毫無條理可言，出現(xiàn)解題過程異常煩瑣的現(xiàn)象.

例3 已知S是等差數(shù)列{a}的前n項和，假設S=q，S=p（p≠q，p，q∈N*），則S的值是多少？

因教育方式的區(qū)別，學生的思維習慣存在較大差異，一些學生不善于從問題中尋找有用的條件，也不習慣將問題的條件與待求結(jié)論建立聯(lián)系，從而導致解題思路缺乏條理，解題過程過于煩瑣. 本題可從以下三個方面著手進行分析.

解法1 從基本量著手.

將

pa

+d=q，

qa

+d=p進行等價轉(zhuǎn)化，獲得

a

+

d=，

a

+

d=，然后解出a與d的值，最后求出Sp+q.

解法2 從基本量著手.

列方程組

pa+

d=q，

qa

+d=p，兩式相減，可消除p-q，獲得a+d= -1，求得S=-（p+q）.

解法3 從其性質(zhì)著手.

因為

=q，

=p，所以

a

+a=

，

a

+a

=，兩式相減，獲得公差d，根據(jù)式子a+a=a+a+q·d，可得S的值.

解法4 從圖形著手.

已知點（n，S）位于S=A·n2+B·n上，根據(jù)S=q，S=p這個條件，可分別求得A，B，從而求得S的值.

點撥 關(guān)于數(shù)列運算的問題，可從以下三個方面著手進行思考：①根據(jù)數(shù)列概念、等差或等比數(shù)列的定義、數(shù)列的函數(shù)特性實施轉(zhuǎn)化;②根據(jù)數(shù)列的基本量求其通項或前n項和，轉(zhuǎn)化成關(guān)于方程的運算方式;③根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)進行運算.

本題緊扣等差數(shù)列前n項和S的形式分析以下三種情況：①從基本量出發(fā)，可表示為S=na+d;②從性質(zhì)角度來看，可表示為S=;③從圖形來看，可表示為S=A·n2+B·n

A=，B=a-

. 應用Sn這三種形式，均能直接解決本題.

培養(yǎng)學生思維的條理性離不開教師在教學中的有機滲透，因此教師應注重引導學生探索解題思路，思考這樣做的依據(jù)是什么，解題途徑有什么;當思維受阻時，該怎樣遷移知識、簡化難度等.

解決思維受阻的主要策略

1. 轉(zhuǎn)化已知條件

概念、定理、公式等是實施數(shù)學思考的原點，學生只有理解概念的內(nèi)涵與外延，對公式的來龍去脈以及結(jié)構(gòu)特征了如指掌，才能在解題時以不變應萬變. 如審題過程中，可根據(jù)題設條件思考如何將已知條件轉(zhuǎn)化成更容易理解的形式，那么轉(zhuǎn)化依據(jù)是什么呢？概念轉(zhuǎn)化可從文字、符號與圖形三類語言出發(fā)，公式的轉(zhuǎn)化則需考慮計算的便捷性等.

例4 已知S是等差數(shù)列{a}的前n項和，且不等式a+≥ma對任意正整數(shù)n以及任意等差數(shù)列{a}均成立，求實數(shù)m的取值范圍.

分析 把式子S=代入a+≥ma后，原不等式轉(zhuǎn)化成了a+≥ma. 分離變量后，又將不等式轉(zhuǎn)化成了

+

1+

≥m. 令t=，原問題就轉(zhuǎn)化成了二次函數(shù)最值問題，此時可快速求出實數(shù)m的取值范圍.

點撥 解決本題時，思維的障礙點在于題設條件中存在多個變量，學生對于處理變量間的關(guān)系感到棘手. 因此，教師可引導學生從等差數(shù)列前n項和的公式出發(fā)，把多元不等式轉(zhuǎn)化成二元不等式，簡化問題難度.

2. 變更問題形式

當遇到難以探尋解決方法的問題時，可從某些模型或結(jié)論著手，通過綜合性分析與設計，變更問題形式，為求解提供便捷.

例5 已知實數(shù)x，y滿足2x2+xy-y2=1，求的最大值.

已知式子2x2+xy-y2=1和待求式子均為關(guān)于x，y的二次式，但其形式偏復雜，而且兩個式子的關(guān)系也不太明顯. 因此，從基本不等式概念出發(fā)，將已知式子和待求式子分別變形，轉(zhuǎn)化成和與積的關(guān)系，具體可從以下兩個方面著手進行分析.

分析1 先把已知式子分解成（2x-y）（x+y）=1，然后換元，設2x-y=a，x+y=b，可得x，y，再轉(zhuǎn)化a·b=1，最后求式子的最大值.

分析2 由于待求式子的分子是一次式，于是可通過換元，設x-2y=t，則x=t+2y，將待求式子和已知式子都轉(zhuǎn)化成t，y的關(guān)系式后求解.

3. 調(diào)整解題思路

數(shù)學教學想要促進學生思維的發(fā)展，就要不斷地提出問題，引導學生分析并解決問題. 在教學中，教師可設計一些科學合理的“問題串”，讓學生的思維順著問題拾級而上. 若遇到思維受阻，可根據(jù)函數(shù)圖象，式、量的幾何意義，以及方程曲線等及時調(diào)整解題思路.

例6 倘若函數(shù)f（x）=xex-asinxcosx（a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)）. 如果對于任意x∈0

，，f（x）≥0均成立，則實數(shù)a的取值范圍是什么？

分析 若直接求導f（x），并不能確定導函數(shù)f′（x）的零點，也無法獲得函數(shù)f（x）的最小值，無法求出實數(shù)a的取值范圍.

當x∈

0，

時，將f（x）≥0轉(zhuǎn)化成≥a，對求導，但無法求出其對應導函數(shù)的零點，因此無法明確的最小值.

此時需要換個角度進行思考，當x∈0

，，a≤0時，xex≥0恒成立，-asinxcosx≥0也恒成立，因此僅需考慮a>0的情況. 分別獲取xex，asinxcosx于x=0處的導數(shù)值，可猜想a≤1. 對函數(shù)f（x）求導，可得f′（x）=ex-acos2x+xex于0

，上單調(diào)遞增，從而獲得a≤1.

總之，想要提高學生的解題能力，就須在教學過程中有意識地培養(yǎng)學生思維的條理性，引導學生夯實知識基礎的同時，注重解題思路與方法的積累. 只有弄清知識的來龍去脈，學生才能在豐富多變的綜合題中以不變應萬變，形成良好的解題能力與數(shù)學核心素養(yǎng).