曾哲璇,岳作功,袁 燁

(華中科技大學(xué)人工智能與自動化學(xué)院,湖北武漢 430074)

1 引言

動力系統(tǒng)的可辨識性是描述其模型參數(shù)能否被唯一確定的性質(zhì),對動力系統(tǒng)的模型進(jìn)行可辨識性分析是系統(tǒng)辨識理論研究中不可或缺的子問題[1],且在各應(yīng)用領(lǐng)域的建模研究中發(fā)揮了重要作用.本文對感興趣的系統(tǒng)進(jìn)行建模時,通常結(jié)合先驗知識構(gòu)建一個含有參數(shù)的模型,并通過采集的輸入輸出數(shù)據(jù)估計其中的未知參數(shù)完成系統(tǒng)辨識.這種結(jié)合機理與數(shù)據(jù)的系統(tǒng)辨識過程在經(jīng)濟學(xué)、生物科學(xué)、控制工程等數(shù)據(jù)驅(qū)動的建模中是必不可少的一步.在辨識問題中,“可辨識性”是模型的參數(shù)能夠由實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識的必備性質(zhì).模型參數(shù)若不可辨識,即存在兩個或兩個以上不同參數(shù)化的模型產(chǎn)生的觀測數(shù)據(jù)完全等價,那么在沒有其他先驗知識的情況下,基于數(shù)據(jù)對參數(shù)進(jìn)行估計將產(chǎn)生多種可能,且無法識別描述真實系統(tǒng)的模型.當(dāng)辨識電力系統(tǒng)[2]、航天系統(tǒng)[3]等涉及到關(guān)鍵安全的控制系統(tǒng),以及當(dāng)描述系統(tǒng)的模型參數(shù)具有實際物理意義時,保證可辨識性則更為重要.

對可辨識性的研究可追溯到19世紀(jì)中期,一些經(jīng)濟學(xué)家從統(tǒng)計推斷模型中首次提出了“辨識”的概念,而后這一概念在控制科學(xué)中得到了巨大的發(fā)展[1].由于計量經(jīng)濟學(xué)中的經(jīng)濟模型需要從模型結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出可被辨識的條件,從1934年到1975年,一批科學(xué)家對可辨識性問題進(jìn)行了深入研究,做出了里程碑式的理論奠基工作[4–10].直觀上,可辨識性的概念很容易理解,但在具體情況下具有不同的數(shù)學(xué)描述和豐富內(nèi)涵.Koopmans和Reiersol[5]從統(tǒng)計學(xué)的角度對可辨識性進(jìn)行闡述,即通過給定的數(shù)據(jù)變量的概率分布,能得到唯一的模型結(jié)構(gòu).1970年,Bellman和?strm[8]首次提出了模型的結(jié)構(gòu)可辨識性概念及其充分條件,并開始研究線性狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)可辨識性判別方法及其所需的實驗要求.隨后的二十年,諸多領(lǐng)域的學(xué)者對狀態(tài)空間中動態(tài)模型可辨識性進(jìn)行了系統(tǒng)研究,關(guān)于這一主題的研究工作大量涌現(xiàn),研究了“輸出可區(qū)分性”[11]、“結(jié)構(gòu)輸出可分性”[12]、“敏感可辨識性”[13]等一系列可辨識性相關(guān)概念.1985年,Walter[14]對7次IFAC(international federation of automatic control)會議的“辨識和系統(tǒng)參數(shù)估計”研討會上的論文進(jìn)行了改進(jìn)和合并編寫,提供了較為完整的成果集.近二十年來,在網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)研究的推動下,動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)可辨識性得到廣泛關(guān)注,傳感器設(shè)計[15]、控制器設(shè)計[16–17]等也得到了深入研究.

可辨識性問題大致可以分為兩類,一類是理論(結(jié)構(gòu))可辨識性,一類是實際(數(shù)值)可辨識性.結(jié)構(gòu)可辨識性問題是為了探究構(gòu)建的模型結(jié)構(gòu)是否合理,以使其參數(shù)能唯一地擬合無限的高質(zhì)量(連續(xù)、無噪聲)數(shù)據(jù),即合適的模型結(jié)構(gòu)必須足夠復(fù)雜,能夠刻畫相應(yīng)的系統(tǒng)行為和機理,同時又要足夠簡單,能夠適應(yīng)數(shù)據(jù)[18].因此,研究該類問題時,通常在理論上分析模型結(jié)構(gòu)對參數(shù)辨識的影響,而與數(shù)據(jù)無關(guān),即假定用于辨識的數(shù)據(jù)是完美的(無噪、連續(xù)、無限),可辨識性僅僅受模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響,如參數(shù)間耦合等.由于實際情況下的實驗與參數(shù)估計過程不可能滿足完美數(shù)據(jù)的條件,建模誤差、數(shù)據(jù)測量誤差等因素不可避免,因此需要考慮實際可辨識性.實際可辨識性的問題研究通常轉(zhuǎn)化成了數(shù)據(jù)的敏感性分析或最小方差值的分析.相對于結(jié)構(gòu)可辨識性,實際可辨識性更符合實際情況,然而結(jié)構(gòu)可辨識性是實際可辨識性的前提,在不能保障結(jié)構(gòu)可辨識性的前提下進(jìn)行實際可辨識性分析是毫無意義的.需要注意的是,由于歷史文獻(xiàn)中有許多學(xué)者研究可辨識性具體特性時用“結(jié)構(gòu)”為定語進(jìn)行命名,且在系統(tǒng)辨識經(jīng)典文獻(xiàn)[19]統(tǒng)一后,實際(數(shù)值)可辨識性研究內(nèi)容屬于系統(tǒng)辨識的實驗設(shè)計研究范圍,與模型結(jié)構(gòu)有關(guān)而與數(shù)據(jù)質(zhì)量無關(guān)的理論(結(jié)構(gòu))可辨識性即為一般意義上的可辨識性,因此為了避免混淆,下文即稱之為“可辨識性”.

可辨識性問題已在靜態(tài)/動態(tài)、線性/非線性、離散/連續(xù)時間模型等各方面取得了系統(tǒng)性的研究成果.學(xué)者們在控制工程[11]、生物科學(xué)[20]、生態(tài)環(huán)境[21]等領(lǐng)域中開展了一系列可辨識性的理論研究,除此之外,還在電力系統(tǒng)[22]、機械裝備[23]等實際應(yīng)用場景中開展了一系列可辨識性的應(yīng)用研究.其研究內(nèi)容通?？煞譃閮深? 第一為理論或方法研究,即針對一般或具體的問題或模型,研究可辨識性的具體定義、保障可辨識的理論條件、可辨識性的測試方法等;第二為可辨識性的應(yīng)用研究,如保障可辨識性條件下的模型選擇、數(shù)據(jù)采集、算法設(shè)計等,這類研究往往可以得到保障可辨識性的合適的模型、數(shù)據(jù)需要滿足的必要條件、必備的實驗設(shè)施條件、增強可辨識性的算法等.

可辨識性的理論分析方法十分豐富.由于可辨識性是模型的基本性質(zhì),因而其研究對象十分廣泛,如統(tǒng)計框架下的概率模型、描述動力系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型、動態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型等,針對模型的線性/非線性、離散/連續(xù)等特征,學(xué)者們發(fā)展了一系列豐富的可辨識性分析方法[14,24].線性情況下,分析可辨識性的方法有傳遞函數(shù)方法(Laplace 變換方法)、Markov參數(shù)矩陣方法等,分析實際可辨識性的方法有Fisher信息矩陣方法等;非線性情況下,分析可辨識性的方法有泰勒級數(shù)方法[25]、局部狀態(tài)同構(gòu)方法[26–27]、微分代數(shù)方法[28–29]、系統(tǒng)等價方法[30]等.Walter等[14,24,31]總結(jié)了分析可辨識性的經(jīng)典方法,其中文獻(xiàn)[14,24]總結(jié)了經(jīng)典的線性時不變模型、簡單非線性或線性時變模型的可辨識性分析方法,文獻(xiàn)[31]著重于非線性時不變模型的可辨識性測試方法.

隨著數(shù)字時代的到來和多動力系統(tǒng)智能互聯(lián)的需要,數(shù)據(jù)驅(qū)動建模背景下數(shù)據(jù)合理性研究需求越來越高,以及動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)建模越來越普遍,如電力網(wǎng)絡(luò)、傳感器網(wǎng)絡(luò)、機器人網(wǎng)絡(luò)等.因此,保障可辨識性的數(shù)據(jù)合理性研究和動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的可辨識性理論研究引起了學(xué)者們廣泛關(guān)注.由于近年來產(chǎn)生了許多新的研究成果,大數(shù)據(jù)時代對可辨識性問題研究趨勢具有新的引導(dǎo),本文對其研究發(fā)展進(jìn)行綜述.

本文的內(nèi)容分配如下: 第2節(jié)介紹可辨識性研究中出現(xiàn)的重要概念及其研究發(fā)展,并簡要說明相關(guān)概念之間的關(guān)系;第3節(jié)分別闡述動力系統(tǒng)的線性時不變模型、非線性時不變模型和時變模型、時間延遲模型中可辨識性的主要研究成果;第4節(jié)介紹動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)中可辨識性的研究進(jìn)展和主要成果;第5節(jié)總結(jié)全文并對未來可辨識性問題的發(fā)展進(jìn)行討論.

2 可辨識性概念的發(fā)展

可辨識性是系統(tǒng)辨識領(lǐng)域中的重要概念,屬于參數(shù)可辨識性的范疇.系統(tǒng)辨識通過在合適的參數(shù)區(qū)域中將模型集參數(shù)化來搜索“最佳模型”,可辨識性則是指參數(shù)化的模型集能否由數(shù)據(jù)產(chǎn)生唯一參數(shù)解且該解對應(yīng)真實系統(tǒng)的性質(zhì)[19].因此可辨識性包含兩個層面: 第1個層面為數(shù)據(jù)的信息充足性,即數(shù)據(jù)(實驗條件)是否足以區(qū)分不同參數(shù)表示的模型,這要求輸入信號滿足持續(xù)激勵的相關(guān)條件,該層面的研究一般屬于系統(tǒng)辨識的實驗設(shè)計部分,對數(shù)據(jù)的具體討論可見文獻(xiàn)[19]的第8.2節(jié)和14.2節(jié);第2個層面為模型結(jié)構(gòu)的可逆性,即是否存在不同的參數(shù)對應(yīng)相同的模型,該層面的可辨識性討論一般與數(shù)據(jù)質(zhì)量無關(guān),且為一般的可辨識性研究內(nèi)容.以下首先介紹可辨識性經(jīng)典定義(定義1),然后分別介紹用于不同模型或從不同角度詮釋可辨識性相關(guān)定義(定義2–7),并總結(jié)其本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系.注意明確本節(jié)所提的(結(jié)構(gòu))可辨識性與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?結(jié)構(gòu))可辨識性的區(qū)別,前者描述參數(shù)化模型的唯一性,后者描述網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞奈ㄒ恍?參數(shù)可能不唯一),兩者定義的區(qū)分可見文獻(xiàn)[32].

定義1(可辨識性[19]) 記候選模型集為S,模型結(jié)構(gòu)S:θ→S(θ)∈S由參數(shù)向量θ∈Θ?Rq描述,其中Θ為參數(shù)空間,若參數(shù)空間中的在θ0足夠小的領(lǐng)域內(nèi),S()=S(θ0)有唯一參數(shù)解=θ0,則模型結(jié)構(gòu)S在θ0是局部可辨識的;若∈Θ,且S()=S(θ0)有唯一參數(shù)解=θ0,則模型結(jié)構(gòu)S在θ0是全局可辨識的.

據(jù)文獻(xiàn)[33]記載,可辨識性的概念最初在多個學(xué)科幾乎同時發(fā)展起來,如物理學(xué)[34]、計量經(jīng)濟學(xué)[9]、理論生物學(xué)[8,35]、系統(tǒng)和控制學(xué)[11,36–37]等,以下介紹從不同角度詮釋的可辨識性具體表述.

在計量經(jīng)濟學(xué)理論中,需要從特定模型結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出參數(shù)可被辨識的條件,由于參數(shù)辨識本質(zhì)上是估計問題,因此在概率框架的模型中可以自然地定義可辨識性,如Rothenberg等[5,9]和Bowden[38]在統(tǒng)計期刊和經(jīng)濟學(xué)期刊上定義的概率模型中的(局部)可辨識性,描述如下.

定義2(概率模型的可辨識性[9]) 若隨機實驗的輸出y∈Rn是隨機變量且y的分布具有參數(shù)表示,模型結(jié)構(gòu)S由參數(shù)向量θ ∈Θ ?Rq描述,其中Θ為參數(shù)空間,θ1,θ2∈Θ,當(dāng)且僅當(dāng)θ1=θ2時,概率密度函數(shù)p(y,θ1)=p(y,θ2),那么該模型結(jié)構(gòu)S是可辨識的.

以下介紹的可辨識性定義基于動力系統(tǒng)的模型,模型描述如下:

其中: 系統(tǒng)狀態(tài)x(t,θ)∈Rn,輸出y(t,θ)∈Rm;時間t≥0;參 數(shù)θ ∈Θq;輸入u(t)∈U1,U1為Rl的開子集,U2:R+→U1為輸入的分段連續(xù)函數(shù)集合.

在理論生物學(xué)中,模型結(jié)構(gòu)的可辨識性的概念很大程度上源于生物系統(tǒng)辨識中的特殊問題[8,35],且在生物化學(xué)、內(nèi)分泌學(xué)和新陳代謝中找到了重要的應(yīng)用.1970年,Bellman和?strm[8]在生物學(xué)期刊上首次利用最小平方誤差,從全局最優(yōu)解和局部最優(yōu)解的角度提出了模型的“結(jié)構(gòu)可辨識性”概念,因此也可稱為(全局/局部“最小二乘可辨識”.由于原文中提出“結(jié)構(gòu)可辨識”一詞易與定義1中模型結(jié)構(gòu)S的可辨識性和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淇杀孀R性產(chǎn)生混淆,這里稱之為“最小二乘可辨識性”,定義如下.

定義3(最小二乘可辨識性[8]) 輸出數(shù)據(jù)由含有參數(shù)θ0的系統(tǒng)S(θ0)∈S產(chǎn)生,(t,θ0)為給定輸入u(t)時系統(tǒng)測量輸出,y(t,θ)為含有參數(shù)θ系統(tǒng)輸出,若平方誤差函數(shù)V(θ)=dt在θ=θ0處具有局部最小值,那么模型結(jié)構(gòu)是局部可辨識的;若該最小值是全局最小值,則該結(jié)構(gòu)是全局可辨識的.

在系統(tǒng)與控制學(xué)中,Walter[24]從參數(shù)和系統(tǒng)輸出之間一對一映射的角度,定義了模型結(jié)構(gòu)的輸出全局可辨識性和局部可辨識性,相關(guān)定義如下.

定義4(輸出可辨識性[24]) 對模型(1)中給定任意可獲得的輸入u(t)和參數(shù)空間中任意兩個參數(shù)向量,θ0,若輸出y(u(t),)=y(u(t),θ0)在θ0足夠小的鄰域內(nèi)有唯一參數(shù)解=θ0,則模型結(jié)構(gòu)是局部可辨識的;若y(u(t),)=y(u(t),θ0)在∈Θ有唯一參數(shù)解=θ0,則模型結(jié)構(gòu)是全局可辨識的.

定義4所考慮的輸出軌跡y(u(t),)中,忽略了初始條件x(0)對輸出軌跡的影響.Wu等[39]的工作表明,給定初始條件可以提高參數(shù)估計的可靠性,尤其對于初始條件敏感的動態(tài)系統(tǒng),給定初始條件有助于系統(tǒng)辨識更多的參數(shù).當(dāng)可辨識性必須考慮初始條件且初始條件未知時,則將x(0)視為附加的未知參數(shù)考慮,當(dāng)已知初始條件為x(0)時,許多學(xué)者進(jìn)一步對其進(jìn)行了可辨識性研究[27,40–43],例如Tunali 和Tarn[27]提出了當(dāng)初始狀態(tài)已知時的“x0–可辨識性”,定義如下.

定義5(x0–可辨識性[44]) 對由模型(1)描述的系統(tǒng),給定與參數(shù)θ無關(guān)的非平衡點的初始狀態(tài)x(t0)=x0,對任意定義在[t0,t1]的輸入u(t),在參數(shù)開集Θ中任意兩個不同的參數(shù)向量θ1θ2,在時間區(qū)間[t0,t0+?],(0≤?≤t1-t0)上給定輸入u(t)時的狀態(tài)變量x(u(t),θ,t)存在,且相應(yīng)的輸出y(u(t),θ1,t)y(u(t),θ2,t),則該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是x0–可辨識的.

以上可辨識性相關(guān)定義保證了可從輸入/輸出數(shù)據(jù)中推斷出模型,而在故障檢測[45]、混合系統(tǒng)識別[46]和多模型自適應(yīng)控制[47]等應(yīng)用中,只需保證從有限個動力系統(tǒng)族中辨識出真實系統(tǒng)所屬的系統(tǒng)族[48],Grewal和Glover[11]首次定義了與輸出可辨識性密切相關(guān)的可區(qū)分性概念,即如果系統(tǒng)可通過某種輸入信號來辨識,那么它可以與具有相同結(jié)構(gòu)的任意其他系統(tǒng)區(qū)分,并且Grewal和Glover研究表明“局部輸出可區(qū)分性”和“局部(最小二乘)可辨識性”是等同的.相關(guān)定義如下.

定義6(輸出可區(qū)分性[11]) 基于模型(1)描述的動力系統(tǒng),對參數(shù)集Θ中的參數(shù)θ1θ2,若給定任意(x0,u(·)),都有輸出y(u(t),θ1,t,x0)=y(u(t),θ2,t,x0),其中t∈[t0,t1],u(·)∈U2,參數(shù)θ1,θ2是不可區(qū)分的.

隨著所考慮條件的進(jìn)一步細(xì)化,引申出一系列分析性的可辨識性相關(guān)概念,例如擴展到考慮整個參數(shù)空間的“結(jié)構(gòu)全局/局部x0–可辨識性”和“結(jié)構(gòu)全局/局部x0–可辨識”[27]、考慮采樣頻率對可辨識性影響的“系統(tǒng)混淆”等概念[49].與之對應(yīng)的,定義refdef6(輸出可區(qū)分性)也擴展到了不同參數(shù)化模型的“結(jié)構(gòu)輸出可區(qū)分性”[12]、考慮所有輸入信號的輸出均可區(qū)分的“絕對可區(qū)分性”[48]、考慮使輸出信號在任意初始條件下可區(qū)分的“受控可分性”[50]等相關(guān)概念.

隨著可辨識性分析方法發(fā)展,引申出一系列代數(shù)引導(dǎo)的可辨識性相關(guān)概念,例如由系統(tǒng)輸出的參數(shù)敏感性分析的“敏感性可辨識性”[13]、通過Kullback–Leibler散度分析的“KLID–可辨識性”[51]、通過代數(shù)的系統(tǒng)參數(shù)與輸入輸出一對一映射關(guān)系的“代數(shù)可辨識性”[28](定義如下)等.

記M為初始狀態(tài)空間,[t0,t1]為時間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)可獲得的最高N次可導(dǎo)的輸入函數(shù)集合.

定義7(代數(shù)可辨識性[28,44]) 針對由方程(1)描述的系統(tǒng),假設(shè)函數(shù)f(x(t,θ),u(t),t,θ)和h(x(t,θ),u(t),t,θ)是θ的多項式,針對系統(tǒng)狀態(tài)x、輸入u、輸出y,如果可以經(jīng)過有限的代數(shù)計算或微分操作,構(gòu)造一個函數(shù)Φ=Φ(θ,u,,···,u(k),y,,y(k)),使之對Θ×M×[t0,t1]的密集開子集中任意(θ,x0,u),在時間區(qū)間[t0,t1]上滿足Φ=0,,則該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是代數(shù)可辨識的.

以上定義可視為在不同條件下或通過不同分析方法對可辨識性內(nèi)涵的具體詮釋,其本質(zhì)意義均是在(相應(yīng)的)模型結(jié)構(gòu)中分析唯一的參數(shù)解,其中描述動力系統(tǒng)的模型(1)的部分可辨識性定義內(nèi)在聯(lián)系與研究脈絡(luò)見圖1.注意本文僅介紹了部分可辨識性定義及其研究思路,還有大量考慮不同的條件、分析方法等可辨識性相關(guān)概念.另外,針對可辨識性、可區(qū)分性以及控制理論中的定義之間的充分或必要性關(guān)系,許多學(xué)者進(jìn)行了深入的研究.如DiStefano等在文獻(xiàn)[33,52]中研究了系統(tǒng)可觀性、可辨識性、可區(qū)分性、敏感性可辨識性等相關(guān)概念之間的關(guān)系,并針對不同的可辨識性相關(guān)概念進(jìn)行了統(tǒng)一論述.Lecourtier和Walter[53]進(jìn)一步補充了較為明朗的統(tǒng)一定義表,理清各個領(lǐng)域不同表述的可辨識性定義內(nèi)涵,Anstett-Collin等[54]將可辨識性具體定義分為了分析性定義與代數(shù)性定義,并詳細(xì)地研究了相關(guān)定義之間的充要性關(guān)系.

3 動力系統(tǒng)的可辨識性問題

動力系統(tǒng)的可辨識性分析用于評估參數(shù)辨識的模型結(jié)構(gòu)是否合理,其不可辨識問題大多是由只有部分觀測數(shù)據(jù)(即觀測矩陣不滿秩)或結(jié)構(gòu)內(nèi)部的耦合性(如參數(shù)相乘等)造成,其前提假設(shè)是已有明確的模型結(jié)構(gòu)和完美的測量數(shù)據(jù).需要說明的是,這兩個假設(shè)不夠切合實際,但可辨識性是系統(tǒng)辨識的前提條件,仍然具有理論研究價值.另一方面,與數(shù)據(jù)相關(guān)的實際可辨識性分析則用于評估實際情況下數(shù)據(jù)驅(qū)動準(zhǔn)確辨識模型參數(shù)的能力,它將許多實際因素考慮在內(nèi),比如最常見的數(shù)據(jù)測量噪聲對參數(shù)估計的影響.引起實際不可辨識的原因十分直觀,大多是由于數(shù)據(jù)的測量噪聲等因素引起.一般在采集數(shù)據(jù)之前進(jìn)行可辨識性分析,即保證模型的可辨識性,這能為模型選擇、實驗設(shè)計等操作提供理論指導(dǎo),如研究模型性能提高方法[55]、數(shù)據(jù)測量條件[15,44]、控制器設(shè)計[16–17]等.在模型滿足可辨識的基礎(chǔ)上,進(jìn)而可以對模型進(jìn)行參數(shù)估計、實際可辨識性分析和模型的進(jìn)一步修正[20,56].

可辨識性研究非常廣泛,涉及各類模型.本節(jié)側(cè)重于介紹模型結(jié)構(gòu)的可辨識性分析研究進(jìn)展和部分成果,以下內(nèi)容分別對線性時不變系統(tǒng)、非線性時不變系統(tǒng)和時變系統(tǒng)、時間延遲系統(tǒng)的可辨識性分析相關(guān)工作進(jìn)行闡述.

3.1 線性時不變系統(tǒng)

線性時不變系統(tǒng)是最早開始研究可辨識性的模型類別,目前針對線性時不變系統(tǒng)的可辨識性研究已經(jīng)產(chǎn)生了許多經(jīng)典的一般性結(jié)論.本節(jié)介紹此類系統(tǒng)中的主要經(jīng)典結(jié)論和重要應(yīng)用.由于許多工作基于概率模型中的研究成果,且動力系統(tǒng)中的可辨識性結(jié)論通?？梢耘c之產(chǎn)生聯(lián)系,因此本節(jié)首先介紹Rothenberg[9]提出的概率模型的可辨識性(定義2)相關(guān)結(jié)論,即局部可辨識性與信息矩陣的聯(lián)系,相關(guān)定理如下.

定理1(可辨識性[9]) 若隨機實驗的輸出y∈Rn是隨機變量且y的分布由參數(shù)θ描述,其連續(xù)的概率密度函數(shù)為p(y,θ),其中y是隨機變量,θ是參數(shù)空間Θ中的未知參數(shù),即θ ∈Θ ?Rq,信息矩陣為

其中:i,j∈Z,1≤i,j≤q,若信息矩陣的元素eij(θ)存在且為θ的連續(xù)函數(shù),且存在θ0∈Θ,使函數(shù)矩陣E(θ)在θ0的開鄰域內(nèi)是非奇異的,則θ0是局部可辨識的.

以矩陣參數(shù)化模型(3)描述的線性動力系統(tǒng)如下:

其中: 系統(tǒng)狀態(tài)x(t)∈Rn;輸出y(t)∈Rm;參數(shù)θ ∈Θ ?Rq;輸入u(t)∈U1,U1為Rl的開子集;系統(tǒng)矩陣A(θ)∈Rn×n;B(θ)∈Rn×l;C(θ)∈Rm×n;D(θ)∈Rm×l.

Glover和Willems[10]提出了線性情況下參數(shù)化模型的全局可辨識和局部可辨識的充要條件,其分析直接源自定義1,結(jié)論與系統(tǒng)矩陣的秩相關(guān).1970年,Bellman和?strm提出了連續(xù)時間線性系統(tǒng)的最小二乘可辨識性(定義3)充分條件,即當(dāng)所估計參數(shù)的損失函數(shù)V(θ)對參數(shù)的二階偏導(dǎo)矩陣是正定時,該模型是最小二乘可辨識的.基于定理,Bellman和?strm討論了分室模型可辨識的結(jié)構(gòu).該定理直接與基于判斷標(biāo)準(zhǔn)V(θ)(見定義3)的定義有關(guān),且作者在文獻(xiàn)[8]中闡述了該條件的概率意義,即當(dāng)損失函數(shù)取為似然函數(shù)的負(fù)對數(shù)時,二階偏導(dǎo)矩陣為信息矩陣,與概率模型中的可辨識性結(jié)論相符.Grewal和Glover[11]提出了兩個參數(shù)的可區(qū)分性(定義6)充要條件,得到了線性模型輸出可區(qū)分滿足的矩陣關(guān)系,定理意味著θ1和θ2參數(shù)化的兩個系統(tǒng)具有相同的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng),則可推導(dǎo)出輸出不可區(qū)分性.相關(guān)定理如下.

定理2(可區(qū)分性[11]) 對動力系統(tǒng)的模型(3),當(dāng)且僅當(dāng)參數(shù)空間Θ中的參數(shù)θ1θ2滿足以下條件時,

其中i=0,1,2,···,θ1和θ2是不可區(qū)分的.

在此基礎(chǔ)上,許多學(xué)者進(jìn)一步研究了更復(fù)雜的系統(tǒng)中的可辨識性問題,如Yuan[57]等研究了參數(shù)化的線性切換系統(tǒng)可辨識性與線性時不變系統(tǒng)全局可辨識性的等價性,并對該切換系統(tǒng)提出了可辨識性新的充要條件.除此之外,許多學(xué)者研究了更具體的可辨識性與可區(qū)分性概念的理論條件,如“結(jié)構(gòu)輸出可區(qū)分性”[12]、“絕對可區(qū)分性”[48]、“受控可區(qū)分性”[50]等概念的充要條件.

然而,經(jīng)典的可辨識性的分析方法計算量較大,一些學(xué)者利用過渡矩陣簡化定理[58]、符號計算[14,59]等提出了簡化的可辨識性測試方法.此外,學(xué)者們還發(fā)展了在離散時間線性系統(tǒng)[60]、偏微分方程描述的系統(tǒng)[61]等不同系統(tǒng)中的可辨識性研究工作,如Nakagiri[61]提出的與線性算子理論相關(guān)的一系列可辨識性結(jié)論.

基于前述的理論結(jié)果,許多學(xué)者將可辨識性理論應(yīng)用到實驗設(shè)計中,常用于觀測數(shù)據(jù)采集[15,44,62–63]、控制器設(shè)計[16–17]中.如Xia和Moog[44]研究了四維艾滋病毒模型的可辨識性,得到辨識所有參數(shù)所需的最少測量次數(shù)及進(jìn)行測量的最佳時間段,有助于制定臨床實踐的指導(dǎo)方針.Gut??a和Yamamoto[63]將經(jīng)典的線性系統(tǒng)結(jié)論推廣到物理量子系統(tǒng)上,研究給定條件下可辨識的參數(shù)種類、重構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)方式,以及提高估計精度的輸入輸出測量設(shè)計結(jié)論.除此之外,Nabavi和Chakrabortty[15]針對傳感器位置和算法設(shè)計展開研究,即保證可辨識性的輸出條件.Tesi和Battistelli[16]在切換系統(tǒng)中研究了保障可辨識性的時變反饋控制設(shè)計問題.

線性時不變系統(tǒng)的可辨識性分析經(jīng)典方法已經(jīng)有非常詳盡的總結(jié)文獻(xiàn).1985年,許多學(xué)者總結(jié)了分析線性時不變狀態(tài)空間方程的可辨識性經(jīng)典方法和應(yīng)對大規(guī)模問題的分析方法[14].Walter系統(tǒng)地介紹了線性動力系統(tǒng)的可辨識性分析方法[24],其后又發(fā)展了許多針對性能提升的可辨識性分析方法[18,31,59].

3.2 非線性時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)

由于非線性和時變性在實際物理系統(tǒng)中廣泛存在,因此學(xué)者們針對此類系統(tǒng)展開了系統(tǒng)辨識相關(guān)研究[19,64–65].由于其復(fù)雜性,對具有非線性和時變性的系統(tǒng)進(jìn)行可辨識性分析比線性系統(tǒng)要困難許多.以下簡要介紹在非線性時不變系統(tǒng)和時變系統(tǒng)中的可辨識性分析方法和相關(guān)研究.

3.2.1 非線性時不變系統(tǒng)

目前非線性可辨識性研究成果大多都是在具體的研究背景下,針對某些特殊形式的非線性系統(tǒng)研究可辨識性的分析方法,并得到相關(guān)結(jié)論.考慮非線性連續(xù)時間模型如下:

研究非線性系統(tǒng)可辨識性或可區(qū)分性的方法主要包括微分代數(shù)方法、泰勒級數(shù)方法、生成序列方法和局部狀態(tài)同構(gòu)方法[14,20,31].根據(jù)方法的分析思路和理論依據(jù),這些方法大致分為輸入輸出關(guān)系方法、輸出相等方法和局部同構(gòu)方法[66].

1)輸入輸出關(guān)系方法.

輸入輸出關(guān)系方法通?；诖鷶?shù)分析的定義7,在一定條件下,該方法一般可以推導(dǎo)出可辨識性的充要條件.在連續(xù)時間的情況下,通過消除未知的狀態(tài)變量,原系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化成一個只取決于輸入、輸出及其導(dǎo)數(shù)和參數(shù)的系統(tǒng).若參數(shù)能寫成僅取決于輸入、輸出和它們的導(dǎo)數(shù)的唯一解,它們就是可辨識的.許多方法能用來消除狀態(tài)變量[67],如微分代數(shù)方法[68]可通過將微分添加到相關(guān)代數(shù)式中,利用矢量場來消除狀態(tài)變量,從而得到只有所估計參數(shù)的微分、已知變量及其導(dǎo)數(shù)的輸入輸出關(guān)系,由此可以研究代數(shù)可辨識性.在離散時間情況下,該方法中的導(dǎo)數(shù)可由迭代數(shù)取代[69].目前利用微分代數(shù)研究非線性系統(tǒng)可辨識性的方法已經(jīng)取得許多成果[28,31,70–75],例如Audoly等[72]提出了非線性動力學(xué)的全局可辨識性的測試方法,該方法可以處理很多生物模型.

然而,由于未知狀態(tài)變量在替代處理過程中被消除了,輸入輸出關(guān)系方法一般不會考慮狀態(tài)的初始條件.Saccomani等[43]和Denis-Vidal等[76–77]的研究顯示了初始條件對辨識和可辨識性的重要作用,且在特定的初始條件下輸入輸出關(guān)系方法不再適用,因此需要其他的可辨識性測試方法來保障特殊初始條件下可辨識性分析的有效性.

2)輸出相等方法.

輸出相等的方法通常源于通過系統(tǒng)輸出定義的可辨識性概念,如定義4,并且可以分析給定初始條件的可辨識性問題,如定義5,但由此一般只能推導(dǎo)出可辨識性的充分條件.輸出相等方法是在兩個參數(shù)下測試來自同一初始條件的兩個輸出軌跡是否相等.如果參數(shù)可辨識,則相同的輸出軌跡意味著參數(shù)相等.這種方法包括生成序列法[14]、泰勒級數(shù)法[25]等.

生成序列方法是將非線性輸出相對于輸入域在初始點進(jìn)行線性化展開.針對系統(tǒng)(5),該方法將系統(tǒng)輸出擴展成時間和輸入的序列,序列中每一項的參數(shù)是觀測函數(shù)h沿向量場于初始點x(0)的Lie導(dǎo)數(shù),即Lf0···Lfjh(x(t),θ)|0,其中fj為向量場f的第j個組成分量,則輸出相等問題轉(zhuǎn)化成生成序列的參數(shù)相等問題.該方法在文獻(xiàn)[14]第5章有詳細(xì)介紹.

泰勒級數(shù)法是將非線性輸出相對時域在初始點進(jìn)行線性化展開,將輸出相等問題轉(zhuǎn)化成t→0+時輸出對時間的k階導(dǎo)數(shù)相等,即如Godfrey和Fitch[78]應(yīng)用該方法分析藥物動力學(xué)方程的可辨識性,得到了參數(shù)的相關(guān)特性.在離散時間模型中,輸出軌跡的等價性則是通過逐個樣本測試進(jìn)行驗證.

3)局部狀態(tài)同構(gòu)方法.

局部狀態(tài)同構(gòu)方法基于同構(gòu)定理[79],可以分析由系統(tǒng)輸出定義的可辨識性,如定義4,以及給定初始條件的可辨識性問題,如定義5,并且利用同構(gòu)唯一性和可辨識性的聯(lián)系,一般可以推導(dǎo)出可辨識性的充分必要條件,但該方法可能會帶來很大的計算量.該方法的基本理論為:對滿足局部可觀和可控的系統(tǒng),若該系統(tǒng)與另一個系統(tǒng)共軛(或同構(gòu)),且該同構(gòu)滿足唯一或等價條件,那么該系統(tǒng)是可辨識的.在連續(xù)時間系統(tǒng)中,Tunali和Tarn[27]最初研究了給定初始條件的局部強可辨識性充要條件,Vajda等[26]利用局部狀態(tài)同構(gòu)理論將相似變換方法擴展到非線性情況中.后來局部狀態(tài)同構(gòu)方法在離散時間的多項式模型中也得到了相應(yīng)的應(yīng)用,并得到了可辨識性的充要條件[66].

此外,近幾年符號計算工具[80]也有長足發(fā)展,如與生成序列方法相關(guān)的GenSSI(generating series for testing structural identifiability)[81],對多項式或有理常微分方程描述的線性/非線性動力系統(tǒng),基于微分代數(shù)方法的DAISY(differential algebra for identifiability of systems)[82],COMBOS[75],STRIKE-GOLDD(structural identifiability taken as extended-generalized observability with lie derivatives and decomposition)[83],SIAN(structural identifiability analyser)[84–85],其中Hong等在文獻(xiàn)[84]中對GenSSI,DAISY和COMBOS的可辨識性分析性能進(jìn)行了評估和比較,在文獻(xiàn)[85]中提供了SIAN的理論基礎(chǔ).

總之,學(xué)者們針對非線性模型的可辨識性測試已經(jīng)提出了許多方法,但沒有通用方法適用于所有的非線性情況,且很難事先選擇最合適的方法[54],對這些方法的具體學(xué)習(xí)可以參考引言中相關(guān)文獻(xiàn)和較新的對可辨識性分析方法的綜述文獻(xiàn)[86–88].以下對幾種方法的特點作簡要總結(jié): 輸入輸出方法和局部同構(gòu)方法通?？梢酝茖?dǎo)出充要條件,其中輸入輸出方法適用于多項式或有理函數(shù)的模型,通過利用符號計算工具,其在大型動力系統(tǒng)的(局部)可辨識性分析上有較高的效率,但可能不適用于處理給定初始條件的可辨識性問題.局部同構(gòu)方法在給定初始條件下仍然有效,但可能會帶來較大的計算量.輸出相等方法,如泰勒級數(shù)和生成序列方法,可以處理給定初始條件下的可辨識性問題,但需要函數(shù)可導(dǎo)的相關(guān)條件,可能需要求解復(fù)雜的代數(shù)方程,因此這些方法可能僅適用于小規(guī)模的系統(tǒng),通常只能得到充分條件.

3.2.2 時變系統(tǒng)

時變模型在生物系統(tǒng)[72]、信息物理系統(tǒng)[65]等實際系統(tǒng)的建模研究中很重要.大部分非線性時不變系統(tǒng)的可辨識性分析方法也適用于時變系統(tǒng)[14,24–25,72].

最初時變系統(tǒng)的可辨識性問題的研究較為局限,主要取決于可獲得的先驗信息量,如參數(shù)時變特性等.學(xué)者們一般在參數(shù)的某些時變先驗條件已知情況下分析時變系統(tǒng)的可辨識性[89–91].1982年,有學(xué)者開始研究自由變化參數(shù)的模型和離散模型的可辨識性.如Sufleta[92]在線性模型的參數(shù)周期性變化情況下研究了參數(shù)唯一辨識的充要條件.在連續(xù)的非線性情況下,Audoly等[72]在研究非線性生物系統(tǒng)全局可辨識性問題時,提出了測試非線性動力模型的全局可辨識性的算法,這種算法也可以用來測試時變模型.在離散線性時變模型中,Silvestre等[93]研究了絕對可區(qū)分性問題,研究得出了時變系統(tǒng)的可區(qū)分性的激勵條件.

3.2.3 時間延遲系統(tǒng)

在實際建模過程中,數(shù)據(jù)測量、設(shè)備物理特性等因素可能造成信號的延遲.Nakagiri和Yamamoto[94]首次在時間延遲系統(tǒng)中提出了可辨識性問題.下面分別從線性與非線性來介紹時間延遲系統(tǒng)的相關(guān)研究.

在線性時延模型的可辨識性一般是在已知輸入量某些先驗條件的情況下進(jìn)行的.非連續(xù)的控制輸入描述如下

其中:0=τ0<τ1<···<τd為時間延遲;系統(tǒng)狀態(tài)x(t)∈Rn;輸出y(t)∈Rm;輸入u(t)∈U1,U1為Rl的開子集;參數(shù)θ ∈Θ ?Rq;Ai∈Rn×n;Bi∈Rn×l;Ci∈Rm×n.

在自治系統(tǒng)中,Verduyn Lunel[95]利用算子理論,在已知特解的前提條件下研究得出了模型的可辨識性充要條件;在考慮輸入時,研究表明弱可控性與可辨識性的聯(lián)系緊密[96–98],進(jìn)而Belkoura等[99]研究了輸入信號構(gòu)建,完成參數(shù)可辨識性分析的實用框架、Orlov等[100]研究了非光滑輸入信號的構(gòu)建,使系統(tǒng)傳遞函數(shù)可辨識.

研究非線性時延模型的可辨識性分析方法可從前文介紹過的泰勒級數(shù)法、生成序列法、微分代數(shù)法等擴展而來.如Denis-Vidal等[3]將文獻(xiàn)[11]中的可辨識性分析方法擴展到時間延遲系統(tǒng)中,通過在平衡點線性化方法使得文獻(xiàn)[100]中線性系統(tǒng)的可辨識結(jié)論可以使用,并在非線性時延的航空模型下得到了驗證.Zhang等[42]在非線性時間延遲系統(tǒng)中類比定義了“幾何可辨識性”、“代數(shù)可辨識性”、“給定初始條件的可辨識性”等可辨識性概念,并提出了這些概念的特征和判定標(biāo)準(zhǔn),研究了時間延遲系統(tǒng)中這些概念的相互關(guān)系.

4 動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的可辨識性問題

4.1 動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)模型

隨著研究對象越來越復(fù)雜,許多復(fù)雜的系統(tǒng)可以被建模為動力學(xué)網(wǎng)絡(luò),如生化反應(yīng)過程、關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施、社交媒體和無線網(wǎng)等[62].動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)由系統(tǒng)狀態(tài)、外在激勵與噪聲的相互關(guān)系構(gòu)成,它不僅可以用來描述子系統(tǒng)之間的互相作用,還可以表示節(jié)點信號的因果推斷關(guān)系,下文將其簡稱為網(wǎng)絡(luò).

網(wǎng)絡(luò)模型由狀態(tài)空間模型引申而來.考慮部分狀態(tài)觀測的系統(tǒng),描述如下:

其中:x(t)=[yT(t)zT(t)]T∈Rn是系統(tǒng)全狀態(tài)量;y(t)∈Rm為觀測狀態(tài);z(t)∈Rn-m為隱藏狀態(tài);u(t)∈Rr是系統(tǒng)輸入量;A∈Rn×n;B∈Rn×l;C=[I0]∈Rm×n為系統(tǒng)矩陣,這里I∈Rn×n為單位矩陣.該動力系統(tǒng)的完整網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),即描述輸入變量和狀態(tài)變量之間因果關(guān)系的圖,可以從系統(tǒng)矩陣A和B中得到.當(dāng)部分狀態(tài)量可測,Gonc?alves和Warnick[101]引入了不含隱藏狀態(tài)結(jié)構(gòu)信息的動力學(xué)結(jié)構(gòu)函數(shù)(Q,P)表示輸入和觀測狀態(tài)的因果關(guān)系,作為該系統(tǒng)的動力學(xué)結(jié)構(gòu)表示.記Y,Z,U分別為y,z,u的Laplace變換,則系統(tǒng)的輸入輸出可以由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)完全解耦的系統(tǒng)來描述,得到

其中:Q∈Rm×m為Yk到Y(jié)j(1≤k,j≤m,k≠j)的轉(zhuǎn)移函數(shù)的矩陣,P∈Rr×m表示Uk到Y(jié)j(1≤k≤r,1≤j≤m)的傳遞函數(shù)的矩陣.經(jīng)過一些學(xué)者研究和討論,網(wǎng)絡(luò)模型演化為一般的因果線性傳遞模型,節(jié)點代表測量的內(nèi)部信號,節(jié)點間的有向邊代表信號傳遞,模型描述如下:

其中:w(t)∈Rn為節(jié)點信號;r(t)∈Rl為激勵信號;y(t)∈Rm為觀測節(jié)點信號;v1(t),v2(t)∈Rn為噪聲信號;R(q)∈Rn×l為激勵矩陣;C∈Rm×n為觀測矩陣;G(q)∈Rn×n為傳遞矩陣;q-1是單位延遲算子,即q-1w(t)=w(t-1).

除此之外,還可以將每個子系統(tǒng)視為節(jié)點進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)動態(tài)描述.針對由N個子系統(tǒng)構(gòu)成的線性時不變網(wǎng)絡(luò)化動態(tài)系統(tǒng),其第i個子系統(tǒng)可以如下描述[102]:

其中:δ(·)為函數(shù)對時間的求導(dǎo)算子或前向時移算子,x(t,i)為第i個子系統(tǒng)于t時刻的狀態(tài)向量,v(t,i)和z(t,i)為第i個子系統(tǒng)于t時刻的內(nèi)部輸入/輸出向量.記v(t),z(t)為網(wǎng)絡(luò)中內(nèi)部輸入和輸出向量,子系統(tǒng)之間的連接可以如下表示:

其中Φ為系統(tǒng)連接矩陣,描述了節(jié)點之間的相互作用.網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為:以每個子系統(tǒng)為節(jié)點,系統(tǒng)連接矩陣的非零元素為邊來構(gòu)建的圖模型.許多學(xué)者對該類模型進(jìn)行了深入的可辨識性研究,如針對能否從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)微分代數(shù)方程網(wǎng)絡(luò)中的相互作用的問題,文獻(xiàn)[103]得到了與網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣的特征向量相關(guān)的條件.在子系統(tǒng)之間特定連接的情況下,即Φ滿足一定條件,文獻(xiàn)[102]理論提出并數(shù)值驗證了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的全局可辨識的充分必要條件.

4.2 動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的可辨識性研究

由于實際情況下網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和動態(tài)規(guī)則是未知的,從觀測的時序數(shù)據(jù)中恢復(fù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),是動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)研究中的一個重要研究課題,稱為網(wǎng)絡(luò)重構(gòu).網(wǎng)絡(luò)的可辨識性(可重構(gòu)性)是指利用節(jié)點信號和激勵信號等測量數(shù)據(jù)能夠唯一重構(gòu)一個模塊或整個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的性質(zhì).若需重構(gòu)部分網(wǎng)絡(luò)或整個網(wǎng)絡(luò),必須要滿足可辨識性的相關(guān)條件.因此越來越多的學(xué)者對網(wǎng)絡(luò)的可辨識性研究感興趣.

相對于動力系統(tǒng)的可辨識性概念,動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的可辨識性概念內(nèi)涵更為復(fù)雜,不僅包括網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)的唯一性,還包括網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的唯一性.其具體定義和總結(jié)可見文獻(xiàn)[104]第2章.影響網(wǎng)絡(luò)可辨識性的因素包括網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、外部激勵信號的性質(zhì)和位置以及被測節(jié)點信號的選擇.針對以上影響可辨識性的因素,許多學(xué)者開展相關(guān)研究工作,研究問題包括空間信息缺失的網(wǎng)絡(luò)可辨識性問題[15,62,101,105–114]、考慮局部網(wǎng)絡(luò)恢復(fù)的模塊可辨識性問題[115–119]、時間信息缺失的可辨識性問題[49]、噪聲引起的可辨識性問題[120–121]等.

2008年,Gonc?alves和Warnick[101]發(fā)現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)部分狀態(tài)可測情況下相同的傳遞函數(shù)可能對應(yīng)不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),即存在傳遞函數(shù)揭示的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)信息量少的問題,他們研究并描述了恢復(fù)線性時不變動力系統(tǒng)中網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)所需的額外信息.自此許多學(xué)者開始進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)的可辨識性研究,比如Yuan等[121]在Gonc?alves和Warnick的研究基礎(chǔ)上考慮額外的噪聲,計算了辨識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)所需的測量數(shù)據(jù)與特定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)生成數(shù)據(jù)之間的最小距離.此外,許多學(xué)者針對網(wǎng)絡(luò)中感興趣模塊的辨識問題展開了研究工作,如Weerts等[116]提出了“模塊可辨識”的定義,并研究了模塊可辨識性的拓?fù)錀l件,Shi等[119]提出了分配激勵的方法等.

本節(jié)主要針對方程(7)–(8)描述的網(wǎng)絡(luò)可辨識性研究進(jìn)行介紹,其通常在4 種網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下進(jìn)行討論,即全部節(jié)點觀測時部分節(jié)點激勵(C=I,B≠I)、全部節(jié)點激勵時部分節(jié)點觀測(CI,B=I)、部分節(jié)點激勵和部分節(jié)點觀測(CI,B≠I)以及全部節(jié)點觀測的自治系統(tǒng)(C=I)這4 種情況.

1)全觀測部分激勵系統(tǒng)(C=I,BI).

在全觀測部分激勵的情況下,許多工作研究了保障可辨識性的激勵條件.例如Cheng等[113]研究了網(wǎng)絡(luò)可辨識的激勵節(jié)點的條件,得出在非連接集的頂點分配激勵的結(jié)論,并提供了合成方法來分配激勵,以及Weerts等[109]考慮了干擾信號影響下,可辨識性對激勵信號的要求.

2)全激勵部分觀測系統(tǒng)(CI,B=I).

在全激勵部分觀測的情況下,相應(yīng)地可以研究網(wǎng)絡(luò)可辨識的觀測條件.例如Nabavi和Chakrabortty[15]針對加權(quán)一致網(wǎng)絡(luò)提出了全局可辨識的圖論條件,并研究了傳感器的放置方式,Hendrickx等[106]針對已知拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò),研究了部分節(jié)點可測和激勵信號已知的條件下恢復(fù)整個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的的圖論條件,進(jìn)而可以分配觀測節(jié)點.

3)部分觀測部分激勵系統(tǒng)(CI,B≠I).

當(dāng)綜合考慮以上兩種因素,即部分觀測和部分激勵的情況,許多學(xué)者研究了實際因素影響的可辨識性問題,如Hayden等[120]考慮了本質(zhì)性噪聲(輸入)的網(wǎng)絡(luò)可辨識性,即研究未知的噪聲作為輸入時的可辨識性條件.除此之外,一些學(xué)者提出分配激勵和觀測信號的方法.如Bazanella等[122]對通用可辨識性的觀測和激勵條件進(jìn)行了研究,得到了辨識給定邊集的條件,即與需要辨識的邊相連的節(jié)點必須是被激勵的或被測量的,或者同時被激勵和測量.Cheng等[123]提出了在激勵或分配的個數(shù)限制下,在完全測量或激勵的網(wǎng)絡(luò)中分配激勵或測量的算法.

4)全觀測的自治系統(tǒng)(C=I).

在全觀測自治系統(tǒng)情況下,學(xué)者們不再討論空間信息缺失對可辨識性的影響,轉(zhuǎn)而討論時間信息缺失帶來的可辨識性問題.由于測量數(shù)據(jù)始終是通過采樣得到的離散值,往往會損失系統(tǒng)動態(tài)信息,因此對時間上的采樣問題帶來的可辨識性問題也逐漸受到學(xué)者們的關(guān)注.2013 年,Bennett等[21]在研究環(huán)境模型的性能時提出了采樣慢帶來的混淆問題,并說明反饋的存在可能可以提高可辨識性.2020年,Yue等[49]考慮了時間上數(shù)據(jù)信息缺失對線性時不變網(wǎng)絡(luò)的可辨識性帶來的影響,首次定義了低采樣率造成的“系統(tǒng)混淆”概念,利用矩陣?yán)碚?、連續(xù)時間狀態(tài)空間模型和離散時間狀態(tài)空間模型之間的系統(tǒng)矩陣關(guān)系進(jìn)行研究,得到了最小采樣頻率的結(jié)論.該結(jié)論與連續(xù)系統(tǒng)矩陣特征值的虛部密切相關(guān),即特征值虛部絕對值的最大值與采樣頻率最小值成反比,與特征值虛部與系統(tǒng)振蕩特性相關(guān)的研究成果相符.這啟發(fā)了在數(shù)據(jù)的本身特性的約束下進(jìn)行可辨識性理論研究的思路.

5 總結(jié)和討論

系統(tǒng)辨識是許多研究領(lǐng)域普遍而基本的問題,可辨識性是進(jìn)行辨識必須滿足的模型性質(zhì).本文圍繞著可辨識性概念發(fā)展和相關(guān)研究工作進(jìn)行綜述,分別在線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)與時變系統(tǒng)、時間延遲系統(tǒng)和動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)中闡述了可辨識性的主要問題,對相關(guān)結(jié)論進(jìn)行了簡單的總結(jié),介紹了可辨識性分析經(jīng)典方法.雖然國內(nèi)外眾多學(xué)者對動力系統(tǒng)可辨識性問題的研究已經(jīng)取得了一系列重要進(jìn)展,但由于實際系統(tǒng)具有未知性,測量數(shù)據(jù)具有不連續(xù)性、異構(gòu)性等,目前的研究成果還存在著很大的局限,很多有意義且具有挑戰(zhàn)性的問題還需要進(jìn)一步深入研究,如保障可辨識性的“合格數(shù)據(jù)集”研究.

由于數(shù)字化時代下海量數(shù)據(jù)在各行業(yè)得到了廣泛應(yīng)用,保障可辨識性的數(shù)據(jù)條件研究將更加關(guān)鍵,即在具體背景或系統(tǒng)中研究具有辨識價值的數(shù)據(jù)所需的特性,以完善可用的“合格數(shù)據(jù)集”的標(biāo)準(zhǔn).因此,考慮具體數(shù)據(jù)特性的可辨識性分析將受到更多關(guān)注,如Yue等[49]研究的問題,針對某個線性系統(tǒng)的離散采樣數(shù)據(jù),采樣頻率需要滿足什么條件才是“合格”的.這引發(fā)思考,在含噪聲的測量數(shù)據(jù)中,噪聲的統(tǒng)計特征需要滿足什么條件才是合格的;以及非線性系統(tǒng)下的情況.傳統(tǒng)可辨識性分析方法可指導(dǎo)采集空間信息充分的數(shù)據(jù),但由于這些方法一般需要借助導(dǎo)數(shù)、微分等方法,難以用于考慮數(shù)據(jù)離散性的可辨識性研究.為了考慮這些問題,必須扎根數(shù)學(xué)的土壤,將實際問題與數(shù)學(xué)理論聯(lián)系在一起,即在數(shù)學(xué)定理中尋找能夠解決實際問題的對應(yīng),求證在實際情況下能否滿足所需的數(shù)學(xué)假設(shè),或?qū)で髽?gòu)建實際條件的方式來滿足數(shù)學(xué)前提條件,再將數(shù)學(xué)描述的解轉(zhuǎn)化為實際背景下的物理解釋.因此,隨著新的時代需求出現(xiàn),可辨識性也會出現(xiàn)新的問題和挑戰(zhàn)需要解決和克服.