程 研，華志強(qiáng)，黃玉潔，侯云艷

（內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

0 引言

工業(yè)化以來，人們對自然界能源的大肆開發(fā)導(dǎo)致惡劣的全球變暖問題的發(fā)生，若要緩解全球變暖的危害，當(dāng)務(wù)之急是對未來氣溫變化情況有所掌握，所以，研究氣溫預(yù)測的相關(guān)問題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

進(jìn)入氣象大數(shù)據(jù)的時(shí)代，諸多學(xué)者在氣溫預(yù)測上取得了豐富的理論成果。雷凱[1］基于LSTM 深度學(xué)習(xí)模型對未來合肥市日最高氣溫進(jìn)行預(yù)測，表明LSTM 的預(yù)測精度高，模型是有效的。王芳等[2］針對重慶市溫度資料，結(jié)合小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(WNN)對溫度進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果顯示模型的相對誤差較小。姜文瑞等[3］借助某地30 年的氣象數(shù)據(jù)，采用決策樹的分類與回歸樹分類方法，為氣象預(yù)測研究提供了參考。朱晶晶等[4］基于平均氣溫?cái)?shù)據(jù)，建立氣溫的SVM 回歸預(yù)報(bào)模型，實(shí)驗(yàn)顯示SVM 算法在氣溫短期預(yù)測中有明顯的適用性。付正輝等[5］建立灰色馬爾科夫動(dòng)態(tài)預(yù)測模型，完成模型準(zhǔn)確性的檢驗(yàn)，對某地當(dāng)今至2050 年的平均氣溫進(jìn)行預(yù)測。

基于上述研究，近些年時(shí)間序列分析方法也受到廣大學(xué)者的關(guān)注，時(shí)間序列分析方法在自然環(huán)境[6-7］、醫(yī)療防疫[8-9］、經(jīng)濟(jì)發(fā)展[10-11］等方面有出色的表現(xiàn)，例如，相旭東等[6］利用Marion 站點(diǎn)的地表月平均溫度資料來預(yù)測未來兩年的地表月平均溫度，證明ARIMA(p,d,q)模型適用于預(yù)測地表月平均溫度；程穎等[8］基于某醫(yī)院的非傷寒沙門菌發(fā)病率數(shù)據(jù)預(yù)測發(fā)病率，對病情控制有指導(dǎo)作用；瞿海情等[11］利用ARIMA(p,d,q)模型，對湖北省GDP 未來趨勢進(jìn)行預(yù)測，為地區(qū)治理奠定理論基礎(chǔ)。

綜上所述，基于氣溫預(yù)測的重要性，采用時(shí)間序列分析方法，對全球平均氣溫序列進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，模型分析和模型預(yù)測等建立ARMA(p,q)模型，對全球氣溫變化情況進(jìn)行預(yù)測，為制定應(yīng)對方案提供科學(xué)參考。

1 模型建立與統(tǒng)計(jì)分析

1.1 記號與假設(shè)

為研究方便，引入記號并做出相應(yīng)假設(shè)，xt表示第t年的全球平均氣溫，εt表示第t年時(shí)人類活動(dòng)和自然因素對平均溫度產(chǎn)生的影響或者干擾，而且有以下假設(shè)：

（1）εt是零均值白噪聲，即εt~WN( 0,σ2)。

（2）xt是二階矩平穩(wěn)的，xt期望和方差是存在的，記Ext=μ,Varxt=σ2，協(xié)方差cov(xt,xs)=γt-s。

引理設(shè)隨機(jī)序列{} 滿足：

（1）xt=?0+?1xt-1+…+?pxt-p+εt-θ1εt-1-…-θqεt-q；（2）?p≠0,θq≠0 且E(xtεt)=0,?s

1.2 參數(shù)估計(jì)

若x1,x2,…,xn是序列{xt} 的n個(gè)觀測值，有如下命題：

命題1xt為可逆的ARMA(p,q)模型，即

則ξ的矩估計(jì)量為，對于模型（1），記yt=xt-，則{yt} 仍為可逆的ARMA(p,q)序列。

證明由（1）以及{yt} 可知，{yt} 是原可逆的ARMA(p,q)模型{xt} 中心化得到的，-ξ=0，此時(shí){yt}依然滿足引理?xiàng)l件，故{yt} 為中心化的可逆的ARMA(p,q)模型。

命題2若滿足下列條件：

（1）εt～WN(0,σ2ε)；（2）Θq(B)=1-θ1B-…-θqBq；（3）Φp(B)=1-?1B-…-?pBp。則命題中的參數(shù)?,θ的最小二乘估計(jì)為

證明首先對序列建立AR模型，取AR模型階數(shù)的上界得到AR模型的階數(shù)估計(jì)和模型殘差可得相近的ARMA(p,q)模型，這里引入是待定參數(shù)。最后對函數(shù)進(jìn)行極小化，得到參數(shù)的最小二乘估計(jì)所以，函數(shù)f(?,θ)寫成那么，最小二乘估計(jì)由方程決定，在滿秩的情況下可解出最小二乘估計(jì)，即式（2）。

命題3若序列{}的觀測值期數(shù)為n，指定的時(shí)滯期數(shù)為m，延遲k期的自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值為，則

即QLB統(tǒng)計(jì)量近似服從自由度為m的卡方分布。

證明已知因?yàn)楠?dú)立同分布且近似服從正態(tài)分布，對進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變換得到有m個(gè)相互獨(dú)立的χ2(1)變量之和服從χ2(m)分布，根據(jù)正態(tài)分布和卡方分布之間關(guān)系，可得由此可得式（3）。

1.3 預(yù)測

定理對于平穩(wěn)可逆的ARMA() 模型，當(dāng)在上述式中Gi+l=Wi時(shí)，則第l步的預(yù)測誤差的方差滿足線性預(yù)測方差最小原則，即

證明時(shí)間序列模型可表示成傳遞函數(shù)的形式，由平穩(wěn)模型的特點(diǎn)以及線性函數(shù)的可加性知，

當(dāng)Gi+l=Wi時(shí)，預(yù)測方差最小。此時(shí)，xt+l的預(yù)測值是預(yù)測誤差為

2 數(shù)值模擬

2.1 數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理

圖1 為連續(xù)140 年的全球平均溫度值，從圖1 中知，前138 年的平均溫度值是非平穩(wěn)時(shí)間序列且序列可由直線趨勢模型擬合。直線趨勢模型的特點(diǎn)是一階差分為常數(shù)，令Yt=xt-xt-1可實(shí)現(xiàn)趨勢的消除。差分后的序列值始終在常數(shù)值附近波動(dòng)且波動(dòng)的范圍有界，見圖2。

圖2 一階差分的序列Fig.2 Sequence of the first order difference

現(xiàn)采用ADF 單位根檢驗(yàn)法判斷差分后的序列是否為平穩(wěn)時(shí)間序列，ADF 檢驗(yàn)t統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的值是-10.162 21，-10.162 21小于1%、5%、10%檢驗(yàn)水平的臨界值，則差分后的序列是平穩(wěn)的，見圖3。

圖3 單位根檢驗(yàn)Fig.3 Unit root test

2.2 白噪聲檢驗(yàn)

白噪聲序列要滿足γ() =0,?k≠0，所以原假設(shè)和備擇假設(shè)可為：

在命題3 條件下，當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的P值小于α（α=0.05）時(shí)，就以1-α的置信水平拒絕原假設(shè)，則該序列是非白噪聲序列，反之，該序列為白噪聲序列。在短期延遲內(nèi)，Q統(tǒng)計(jì)量值對應(yīng)的P值小于0.05，則該序列是非白噪聲序列，見圖4。

圖4 自相關(guān)和偏自相關(guān)圖Fig.4 Autocorrelation and partial autocorrelation graph

2.3 模型分析

2.3.1 模型定階 由ACF 和PACF 表現(xiàn)出來的性質(zhì)，選擇合適的階。根據(jù)圖4 可知，ACF 和PACF 在延遲1 期時(shí)，有明顯的超出2 倍標(biāo)準(zhǔn)差且多期后的ACF 和PACF 不趨于0，說明兩者是拖尾的，則擬合為ARMA(1 ,1) 模型。

2.3.2 參數(shù)估計(jì) 為簡化計(jì)算，在命題2 下的ARMA（p，q）模型，假設(shè)過去未觀測到的序列值為0。見圖5，?1=0.467 827,?0=0.008 066,θ1=-0.831 704，故模型為

圖5 參數(shù)估計(jì)Fig.5 Estimated parameters

2.3.3 模型檢驗(yàn) 模型提取的信息越充分說明模型越有效，因此，模型的顯著性檢驗(yàn)為殘差序列的純隨機(jī)性檢驗(yàn)，殘差序列的ACF 和PACF 都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)且Q統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的P值大于0.05，故模型通過顯著性檢驗(yàn)，見圖6。

圖6 殘差檢驗(yàn)圖Fig.6 Residual test graph

參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)每一個(gè)未知參數(shù)是否顯著為零，所以假設(shè)檢驗(yàn)：

在正態(tài)分布假設(shè)下，為第j個(gè)未知參數(shù)的最小二乘的估計(jì)值且是不可觀測的，用最小殘差平方和得到可構(gòu)造檢驗(yàn)未知參數(shù)顯著性的t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：或α大于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值時(shí)，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該參數(shù)是顯著的。由圖5 可知，估計(jì)值對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量的P值小于0.05，故系數(shù)通過顯著性檢驗(yàn)。

2.3.4 預(yù)測數(shù)據(jù) 預(yù)測是指借助擬合模型，利用序列中觀測值來估計(jì)未來某時(shí)刻的序列值。對于平穩(wěn)可逆的ARMA(1 ,1) 模型（6），已知，預(yù)測未來數(shù)據(jù)所示，可近似得到，見圖7。

圖7 模型預(yù)測值Fig.7 The value of model prediction

2.3 誤差分析

模型對未來趨勢的表現(xiàn)可以判斷模型的優(yōu)劣，保留一部分?jǐn)?shù)據(jù)作為測試集，利用之前的數(shù)據(jù)進(jìn)行外推，計(jì)算實(shí)際值與預(yù)測值的誤差。誤差分析指標(biāo)為平均絕對百分誤差(MAPE)，若MAPE 小，則模型的擬合程度高。

由上得知，在誤差允許范圍內(nèi)，模型對歷史數(shù)據(jù)的擬合程度較高，建模效果較好。

3 結(jié)論

氣溫變化是氣候研究的重點(diǎn)問題，ARMA 模型能快速地從樣本序列中分析氣溫變化的情況，但在建模時(shí)要考慮相關(guān)因素對預(yù)測結(jié)果的干擾，為保證后續(xù)預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確度，要用新觀察的數(shù)據(jù)來修正模型。因此，運(yùn)用時(shí)間序列分析方法，結(jié)合EViews 工具對氣溫預(yù)測展開研究，可為預(yù)防災(zāi)害和自然資源利用提供理論依據(jù)。