張萌 郭永峰 劉倩茹

摘要：

鑒于噪聲對(duì)生物系統(tǒng)的基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控有著重要的影響作用，研究了乘性高斯白噪聲和加性Lévy噪聲共同激勵(lì)下的基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。首先借助Janicki-Weron算法模擬出Lévy噪聲，然后利用四階Runge-Kutta 算法計(jì)算出蛋白質(zhì)濃度的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)，并通過繪制其圖像對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行穩(wěn)態(tài)分析。研究發(fā)現(xiàn)：高斯噪聲強(qiáng)度、Lévy噪聲強(qiáng)度、穩(wěn)定性指標(biāo)、偏斜參數(shù)均會(huì)誘導(dǎo)蛋白質(zhì)濃度發(fā)生相變現(xiàn)象，且這些參數(shù)指標(biāo)的增大會(huì)使基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)逐漸從“開啟”狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椤瓣P(guān)閉”狀態(tài)。

關(guān)鍵詞：

基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)；Lévy噪聲；高斯白噪聲；穩(wěn)態(tài)概率密度；相變

中圖分類號(hào)： O414.2；O415.6???? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

收稿日期：2021-09-17；修回日期：2022-04-26

基金項(xiàng)目：

國(guó)家自然科學(xué)基金（11672207）；天津市自然科學(xué)基金（17JCYBJC15700）

第一作者：

張萌（1997-），女，天津人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閼?yīng)用概率統(tǒng)計(jì)。

通信作者：

郭永峰（1980-），男，山東濟(jì)寧人，博士，教授，主要研究方向?yàn)殡S機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)等。

Steady-state Analysis of the Gene Transcriptional Regulation System Under the Double-noise Excitation

ZHANG Meng， GUO Yongfeng， LIU Qianru

（School of Mathematical Sciences， Tiangong University， Tianjin 300387， China）

Abstract：

Noise is playing an important role in the regulation of gene transcription in biological systems. This paper studies the dynamics of gene transcription regulation system under the effects of multiplicative Gaussian white noise and additive Lévy noise. Firstly， the Lévy noise is simulated with the Janicki-Weron algorithm， and then the fourth-order Runge-Kutta algorithm is used to calculate the steady-state probability density（SPD） function of the protein concentration， then the steady state analysis of the gene transcriptional regulation system is carried out by the SPD figures. The study found that Gaussian noise intensity， Lévy noise intensity， stability index， and skewness parameter all can induce phase transitions in the gene transcription regulation system; At the same time， the increase of these parameters will cause the gene transcription regulation system to gradually the " on" state changes to the "off" state.

Key words：

gene transcriptional regulation system; Lévy noise; Gaussian white noise ; steady-state probability density; phase transitions

0 引言

近些年，由噪聲引起的躍遷、非平衡相變、隨機(jī)共振等現(xiàn)象被一些學(xué)者廣泛關(guān)注［15］。噪聲驅(qū)動(dòng)的動(dòng)力系統(tǒng)的研究已涉及到物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)、生物等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域。例如，文獻(xiàn)［6］和［7］研究了不同類型噪聲激勵(lì)下Duffing系統(tǒng)的隨機(jī)分叉和隨機(jī)共振現(xiàn)象；文獻(xiàn)［8］探討了雙穩(wěn)系統(tǒng)中周期信號(hào)在大參數(shù)頻率范圍內(nèi)的隨機(jī)共振現(xiàn)象。文獻(xiàn)［9］提出了二次采樣的隨機(jī)共振技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了絕熱近似理論在大參數(shù)條件下從強(qiáng)噪聲中提取弱信號(hào)的目標(biāo)。另外，在生物系統(tǒng)的基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控方面，已有的實(shí)驗(yàn)研究表明，噪聲擾動(dòng)常常發(fā)生在基因表達(dá)的轉(zhuǎn)錄、降解、翻譯和結(jié)合等不同階段［1013］，并且噪聲在基因轉(zhuǎn)錄的過程中可以誘導(dǎo)蛋白質(zhì)濃度發(fā)生“雙開關(guān)”現(xiàn)象［14］。因此，研究隨機(jī)噪聲激勵(lì)的基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性具有非常重要的實(shí)際意義。

基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)是生物學(xué)交叉研究的核心問題，也是基因工程理論與實(shí)踐的基礎(chǔ)。目前，基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)受到了許多專家學(xué)者持續(xù)廣泛的關(guān)注，并對(duì)此進(jìn)行了深入的研究。文獻(xiàn)［15］基于Smolen等提出的基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，從理論與數(shù)值兩方面研究了降解反應(yīng)速率和合成反應(yīng)速率波動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)錄因子的影響；文獻(xiàn)［16］研究發(fā)現(xiàn)噪聲不相關(guān)時(shí)基因開關(guān)切換過程僅與降解反應(yīng)速率有關(guān)，而噪聲相關(guān)時(shí)遺傳調(diào)控系統(tǒng)中噪聲間的互相關(guān)強(qiáng)度和合成反應(yīng)速率亦會(huì)影響基因開關(guān)的切換。以往的研究多集中在高斯白噪聲誘導(dǎo)的基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)，但是高斯白噪聲只是一種理想的狀態(tài)，不能精確地模擬實(shí)際情況?，F(xiàn)有的一些對(duì)于生物動(dòng)力系統(tǒng)的研究表明，基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控過程中的隨機(jī)擾動(dòng)會(huì)以一種突發(fā)性的、跳躍性的、不可預(yù)測(cè)性的方式發(fā)生，這些特性可以用非高斯Lévy噪聲進(jìn)行模擬［1718］。由此可見，非高斯噪聲對(duì)基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控等動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的影響是不可忽略的。如文獻(xiàn)［19］考慮了加性非高斯Lévy噪聲對(duì)基因調(diào)控系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度和平均首次穿越時(shí)間的作用機(jī)制。文獻(xiàn)［20］研究了非高斯噪聲驅(qū)動(dòng)的基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)中噪聲的各個(gè)參數(shù)對(duì)隨機(jī)引力盆的影響。文獻(xiàn)［21］分析了噬菌體基因調(diào)控中乘性非高斯噪聲對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度和平均首次穿越時(shí)間的影響。文獻(xiàn)［22］通過蒙特卡洛方法對(duì)Lévy噪聲進(jìn)行模擬，探討了Duffing-van der Pol系統(tǒng)的隨機(jī)分岔現(xiàn)象。文獻(xiàn)［23］分析了不同類型噪聲作用下耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中脈沖信號(hào)的傳輸機(jī)制。文獻(xiàn)［24］研究了非高斯噪聲激勵(lì)下含周期信號(hào) FitzHugh-Nagumo神經(jīng)元系統(tǒng)的響應(yīng)特征。但對(duì)于高斯白噪聲和Lévy噪聲共同激勵(lì)的基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)的研究還尚未見到。

本文主要針對(duì)乘性高斯白噪聲和加性Lévy噪聲共同激勵(lì)的基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。利用Janicki-Weron算法產(chǎn)生Lévy噪聲，并通過四階Runge-Kutta算法模擬出方程的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)；進(jìn)一步分析了高斯白噪聲和Lévy噪聲對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響以及基因轉(zhuǎn)錄系統(tǒng)在“開啟”狀態(tài)和“關(guān)閉”狀態(tài)之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。

3 基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分析

根據(jù)上述數(shù)值模擬方法，圖4～圖7分別給出了穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)pst（x）隨穩(wěn)定性指標(biāo)α、偏斜參數(shù)β、Lévy噪聲強(qiáng)度Q、高斯噪聲強(qiáng)度D的變化曲線。

由文獻(xiàn)［19］和［20］可知，Lévy噪聲的穩(wěn)定性指標(biāo)α∈（1，2）時(shí)為非高斯分布，當(dāng)α=2時(shí)，Lévy噪聲轉(zhuǎn)變?yōu)楦咚拱自肼?。圖4給出了Lévy噪聲為非高斯情形時(shí)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的變化曲線，從圖4可以看出，隨著Lévy噪聲的穩(wěn)定性指標(biāo)α的增大，穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線左峰逐漸升高，右峰逐漸降低，基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)逐漸由單峰狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)殡p峰狀態(tài)，蛋白質(zhì)濃度從高濃度狀態(tài)向低濃度狀態(tài)轉(zhuǎn)移，發(fā)生了相變現(xiàn)象。這表明Lévy噪聲的穩(wěn)定性指標(biāo)α可以誘導(dǎo)基因開關(guān)發(fā)生轉(zhuǎn)變。

圖5 為不同Lévy噪聲的偏斜參數(shù)β對(duì)穩(wěn)態(tài)概率密度影響的變化曲線，當(dāng)β<0時(shí)，穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線右邊的峰較高，蛋白質(zhì)濃度主要集中在高濃度區(qū)域，基因處于開啟狀態(tài)。但隨著β的增大，穩(wěn)態(tài)概率密度峰值向左移動(dòng)，且從單峰變?yōu)殡p峰結(jié)構(gòu)，表明蛋白質(zhì)濃度逐漸由高濃度轉(zhuǎn)向低濃度狀態(tài)。當(dāng)β>0時(shí)，左邊的峰值不斷升高，曲線又從雙峰結(jié)構(gòu)變?yōu)閱畏褰Y(jié)構(gòu)。此時(shí)，蛋白質(zhì)濃度主要集中在低濃度區(qū)域，基因處于“關(guān)閉”狀態(tài)。由此可見，偏斜參數(shù)β的變化也可以控制基因的開關(guān)。

圖6 給出了不同Lévy噪聲強(qiáng)度Q對(duì)穩(wěn)態(tài)概率密度的影響變化曲線。當(dāng)Lévy噪聲強(qiáng)度Q較小時(shí)，蛋白質(zhì)濃度主要集中在高濃度區(qū)域，基因處于“開啟”狀態(tài)，但隨著噪聲強(qiáng)度Q的增大，左峰逐漸升高，右峰逐漸降低，蛋白質(zhì)濃度逐漸從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域轉(zhuǎn)移，由此可見，Lévy噪聲強(qiáng)度Q可以誘導(dǎo)基因轉(zhuǎn)錄的開關(guān)。

圖7 為不同高斯噪聲強(qiáng)度D對(duì)概率密度的影響變化曲線，從圖7可以看出，當(dāng)高斯噪聲強(qiáng)度D較小時(shí)，蛋白質(zhì)濃度主要集中在高濃度區(qū)域，此時(shí)基因處于開啟狀態(tài)，隨著高斯噪聲強(qiáng)度D的增大，左峰明顯升高，右峰明顯降低，蛋白質(zhì)濃度從高濃度向低濃度轉(zhuǎn)移，基因逐漸向“關(guān)閉”狀態(tài)轉(zhuǎn)變，這說明高斯噪聲強(qiáng)度D亦能夠誘導(dǎo)基因開關(guān)的轉(zhuǎn)換。

4 結(jié)論

本文主要分析了加性高斯白噪聲與乘性Lévy噪聲共同作用下的基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性。首先利用Janicki-Weron算法產(chǎn)生Lévy噪聲，然后利用四階Runge-Kutta算法模擬基因轉(zhuǎn)錄調(diào)控系統(tǒng)的蛋白質(zhì)濃度的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)，通過模擬出的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)圖像分析了高斯白噪聲與Lévy噪聲共同作用下蛋白質(zhì)濃度大小的轉(zhuǎn)變關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)：穩(wěn)定性指標(biāo)α、位置參數(shù)指標(biāo)β、乘性Lévy噪聲強(qiáng)度Q、加性高斯白噪聲強(qiáng)度D均可以誘導(dǎo)基因開關(guān)的轉(zhuǎn)換，并誘導(dǎo)蛋白質(zhì)濃度由高濃度向低濃度轉(zhuǎn)移。

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（責(zé)任編輯 李 進(jìn)）