廣東省廣州市第二中學(xué)(510000) 孫曉榮

1 問題的提出

代數(shù)模塊的學(xué)習(xí)始終貫穿小學(xué)—初中—高中三個(gè)學(xué)段,它是研究數(shù)、數(shù)量、關(guān)系、結(jié)構(gòu)與代數(shù)方程(組)的通用解法及其性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支.中學(xué)數(shù)學(xué)以及現(xiàn)代數(shù)學(xué)中很多問題需要借助代數(shù),如函數(shù),方程與不等式等為工具來解決,其成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算,抽象概括,邏輯推理,數(shù)學(xué)建模以及問題解決等核心素養(yǎng)的重要載體.

2019年2月18日黨中央、國(guó)務(wù)院同意正式公開發(fā)布《粵港澳大灣區(qū)發(fā)展規(guī)劃綱要》[1],這份綱領(lǐng)性文件中提出要打造粵港澳大灣區(qū)教育和人才高地.關(guān)于基礎(chǔ)教育方面,提出要加強(qiáng)基礎(chǔ)教育交流合作.基于這樣的現(xiàn)實(shí)需要,現(xiàn)以粵港澳三地最新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為研究對(duì)象,針對(duì)“數(shù)與代數(shù)”模塊為主題,主要從學(xué)習(xí)要求方面進(jìn)行比較研究,以期在對(duì)比中得到一些啟示,從而對(duì)我們正在進(jìn)行的課程改革提供一定的參考.

2 研究對(duì)象與方法

2.1 研究地區(qū)和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)版本的選擇

廣東地區(qū)是基礎(chǔ)教育改革的重要地區(qū), 目前采用的是2020年6月發(fā)布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》),該版本是在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的基礎(chǔ)上,基于2018年9月全國(guó)教育大會(huì)和2019年10月十九屆四中全會(huì)對(duì)教育改革的體系建設(shè)和目標(biāo)方向提出的新要求而修訂的.我國(guó)香港特區(qū)采用的是香港課程發(fā)展議會(huì)與香港考試及評(píng)核局于2018年3月修訂的《數(shù)學(xué)課程及評(píng)估指引(中四至中六)》(以下簡(jiǎn)稱《指引》).我國(guó)澳門特區(qū)采用的是澳門教育青年局在2014年公布, 并于17-18 學(xué)年實(shí)行的《澳門高中數(shù)學(xué)學(xué)力基本要求》(以下簡(jiǎn)稱《要求》).

2.2 研究?jī)?nèi)容與方法

針對(duì)三地課標(biāo)中對(duì)高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的描述,我們主要對(duì)“函數(shù)”,“數(shù)與數(shù)系”,“代數(shù)式,方程與不等式”與“數(shù)列”四大知識(shí)單元的內(nèi)容進(jìn)行比較研究.通過梳理共同點(diǎn)與差異,為“新課標(biāo)”的實(shí)施提供思考和啟示.研究主要采用比較、內(nèi)容分析等研究方法.

3 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“數(shù)與代數(shù)”模塊的比較與分析

3.1 粵港澳三地“函數(shù)”部分的比較

粵港澳三地的課程標(biāo)準(zhǔn)中,函數(shù)內(nèi)容發(fā)展的主線基本相同: 定義—性質(zhì)—基本初等函數(shù),其中基本初等函數(shù)包括指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù).

表1 必修課程中函數(shù)單元的結(jié)構(gòu)比較

(1)粵港澳三地分別從運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn),用集合語言與對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù),建立完整的函數(shù)概念,體會(huì)集合語言與對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念的作用,了解構(gòu)成函數(shù)的三要素.粵澳兩地均強(qiáng)調(diào)在實(shí)際情境和具體實(shí)例中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).粵地區(qū)則更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的觀點(diǎn),能用函數(shù)構(gòu)建模型,解決問題.

對(duì)于分段函數(shù), 粵澳兩地均提出了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù),并能直接應(yīng)用,而香港地區(qū)對(duì)分段函數(shù)無具體要求.

關(guān)于反函數(shù),澳門要求學(xué)生理解反函數(shù)的概念,并理解指數(shù)函數(shù)y=ax(a ＞0,a≠ 1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y= logax(a ＞0,a≠ 1)互為反函數(shù),而粵港兩地對(duì)反函數(shù)的要求不高,廣東只要求學(xué)生知道指數(shù)函數(shù)y=ax(a ＞0,a≠ 1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y= logax(a ＞0,a≠ 1)互為反函數(shù),不要求一般地討論反函數(shù)的形式化定義.香港則未提“反函數(shù)”的概念,但有明確要求學(xué)生知道y=ax與y= logax對(duì)稱于y=x.顯然,澳門對(duì)“反函數(shù)”的學(xué)習(xí)要求更高,注重強(qiáng)調(diào)反函數(shù)的定義域和值域正好是原函數(shù)的值域與定義域.

(2)粵《標(biāo)準(zhǔn)》更注重學(xué)生掌握運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求解方程近似解的基本方法(二分法),理解函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程,和運(yùn)用模型思想發(fā)展和提出問題,分析和解決問題.香港在“續(xù)函數(shù)圖像”明確把“從表列、符號(hào)和圖像的角度理解函數(shù)的平移和伸縮變換”作為學(xué)習(xí)重點(diǎn),粵澳兩地均無明確要求.

(3)粵港澳三地都要求學(xué)生重點(diǎn)認(rèn)識(shí)二次函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),理解并認(rèn)識(shí)以上各類函數(shù)的定義,性質(zhì)及圖像.香港地區(qū)只要求學(xué)生理解二次函數(shù)的圖像特征,對(duì)一般冪函數(shù)的的學(xué)習(xí)無具體要求.廣東地區(qū)的要求也只是了解冪函數(shù),結(jié)合的圖像,理解它們的變化規(guī)律.而澳門對(duì)冪函數(shù)的概念及上述函數(shù)圖像的圖像和性質(zhì)均為理解,要求比粵港兩地要高.

結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)教學(xué)內(nèi)容要求層次的劃分方式,并參考布盧姆教育目標(biāo)分類學(xué),本文按認(rèn)知要求維度的分類為: 了解、理解、掌握與靈活運(yùn)用,并在統(tǒng)計(jì)時(shí)規(guī)定水平權(quán)重分別為1、2、3、4.在香港《指引》中出現(xiàn)“欣賞”的認(rèn)知要求,在記錄時(shí)劃分為“了解”層次.下面著重對(duì)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的內(nèi)容做一個(gè)比較分析:

表2 粵港澳三地指數(shù)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)及認(rèn)知要求的統(tǒng)計(jì)

粵港澳三地對(duì)指數(shù)函數(shù)部分設(shè)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)數(shù)差不多,但還是存在一些小差別.一是粵港兩地在課程設(shè)置時(shí)均是遵從“指數(shù)冪—指數(shù)函數(shù)”,“對(duì)數(shù)—對(duì)數(shù)函數(shù)”,而澳門是在“學(xué)習(xí)組別A-2: 數(shù)與式”中統(tǒng)一學(xué)習(xí)了“指數(shù)冪、根式和對(duì)數(shù)”的概念,并充分理解其運(yùn)算后,才在“學(xué)習(xí)組別A-5: 函數(shù)”中依次進(jìn)行“指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)”的學(xué)習(xí).二是澳門比粵港兩地多了“根式的性質(zhì)”及“根式的運(yùn)算”的學(xué)習(xí),澳門要求能對(duì)含有無理數(shù)的分式進(jìn)行化簡(jiǎn),能用公式進(jìn)行無理數(shù)和根式之間的四則運(yùn)算,能對(duì)分母中含有的式子進(jìn)行化簡(jiǎn),可見澳門更重視代數(shù)的恒等變換;三是粵澳兩地都提出結(jié)合實(shí)例了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景,體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一種重要的數(shù)學(xué)模型,而廣東更重視指數(shù)函數(shù)圖像的發(fā)展態(tài)勢(shì),要求能結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題,理解“指數(shù)爆炸”的現(xiàn)實(shí)含義,如人口增長(zhǎng)問題等.而香港則在高中必修課程延伸部分的單元一(微積分與統(tǒng)計(jì))中把“指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用”列為重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容,還提出學(xué)生須解包括復(fù)利息、人口增長(zhǎng)和放射性元素的衰變有關(guān)的應(yīng)用題.

表3 粵港澳三地對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)及認(rèn)知要求的統(tǒng)計(jì)

不難發(fā)現(xiàn),粵澳兩地對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)要求均低于指數(shù)函數(shù),而香港對(duì)兩者的學(xué)習(xí)要求維持穩(wěn)定,而澳門在“學(xué)習(xí)組別A-2: 數(shù)與式”中明確要求理解對(duì)數(shù)概念與指數(shù)概念的對(duì)應(yīng)關(guān)系,掌握兩者的相互轉(zhuǎn)化,這也為澳門對(duì)“反函數(shù)”較高的認(rèn)知要求做了鋪墊.

(4)從課程標(biāo)準(zhǔn)上看,粵港兩地均把三角函數(shù)部分納入代數(shù)范疇去討論, 用函數(shù)觀點(diǎn)處理三角函數(shù), 借助正弦、余弦、正切等三角函數(shù)圖像,了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性,而澳門把三角函數(shù)放在幾何范疇,作為學(xué)習(xí)組別的“B-5 三角”系統(tǒng)的某一部分,這樣的設(shè)置更加系統(tǒng),突出三角學(xué)自身的內(nèi)在聯(lián)系和性質(zhì),把三角和它的幾何應(yīng)用聯(lián)系起來,而廣東則是把正,余弦定理設(shè)置在平面向量的章節(jié).香港其實(shí)把正余弦函數(shù)和正切函數(shù)放在必修的“續(xù)三角學(xué)”部分,并同時(shí)設(shè)置了利用代數(shù)方法和圖解法解三角方程,以作為三角函數(shù)的應(yīng)用,而粵澳兩地在必修中設(shè)置的復(fù)角公式等內(nèi)容,香港則把它放在了選修課程單元二的基礎(chǔ)知識(shí)中的“續(xù)三角函數(shù)”部分.

從下表可以看出, 香港在三角部分的知識(shí)點(diǎn)涉及更多,深度更大,一旦學(xué)生選擇了延伸課程單元二的學(xué)習(xí),則必須要掌握余割、正割和余切函數(shù),那么相對(duì)應(yīng)的同角三角函數(shù)關(guān)系就多了1+tan2θ= sec2θ和1+cot2θ= csc2θ,同時(shí)還需要理解正、余弦函數(shù)的和積互化,而粵澳兩地均未涉及這些知識(shí)點(diǎn)的教學(xué).但香港地區(qū)對(duì)知識(shí)點(diǎn)y=Asin(ωx+φ)的圖像及性質(zhì)并不涉及.

表4 粵港澳三地三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)及認(rèn)知要求的統(tǒng)計(jì)

澳門比粵港兩地更注重公式的推導(dǎo)和熟練運(yùn)用,對(duì)兩角和差的正余弦公式和倍角公式更是要求“掌握”并能“熟練應(yīng)用”,而廣東明顯對(duì)三角函數(shù)部分做了精簡(jiǎn),無反三角函數(shù)和三角方程的學(xué)習(xí),只在同角三角函數(shù)關(guān)系處要求理解,而在誘導(dǎo)公式及三角恒等變換處只要求經(jīng)歷推導(dǎo)過程,知道公式并明確不要求記憶.

在應(yīng)用層面,粵《標(biāo)準(zhǔn)》更注重利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型,而港澳更側(cè)重于三角學(xué)的幾何應(yīng)用.

3.2 粵港澳三地“數(shù)與數(shù)系”部分的比較

在“數(shù)與數(shù)系”部分,我們主要比較三地對(duì)“復(fù)數(shù)”內(nèi)容學(xué)習(xí)深度,其中香港要求最低,只需學(xué)生“欣賞復(fù)數(shù)系的發(fā)展,進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減、乘和除運(yùn)算”;廣東要求稍高,除對(duì)復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運(yùn)算有要求外,還需要學(xué)生理解復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義和兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義;澳門是從復(fù)平面的構(gòu)造出發(fā)引出復(fù)數(shù),要求學(xué)生從不同角度理解復(fù)數(shù),如復(fù)數(shù)的向量形式和三角形式,還要求學(xué)生認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)的三角形式以及復(fù)數(shù)的乘除、乘方和開方運(yùn)算,體會(huì)其帶來的方便.

3.3 粵港澳三地“式”、“方程”與“不等式”部分的比較

香港在必修課程中“數(shù)與代數(shù)范疇”有專門的學(xué)習(xí)單位“續(xù)多項(xiàng)式”,要求“進(jìn)行多項(xiàng)式除法”,“理解余式定理和因式定理”,“理解最大公因式和最小公倍式的概念”“進(jìn)行有理函數(shù)(代數(shù)分式)的加減乘除”.澳門在必修“學(xué)習(xí)組別A-2數(shù)與式”部分對(duì)“式”的要求更加系統(tǒng),除了“理解多項(xiàng)式的概念,了解綜合除法,理解余式定理”,還要“了解多項(xiàng)式的基本定理”,“運(yùn)用數(shù)值代入法和比較系數(shù)法求待定系數(shù)”,“了解立方和與差的公式”及“體會(huì)多項(xiàng)式知識(shí)在求解方程的根中的應(yīng)用”,并且澳門把“指數(shù)冪,根式與對(duì)數(shù)”的學(xué)習(xí)統(tǒng)一在該組別學(xué)習(xí).而廣東在高中課程中沒有單獨(dú)的模塊學(xué)習(xí)“式”.

三地在“方程”部分的差異主要是內(nèi)容的廣度,因?yàn)閺V東主要在初中安排“方程”的學(xué)習(xí), 特別是一元二次方程的解法, 二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及由已知根建立二次方程,而香港則是在高中加強(qiáng)了這一塊;廣東高中階段方程的學(xué)習(xí)主要是在初高中銜接內(nèi)容中出現(xiàn),主要是復(fù)習(xí)和熟練一元二次方程的解法,著重于從函數(shù)觀點(diǎn)理解,其他方程如指對(duì)方程,三角方程也都是在對(duì)應(yīng)函數(shù)的學(xué)習(xí)下,結(jié)合函數(shù)去理解,在《標(biāo)準(zhǔn)》中除了對(duì)一元二方程有要求,對(duì)其它方程并無具體要求.而港澳地區(qū)對(duì)方程的學(xué)習(xí)更加系統(tǒng),香港有專門的“續(xù)方程”模塊,澳門有專門的“學(xué)習(xí)組別A-3 方程”,兩地涉及方程的類型的學(xué)習(xí)更多,廣度更大,如下表所示:

表5 粵港澳三地方程類型的統(tǒng)計(jì)

廣東把“不等式”部分的內(nèi)容安排在“主題一預(yù)備知識(shí)”中,很明顯是作為銜接課程的一部分,只要求學(xué)生“從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式”“理解不等式的概念”,“掌握不等式的性質(zhì)”,“掌握基本不等式及能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大或最小值問題”,而香港的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是方程的解法的學(xué)習(xí),澳門在“學(xué)習(xí)組別A-4: 不等式”部分涉及的不等式類型更多,如下表所示:

粵澳兩地都設(shè)置了“基本不等式”的知識(shí)點(diǎn),澳門從基本不等式本身的“證明過程”到基本不等式的應(yīng)用于其他題目的證明和求解都有較高的要求;三地都很重視“一元二次不等式”,因?yàn)椤耙辉尾坏仁健笔菑V東初中階段的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容,解法已經(jīng)學(xué)習(xí)過,在高中階段更側(cè)重于從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式.港澳則側(cè)重于解法的學(xué)習(xí)(判別式法,因式分解法),而澳門和廣東都注重三個(gè)“二次”的聯(lián)系; 三地只有澳門設(shè)置了含有絕對(duì)值不等式和一元高次不等式的學(xué)習(xí),但要求較低,只需求解簡(jiǎn)單的含有絕對(duì)值不等式和了解可用“數(shù)軸”求解已進(jìn)行因式分解的一元高次不等式;港澳對(duì)二元一次不等式(組)及線性規(guī)劃都有要求,而廣東則刪減了這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí).

表6 粵港澳三地不等式類型的統(tǒng)計(jì)

3.4 粵港澳三地“數(shù)列”部分的比較

粵澳兩地都強(qiáng)調(diào)了解數(shù)列的概念及以列表、圖像、通項(xiàng)公式的表示方法,注重從函數(shù)觀點(diǎn)處理數(shù)列,粵《標(biāo)準(zhǔn)》更是把數(shù)列放在選擇性必修的“主題一函數(shù)”,目的就是希望學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)列是一種特殊的函數(shù),并“體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù),等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系”,澳門更明確要求“理解數(shù)列的遞推公式,能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),并能歸納猜想除某些數(shù)列的通項(xiàng)公式”,而廣東在《標(biāo)準(zhǔn)》并未有此要求;三地都著重于“等差數(shù)列與等比數(shù)列”的學(xué)習(xí),對(duì)其“概念,性質(zhì),通項(xiàng),求和”都需要理解并應(yīng)用,粵澳兩地更重視利用數(shù)列模型解決實(shí)際問題,在公式的學(xué)習(xí)上,廣東更注重等差、等比通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的探索過程.

4 參考與啟示

4.1 學(xué)考統(tǒng)一,要求明確

香港《指引》是香港課程發(fā)展議會(huì)與香港考試及評(píng)核局聯(lián)合制定的法定文件, 利于執(zhí)行上的學(xué)考一致, 同時(shí)港《指引》中有對(duì)“學(xué)習(xí)重點(diǎn)”的“詮釋”,對(duì)難易和復(fù)雜性作了控制,要求明確,比如會(huì)使用一些限定性的語句“只修讀基礎(chǔ)課題的學(xué)生不須簡(jiǎn)化諸如的根式”,也會(huì)提示“解諸如等較復(fù)雜方程的應(yīng)用題屬非基礎(chǔ)課題,并在學(xué)習(xí)重點(diǎn)5.4 中處理”等等.而粵《標(biāo)準(zhǔn)》由課程中心研制,廣東參加的高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試則由考試院負(fù)責(zé),比如“三角恒等變換”部分,《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出積化和差、和差化積與半角公式不要求記憶,但學(xué)生面臨的問題就是,不記憶公式,看似降低了學(xué)習(xí)難度,實(shí)際上更讓他們感到困惑,因?yàn)榭荚囈笤谶@一部分并不低.同樣有此問題的還有“不等式”部分,《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“基本不等式”地要求是“能解決簡(jiǎn)單的最大或最小值問題”,但實(shí)際學(xué)生遇到的問題并不簡(jiǎn)單,甚至很難.如何使得“學(xué)”和“考”統(tǒng)一協(xié)調(diào)? 還是有值得改進(jìn)的地方.

4.2 重視銜接課程,體現(xiàn)連貫性

粵港澳三地都很重視初高中的銜接,澳門的銜接課程比較注重基礎(chǔ)計(jì)算能力的訓(xùn)練,澳門對(duì)高中涉及的“數(shù)與式”做了統(tǒng)一的學(xué)習(xí)組別,為后續(xù)的運(yùn)算做準(zhǔn)備;香港《指引》在基礎(chǔ)課程部分由淺入深,邏輯聯(lián)系和整體性較強(qiáng),比如學(xué)生熟悉的“一元二次方程”,從“因式法解方程”開始,到通過“判別式”的研究,直接引入復(fù)數(shù),對(duì)數(shù)系進(jìn)行擴(kuò)充;而粵《標(biāo)準(zhǔn)》則把“數(shù)系的擴(kuò)充”放在“主題三”中作為單獨(dú)的模塊,但實(shí)際的課程引入仍然是通過方程的解;再比如通過對(duì)一元二次方程根的幾何意義入手,進(jìn)而研究一元二次函數(shù)的圖像特征,并在此處提出重點(diǎn)要求學(xué)生會(huì)“代數(shù)方法求二次函數(shù)的極大和極小值”,而“極大(小)值”的概念在《標(biāo)準(zhǔn)》中是在選擇性必修“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”部分才提及,如果在前面學(xué)生熟悉的函數(shù)的學(xué)習(xí)中先接觸此類容易理解的高等數(shù)學(xué)的部分概念,學(xué)生是否在建立知識(shí)框架的時(shí)候更為連貫與清晰?

4.3 評(píng)估“代數(shù)力”,提高運(yùn)算要求

廣東高中學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和計(jì)算能力參差不齊,“根式運(yùn)算”“立方和差公式”“綜合除法”等在實(shí)際學(xué)習(xí)過程其實(shí)都需要,但這些知識(shí)點(diǎn)在有些初中并未涉及,就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙,粵《標(biāo)準(zhǔn)》并未在這一塊做明確要求,而澳門一直重視“代數(shù)力”的培養(yǎng),統(tǒng)一在《要求》中對(duì)“數(shù)與式”做了具體的學(xué)習(xí)要求,這是值得我們參考的.