豐月姣 劉寶亮 張秀珍

摘要： 考慮連續(xù)型向上敲出巴黎期權(quán)定價(jià)問題. 首先，針對該類型巴黎期權(quán)，給出一個(gè)時(shí)間1階、 空間2 階精度的隱式差分格式； 其次，采用不等式放大方法和Fourier展開方法分別討論差分格式的穩(wěn)定性、 可解性和收斂性； 最后，利用差分格式分析連續(xù)型向上敲出巴黎期權(quán)的數(shù)值定價(jià)結(jié)果.

關(guān)鍵詞： 連續(xù)型向上敲出巴黎期權(quán); 數(shù)值模擬; 穩(wěn)定性; 收斂性; 可解性

中圖分類號： O211.64? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A? 文章編號： 1671-5489（2023）02-0265-10

Implicit Difference Scheme and Its Stability and ConvergenceAnalysis for Continuous Up-and-Out Paris Option Pricing

FENG Yuejiao1，LIU Baoliang1，ZHANG Xiuzhen1，2

（1. School of Mathematics and Statistics，Shanxi Datong University，Datong 037009，Shanxi Province，China;

2. School of Statistics，East China Normal University，Shanghai 200241，China）

Abstract： We considered the continuous up-and-out Paris option pricing problem. Firstly，an implicit difference schem

e with the first order in time and the second order in space was given for this type of Paris option. Secondly，the inequality

amplification method and Fourier expansion method were used to discuss the stability，solvability and convergence of the difference scheme，respectively.

Finally，the numerical pricing results of continuous up-and-out Paris options were analyzed by using the difference scheme.

Keywords： continuous up-and-out Paris option; numerical simulation; stability; convergence; solvability

收稿日期： 2022-06-27.

第一作者簡介： 豐月姣（1981—），女，漢族，碩士，講師，從事可靠性理論及其應(yīng)用的研究，E-mail： fengsheng269@163.com. 通信作者簡介：

張秀珍（1984—），女，漢族，碩士，講師，從事非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的研究，E-mail： zhangxiuzhen132@163.com.

基金項(xiàng)目： 山西省高等學(xué)?？萍紕?chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（批準(zhǔn)號： 2019L0738; 2020L0463）.

傳統(tǒng)的敲出障礙期權(quán)設(shè)置了障礙值，一旦期權(quán)掛鉤的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)觸及障礙值，敲出障礙期權(quán)即刻作廢，期權(quán)投資人也會損失全部期權(quán)金［1］. 此外，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)接近障礙值時(shí)，雖然期權(quán)沒有作廢，但會使投資人頻繁地對投資策略進(jìn)行調(diào)整，導(dǎo)致大量的重復(fù)勞動，為解決該問題，證券投資機(jī)構(gòu)衍生出了連續(xù)型巴黎期權(quán)［2-3］.

連續(xù)型巴黎期權(quán)在設(shè)定了障礙值SB的同時(shí)，又設(shè)置了計(jì)時(shí)器τ，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格在SB上方的累積時(shí)間τ超過D后期權(quán)作廢. 計(jì)時(shí)器τ的引入可降低期權(quán)作廢的風(fēng)險(xiǎn)［4］.

目前，關(guān)于巴黎期權(quán)的研究已有很多結(jié)果［5-14］. 文獻(xiàn)［5］利用巴黎期權(quán)研究了植物品種權(quán)證券化定價(jià)問題，用具有巴黎期權(quán)性質(zhì)的證券化產(chǎn)品定價(jià)模型刻畫植物品種權(quán)證券化的獨(dú)特性，并通過數(shù)值仿真和靈敏度分析驗(yàn)證了定價(jià)模型的合理性和有效性; 在巴黎期權(quán)的概率模擬方面，文獻(xiàn)［6］構(gòu)造了一種多層Monte-Carlo方法，相比于傳統(tǒng)的Monte-Carlo方法，模擬結(jié)果表明，多層Monte-Carlo方法提高了巴黎期權(quán)定價(jià)的概率精度，拓寬了巴黎期權(quán)數(shù)值算法的選擇范圍;文獻(xiàn)［7］用前向打靶網(wǎng)格方法和最小二乘Monte-Carlo兩種數(shù)值方法，研究了附帶提前實(shí)施條款的巴黎期權(quán)定價(jià)問題； 在巴黎期權(quán)的差分格式方面，文獻(xiàn)［8］針對巴黎期權(quán)適合的拋物方程，在進(jìn)行Laplace變換后，采用顯式Euler格式研究了巴黎期權(quán)定價(jià)問題; 文獻(xiàn)［9］用二叉樹方法研究了文獻(xiàn)［8］的問題. 但由于巴黎期權(quán)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，因此文獻(xiàn)［8-9］并未進(jìn)行相應(yīng)的穩(wěn)定性和收斂性分析.

基于此，本文考察連續(xù)型巴黎期權(quán)定價(jià)問題. 由于巴黎期權(quán)路徑復(fù)雜、 解析定價(jià)結(jié)果很難獲得，因此與上述文獻(xiàn)的巴黎期權(quán)模擬結(jié)果不同，本文采用數(shù)值差分方法給出連續(xù)型巴黎期權(quán)的隱式差分格式，并分析差分格式的穩(wěn)定性和收斂性.

下面分析連續(xù)型巴黎期權(quán)的性質(zhì). 由圖3可見，在參數(shù)保持不變的條件下，巴黎期權(quán)的價(jià)值隨掛鉤風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的增大呈倒V型趨勢. 這是因?yàn)楫?dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值低于障礙水平SB時(shí)，連續(xù)型巴黎期權(quán)沒有計(jì)時(shí)，期權(quán)不存在作廢的可能; 當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值高于障礙水平SB時(shí)，巴黎期權(quán)開始計(jì)時(shí)，計(jì)時(shí)時(shí)間越長期權(quán)作廢的可能性越大，其價(jià)值越低. 圖4模擬了ST=99.5時(shí)連續(xù)型巴黎期權(quán)隨時(shí)間的變動特征，由于ST非常接近障礙值SB，此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的隨機(jī)波動隨時(shí)可能觸發(fā)障礙產(chǎn)生計(jì)時(shí)，因此期權(quán)價(jià)格存在下降趨勢. 當(dāng)時(shí)間t>1時(shí)，連續(xù)計(jì)時(shí)的時(shí)長不可能超過D，期權(quán)不再可能被作廢，于是期權(quán)開始呈上升趨勢.

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（責(zé)任編輯： 李 琦）