文／姜鴻雁

再復(fù)雜的問題都是由簡單的、基本的問題演變而來的。同學(xué)們只要立足基本知識和基本技能，把握基本數(shù)學(xué)思想，注意積累基本活動經(jīng)驗，便可以“以不變應(yīng)萬變”，下面以一個例子來說明。

【題根】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有A（2，-3）、B（-1，0）、C（0，-3），分析并解決下面的系列問題。

一、三個定點完成“基本框架”

【要求1】提一個關(guān)于反比例函數(shù)的問題，并解決它。

【問題1】求過點A的反比例函數(shù)表達(dá)式。

【解析】反比例函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸沒有公共點，只能通過點A提相關(guān)問題。運用待定系數(shù)法，可得反比例函數(shù)的表達(dá)式為y1=-（為了后續(xù)研究的方便，記作函數(shù)“y1”）。

【要求2】運用其中兩個點提出關(guān)于一次函數(shù)的問題，并解決它。

【問題2】求過A、B兩點的一次函數(shù)表達(dá)式。

【解析】根據(jù)一次函數(shù)的概念，可以選擇點A和點B或點B和點C，我們這里選擇求過點A和點B的一次函數(shù)表達(dá)式。運用待定系數(shù)法，不難求得y2=-x-1。

【問題3】結(jié)合問題1、2的結(jié)論，試寫出當(dāng)y1＜y2時自變量x的取值范圍。

【解析】聯(lián)立兩個函數(shù)表達(dá)式，求出兩個函數(shù)圖像的另一個公共點坐標(biāo)為（-3，2），結(jié)合函數(shù)圖像的相對位置（如圖1），可得當(dāng)x＜-3或0＜x＜2時，y1＜y2。

圖1

【說明】同學(xué)們在問題2 中，如果選擇過點B、C的一次函數(shù)表達(dá)式，除了可以提出類似的問題3，還可以提出與面積有關(guān)的問題，試試看吧！

【要求3】根據(jù)A、B、C三個點的坐標(biāo)，提出一個關(guān)于二次函數(shù)的問題，解決之后，說說你對這個二次函數(shù)及其圖像的認(rèn)識。

【問題4】求過A、B、C三點的二次函數(shù)表達(dá)式，并說明該二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)。

【解析】我們可以設(shè)一般式：y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0），代入三個點的坐標(biāo)，解關(guān)于a、b、c的方程組，即可求得函數(shù)表達(dá)式。仔細(xì)觀察三個點的坐標(biāo)特征，由A（2，-3）、C（0，-3）不難發(fā)現(xiàn)，此二次函數(shù)圖像的對稱軸是直線x=1，所以可以設(shè)頂點式：y=a（x-1）2+k，將點B、點C坐標(biāo)代入即求得a=1，k=-4，所以二次函數(shù)的表達(dá)式是y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3。如圖2，二次函數(shù)圖像開口方向向上，頂點坐標(biāo)為（1，-4），對稱軸是直線x=1。當(dāng)x＜1 時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減?。粁＞1 時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；當(dāng)x=1時，函數(shù)y有最小值為-4。進一步觀察圖像，我們還發(fā)現(xiàn)，方程x2-2x-3=0 的兩個根分別為x1=-1，x2=3；當(dāng)-1＜x＜3 時，y＜0，當(dāng)x＞3或x＜-1時，y＞0；等等。

圖2

【歸納】待定系數(shù)法是求函數(shù)表達(dá)式最基本、最重要的方法。求二次函數(shù)的表達(dá)式時，根據(jù)已知條件，選擇最合適的表達(dá)形式，可以達(dá)到事半功倍的效果。利用函數(shù)圖像分析函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)與函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式等之間的關(guān)系，可以讓這些相對抽象的數(shù)量關(guān)系在函數(shù)圖像的表征下，變得直觀而又具象。

二、一個動點猶如“源頭活水”

如圖3，若問題4 中的二次函數(shù)y=x2-2x-3與x軸的另一個公共點為點D，設(shè)點M是第四象限圖像上的一個動點，過點M作y軸的平行線，交直線CD于點N，連接DM、CM。

圖3

【要求4】在點M的運動過程中，圖3中有哪些量隨之發(fā)生變化，由此，能提出什么問題并解決它？

【問題5】線段MN的長隨M點位置的變化而變化，求它的最大值。

【解析】揭示MN的長與點M位置之間的變化規(guī)律是解決問題的根本。首先，不難求得直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3；其次，設(shè)點M（m，m2-2m-3），則點N（m，m-3），得MN=-m2+3m（0＜m＜3）。MN的長與m之間是二次函數(shù)關(guān)系，配方，得，當(dāng)m=時，MN取最大值，最大值為。

【問題6】△DMC的面積隨M點運動變化而變化，求△DMC面積的最大值。

【變式1】以MN為直徑的圓與CD相交于點P，求弦NP的最大值。

圖4

【變式2】如圖5，連接BM，交直線CD于點Q，求的最大值。

圖5

【解析】因為△CQM與△CQB同高，所以。在平面直角坐標(biāo)系中，常常將不平行或不垂直于坐標(biāo)軸的線段向平行或垂直于坐標(biāo)軸的方向轉(zhuǎn)化（不妨稱為“化斜為直”）。點B、直線CD分別為確定的點、確定的直線，則過點B作y軸的平行線交直線CD于G（如圖6），不難有BG=4。易證△QNM∽△QGB，則，所以當(dāng)MN取

圖6

【歸納】點M位置的變化，導(dǎo)致線段MN的長、△DMC的面積、弦NP的長、等的變化，由此可以分別建立點M的橫坐標(biāo)與這些量之間的二次函數(shù)關(guān)系，這就是建模的過程。隨著解決問題的深入，結(jié)合相似三角形、三角函數(shù)等知識，我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)MN取最大值時，相關(guān)的量隨之取得最大值，這是化陌生為熟悉的過程，更是“會一題、通一片”的狀態(tài)。

掌握扎實的基本知識（待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、相似三角形、三角形函數(shù)等）和過硬的基本技能（識圖、構(gòu)造、運算等），靈活運用基本思想（建模、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等），注意積累基本經(jīng)驗（求MN的最大值的基本活動經(jīng)驗是本題系列變式的基礎(chǔ)）是我們學(xué)好數(shù)學(xué)的強大后盾。同學(xué)們，本題還可以提出若干問題，去試試吧！