蔡立鋒 吳凌九 張國云 李 智 李冰冰 孫振江

中國西安衛(wèi)星測控中心,航天器在軌故障診斷與維修重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710043

0 引言

隨著低軌航天器日益增多,尤其是我國低軌互聯(lián)網(wǎng)星座計(jì)劃實(shí)施以后,在軌航天器的碰撞規(guī)避事件將快速增長[1-2]。這就要求地面衛(wèi)星操控中心快速確定規(guī)避控制最優(yōu)策略。由于衛(wèi)星控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、載荷應(yīng)用、測站可見性等約束,絕大多數(shù)規(guī)避控制均是實(shí)施一次單脈沖切向控制。單脈沖切向控制規(guī)避策略需要確定碰撞交會(huì)前的控制時(shí)刻和控制量兩個(gè)變量,實(shí)現(xiàn)控后兩星最近距離大于某一安全距離;其中控制時(shí)刻是由測控條件、衛(wèi)星載荷應(yīng)用需求、衛(wèi)星平臺(tái)工作狀況、地面工作規(guī)劃等諸多條件約束,控制量要求盡可能小,以減少燃料消耗,盡量少偏離衛(wèi)星工作軌道。本文研究單脈沖切向碰撞規(guī)避最小控制量確定方法。

碰撞規(guī)避方式按照交會(huì)目標(biāo)軌道測量手段分為近距離自主測量和地面測量兩種。文獻(xiàn)[3]研究了在地面預(yù)警的基礎(chǔ)上,通過星上自主測量設(shè)備在交會(huì)前十幾秒開始測量兩星相對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù),通過機(jī)動(dòng)改變交會(huì)時(shí)刻視線轉(zhuǎn)率的方式規(guī)避碰撞風(fēng)險(xiǎn),雖然近距離自主測量精度較高,但是軌道機(jī)動(dòng)后軌道位置演化的時(shí)間太短,目前仍需要消耗更多的燃料,且會(huì)增加星上負(fù)擔(dān)。所以目前碰撞規(guī)避仍是依賴地面測量數(shù)據(jù)提前較長時(shí)間進(jìn)行規(guī)避機(jī)動(dòng)的方式。

地面提前規(guī)避有高度規(guī)避方法和沿跡規(guī)避方法。文獻(xiàn)[4-7]研究了受威脅衛(wèi)星機(jī)動(dòng)后自身在高度或沿跡方向上的變化,未考慮受威脅衛(wèi)星不機(jī)動(dòng)軌道、機(jī)動(dòng)軌道、威脅目標(biāo)三者在空間的位置關(guān)系,以及機(jī)動(dòng)控制量與規(guī)避距離的單調(diào)性問題。文獻(xiàn)[8]基于相對(duì)位置速度的線性方程研究了提前幾軌點(diǎn)火機(jī)動(dòng)的優(yōu)化問題,但是對(duì)衛(wèi)星的機(jī)動(dòng)能力和燃料消耗要求較高。

規(guī)避策略的確定還涉及到碰撞風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方法問題,碰撞風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方法分為Box區(qū)域方法(Box Method)和碰撞概率兩種方法。碰撞概率方法計(jì)算兩目標(biāo)碰撞的概率,需要獲知兩目標(biāo)在交會(huì)時(shí)刻的位置誤差協(xié)方差矩陣,通過減少碰撞概率進(jìn)行規(guī)避策略的確定,理論上已有很多研究[9-13]。在實(shí)際工程應(yīng)用中,仍主要采用Box區(qū)域方法作為規(guī)避控制安全門限。由于對(duì)空間目標(biāo)的確定和預(yù)報(bào)均存在一定的誤差,Box區(qū)域方法就是設(shè)定危險(xiǎn)目標(biāo)的接近范圍,當(dāng)最小接近距離小于該范圍,就提前實(shí)施控制,使得最小接近距離大于該范圍。本文推導(dǎo)了小偏心率軌道衛(wèi)星切向控制后的軌道相對(duì)原軌道的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程,分析空間接近幾何關(guān)系,給出Box區(qū)域方法限定的空間接近距離和交垂線方向距離約束情況下控制時(shí)刻對(duì)應(yīng)的最小控制量的計(jì)算方法和函數(shù)曲線,證明控制量與規(guī)避距離的單調(diào)性關(guān)系,并討論控制時(shí)刻對(duì)控制效果的敏感性。

1 控后相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

假設(shè)t0時(shí)刻獲知某衛(wèi)星A與空間飛行物體B有碰撞風(fēng)險(xiǎn),在交會(huì)時(shí)刻ts最小接近距離為d,或者兩星速度交垂線方向(兩星交會(huì)時(shí)刻速度的叉乘方向)最小距離為h,小于對(duì)應(yīng)的允許門限值d0或者h(yuǎn)0,需要提前在tc時(shí)刻對(duì)A星實(shí)施單脈沖切向控制,以實(shí)現(xiàn)在交會(huì)點(diǎn)d≥d0或者h(yuǎn)≥h0。設(shè)a、e、w和f分別為衛(wèi)星軌道半長軸、偏心率、近地點(diǎn)輻角和真近點(diǎn)角,e1=ecosw,e2=esinw,衛(wèi)星距升交點(diǎn)的角距為θ=w+f。假設(shè)在tc時(shí)刻,實(shí)施了切向脈沖控制,半長軸控制量為δa,則同時(shí)對(duì)軌道半長軸a和偏心率e的改變效果為[14]:

(1)

式中:θc為控制時(shí)刻的θ。定義衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系oXYZ,Z軸由衛(wèi)星質(zhì)心指向地心,X軸在軌道平面內(nèi)與Z軸垂直,指向衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的方向,Y軸與Z、X軸成右手螺旋關(guān)系。設(shè)實(shí)施控制后的衛(wèi)星為A1星,設(shè)A1相對(duì)于A星在A星軌道坐標(biāo)系中相對(duì)位置為ρ=[xyz]T,則[15]:

(2)

式中:r是衛(wèi)星徑向距離,r0是A星徑向距離。設(shè)小偏心率情況下,e和地球帶諧項(xiàng)J2同一量級(jí),則式(2)θ展開式為:

θ=λ+2esinM+o(e2)=λ+
2e1sinλ-2e2cosλ+o(e2)

(3)

式中:λ=w+M,M為平近點(diǎn)角。一階近似情況下,可以將式(2)中δθ和δr表示如下:

(4)

式中:a0是A星平半長軸。一般控制量δa為1km量級(jí),一階近似下δλ可以表示為:

(5)

(6)

當(dāng)t=ts,式(6)即為交會(huì)時(shí)刻ts時(shí),A1與A星的相對(duì)位置。設(shè)θs為控交會(huì)時(shí)刻的θ值,u=θs-θc為從控制時(shí)刻tc到交會(huì)時(shí)刻ts衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度,以下稱相位差。將式(1)代入式(6),并利用近似關(guān)系n(ts-tc)=u,可得:

(7)

在A星軌道坐標(biāo)系中觀察,A星不動(dòng),飛行物體B與A星接近。對(duì)于絕大多數(shù)碰撞規(guī)避事件,相互接近的A、B兩星星軌道面相差并不很小,在相互接近的短暫時(shí)間內(nèi),兩星相對(duì)速度較大,可以視為在相互接近的幾秒鐘時(shí)間內(nèi),B在A星軌道坐標(biāo)系中進(jìn)行直線運(yùn)動(dòng),則接近最小距離即為A星與該直線的最近距離?，F(xiàn)在定義接近坐標(biāo)系。設(shè)在互相接近的短暫時(shí)間內(nèi),A星的速度矢量為vA,B星的速度矢量為vB,定義接近坐標(biāo)系oXjYjZj的Zj軸為vA×vB所確定的方向,Xj軸為vA確定的方向。接近坐標(biāo)系是A星軌道坐標(biāo)系繞Y軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度β,使得新的X軸與vA重合,再繞新的Y軸旋轉(zhuǎn)α角得到。設(shè)軌道坐標(biāo)系到接近坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為Loj,則:

(8)

實(shí)際上β即為衛(wèi)星沿軌道飛行的飛行角,可由開普勒根數(shù)表示為[14]:

(9)

可見,在小偏心率情況下,cosβ≈1,sinβ=o(e)。角α可以由接近坐標(biāo)系定義的方向余弦及式(9)確定的角β得到。

由式(7)可知,接近坐標(biāo)系下,A1星相對(duì)于A星的位置向量PA1為:

(10)

式中:S為:

(11)

問題變?yōu)榍蠼釧1星相對(duì)于A星空間橢圓軌跡,與B星在接近坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)直線之間的最小距離的問題。

2 最優(yōu)策略確定方法

2.1 最近距離約束情況下的最小控制量確定

B星相對(duì)于A的速度在慣性坐標(biāo)系表示為vBi-vAi;設(shè)交會(huì)時(shí)刻A、B星在慣性系中的位置為分別為PAi、PBi,則B星相對(duì)于A星速度和位置轉(zhuǎn)換到接近坐標(biāo)系為:

(12)

(13)

以下將d(u,δa)稱為接近距離。允許的接近距離為d0,求解方程d-d0=0的根,即可求得對(duì)應(yīng)的半長軸控制量δa和相位差u,相位差u對(duì)應(yīng)著唯一的控制時(shí)刻tc?，F(xiàn)固定某控制時(shí)刻,討論對(duì)應(yīng)的控制量與接近距離的關(guān)系。此時(shí)有:

(14)

定義函數(shù)撇號(hào)上標(biāo)表示對(duì)δa求導(dǎo),由式(10)可知R′=S,v隨δa的變化與β角有關(guān),由式(9)可知,小偏心率情況且δa為km量級(jí)情況下,可以近似認(rèn)為v′=0,對(duì)式(14)的δa求導(dǎo)可得:

(15)

先對(duì)交會(huì)前一段時(shí)間的控制時(shí)刻進(jìn)行遍歷,通過式(14)和(15),使用牛頓迭代法可以很快計(jì)算得到滿足d-d0=0的條件的每個(gè)控制時(shí)刻tc對(duì)應(yīng)的控制量δau。

下面證明解的單調(diào)性。令式(15)的d′=0,對(duì)應(yīng)的控制量為:

(16)

可見,極值δam是唯一的。設(shè)δam對(duì)應(yīng)的接近距離為dm。由(dd′)′=d′d′+d″d可得在δam處,有:

(17)

式(17)說明d(δa)在δam處為最小值,僅當(dāng)d>dm才有解δau,且一個(gè)d對(duì)應(yīng)的解δau必然是成對(duì)出現(xiàn)的。規(guī)避控制的目標(biāo)必然要求d≥d0>d(δau=0)≥dm。因此當(dāng)控制量δa的絕對(duì)值|δa|大于|δau|時(shí),其對(duì)應(yīng)的接近距離d(δa)一定大于允許的接近距離d0,|δau|即是tc時(shí)刻控制且滿足接近距離大于允許接近距離d0的最小控制量。

2.2 最近交垂線約束情況下的最小控制量確定

上面討論了通過接近距離隔離,下面討論通過交垂線距離隔離?？臻g交會(huì)接近的兩顆衛(wèi)星,在速度方向上誤差傳播較快,且誤差較大;而與兩顆衛(wèi)星速度都垂直的方向上誤差較小,因此交垂線方向隔離允許的最小距離較小。交垂線的方向即為接近坐標(biāo)系中的Zj軸方向,設(shè)式(12)中PB的Zj分量為PBz,而A1星相對(duì)于A星在Zj方向的分量為式(10)的Zj分量,則A1星相對(duì)于B星在Zj方向的距離為:

(18)

3 算例校驗(yàn)及控制時(shí)刻的敏感性分析

現(xiàn)在以一個(gè)算例來說明單批次切向脈沖最優(yōu)規(guī)避策略的計(jì)算方法。設(shè)ts時(shí)刻A、B兩星相對(duì)距離最近,A、B兩星均為近圓軌道,軌道高度為500km附近。設(shè)B星在A星的接近坐標(biāo)系中的相對(duì)位置和速度分別為PB=[PBxPByPBz]T,vB=[vBxvByvBz]T,如表1所示。

表1 兩星碰撞預(yù)警信息

在接近坐標(biāo)系中,A1星、A星和B星在交會(huì)點(diǎn)的空間幾何關(guān)系如圖1表示。圖中A點(diǎn)表示A星的位置,B點(diǎn)表示B星的位置,波動(dòng)曲線由式(10)確定,表示A1星在不同控制時(shí)刻tc對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔ts-tc的位置變化,圖中的A1點(diǎn)表示在交會(huì)時(shí)刻前24小時(shí)實(shí)施了半長軸增加0.05km的切向單脈沖控制后,A1星運(yùn)行至交會(huì)點(diǎn)時(shí)刻的位置。在交會(huì)點(diǎn)附近,B星相對(duì)A星作直線運(yùn)動(dòng),BC為B星的直線運(yùn)動(dòng)軌跡,AB⊥BC,是不控情況下,A、B兩星的最近距離;CA1⊥BC,是提前24h時(shí)刻進(jìn)行切向脈沖控制,半長軸增加0.05km情況下,A1、B兩星的接近距離;A1點(diǎn)的坐標(biāo)是(-7.08,0,-0.001)。由于BC與A星的切向運(yùn)動(dòng)方向夾角較小,所以雖然單脈沖控制情況下在切向方向改變了7.08km,但是接近距離僅為2.55km。如果兩星相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向夾角更小,會(huì)出現(xiàn)控制量已經(jīng)很大,且很早實(shí)施了控制,仍不能在接近距離上規(guī)避碰撞風(fēng)險(xiǎn)的情況。有時(shí)候,可能更適合考慮在Zj方向即雙星速度矢量的交垂線方向進(jìn)行規(guī)避控制。

圖1 接近場景示意圖

首先,假設(shè)允許接近距離d0=2km。由式(13)和(14),用牛頓迭代法計(jì)算不同控制時(shí)刻對(duì)應(yīng)的最小控制量的δa-t函數(shù)曲線(圖2)。圖2繪制了d0=1.8km、2km和2.2km三個(gè)允許接近距離對(duì)應(yīng)的δa-t曲線。其次,假設(shè)允許的最小交垂線距離h0=100m,由式(18)計(jì)算不同控制時(shí)刻和控制量的函數(shù)曲線(圖3)。圖3繪制了h0=90m、100m和110m三個(gè)允許最小交垂線距離對(duì)應(yīng)的δa-t曲線?？梢钥吹角€分為左右兩支,同一控制時(shí)刻,對(duì)應(yīng)正負(fù)2個(gè)控制量。

圖2 最小接近距離約束δa-t曲線

圖3 最小交垂線距離約束δa-t曲線

為便于分析,將圖2和3合并繪制如圖4。圖4中實(shí)線即表示每一控制時(shí)刻,分別由距離約束和交垂線約束確定的控制量中的較小值。據(jù)圖4,可以確定滿足規(guī)避約束條件的最小控制策略。首先確定控制時(shí)刻?？紤]載荷應(yīng)用、測控條件、衛(wèi)星狀況的諸多工程約束條件的限制,結(jié)合圖4給出的δa-t曲線,確定控制時(shí)刻。其次確定控制時(shí)刻對(duì)應(yīng)的最優(yōu)控制量。半長軸機(jī)動(dòng)方向受衛(wèi)星推力器的安裝位置和衛(wèi)星姿控設(shè)計(jì)約束,為了節(jié)省燃料及盡量少偏離衛(wèi)星工作軌道,半長軸控制量一般越小越好。圖4中標(biāo)出了A、a、B、b四個(gè)點(diǎn),A、a縱坐標(biāo)為交會(huì)前21小時(shí)的控制時(shí)刻,B、b縱坐標(biāo)為交會(huì)前12小時(shí)的控制時(shí)刻。橫坐標(biāo)分別為對(duì)應(yīng)時(shí)刻實(shí)施控制的最優(yōu)控制量。在交會(huì)前21小時(shí)實(shí)施控制,會(huì)有A、a兩個(gè)控制點(diǎn),控制量分別為-39.3m和46.0m。從節(jié)省燃料和盡量少偏離衛(wèi)星工作軌道的角度選擇A點(diǎn)為最優(yōu)控制點(diǎn),即降低半長軸39.3m。如果因?yàn)樾l(wèi)星推力器設(shè)計(jì)不便于降低半長軸控制,可以采取抬高半長軸46.0m的策略;此時(shí)主要采取距離隔離的方式進(jìn)行規(guī)避。在交會(huì)前12小時(shí)實(shí)施控制,會(huì)有B、b兩個(gè)控制點(diǎn),控制量分別為27.2m和-69.1m。從節(jié)省燃料和盡量少偏離衛(wèi)星工作軌道的角度選擇B點(diǎn)為最優(yōu)控制點(diǎn),即抬高半長軸27.2m;此時(shí)主要采取交垂線方向隔離的方式進(jìn)行規(guī)避。將以上A、a、B、b四個(gè)點(diǎn)的控制策略采用高精度軌道控制及預(yù)報(bào)模型進(jìn)行驗(yàn)證,滿足距離隔離和交垂線隔離的要求,且是對(duì)應(yīng)的最小控制量。

圖4 接近安全約束下δa-t曲線

圖5 控制時(shí)刻與接近距離函數(shù)曲線

對(duì)于交垂線隔離的情況,由式(18)可見,當(dāng)相位差uk=(2k+1)π時(shí),交垂線隔離距離需要的控制量最小。圖4中B點(diǎn)確定的控制量為27.2m,在該控制量情況下,控制時(shí)刻與交垂線距離的關(guān)系如圖6,圖中星號(hào)表示的相位差是uk=(2k+1)π對(duì)應(yīng)的控制時(shí)刻。

圖6 控制時(shí)刻與交垂線距離函數(shù)曲線

4 結(jié)論

針對(duì)低軌航天器碰撞規(guī)避單脈沖切向最小控制量確定問題,采用相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)理論方法,推導(dǎo)單脈沖切向控制情況下控后軌道與不控軌道的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。定義了接近坐標(biāo)系,在該坐標(biāo)系中分析了碰撞預(yù)警交會(huì)點(diǎn)附近的相對(duì)幾何關(guān)系,討論了在最小接近距離約束、最小交垂線距離約束兩種情況下,指定控制時(shí)刻對(duì)應(yīng)的最小單脈沖切向規(guī)避控制量的確定方法,證明了控制量與規(guī)避距離的單調(diào)性關(guān)系。最后,通過算例給出了工程上可以應(yīng)用的最小控制量確定流程,并討論了控制時(shí)刻對(duì)控制效果的敏感性問題。分析表明,僅考慮對(duì)距離約束影響效果情況下選擇控制時(shí)刻,在實(shí)施接近距離約束控制時(shí),當(dāng)控制點(diǎn)相位在交會(huì)點(diǎn)相位前后20分鐘內(nèi),對(duì)接近距離的敏感性較小;當(dāng)實(shí)施交垂線距離約束控制時(shí),在距離交會(huì)點(diǎn)相位差180°位置控制,交垂線距離拉開效果最好;在控制時(shí)刻確定的情況下,前述兩種距離約束確定的最小控制量是唯一的。大于該控制量的控制,均會(huì)使接近距離或者交垂線距離更大,滿足預(yù)警解除的要求。以上單脈沖切向碰撞規(guī)避最小控制量的確定方法,可以適用于未來大數(shù)量在軌衛(wèi)星對(duì)于日益增多的碰撞規(guī)避控制策略的需求,即僅需要交會(huì)點(diǎn)的空間接近信息和主星的空間速度信息,就可快速確定單脈沖切向規(guī)避最優(yōu)控制量。