王媛 張建剛 盛正大

摘要：本文研究了在乘性色噪聲激勵下含分數(shù)階導數(shù)項的廣義Duffing振子的隨機分岔. 首先， 利用一種回復力和阻尼力的線性組合等效替換系統(tǒng)中的分數(shù)階導數(shù)項; 其次， 對系統(tǒng)中的三次項進行線性化處理，利用最小均方誤差原理，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成整數(shù)階系統(tǒng)，由隨機平均法求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù); 最后， 通過擬不可積Hamilton系統(tǒng)隨機平均法得到系統(tǒng)不變測度的最大Lyapunov指數(shù)，并對系統(tǒng)進行隨機D-分岔和P-分岔分析. 研究發(fā)現(xiàn)，分數(shù)階導數(shù)階數(shù)、噪聲的自相關(guān)時間等參數(shù)的改變可以誘發(fā)系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔.

關(guān)鍵詞：乘性色噪聲; 分數(shù)階; 廣義Duffing振子; 隨機分岔

收稿日期： 2023-05-08

基金項目： 國家自然科學基金 （61863022）; 甘肅省自然科學基金重點項目（23JRRA882）

作者簡介： 王媛（1999-）， 女， 山西運城人， 碩士研究生， 主要研究方向為非線性動力學. E-mail： 1244468171@qq.com

通訊作者： 張建剛. E-mail： zhangjg7715776@126.com

Stochastic bifurcation analysis of generalized fractional order

van der Pol-Duffing oscillators under multiplicative color noise excitation

WANG Yuan， ZHANG Jian-Gang， SHENG Zheng-Da

（School of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

This article investigates the stochastic bifurcation of a generalized Duffing oscillator with fractional derivative term under multiplicative colored noise excitation. Firstly， a linear combination of restoring force and damping force is used to equivalently replace the fractional order derivative term in the system. Secondly， the cubic term in the system is linearized， the system is transformed into an integer order system by using the principle of minimum mean square error， the steady-state probability density function of the system is obtained by the stochastic averaging method. Finally， the maximum Lyapunov exponent of the invariant measure of the system is obtained by the stochastic averaging method of quasi-non-integrable Hamilton system， and the stochastic D-bifurcation and P-bifurcation of the system are analyzed. It is found that the changes of fractional derivative order， autocorrelation time of noise and noise intensity can induce stochastic P-bifurcation of the system.

Multiplicative colored noise; Fractional order; Generalized Duffing oscillator; Stochastic bifurcation

1 引 言

隨機分岔是在噪聲作用下非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的一種獨特的隨機動力學行為， 當非線性系統(tǒng)在隨機參數(shù)發(fā)生改變時， 系統(tǒng)形態(tài)會發(fā)生如平衡態(tài)、平衡運動、以及其他的相關(guān)漸近運動的變化. 隨機分岔有兩種分岔類型， 分別是P-分岔和D-分岔. P-分岔指的是隨著參數(shù)的變化，系統(tǒng)不變測度的概率密度函數(shù)的峰值個數(shù)、位置以及形狀發(fā)生改變， 例如從無峰變成單峰或者從單峰變成雙峰等^[1]; D-分岔指的是從一組參考測度中可以分岔出新的不變測度， 一般是用最大Lyapunov指數(shù)的正負號變化來判定.

對隨機分岔的相關(guān)研究可以追溯到上世紀八十年代， 如Arnold^[2]從數(shù)學的角度對隨機分岔進行了論述. 隨機分岔在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)^[3]、結(jié)構(gòu)工程^[4]以及生物醫(yī)學^[5]等領(lǐng)域也有了一定的研究. 近年來， 人們對隨機系統(tǒng)的分岔問題進行了研究. 如，Hu等^[6]研究了含有分數(shù)階導數(shù)阻尼項的非線性系統(tǒng)在窄帶噪聲激勵下的隨機分岔問題；吳志強等^[7]利用奇異性理論，研究了噪聲強度等對三穩(wěn)態(tài)van der Pol-Duffing系統(tǒng)的隨機P-分岔的影響；Yang等^[8]利用預測校正法， 研究了一種雙穩(wěn)態(tài)分數(shù)階系統(tǒng)在白噪聲激勵下的隨機P-分岔問題.

分數(shù)階微積分具有時間記憶性， 并且可以很好地描述黏彈性材料的特征， 因而被廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域. 以經(jīng)典的Duffing振子為例， 該系統(tǒng)在外部激勵的作用下會產(chǎn)生混沌、共振、分岔等動力學行為， 在加入分數(shù)階項后該系統(tǒng)將更貼近現(xiàn)實系統(tǒng)的描述， 因此研究分數(shù)階系統(tǒng)具有一定的意義. 近年來學者們對分數(shù)階Duffing振子進行了一系列研究. 如，王軍等^[9]利用Melnikov方法， 研究了分數(shù)階分段Duffing振子在諧波激勵下的混沌運動；Yan等^[10]從理論和數(shù)值上研究了具有分布延遲的Duffing振子在任意分數(shù)階諧波共振下的振動機理；唐建花等^[11]研究了廣義分數(shù)階van der Pol-Duffing振子的隔振效果和力傳遞率， 研究發(fā)現(xiàn)不同參數(shù)對系統(tǒng)的隔振效果影響也不同.

可見學者們對隨機激勵下分數(shù)階Duffing振子的研究較多， 而對廣義分數(shù)階Duffing振子在乘性噪聲激勵下關(guān)于隨機分岔的研究還未見報道. 因此， 本文提出一種具有非線性阻尼項的廣義分數(shù)階van der Pol-Duffing振子， 研究其在特殊乘性色噪聲激勵下的隨機D-分岔和P-分岔， 并利用隨機平均法對該系統(tǒng)的概率密度函數(shù)曲線圖進行分析. 研究表明， 參數(shù)的變化可以影響系統(tǒng)的分岔行為.

2 具有分數(shù)階導數(shù)阻尼項的廣義van der Pol-Duffing振子

廣義分數(shù)階van der Pol-Duffing振子可用以下形式表示.

其中，μ，c₁，c₂為上述系統(tǒng)中的非線性阻尼系數(shù);w為系統(tǒng)的自然角頻率;ε為分數(shù)階導數(shù)項的系數(shù);α₁為非線性剛度;η（t）是高斯色噪聲，且η（t）的均值和方差滿足（2）式，其功率譜密度滿足（3）式（其中w=1）.

其中，D為噪聲強度;τ為色噪聲的自相關(guān)時間;^C₀D^p[x（t）]為在Caputo意義下的x（t）關(guān)于t的p（0≤p≤1）階分數(shù)階導數(shù)， 其定義^[12]如式（4）所示.

這里， n-1（n）（u）是x（u）的n階導數(shù);Γ（z）為Gamma函數(shù)， 且滿足Γz+1=zΓz.

為方便計算， 由文獻[13-15]可知， 可以將分數(shù)階導數(shù)項轉(zhuǎn)換為阻尼力和回復力的線性組合， 進而得到以下的等效系統(tǒng).

其中， β（p），α（p）分別是等效阻尼力和回復力的系數(shù).

系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（5）之間的誤差e為

由最小均方誤差的必要條件^[16]可知

將（6）式代入（7）式可得

將（1）式的解設(shè)為以下形式.

將（9）式代入（8）式并對φ積分平均， 經(jīng)計算可得

將（10）式代入（5）式，可得以下等價系統(tǒng)（11）.

其中，

將上述系統(tǒng)中的三次剛度項通過線性化進行處理，則等效系統(tǒng)（11）又可變?yōu)橐韵滦问?sup>[17].

系統(tǒng)（11）和系統(tǒng)（13）之間的誤差為

為確定系統(tǒng)（13）中的兩個系數(shù)β_a和α_a，可將式（13）的解設(shè)為以下形式.

其中， w²₀=w²+εw^pcospπ/2. 為使式（14）的誤差最小，利用廣義的諧和平均法，來確定兩個系數(shù)β_a和α_a.

將（16）式代入（13）式，可得以下等價系統(tǒng)（17）.

其中，

為進一步確定系統(tǒng)（17）的解， 引入如下變換^[18].

其中， a（t），θ（t）分別為系統(tǒng)的幅值過程和相位過程;f為系統(tǒng)的頻率. 根據(jù)廣義van der Pol變換， 將（19）式代入（17）式， 由確定性平均法可得以下隨機微分方程.

其中，

運用隨機平均法^[19]，可將（20）式轉(zhuǎn)化為如下的平均It隨機微分方程.

其中， W（t）是標準的維納過程，且漂移系數(shù)和擴散系數(shù)分別為

由（22）式及（23）式可知， 方程中的da的表達與θ（t）是相互獨立的， 因此系統(tǒng)對應(yīng)幅值的Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程如下.

若系統(tǒng)滿足邊界條件

則可得系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)Probability Density Function （PDF）.

其中， C為歸一化常數(shù)， 且滿足

3 隨機分岔

3.1 D-分岔

將（23）式代入（22）式中，可得一維的Markov過程用以下方程表示.

這一節(jié)主要通過觀察系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)PDF曲線圖的峰值個數(shù)來判斷系統(tǒng)是否發(fā)生了隨機P-分岔. 選取一組基本參數(shù)^[20]： μ=0.01， c₁=3， c₂=2， w=1， ε=0.2， α₁=1，重點討論分數(shù)階導數(shù)階數(shù)、噪聲時滯以及噪聲強度這幾個參數(shù)對該系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔的影響.

固定參數(shù)D=0.22， τ=0.3. 根據(jù)式（42）畫出在不同分數(shù)階導數(shù)階數(shù)p下系統(tǒng)的模態(tài)分布（見圖1～圖3）. 如圖1所示， 當p=0.1時， 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)圖呈單峰狀態(tài)， 隨著參數(shù)p的增大， 穩(wěn)態(tài)PDF曲線圖又由一峰一谷狀變成無峰狀. 如圖2所示， 與之相對應(yīng)的聯(lián)合PDF圖也出現(xiàn)了由火山口型狀向無峰狀的躍遷. 觀察圖3中暗紅色處所對應(yīng)的振幅分別為0.4、1.4和6.8， 最終將趨于一個極限值. 如圖3所示， 當p=0.1時， 系統(tǒng)中存在一個較為穩(wěn)定的極限環(huán); 當p=0.2時， 系統(tǒng)中同時出現(xiàn)了平衡點與極限環(huán); 當p=0.24時， 系統(tǒng)中僅出現(xiàn)平衡點; 可見系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)發(fā)生了明顯變化. 這說明隨著階數(shù)p的變化， 系統(tǒng)會發(fā)生隨機P-分岔行為.

固定參數(shù)D=0.22，p=0.18. 根據(jù)式（42）畫出在不同自相關(guān)時間τ下系統(tǒng)的模態(tài)分布（見圖4～圖6）. 如圖4所示， 當τ=0.26時， 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)圖僅在約a=0.65處出現(xiàn)一個峰值; 當τ=0.33時， 相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)圖在離原點較遠處有一峰值， 并在原點附近呈Dirac函數(shù)形式; 當τ=0.51時， 相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)圖呈Dirac函數(shù)形式. 相對應(yīng)各個圖的聯(lián)合概率密度函數(shù)圖， 觀察圖5a與圖6a， 當τ=0.26時， 圖中呈單峰狀態(tài)， 此時系統(tǒng)中將存在一個較為穩(wěn)定的極限環(huán); 觀察圖5b與圖6b， 當τ=0.33時， 圖中呈一峰一谷狀態(tài)， 系統(tǒng)中將同時出現(xiàn)平衡點與極限環(huán); 觀察圖5c與圖6c， 當τ=0.51時， 圖中呈無峰狀態(tài)， 系統(tǒng)中將只出現(xiàn)平衡點， 此變化說明系統(tǒng)經(jīng)歷了隨機P-分岔. 這說明在色噪聲的自相關(guān)時間τ變化時會使系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔行為.

固定參數(shù)τ=0.3，p=0.2. 根據(jù)式（42）畫出在不同噪聲強度D下系統(tǒng)的模態(tài)分布（見圖7～圖9）. 如圖7所示， 當D=0.9時， 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)圖在約a=1.2處出現(xiàn)峰值， 系統(tǒng)呈單峰狀態(tài)， 此時系統(tǒng)中只存在大幅度振動; 當D=0.26時， 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)圖在離原點較遠處有一峰值， 并在原點附近呈Dirac函數(shù)形式; 當D=0.2時， 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)圖呈無峰狀， 即系統(tǒng)經(jīng)歷了由單峰到無峰的躍遷. 如圖8所示， 隨著參數(shù)D的增大， 相對應(yīng)的聯(lián)合PDF曲線圖所呈火山口的形狀隨之增大， 此時系統(tǒng)中將同時出現(xiàn)平衡點與極限環(huán); 對應(yīng)于圖9， 可以清楚地發(fā)現(xiàn)當D=0.26時， 系統(tǒng)的平穩(wěn)聯(lián)合PDF曲線圖出現(xiàn)兩個較小的峰值變化， 當D=0.28和D=0.9時， 系統(tǒng)的平穩(wěn)聯(lián)合PDF曲線圖僅出現(xiàn)一個峰值變化. 這說明噪聲強度D的變化會使系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔行為.

4 結(jié) 論

本文主要研究了含分數(shù)階導數(shù)項的廣義Duffing振子在乘性色噪聲激勵下的隨機分岔問題. 應(yīng)用隨機平均法， 通過替換其中的分數(shù)階導數(shù)項， 并對方程中的三次項進行線性化處理， 利用均方誤差最小原則和廣義諧和平均法， 將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為整數(shù)階系統(tǒng)， 最終求得系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)PDF. 通過分析系統(tǒng)發(fā)生D-分岔的臨界條件， 以及用Matlab模擬系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)p（a）、聯(lián)合概率密度函數(shù)p（x，y）圖， 詳細分析了不同參數(shù)的改變對系統(tǒng)發(fā)生隨機分岔的影響. 研究結(jié)果顯示， 分數(shù)階導數(shù)階數(shù)p、噪聲的自相關(guān)時間τ以及噪聲強度D的改變均會使系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔. 利用這一結(jié)論， 可以更好地利用廣義分數(shù)階Duffing振子的動力學特性， 并將其應(yīng)用到工程領(lǐng)域中， 以減少隨機分岔造成的影響.

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引用本文格式：

中 文： 王媛， 張建剛， 盛正大. 乘性色噪聲激勵下廣義分數(shù)階van der Pol-Duffing振子的隨機分岔分析[J]. 四川大學學報： 自然科學版， 2023， 60： 064004.

英 文： Wang Y， Zhang J G， Sheng Z D. Stochastic bifurcation analysis of generalized fractional order van der Pol-Duffing oscillators under multiplicative color noise excitation [J]. J Sichuan Univ： Nat Sci Ed， 2023， 60： 064004.