王 嵐

2022 年4 月，教育部印發(fā)義務教育課程方案和語文等16 個課程標準（2022 年版）。面對新的課程方案和課程標準，需要一線教師在學習中思辨、在比較中研讀?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）在“數(shù)與代數(shù)”領域關于“一致性”的表述引發(fā)了筆者的深入思考與深度實踐。

一、從宏觀、中觀、微觀三種視角理解一致性

1.宏觀視野下的一致性

宇宙之中，萬事萬物皆處于運動、發(fā)展、變化之中?！盾髯印と逍А酚醒栽疲骸扒e萬變，其道一也。”千變萬化的是表象，其本質規(guī)律是一致的。正所謂“萬變不離其宗”。這里的“道”和“宗”都蘊含了事物發(fā)展變化規(guī)律在本質上的一致性。

人的成長與發(fā)展同樣遵循生長規(guī)律的一致性，每個年齡段的兒童都具有這一階段兒童共同的身心發(fā)展特點。皮亞杰提出兒童認知能力發(fā)展存在著階段性，分為感知運動階段（0～2歲）、前運算階段（2～7 歲）、具體運算階段（7～11 歲）和形式運算階段（11 歲以后）。每一個階段的兒童，在認知能力發(fā)展方面都具有階段發(fā)展的共通性與發(fā)展方向的一致性。

從核心素養(yǎng)發(fā)展的角度來看，學生在不同階段的數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展也具有一致性。新課標從三個方面表述數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。同時，將核心素養(yǎng)在小學、初中、高中三個階段的具體表現(xiàn)從內涵上進行貫通與銜接，如高中學段核心素養(yǎng)表現(xiàn)之一的數(shù)學抽象，在初中學段就具體表現(xiàn)為抽象能力，在小學階段整體體現(xiàn)為數(shù)感、量感和符號意識。新課標的表述方式從內涵上將小學、初中、高中的核心素養(yǎng)表現(xiàn)貫通起來，使得整個基礎教育階段的數(shù)學課程標準達成統(tǒng)一，實現(xiàn)整體性、一致性和階段性。［1］

2.中觀視域中的一致性

在課程內容的組織上，新課標提出要重視內容的結構化整合。從課程內容的角度理解一致性，可以從以下五個層面進行思考。

其一，數(shù)學課程內容的總體編排具有一致性。各個學段之間的內容彼此關聯(lián)，層層深入，螺旋上升，形成了一個系統(tǒng)化的數(shù)學知識結構。例如，小學階段的“數(shù)與運算”和初中階段的“數(shù)與式”在內容方面就具有一致性，數(shù)的運算從加法、減法、乘法、除法單一的運算開始，逐步發(fā)展到混合運算。隨著數(shù)的認識不斷拓展，逐漸從整數(shù)運算延伸到小數(shù)、分數(shù)運算，進而發(fā)展到有理數(shù)的運算。

其二，數(shù)學課程內容的領域安排具有一致性。例如，“數(shù)與代數(shù)”領域從《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》原有的六個主題整合為兩個主題，將具有高相關性的“數(shù)的認識”和“數(shù)的運算”這兩個主題整合為“數(shù)與運算”這一個主題，就是強調數(shù)學學科本質與學科內容結構化設計的具體表現(xiàn)，強調數(shù)與運算具有一致性。這樣的整合編排，有利于凸顯數(shù)學本質，有利于學生更好地建構數(shù)學認知系統(tǒng)。

其三，數(shù)的概念與數(shù)的運算從本質而言具有非常強的意義相關性，數(shù)的意義和數(shù)的運算具有一致性。數(shù)的概念的建構基石和數(shù)的運算的底層邏輯都是計數(shù)單位。從數(shù)的概念的運用和數(shù)的運算的解讀來看，數(shù)的概念是數(shù)的運算的前提，數(shù)的運算是對數(shù)的概念的應用。對于算理的理解和算法的解讀，最終都要追溯、回歸到數(shù)的意義。

其四，數(shù)的運算與運算之間具有非常密切的聯(lián)系，小學階段學生學習的加法、減法、乘法、除法，從其根源來說都是加法的發(fā)展與演化。減法是加法的逆運算，乘法是加法的簡便運算，除法是減法的簡便運算，除法也是乘法的逆運算，所有的運算都可以還原為加法。因此，從這個意義上來說，加法、減法、乘法、除法這四種運算具有一致性。

其五，同一種運算在整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的具體計算中，從形式上來看，很多都不盡相同，從算法的表述來看，有些還相去甚遠。但究其本源，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)計算，其內在的算理是一脈相承的，其內隱的算律是可遷移運用的，因而從運算的內涵和意義來說具有一致性。

3.微觀視角里的一致性

從更為具體的角度來看，同樣一個算式，在多樣化的運算過程中，其外在表現(xiàn)形式可以是完全不同的，但觀其根本，其內在的核心仍然是完全一致的。這里的“一致”，可以是算理的一致，可以是算律的一致，可以是概念的一致，也可以是意義的一致。

二、從算理、算法、算律三個維度表達一致性

1.算理：讓算法有魂

在小學階段，整數(shù)運算是小數(shù)運算、分數(shù)運算的基礎。整數(shù)運算的算理可以推廣、遷移到小數(shù)和分數(shù)的運算中。從運算一致性的角度重新審視現(xiàn)有的教材和當下的教學，我們往往會發(fā)現(xiàn)，整數(shù)運算有整數(shù)運算的計算法則，小數(shù)運算有小數(shù)運算的計算法則，分數(shù)運算的計算法則與小數(shù)運算的計算法則大不相同。算法各不相同，算理是否相通呢？

以加減法運算為例，整數(shù)加減法和小數(shù)加減法在運算過程中都需要做到數(shù)位對齊，相同數(shù)位上的數(shù)相加減。而在進行分數(shù)加減法計算時，受整數(shù)加減法和小數(shù)加減法計算法則的負遷移，學生容易推想為分母和分母相加減作為分母，分子和分子相加減作為分子。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的主要原因就是教師教學時重算法而輕算理，重結果而輕過程，從而導致學生對算理的理解不清晰。整數(shù)加減法和小數(shù)加減法為什么需要數(shù)位對齊后相加減呢？我們調研發(fā)現(xiàn)，有相當比例的學生并不清楚深層次的原因，相同數(shù)位上的數(shù)相加減背后的算理是相同計數(shù)單位的數(shù)才能直接相加減。而分數(shù)的計數(shù)單位和整數(shù)、小數(shù)按數(shù)位確定計數(shù)單位有很大的不同，分數(shù)的分母決定了分數(shù)的計數(shù)單位。因此，分數(shù)單位相同的分數(shù)才能直接相加減。當我們追溯知識的本源時就會發(fā)現(xiàn)，整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)加減法從形態(tài)上看存在差異，從算法上看有所不同，但算理完全一致。計數(shù)單位相同時，可以直接相加減。計數(shù)單位不同時，需要轉化為計數(shù)單位相同的數(shù)再進行加減。同分母分數(shù)可以直接相加減，分母不變，分子相加減。異分母分數(shù)需要先通分轉化為同分母分數(shù)后再進行加減，其背后的原理其實與整數(shù)和小數(shù)加減法完全一致。通過這樣的聯(lián)系、對比與分析，學生就會清晰地感受到，分數(shù)加減法是整數(shù)和小數(shù)加減法的拓展，加減法運算的本質就是相同計數(shù)單位的不斷累加或遞減。

2.算法：讓算理有形

新課標指出，計算教學要讓學生“經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法”［2］。從這一角度來看，理解算理和掌握算法同等重要。如果說算理是內部的處理器，算法就是外部的顯示儀。算理，讓算法有魂；算法，讓算理有形。

以兩位數(shù)乘兩位數(shù)的整數(shù)乘法為例，面對43×21 這樣一個具有挑戰(zhàn)性的問題，學生通過自我嘗試、同桌交流、小組研討，進而在全班分享環(huán)節(jié)呈現(xiàn)出很多具有創(chuàng)造性的解決方案（如圖1）。有的在兩位數(shù)乘一位數(shù)的經(jīng)驗基礎上嘗試進行豎式計算，有的基于兩位數(shù)乘整十數(shù)的計算經(jīng)驗及乘法的意義進行脫式計算，有的基于長方形的面積計算創(chuàng)造性地轉化為分區(qū)計算。

（圖1）

有經(jīng)驗的教師還可以引入更多的解決方案，如鋪地錦的方格解法、畫斜線的數(shù)點解法（如圖2）。分析各種方法，解決方式不同，外在形式不同，內在算理卻具有一致性。每一種算法形式化的外殼下所包裹的都是計數(shù)單位及其個數(shù)累加的內核?！叭f法歸宗”的算理，讓每一種算法都擁有數(shù)學的精神內核；“條條大路通羅馬”的算法，讓算理擁有數(shù)學的形式表達。

（圖2）

3.算律：讓算理有根

小學數(shù)學中涉及的運算律主要有加法交換律、結合律以及乘法交換律、結合律、分配律。運算律是運算自身發(fā)展的必然需要，是基本運算在算法執(zhí)行中產(chǎn)生的規(guī)約。

如果說算法是外顯，算理是內核，那么算律就是運算的根服務器。從上例所呈現(xiàn)的43×21的各種算法來看，都需要建立在基本運算律的基礎之上。無論哪種具體的算法，都是基于計數(shù)單位及其個數(shù)累加的算理而出現(xiàn)的。而計數(shù)單位及其個數(shù)的累加，具體可以表達為43×21=（40+3）×（20+1）=（40+3）×20+（40+3）×1=40×20+3×20+40×1+3×1=903，這一長串運算過程，不僅基于數(shù)的組成的相關知識，也基于乘法分配律的基本運用。乘法分配律不僅適用于整數(shù)，也適用于小數(shù)。小數(shù)乘法的運算過程和整數(shù)乘法的運算過程，從算律到算理，從算理到算法，總體具有一致性。如4.3×2.1=（4+0.3）×（2+0.1）=（4+0.3）×2+（4+0.3）×0.1=4×2+0.3×2+4×0.1+0.3×0.1=9.03，從運算過程來看，和整數(shù)乘法相比，我們會發(fā)現(xiàn)它們的相似度極高，都是運用乘法分配律進行計數(shù)單位和計數(shù)單位個數(shù)的計算。

三、從意義、模型、策略三條路徑實踐一致性

1.意義關聯(lián)：運算一致性的內涵基礎

談到數(shù)的運算，就不能不談數(shù)的概念。數(shù)的概念與數(shù)的運算是具有一致性的，這也是數(shù)的運算一致性的前提和基礎。整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)本質上是一脈相承的，都是基于計數(shù)單位構建的。而數(shù)的運算的核心就是計數(shù)單位及計數(shù)單位的累加或遞減。數(shù)的概念及數(shù)的運算都是以計數(shù)單位為統(tǒng)領的。因此，從意義關聯(lián)的角度建構數(shù)的概念與數(shù)的運算的一致性，是運算一致性的內涵基礎。

在教學中，需要教師著重關注建立數(shù)與運算之間的關系，引導學生體會和感受計數(shù)單位在數(shù)的概念建立和數(shù)的運算過程中的統(tǒng)領作用，體會數(shù)的表達方式和數(shù)的運算方法之間的一致性。數(shù)的概念重點聚焦的是計數(shù)單位及其個數(shù)的多少；數(shù)的運算重點研究的是計數(shù)單位及其個數(shù)的增減。以計數(shù)單位為大概念，數(shù)與運算就形成了強聯(lián)結?；谟嫈?shù)單位這一大概念，需要教師從小學階段數(shù)與運算的整體視野全面設計、系統(tǒng)安排、層層推進。

鞏子坤、史寧中、張丹建構了數(shù)的概念與運算的一致性框架（如下頁圖3），將核心概念、基本規(guī)律、基本運算、基本實施的關系進行了系統(tǒng)呈現(xiàn)，對一線教師從意義上理解和建構數(shù)的概念與運算的一致性進行了結構化引領。

圖3 數(shù)的概念與運算的一致性框架［3］

2.數(shù)形結合：運算一致性的物理支架

基于小學生認知發(fā)展的階段性，在數(shù)的運算的學習過程中，教師可以引導學生借助形的表達將算理可視化。運算的本質其實就是計數(shù)，計數(shù)需要關注計數(shù)單位及計數(shù)單位的個數(shù)。聚焦計數(shù)單位是什么、計數(shù)單位的個數(shù)是多少，借助直觀形象的圖示，可以做到有形可依、有理可說、有法可循。

例如，可以利用小棒圖、圓片圖、點子圖、方塊圖、示意圖、流程圖等表達計數(shù)單位的累加或細分，表達計數(shù)單位個數(shù)的累加或遞減?；谶\算進行操作與繪制，畫出思考，畫清思路；基于圖形進行解釋與推演，說清算理，講清算法。數(shù)與形彼此關聯(lián)，以數(shù)解形，以形釋數(shù)，充分發(fā)揮符號表征與圖形表征的不同優(yōu)勢，從“畫數(shù)學”到“話數(shù)學”再到“數(shù)學化”，為體會和感悟運算一致性提供物理支架。

3.模型建構：運算一致性的核心關鍵

在數(shù)的運算的教學中，不僅需要以數(shù)的概念為基礎，同時也需要以運算的意義為基石。尤為需要從小學低年級起就重視學生對于加法、減法、乘法、除法模型的建構，并且在四個模型間建立關聯(lián)。以加法模型為底座，生長和延展出減法、乘法、除法模型，引導學生感受加法、減法、乘法、除法這四種運算之間的聯(lián)系，體會加法運算是所有運算的基礎，感受其他運算與加法運算之間的關系，感悟其他運算都可以還原為加法。

另一方面，隨著學生對于數(shù)的認識范圍的擴展，在建構整數(shù)加法、減法、乘法、除法運算模型的基礎上，還需要引導學生衍生建構小數(shù)和分數(shù)的加法、減法、乘法、除法運算模型，并通過算理的同根同源、算法的萬法歸宗，將其與整數(shù)加法、減法、乘法、除法運算模型一起納入加法、減法、乘法、除法運算模型的總體框架之中。

在這樣的學習和研究歷程中，從模型建構到模型拓展，進而到模型歸一，為后續(xù)數(shù)系擴張后的運算學習打下堅實的基礎。

從數(shù)的概念本質上的一致性到數(shù)的運算本質上的一致性，從理解到認同，從認同到實踐，在解構中重新建構，在建構中持續(xù)升級，我們攜手走在研究與實踐的道路上。