高 藝 劉景亞 劉貴林

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0 引言

四旋翼機(jī)在過去十年中迅速發(fā)展,被用于多種類型的任務(wù),包括搜索和救援任務(wù)、核反應(yīng)堆監(jiān)測(cè)、農(nóng)業(yè)服務(wù)、測(cè)繪和攝影、海上作業(yè)和戰(zhàn)斗損害評(píng)估等,是無人飛行器領(lǐng)域中十分重要的科研分支。四旋翼無人機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)是安裝在不同位置的多個(gè)電機(jī),無需動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng),可垂直起降,因其魯棒性和緊湊布局而逐漸受到各個(gè)領(lǐng)域科研學(xué)者的密切研究[1]。四旋翼飛行器飛行控制系統(tǒng)的核心和難點(diǎn)是可靠的飛行控制算法的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn),設(shè)計(jì)能夠在惡劣環(huán)境中操作并應(yīng)對(duì)復(fù)雜任務(wù)的無人系統(tǒng)。通常需要設(shè)計(jì)飛行控制系統(tǒng)來改善無人機(jī)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)跟蹤特性和抗干擾能力,以獲得更好的飛行性能,其中姿態(tài)的控制是整個(gè)飛行控制的基礎(chǔ)。

四旋翼飛行器具有較高的機(jī)動(dòng)性,能夠在三維空間運(yùn)動(dòng),但由于其具有典型的欠驅(qū)動(dòng)、時(shí)變、操作滯后和非線性等特性[2],學(xué)者們提出了很多種不同的控制方法和控制理念以解決四旋翼飛行器穩(wěn)定性、軌跡跟蹤、姿態(tài)控制和建模問題,方法包括PID[3]、LQR[4]、魯棒線性控制[5]、自適應(yīng)控制[6]和滑?？刂芠7]。但上述控制方法都是基于事后偏差,系統(tǒng)先根據(jù)檢測(cè)到的偏差信號(hào)產(chǎn)生控制信號(hào)然后去控制四旋翼飛行器,導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)相對(duì)于輸入總是滯后一拍。此外,低成本的機(jī)載傳感系統(tǒng)具有噪聲和漂移特性,以及由于硬約束的存在使控制設(shè)計(jì)問題進(jìn)一步復(fù)雜化。

為了開發(fā)能夠在實(shí)際任務(wù)環(huán)境中的飛行控制系統(tǒng),所采用的控制策略應(yīng)該滿足:1)考慮到系統(tǒng)的約束; 2)產(chǎn)生有效的控制動(dòng)作。

四旋翼飛行器控制問題的另一個(gè)適用的解決方案是模型預(yù)測(cè)控制(Model Predictive Control,簡(jiǎn)稱MPC),主要優(yōu)勢(shì)之一是能夠簡(jiǎn)單有效地處理具有控制約束和多個(gè)輸入和輸出的復(fù)雜系統(tǒng),只需要根據(jù)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算后得到控制量[8]。模型預(yù)測(cè)控制在過去幾十年有顯著的發(fā)展,成功應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域。MPC可以有效地處理執(zhí)行約束,將輸入約束作為控制綜合的一部分,能夠比較容易地在有約束條件下得到比較好的控制性能[9],克服各種不確定因素的影響,具有良好的控制效果和魯棒性。

由于四旋翼飛行器是一個(gè)非線性、受約束、多變量的系統(tǒng),MPC被廣泛地用于飛行控制策略,將四旋翼系統(tǒng)模型線性化后作為MPC策略的預(yù)測(cè)模型。然而,線性化的四旋翼模型不能再代表整個(gè)四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)特性,這會(huì)導(dǎo)致性能損失或限制控制器的動(dòng)作。在需要考慮非線性動(dòng)力學(xué)來提高性能的情況下,可采用非線性模型預(yù)測(cè)控制(NMPC)。

NMPC是直接處理非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法。在每個(gè)采樣時(shí)刻求解有限域最優(yōu)控制問題,然后實(shí)現(xiàn)第一個(gè)最優(yōu)控制輸入。由于NMPC可以直接處理非線性動(dòng)力學(xué)和約束,因此得到了廣泛的應(yīng)用和關(guān)注。NMPC的主要缺點(diǎn)是實(shí)時(shí)解決底層有限域最優(yōu)控制問題的計(jì)算負(fù)擔(dān),在指定的采樣間隔內(nèi),尤其對(duì)于具有快速動(dòng)態(tài)、大維度和復(fù)雜約束的問題,其得到的在線優(yōu)化問題常常是非凸的,計(jì)算量隨著決策變量的數(shù)目成指數(shù)增長(zhǎng)。2002年Bemporad等做了開創(chuàng)性工作[10],將多參數(shù)規(guī)劃理論引入到線性時(shí)不變對(duì)象的約束二次優(yōu)化控制問題的求解中,得到了優(yōu)化控制問題最優(yōu)控制律與優(yōu)化問題所含的參數(shù)之間的顯式函數(shù)關(guān)系。

本文首先根據(jù)空氣動(dòng)力學(xué)方程,采用歐拉角表示俯仰角(Pitch),滾轉(zhuǎn)角(Roll)和偏航角(Yaw),將四旋翼飛行器視為剛體對(duì)其建模,然后考慮姿態(tài)控制的目標(biāo)俯仰角和滾轉(zhuǎn)角建立滾動(dòng)優(yōu)化的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和線性約束條件,利用多參數(shù)二次規(guī)劃求解方法分區(qū)求解來代替重復(fù)的滾動(dòng)優(yōu)化,離線計(jì)算每個(gè)狀態(tài)分區(qū)上的狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)顯式控制律,在線計(jì)算時(shí)只需要檢測(cè)出當(dāng)前狀態(tài)值所在區(qū)域,然后利用所在域的表達(dá)式計(jì)算出相應(yīng)的控制量,從而使在線優(yōu)化問題簡(jiǎn)化成一個(gè)簡(jiǎn)單的讀取映射和函數(shù)計(jì)算問題,大量縮短系統(tǒng)在線計(jì)算時(shí)間,最后根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)所在的分區(qū),按照顯式解直接得到對(duì)應(yīng)的當(dāng)前參數(shù)的最優(yōu)控制量實(shí)現(xiàn)控制,最后進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算,驗(yàn)證算法的有效性。

本文的結(jié)構(gòu)組織如下:引言介紹四旋翼飛行器飛行控制系統(tǒng)的控制算法,分析了傳統(tǒng)PID控制算法在應(yīng)用中存在的問題,然后引入了顯式預(yù)測(cè)控制算法來設(shè)計(jì)四旋翼飛行器姿態(tài)控制器。第1節(jié)介紹了四旋翼飛行器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型及動(dòng)力學(xué)模型,解耦得到四旋翼姿態(tài)模型。第2節(jié)提出了顯式預(yù)測(cè)控制控制器設(shè)計(jì),包括系統(tǒng)模型的線性化和目標(biāo)函數(shù)的建立。第3節(jié),仿真驗(yàn)證提出方法的有效性。

1 四旋翼系統(tǒng)模型

四旋翼飛行器的運(yùn)動(dòng)由螺旋槳產(chǎn)生的升力控制,而平移和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)通過反旋轉(zhuǎn)槳葉的差異來實(shí)現(xiàn)。具體情況是,前后運(yùn)動(dòng)由前后轉(zhuǎn)子的速度產(chǎn)生的升力差實(shí)現(xiàn),左右運(yùn)動(dòng)由兩個(gè)橫向轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的升力差實(shí)現(xiàn),而偏航運(yùn)動(dòng)由前右和后左兩對(duì)轉(zhuǎn)子之間的反力矩差產(chǎn)生。最后,垂直向上的運(yùn)動(dòng)由轉(zhuǎn)子總推力產(chǎn)生。

建立四旋翼飛行器模型的目的在于分析四旋翼飛行器在受到外力、外力矩的情況下,其位置和姿態(tài)的變化情況。

其中,動(dòng)力學(xué)模型的輸入為螺旋槳提供的拉力和力矩,輸出為四旋翼的速度和角速度;運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的輸入為動(dòng)力學(xué)模型的輸出,即四旋翼的速度和角速度,輸出為四旋翼的位置和姿態(tài)。

其關(guān)系如圖1所示:

圖1 運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)模型關(guān)系圖

四旋翼飛行器系統(tǒng)是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)、強(qiáng)耦合控制系統(tǒng),因而對(duì)其建模要考慮的因素很復(fù)雜。為了在符合基本運(yùn)動(dòng)特征的基礎(chǔ)上,盡可能減少不確定性擾動(dòng)的影響,方便建立四旋翼飛行器的精確模型,且考慮到對(duì)模型的分析及后續(xù)對(duì)控制器的設(shè)計(jì),四旋翼飛行器在設(shè)計(jì)上已經(jīng)保證了其結(jié)構(gòu)方面的基本對(duì)稱性,在飛行速度和外界風(fēng)速都比較低的情況下,假設(shè)飛行器可看作剛體。根據(jù)牛頓第二定律,在地面坐標(biāo)系下,通過對(duì)飛行器合外力與合外力矩的分析,可得出飛行器六自由度運(yùn)動(dòng)方程。

根據(jù)牛頓第二定律可以得出:

(1)

(2)

其中,四旋翼飛行器所受的總合外力F是矢量,m表示四旋翼飛行器的質(zhì)量,V是速度矢量,M表示四旋翼飛行器所受的總力矩,H為四旋翼飛行器的角動(dòng)量。

飛行器飛行過程中,主要受到機(jī)身重力、飛行器4個(gè)電機(jī)提供的推力、空氣阻力及外部擾動(dòng)的作用。

機(jī)身重力:

Fg=[0 0mg]T

(3)

其中,4個(gè)電機(jī)提供升力在機(jī)體坐標(biāo)系下可表示為:

(4)

故根據(jù)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣可得飛行器4個(gè)電機(jī)提供的推力FT:

(5)

其中,RT為旋轉(zhuǎn)矩陣,ψ為俯仰角Pitch,θ為滾轉(zhuǎn)角Roll,φ為偏航角Yaw。

四旋翼所受空氣阻力:

(6)

外部擾動(dòng):

(7)

所以,地面坐標(biāo)系下飛行器所受合力為:

F=Fg+FT+Fw+Fn

(8)

又已經(jīng)假設(shè)飛行過程中質(zhì)量不變,故可求得飛行器三軸運(yùn)動(dòng)方程:

(9)

為計(jì)算飛行器繞三軸的角運(yùn)動(dòng)情況,我們需要對(duì)其所受力矩進(jìn)行分析,已知?dú)W拉角p,q和r與機(jī)體角速度之間的旋轉(zhuǎn)矩陣,即:

(10)

可解得:

(11)

飛行器所受力矩主要包括電機(jī)帶動(dòng)旋翼提供的氣動(dòng)力矩和旋翼陀螺效應(yīng)產(chǎn)生的力矩。設(shè)4個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速為[Ω1Ω2Ω3Ω4],旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,根據(jù)陀螺效應(yīng)公式,可以推出4個(gè)旋翼產(chǎn)生的陀螺效應(yīng)力矩如下:

(12)

飛行器所受氣動(dòng)力矩可表示為:

(13)

其中,L為機(jī)臂長(zhǎng)度,d為旋翼的反扭力系數(shù)。

結(jié)合式(5)和(6)可以得到機(jī)體各軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:

(14)

設(shè)四軸飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為:

(15)

其中,Ix,Iy,Iz分別為繞機(jī)體坐標(biāo)系的三軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式可得:

(16)

由此可推出機(jī)體坐標(biāo)系下飛行器繞各軸的角加速度為:

(17)

結(jié)合式(11)和(17),得到四旋翼飛行器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程:

(18)

考慮到四旋翼飛行器的性質(zhì),將飛行器的歐拉角變化范圍限制如式(19)所示:

(19)

綜上所述,可以得到四旋翼飛行器簡(jiǎn)化后的數(shù)學(xué)模型,即四旋翼飛行器的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,也是之后控制器的設(shè)計(jì)依據(jù)。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 EMPC簡(jiǎn)介

EMPC是一種用于處理多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)的多目標(biāo)問題的優(yōu)化控制方法。圖2是EMPC姿態(tài)控制器結(jié)構(gòu)圖。首先,確定輸入、輸出變量和控制變量。然后,在每個(gè)采樣時(shí)間建立狀態(tài)空間系統(tǒng)模型。如果模型是非線性的,則需要線性化作為預(yù)測(cè)模型。其次,線性化狀態(tài)空間模型用于通過預(yù)測(cè)控制范圍內(nèi)的未來輸出來解決表示為目標(biāo)函數(shù)的二次優(yōu)化問題,將多參數(shù)二次規(guī)劃引入到帶約束二次優(yōu)化控制問題的求解中,然后對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)區(qū)域進(jìn)行凸劃分,離線計(jì)算得出對(duì)應(yīng)每個(gè)狀態(tài)分區(qū)上的狀態(tài)反饋?zhàn)罴扬@式控制規(guī)律,建立顯式模型預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)。最后,序列中的第一個(gè)控制規(guī)則被發(fā)送到系統(tǒng)。滾動(dòng)優(yōu)化將在每個(gè)采樣時(shí)間重復(fù)和更新,在線計(jì)算只需查找當(dāng)前狀態(tài)所在分區(qū)就可獲得相應(yīng)控制律。由于顯式模型預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)不需要反復(fù)在線優(yōu)化,所以提高了在線計(jì)算速度,使系統(tǒng)獲得更好的實(shí)時(shí)性。

圖2 四旋翼飛行器姿態(tài)控制器控制框圖

2.2 預(yù)測(cè)模型線性化

為了便于控制器的設(shè)計(jì),下面對(duì)所得模型進(jìn)行分析。分析方程(11)和(17),可以看出,假設(shè)r為常數(shù),方程(17)是常系數(shù)線性方程,但是存在嚴(yán)重的耦合。方程(11)是超越方程,給四旋翼控制器設(shè)計(jì)造成較大的挑戰(zhàn)。因此在控制器設(shè)計(jì)中不僅要考慮旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)的解耦,還需要考慮旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)的非線性問題。從式(11)可以看出,姿態(tài)角的變化是引起四旋翼飛行器旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)非線性的原因。

但是當(dāng)四旋翼飛行器做懸?；蛘叩退龠\(yùn)動(dòng)時(shí),由于俯仰角、滾轉(zhuǎn)角較小時(shí),cosθ≈1,cosψ≈1,sinθ≈θ,sinψ≈ψ,忽略二階小量,不考慮航向通道,則方程(11)和(17)可以簡(jiǎn)化為:

(20)

(21)

其中,a11=J(Ω1-Ω2+Ω3-Ω4)/Ix,a12=1/Ix,b21=J(Ω1-Ω2+Ω3-Ω4)/Iy,b22=1/Iy。以上參數(shù)均可以由四旋翼飛行器的參數(shù)測(cè)量和公式計(jì)算直接得到。

將式(20)和(21)組合,可以得到如下的狀態(tài)空間形式:

(22)

(23)

2.3 滾動(dòng)優(yōu)化

對(duì)于姿態(tài)控制器,考慮如下最優(yōu)控制問題:

(24)

約束條件:

(25)

其中,u(t)=[MxMy]T表示輸入量,Δu(t)=u(t)-u(t-1)表示輸入增量,NP是預(yù)測(cè)時(shí)域,S表示誤差加權(quán)矩陣,T表示控制加權(quán)矩陣。

模型預(yù)測(cè)控制的優(yōu)化問題是一個(gè)二次最優(yōu)控制問題,由于這個(gè)優(yōu)化問題和當(dāng)前狀態(tài)量,輸入量,控制加權(quán),誤差加權(quán)都有關(guān)系,所以這是一個(gè)多參數(shù)二次規(guī)劃問題(multi-parametric quadratic program)。如果把系統(tǒng)的狀態(tài)量看成是優(yōu)化問題的參數(shù)向量,設(shè)計(jì)得到當(dāng)前狀態(tài)量在可能區(qū)域變化時(shí)輸入量和狀態(tài)量的顯式函數(shù)關(guān)系,就可以避免優(yōu)化時(shí)反復(fù)在線計(jì)算。因此,對(duì)于此優(yōu)化問題可以通過Bemporad等在文獻(xiàn)[10]中提出的多參數(shù)規(guī)劃得到它在每個(gè)區(qū)域的顯式解。

EMPC的核心是確定每個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)在狀態(tài)分區(qū)中的位置,步驟如下:

步驟1 確定當(dāng)前狀態(tài)在狀態(tài)分區(qū)中的位置。

步驟2 通過狀態(tài)分區(qū)尋找到對(duì)應(yīng)的顯式控制律表達(dá)式并計(jì)算出當(dāng)前時(shí)刻的控制量。

步驟3 等待下一次采樣時(shí)刻,并返回步驟1。

3 仿真校驗(yàn)

前面采用EMPC設(shè)計(jì)了四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)控制器,為了驗(yàn)證所提出控制器的性能,本文通過Matlab/Simulink進(jìn)行仿真研究,第一組實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的姿態(tài)控制器的控制性能,第二組實(shí)驗(yàn)使用反演PID控制器進(jìn)行比較。

在姿態(tài)控制試驗(yàn)中,EMPC控制器的控制參數(shù)可以由四翼飛行器參數(shù)求得。四旋翼飛行器參數(shù)如表1。

表1 四旋翼飛行器參數(shù)表

將四旋翼飛行器參數(shù)代入式(21)中得a11=-0.69,a12=86.08,b21=0.69,b22=86.08。約束-10m/s2≤u(t)≤10m/s2,-103≤y1(t)≤103,-103≤y2(t)≤103,-103≤y3(t)≤103,-103≤y4(t)≤103,-103≤r(t)≤103。對(duì)于姿態(tài)控制器來說,由于控制目標(biāo)是俯仰角和橫滾角,對(duì)俯仰角速度和橫滾角速度不做控制,所以誤差權(quán)矩陣S=diag(10,10,0,0),控制權(quán)矩陣T=diag(0.5,0.5),預(yù)測(cè)時(shí)域Np=10,控制時(shí)域Nc=2。根據(jù)多參數(shù)二次規(guī)劃算法,可得此優(yōu)化問題的分區(qū),一個(gè)有544個(gè)分區(qū),進(jìn)行簡(jiǎn)化合并以后最終有526個(gè)分區(qū)。x5和r1,r2的二維分區(qū)情況如下:

圖3 二維分區(qū)情況

在matlab的Simulink中進(jìn)行仿真,并和反演PID控制器進(jìn)行對(duì)比。反演PID控制參數(shù)如下:

A1=diag(4,4),A2=diag(4,4),

A3=diag(8,8),A4=diag(4,5),

A5=diag(6,4),A6=diag(2,4),

A7=diag(1,1,1,1)

用EMPC控制器和反演PID控制器對(duì)四旋翼飛行器姿態(tài)角的階躍響應(yīng)控制如圖4～7所示。

圖4 EMPC控制器俯仰角響應(yīng)曲線

圖5 EMPC控制器滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線

圖6 PID控制器俯仰角響應(yīng)曲線

圖7 PID控制器滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線

圖4和5為EMPC控制器仿真效果,圖6和7為PID控制的仿真效果?？梢钥闯?EMPC控制具有較小的超調(diào)量和較短的調(diào)整時(shí)間。相比EMPC控制,PID控制具有較大的超調(diào)量和較長(zhǎng)的調(diào)整時(shí)間。EMPC控制器的效果優(yōu)于PID控制器,是因?yàn)镻ID控制中控制信號(hào)的產(chǎn)生是根據(jù)當(dāng)前產(chǎn)生的控制偏差,由于時(shí)延的存在,信號(hào)的遲滯使得控制信號(hào)不能及時(shí)跟蹤真實(shí)的系統(tǒng)偏差,導(dǎo)致較大的控制量,引起了輸出信號(hào)較大的波動(dòng)。相比之下,EMPC 控制充分考慮了系統(tǒng)存在的時(shí)間延時(shí),能夠直接根據(jù)系統(tǒng)模型產(chǎn)生控制輸入,檢測(cè)的輸出信號(hào)僅用來補(bǔ)償系統(tǒng)預(yù)測(cè)偏差。因此,EMPC控制具有較小的波動(dòng)量和較好的控制效果。

4 結(jié)論

提出了一種顯式模型預(yù)測(cè)控制方法,用于設(shè)計(jì)帶約束的多輸入多輸出四旋翼飛行器控制系統(tǒng),解決了傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制需要在線優(yōu)化,計(jì)算量大的問題。此算法也適合在嵌入式系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn),有一定的實(shí)際應(yīng)用前景。首先建立四旋翼飛行系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,并將其解耦,有效減少計(jì)算量,提高控制精度。然后,采用多參數(shù)二次規(guī)劃法,離線計(jì)算了四旋翼飛行系統(tǒng)的顯式最優(yōu)控制律,在線查找當(dāng)前狀態(tài)對(duì)應(yīng)的控制量。最后和傳統(tǒng)PID控制算法進(jìn)行仿真對(duì)比。結(jié)果表明,提出的方法控制性能更好。四旋翼飛行器的姿態(tài)角響應(yīng)時(shí)間非常小,在四旋翼飛行系統(tǒng)姿態(tài)控制中的具有可行性和有效性。