【摘 要】正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型概率模型。高中教材“正態(tài)分布”這一節(jié)的內(nèi)容屬于非高考熱點(diǎn)，是許多教師不太重視且畏難的課題。而正態(tài)分布在概率統(tǒng)計(jì)理論和實(shí)際應(yīng)用中卻占有重要的地位。研究者以“正態(tài)分布”教學(xué)研究為例，對(duì)內(nèi)容解析與課堂定位、教材中關(guān)于素材的處理進(jìn)行探究，并給出教學(xué)思考和建議。

【關(guān)鍵詞】正態(tài)分布；教學(xué)價(jià)值；數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)美

【作者簡(jiǎn)介】范世祥，一級(jí)教師，蘇州市學(xué)科帶頭人，姑蘇教育青年拔尖人才，主要研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)課堂教學(xué)研究。

【基金項(xiàng)目】2020年江蘇省基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目“指向理性精神培育的數(shù)學(xué)創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)課程研究”（2020JSQZ0146）

正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型概率模型。由于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》不要求對(duì)一般的連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布進(jìn)行討論，因此在高中階段，我們只研究服從正態(tài)分布的連續(xù)型隨機(jī)變量。但受到知識(shí)的限制，正態(tài)分布的許多結(jié)論無(wú)法嚴(yán)格證明或直接用于計(jì)算，從而給教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)一定的困難，往往出現(xiàn)一帶而過(guò)的教學(xué)現(xiàn)象。為挖掘該課題的內(nèi)在教學(xué)價(jià)值，筆者深入研究教學(xué)內(nèi)容，下面結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剬?duì)于這一課題的認(rèn)識(shí)與思考。

一、內(nèi)容解析與課堂定位

1.內(nèi)容解析

正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布，主要體現(xiàn)以下兩個(gè)方面。一方面，正態(tài)分布是最常見(jiàn)的一種分布，例如測(cè)量的誤差、射擊時(shí)彈的落點(diǎn)、人的生理特征指標(biāo)（如身高、體重）、自動(dòng)流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（如零件的尺寸、袋裝食鹽的質(zhì)量）等，都近似服從正態(tài)分布；另一方面，正態(tài)分布有許多性質(zhì)，很多分布可用正態(tài)分布來(lái)近似，在統(tǒng)計(jì)中一些重要的分布可以通過(guò)正態(tài)分布來(lái)導(dǎo)出。

從教材的內(nèi)容安排看，“正態(tài)分布”是隨機(jī)變量及其分布的最后一節(jié)。從本章整個(gè)知識(shí)框架來(lái)看，該章節(jié)首先介紹了隨機(jī)變量的概念，然后通過(guò)兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等具體實(shí)例，重點(diǎn)研究了離散型隨機(jī)變量及其分布列，以及離散型隨機(jī)變量的均值與方差。而正態(tài)分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，并且正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限，所以很自然地被安排在本章的最后一節(jié)。

從知識(shí)層面看，本節(jié)課需要用到學(xué)生已學(xué)的知識(shí)。例如：統(tǒng)計(jì)方面關(guān)于數(shù)據(jù)處理分析的知識(shí)；隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差、二項(xiàng)分布等知識(shí)；函數(shù)的單調(diào)性、圖象對(duì)稱(chēng)性、指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等知識(shí)。

從當(dāng)代的科學(xué)發(fā)展看，統(tǒng)計(jì)學(xué)作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支幾乎滲透到各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域，例如：社會(huì)發(fā)展與評(píng)價(jià)、持續(xù)發(fā)展與環(huán)境保護(hù)、資源保護(hù)與利用、電子商務(wù)、保險(xiǎn)精算、金融業(yè)數(shù)據(jù)庫(kù)建設(shè)與風(fēng)險(xiǎn)管理、宏觀經(jīng)濟(jì)監(jiān)測(cè)與預(yù)測(cè)、政府統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)收集與質(zhì)量保證、分子生物學(xué)中的統(tǒng)計(jì)方法、高科技農(nóng)業(yè)研究中的統(tǒng)計(jì)方法、生物制藥技術(shù)中的統(tǒng)計(jì)方法、流行病規(guī)律研究與探索的統(tǒng)計(jì)方法、人類(lèi)染色體工程研究中的統(tǒng)計(jì)方法、質(zhì)量與可靠性工程等。

因此，正態(tài)分布是一個(gè)承上啟下的課題，不僅給學(xué)生提供了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且給學(xué)生開(kāi)啟一扇窗戶(hù)，讓他們看到精彩紛呈的科學(xué)世界。

2.課堂定位

從本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來(lái)看，教學(xué)重點(diǎn)是正態(tài)分布的概念及性質(zhì)，教學(xué)難點(diǎn)是正態(tài)分布概念的形成與理解。尤其是正態(tài)分布密度函數(shù)解析式的出現(xiàn)，無(wú)論是學(xué)生還是教師，都覺(jué)得這個(gè)解析式過(guò)于高深，難以理解。

然而從正態(tài)分布在數(shù)學(xué)中的地位以及正態(tài)分布的發(fā)展歷史來(lái)看，本節(jié)內(nèi)容包含了重要的應(yīng)用價(jià)值與文化價(jià)值。正態(tài)分布這一節(jié)課，如果輕視它，從學(xué)生的短期利益來(lái)看無(wú)傷大雅；但如果能重視它，從學(xué)生的終身成長(zhǎng)來(lái)看卻受益匪淺。因此，筆者認(rèn)為，本節(jié)課可定位于數(shù)學(xué)文化課與研究課。學(xué)生通過(guò)對(duì)正態(tài)分布相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，了解正態(tài)分布的發(fā)展歷程，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要性及其應(yīng)用的廣泛性，體會(huì)數(shù)學(xué)的博大精深與數(shù)學(xué)的美，培養(yǎng)研究能力，提升學(xué)科素養(yǎng)。

二、教材中關(guān)于素材的處理研究

1.引入的對(duì)比與分析

梳理國(guó)內(nèi)的幾套新舊普通高中數(shù)學(xué)教材，各版本的教材對(duì)“正態(tài)分布”的引入方式大體可以分成兩種。第一種方式從具體實(shí)例出發(fā)，通過(guò)描述誤差數(shù)據(jù)的分布引入，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)誤差隨機(jī)變量的取值不能一一列舉，不能用分布列。以新人教A版高中數(shù)學(xué)教材為例，教材提供了100袋袋裝食鹽的質(zhì)量誤差數(shù)據(jù)，將其看成對(duì)誤差變量X的100次觀測(cè)值，接著教材給出以下思考：①如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？②如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍?huà)誤差X的分布？通過(guò)思考題的引導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突：之前如何刻畫(huà)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布？進(jìn)而自然地引出課題。第二種方式是借助計(jì)算機(jī)模擬，從具體實(shí)驗(yàn)出發(fā)引出課題。以舊人教A版高中數(shù)學(xué)教材為例，教材以高爾頓釘板的演示作為引入。在問(wèn)題的引導(dǎo)下，利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)處理：從頻率分布直方圖到頻率分布折線圖，再到總體密度曲線，引出正態(tài)分布的密度曲線，使學(xué)生歷經(jīng)從離散型到連續(xù)型的過(guò)渡，形成對(duì)正態(tài)分布最直觀、最初步的認(rèn)識(shí)。

2.內(nèi)容的生成與處理

本節(jié)課的內(nèi)容主要分為兩個(gè)部分：第一部分是正態(tài)分布概念的形成；第二部分是正態(tài)曲線的性質(zhì)探究及應(yīng)用。對(duì)于第二部分，從正態(tài)分布密度函數(shù)解析式出發(fā)，利用函數(shù)知識(shí)并結(jié)合數(shù)學(xué)軟件等工具，讓學(xué)生獲得正態(tài)曲線的特點(diǎn)并能利用[3σ]原則解決相關(guān)問(wèn)題。

正態(tài)分布的概念有三個(gè)層面：第一個(gè)層面是直觀層面，鐘形曲線就是（或近似地是）正態(tài)曲線；第二個(gè)層面是從實(shí)例的特征（眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和）理解怎樣的隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布；第三個(gè)層面是正態(tài)分布密度函數(shù)[φμ，σ（x）=12πσ]? e[-（x-μ）22σ2]，x[∈（-∞，+∞）]的獲得，這一層面恰恰是學(xué)生感到最為困惑的，因?yàn)閷W(xué)生無(wú)法理解這個(gè)復(fù)雜的解析式是怎么來(lái)的。如何使正態(tài)分布的概念生成更為自然，讓學(xué)生更清晰、準(zhǔn)確地理解正態(tài)曲線的特點(diǎn)，筆者嘗試從以下視角帶領(lǐng)學(xué)生賞析。

（1）歷史視角看曲線

正態(tài)分布也稱(chēng)為高斯分布，因此很多學(xué)生都誤以為正態(tài)分布是高斯發(fā)現(xiàn)的，但事實(shí)并非如此，不過(guò)高斯對(duì)于正態(tài)分布?xì)v史地位的確立是起到了決定性的作用。發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布的主角是棣莫弗（De Moivre）和拉普拉斯（Laplace）。1733年，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗利用n！～[2πn（ne）n]這一公式［此為斯特林（Stirling）公式，棣莫弗首先發(fā)現(xiàn)后由斯特林加以改進(jìn)］在研究二項(xiàng)分布B（n，[12]）時(shí)，得到了正態(tài)分布的密度函數(shù)[φ（x）=12π]? e[-x22]；1774年，拉普拉斯證明了[12π][-∞+∞e][-x22]dx=1，之后拉普拉斯把二項(xiàng)分布的正態(tài)近似推廣到任意p的情況，并得到了棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理。19世紀(jì)初，高斯基于最小二乘理論研究統(tǒng)計(jì)誤差的概率密度分布。高斯既提出了極大似然估計(jì)的思想，又解決了誤差的概率密度分布的問(wèn)題，這項(xiàng)工作對(duì)后世的影響很大，因此，正態(tài)分布也被稱(chēng)為高斯分布。高斯在數(shù)學(xué)上建樹(shù)頗多，去世前他要求給自己的墓碑上雕刻上正十七邊形（高斯尺規(guī)作圖的得意之作）。而后世的德國(guó)馬克的鈔票和硬幣上卻是以正態(tài)密度曲線來(lái)紀(jì)念高斯，這足以說(shuō)明高斯的這項(xiàng)工作在當(dāng)代科學(xué)發(fā)展中的作用。正態(tài)分布的下一個(gè)推動(dòng)力來(lái)自生物學(xué)家高爾頓，高爾頓是生物統(tǒng)計(jì)學(xué)派的奠基人，1877年，高爾頓設(shè)計(jì)了高爾頓釘板的裝置，模擬正態(tài)分布的性質(zhì)用于解釋遺傳現(xiàn)象。從1733年棣莫弗的工作為開(kāi)端，到20世紀(jì)中前期，正態(tài)分布及其相關(guān)理論陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)、完善并創(chuàng)建起來(lái)。［1］

（2）函數(shù)視角看曲線

教師請(qǐng)學(xué)生研究函數(shù)[f（x）=12π]? e[-x22]，x[∈（-∞，+∞）]的奇偶性、單調(diào)性、最大值等，旨在通過(guò)復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)必修一中函數(shù)的單調(diào)性、圖象對(duì)稱(chēng)性、指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等知識(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)解析式[φμ，σ（x）=12πσ]e[-（x-μ）22σ2]，x[∈（-∞，+∞）]的深入理解，進(jìn)而讓學(xué)生掌握正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)。

（3）概率視角看曲線

①曲線與x軸之間的面積為1。

②當(dāng)[σ]一定時(shí)，曲線隨著[μ]的變化而沿x軸平移，如圖1甲所示。

③當(dāng)[μ]一定時(shí)，曲線的形狀由[σ]確定，如圖1乙所示。

[σ]越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；[σ]越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中。

④3[σ]原則

正態(tài)變量在區(qū)間[（μ-σ，μ+σ）]，[（μ-2σ，][μ+2σ）]，（[μ-3σ，μ+3σ]）內(nèi)，取值的概率分別是68.3%，95.4%，99.7%；正態(tài)變量在[（-∞，+∞）]內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間（[μ-3σ，μ+3σ]）之外的取值的概率是0.3%，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距x=[μ]三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的3[σ]原則。

（4）美學(xué)視角看曲線

當(dāng)正態(tài)分布密度函數(shù)[φμ，σ（x）=12πσ]e[-（x-μ）22σ2]，x[∈（-∞，+∞）]很自然地一步步呈現(xiàn)出來(lái)時(shí)，學(xué)生既可以從中感受到數(shù)學(xué)家探索知識(shí)的偉大過(guò)程，還可以欣賞這個(gè)解析式內(nèi)在的數(shù)學(xué)美。這個(gè)式子完美地包含了數(shù)學(xué)中的“五朵金花”：圓周率[π]、自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、最小質(zhì)數(shù)的算術(shù)平方根[2]、均值[μ]、標(biāo)準(zhǔn)差[σ]。從感受正態(tài)曲線的形態(tài)美到函數(shù)解析式的數(shù)字美，這對(duì)學(xué)生多角度欣賞數(shù)學(xué)的美，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，提高數(shù)學(xué)的美學(xué)修養(yǎng)起到積極的作用。

綜上可知，本節(jié)課從結(jié)構(gòu)上是“一條線索”——從隨機(jī)誤差試驗(yàn)的探究出發(fā)；從內(nèi)容上有“兩個(gè)板塊”——正態(tài)分布的概念、正態(tài)曲線的性質(zhì)與應(yīng)用。在正態(tài)分布概念的認(rèn)識(shí)上有“三個(gè)層面”——圖形、特征、密度函數(shù)。前兩個(gè)層面直觀、具體，第三個(gè)層面則因?yàn)榻馕鍪奖容^抽象，學(xué)生較難理解。從貫穿教材及正態(tài)分布發(fā)展史上看有“三個(gè)人物”——高爾頓、棣莫弗、高斯。從數(shù)學(xué)的美感看，最后盛開(kāi)的是“五朵金花”——[π]，e，[2]，[μ]，[σ]。如果廣大一線教師能正確地理解和把握這些內(nèi)容，那么對(duì)于這節(jié)課的教與學(xué)有重要的作用。

三、思考與啟發(fā)

1.教學(xué)思考尋本質(zhì)

教師用書(shū)建議本節(jié)課為一課時(shí)，但在一個(gè)課時(shí)內(nèi)讓學(xué)生既掌握正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)，又能從中感受到其中所蘊(yùn)含的豐富文化歷史背景，顯然是比較困難的。筆者曾聽(tīng)過(guò)麻省理工學(xué)院的一節(jié)公開(kāi)課《正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布》，該教授沒(méi)有一板一眼地進(jìn)行推導(dǎo)公式，而是把大量的時(shí)間花在了計(jì)算機(jī)模擬骰子試驗(yàn)，談其方法與思想。還有其他一些國(guó)外知名大學(xué)的視頻課程，這些教授對(duì)于具體的定義、定理、例題講得很少，而相關(guān)的思想、方法、歷史講得比較多。對(duì)于具體的定義、定理、例題等，不同版本的教材、不同教師的講授，都是大同小異，學(xué)生完全可以自學(xué)。然而這些知識(shí)的建立過(guò)程及背后的思想和方法，對(duì)于學(xué)生深刻掌握知識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)至關(guān)重要。

如何利用好這節(jié)課的文化價(jià)值，筆者建議可以布置研究性學(xué)習(xí)的任務(wù)，先讓學(xué)生搜集正態(tài)分布的起源、發(fā)展、應(yīng)用等相關(guān)數(shù)學(xué)素材，再分組合作寫(xiě)成研究報(bào)告，最后選擇一些出色的小組報(bào)告在課堂上給全班學(xué)生做展示。這樣可以更好地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)正態(tài)分布，對(duì)他們今后進(jìn)入高等院校后的學(xué)習(xí)具有重要作用。

2.提高站位尋價(jià)值

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。筆者認(rèn)為這節(jié)課的價(jià)值在高考之外，教師應(yīng)認(rèn)真對(duì)待這節(jié)課，開(kāi)闊學(xué)生的視野，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)也可以促進(jìn)教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展［2］。

在高中階段，教師面對(duì)“正態(tài)分布”這樣一些高考要求不高的課題時(shí)，往往表現(xiàn)出畏難情緒或松懈的感覺(jué)，有時(shí)會(huì)采取習(xí)題教學(xué)的方式對(duì)待。事實(shí)上，仔細(xì)閱讀教材內(nèi)容，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)許多緊跟時(shí)代、緊跟最新科技發(fā)展的教學(xué)素材，并且教材中幾乎所有的章節(jié)都精心設(shè)計(jì)了“探究與發(fā)現(xiàn)”“閱讀與思考”等板塊，對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行多層面的拓展。如果教師在日常的教學(xué)中認(rèn)真對(duì)待這些板塊，放手讓學(xué)生多做一些研究，認(rèn)真鉆研，相信會(huì)迎來(lái)一個(gè)不一樣的數(shù)學(xué)世界和教學(xué)生態(tài)。

因此，教師應(yīng)該要轉(zhuǎn)變觀念，基于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，立足教材內(nèi)容，開(kāi)闊學(xué)生視野，充分挖掘教學(xué)內(nèi)容背后的價(jià)值和本質(zhì)，才能真正為拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)貢獻(xiàn)力量。

參考文獻(xiàn)：

［1］陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)簡(jiǎn)史［M］.長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2002.

［2］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（責(zé)任編輯：陸順演）