李 軍

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：數(shù)學課程內(nèi)容的一大特點就是整體性。對“整體性”的理解落實到小學“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容領(lǐng)域，就要讓學生“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識”。新課標里的這段話字數(shù)不多，但“知易行難”。如何更好地將新課標要求融入課堂教學呢？“小數(shù)除法”是小學數(shù)學四則運算教學的重要內(nèi)容，教師應如何在其教學中引導學生真正理解并構(gòu)建數(shù)運算的一致性呢？下面，筆者來談幾點思考。

一、尋根：構(gòu)建數(shù)運算一致性的全局性理解

從當前的教材和教學來看，關(guān)于數(shù)的運算，加法、減法、乘法、除法有各自的算理，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)也有各自的算法，這些知識看似支離破碎，缺乏內(nèi)在一致性，其實不然。以“小數(shù)除法”為例，我們可以從運算的意義、算理和算法等視角構(gòu)建對數(shù)運算一致性的全局性理解，從而更好地實施基于數(shù)運算一致性的結(jié)構(gòu)化教學。

1.縱向理解：小數(shù)除法與整數(shù)除法的一致性

從運算算理、算法上分析，除法運算的一致性體現(xiàn)在：計數(shù)單位與計數(shù)單位相除，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相除。以整數(shù)除法為例，被除數(shù)被分解成以不同計數(shù)單位為單位的若干個部分，這些部分分別參與運算，再將得數(shù)組合。如“480÷2=240”其實就是被除數(shù)“480”被分成“4 個百”和“8 個十”，分別除以2，得到“2 個百”和“4 個十”，也就是“240”。不管是整數(shù)除法還是小數(shù)除法，都要遵守一個統(tǒng)一的規(guī)則：逐步平分不同數(shù)位上計數(shù)單位的總數(shù)。如“11.5÷5=2.3”，其實就是“11.5”被分成了“10個一”與“15 個0.1”，分別除以5，得到“2 個一”和“3 個0.1”，也就是“2.3”。通過這樣的規(guī)則使得每一次的商總是小于或等于9 個計數(shù)單位，這就將除法運算還原成了乘法口訣表中的乘法運算，其背后其實是位值制和除法運算意義的一致性，我們可以把它看成一種縱向的一致性。

2.橫向理解：小數(shù)四則運算的一致性

從運算意義上分析，加法是運算意義的基礎(chǔ)，減法、乘法、除法都是在加法基礎(chǔ)上衍生而來的，那么，小數(shù)除法與小數(shù)的加法、減法、乘法之間也是有一致性的。小數(shù)加減運算就是將每一個數(shù)按照計數(shù)單位進行分解，然后相同計數(shù)單位上的數(shù)字相加減。如“1.26+4.1”，兩個加數(shù)分別分解成“1 個一，2 個0.1，6 個0.01”和“4個一，1 個0.1”，相同計數(shù)單位上的數(shù)字相加減后得到“5 個一，3 個0.1，6 個0.01”，即“5.36”。小數(shù)乘法運算也是計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘。在這個意義上，小數(shù)除法中體現(xiàn)出來的一致性是對“位值制”和“運算都是對計數(shù)單位進行操作”這兩個大概念再一次強有力的證明，帶領(lǐng)學生建立知識之間的聯(lián)系，體會知識的本源性、一致性和整體性。

基于上述分析，要構(gòu)建對數(shù)運算一致性的全局性理解，就要帶領(lǐng)學生體驗計數(shù)單位的統(tǒng)領(lǐng)作用，縱向探索整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)運算的一致性，橫向打通四則運算的一致性，促進他們逐步理解所有運算均基于計數(shù)單位，從而達到算理貫通、算法統(tǒng)整的目標（如圖1）。

（圖1）

二、扎根：踐行數(shù)運算一致性的關(guān)注點

要解決“小數(shù)除法”難以真正理解的問題，僅僅停留在對“小數(shù)除法”的研究是不夠的，需要系統(tǒng)思考、整體布局。

1.突破重難點，建立“數(shù)”與“運算”之間的聯(lián)系

數(shù)概念是數(shù)運算的基礎(chǔ)，數(shù)運算是對數(shù)概念的再應用，由此可見數(shù)概念的理解對數(shù)運算的重要性。具體到小數(shù)除法，小數(shù)意義的精準建構(gòu)就是小數(shù)除法計算的一塊重要基石，直接影響到小數(shù)除法計算的學習效果。但是，小數(shù)意義的教學同樣是小學階段難啃的一塊硬骨頭，學生在小數(shù)意義理解方面主要存在以下兩個問題：一是學生對小數(shù)的數(shù)位意義缺乏足夠的理解，比如，學生能夠理解“1 可以轉(zhuǎn)化為10個0.1”，但將這種理解轉(zhuǎn)化成計算中的“滿十進一”并利用數(shù)位與位值進行表征時，就出現(xiàn)了不同的錯誤，這也說明學生并沒有將整數(shù)的十進位值計數(shù)與小數(shù)的十分位值計數(shù)統(tǒng)一上升至十進制思維；二是學生通常認為小數(shù)表示數(shù)量，不能從“整體—部分”的意義層面加以理解，比如，與盒餅干相比，0.25 盒餅干的意義更難被學生理解。顯然，學生并沒有很好地從整體視角上關(guān)聯(lián)整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)。

關(guān)于小數(shù)意義的教學研究相當豐富，限于篇幅，本文僅基于以上分析提出兩點思考。

其一，在教學小數(shù)的意義時，樣例適當增加帶小數(shù)。在教學小數(shù)的意義時，常常需要結(jié)合面積模型、立體模型等不同模型理解小數(shù)“十分”的本質(zhì)，此時教材中的樣例以純小數(shù)居多（如圖2）。在初學小數(shù)的意義時，這樣的安排有其合理性，沒有整數(shù)部分的干擾，分數(shù)與小數(shù)的聯(lián)系更容易凸顯。但考慮到在完成此類練習時學生僅憑三年級學習“小數(shù)的認識”“分數(shù)的認識”的經(jīng)驗就可以準確填空，很容易忽略掉最關(guān)鍵的一步。沒有真正建立起小數(shù)和分數(shù)之間的聯(lián)系，小數(shù)概念的本質(zhì)就不能很好地凸顯。因此，在后續(xù)練習鞏固時，要合理進行變式練習，尤其應當在樣例中適當增加形如“”“”的練習，幫助學生真正理解“小數(shù)是按照十等分和逢十進一的規(guī)則構(gòu)造出來的，和整數(shù)一起構(gòu)成完整的位值計數(shù)系統(tǒng)”，促進學生發(fā)展十進制思維，這才是小數(shù)教學的本質(zhì)意義和核心所在。

（圖2）

其二，在理解“整體—部分”關(guān)系時，適當增加非十進率情境。學生在日常生活中常常能在超市等地見到小數(shù)，很容易讀懂表示價格的小數(shù)，但也只是從“形”上記住了小數(shù)，對小數(shù)意義的理解只停留在元、角、分等特定情境下。如學生在理解“1 元2 角3 分=（）元”時，依據(jù)是“元”對著個位，“角”對著十分位，“分”對著百分位，這種解釋沒有上升至對小數(shù)抽象概念的理解，不能很好地實現(xiàn)小數(shù)概念的數(shù)學化。因此，在教學中，不能忽視從“整體—部分”的層面理解小數(shù)的意義，爭取實現(xiàn)“在非十進率的單位情境下理解小數(shù)的含義”和“在無情境下能夠理解小數(shù)計數(shù)單位的意義”。如在學習小數(shù)的意義時，可以先有意識地增加“1 米3 厘米=（）米”“12 克=（）千克”等整百、整千進率的單位情境，再嘗試挑戰(zhàn)“0.4 分=（）秒”等六十進率的單位情境。這樣的設(shè)計符合學生學習小數(shù)概念的一般路徑，有助于學生在不同進率的單位情境中學習體驗，不斷深化思考，提煉出共性，從而達成對小數(shù)抽象意義的理解，形成對小數(shù)概念本質(zhì)的深刻理解。

2.找準關(guān)鍵點，打通“運算”與“運算”之間的聯(lián)系

數(shù)學運算是一個統(tǒng)一體，但要真正打通運算與運算之間的聯(lián)系并不容易?！靶?shù)除法”主要包含“小數(shù)除以整數(shù)”“整數(shù)除以整數(shù)（商是小數(shù)）”“小數(shù)除以小數(shù)”等內(nèi)容，實際上，小數(shù)除法可以簡單分為兩類——“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”和“除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法”。由于“一個數(shù)除以小數(shù)”可以通過商的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”來計算，其他知識都圍繞這兩種小數(shù)除法展開并逐步深入，所以事實上，“小數(shù)除法”教學的核心內(nèi)容就是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”。

進一步分析，在“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”中，多個版本的教材均以“小數(shù)除以整數(shù)”為第一課時，因而筆者以“小數(shù)除以整數(shù)”為研究對象開展了一次調(diào)查。隨機抽取四年級兩個班90 名同學，要求學生用自己的方法完成“買了5支鉛筆，用了11.5 元，每支鉛筆多少元？”這道題。調(diào)查結(jié)果出乎意料，87.8%的學生能夠根據(jù)情境正確列出除法算式并得到正確答案，學生是怎么做到的呢？

在回答正確的學生中，有79.7%的人遷移了整數(shù)除法的計算方法，列出如圖3 所示的豎式。筆者對這部分學生進行訪談發(fā)現(xiàn)，他們盡管是首次接觸小數(shù)除法，也沒有學習過小數(shù)乘法，但因其在之前的學習中體驗到了“小數(shù)加減法”與“整數(shù)加減法”的一致性，了解到“小數(shù)加減混合運算的法則與整數(shù)相同”，所以大膽猜測可以將“整數(shù)除法”的算法遷 移 到“ 小 數(shù) 除法”。需要注意的是，僅有5 個學生在豎式計算中“除到小數(shù)部分不保留小數(shù)點”，其余學生均保留了小數(shù)點，這說明多數(shù)學生沒有理解豎式的每一個步驟都是在記錄“計數(shù)單位數(shù)量的等分”。

（圖3）

針對上述問題，筆者從兩個方面提出教學建議。

其一，強化操作，重視過程。無論在整數(shù)除法還是小數(shù)除法的教學中，都要強化操作活動，重視讓學生經(jīng)歷“分的過程”。在學習整數(shù)除法時，要舍得花時間，如提供如圖4所示的學具，讓學生充分經(jīng)歷對“計數(shù)單位”的操作，并在操作完成后引導學生用語言描述“分的過程”。如此，操作、算式、語言在比較中互相轉(zhuǎn)化，豐富了“分”的表象，強化了“分”的感知，再放手讓學生獨立嘗試列豎式計算。即使如此，在學習小數(shù)除法時，依然不能忽視“分的過程”，小數(shù)點要不要下來，不能簡單一筆帶過，要借助“元、角、分”模型，讓學生從計數(shù)單位的角度來理解，通過具體操作明晰，在小數(shù)計算的過程中，始終都是在進行“計數(shù)單位數(shù)量的等分”，達成計數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)下的小數(shù)除法與整數(shù)除法的一致性。

（圖4）

其二，加強關(guān)聯(lián)，適度深化。在調(diào)查中，學生解決問題的方法多達十余種，比較典型的有拆分法和轉(zhuǎn)化法。教師可以先引導學生進行分類，梳理出不同方法之間的共性，得到拆分和轉(zhuǎn)化兩種方法，但分析不能僅僅停留在這一層面，還要去粗取精、由表及里。從本質(zhì)上來說，轉(zhuǎn)化法就是縱向上的數(shù)運算的一致性，都是把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法后進行計算，只是轉(zhuǎn)化思路各有千秋。拆分法則是逐步平分不同數(shù)位上計數(shù)單位的總數(shù)，體現(xiàn)的是運算都是對計數(shù)單位進行的操作，可以從橫向上的數(shù)運算的一致性進行理解。站在這樣的高度賞析學生作品，既有助于激發(fā)學生的自豪感和自信心，也有助于他們形成數(shù)學的眼光、數(shù)學的思想和方法。

當然，引導學生體會數(shù)運算的一致性，不可急于求成，而要靜待花開。我們要從零敲碎打走向整體建構(gòu)，在數(shù)的認識、數(shù)的運算的每一節(jié)課中尋根溯源、把握本質(zhì)，在日積月累的堅持中期待復利效應凸顯，助力學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升。