王知真，郭繼東，b

(1.伊犁師范大學(xué)a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院；b.應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，新疆伊寧 835000)

0 引言

在文獻[1]中，F(xiàn)robenius 給出：設(shè)Cn為n階循環(huán)群，G是有限群，則Cn到有限群G的同態(tài)個數(shù)滿 足 | Hom(Cn，G)|≡0(m od (n，|G|))，其 中，(n，|G|)表示n與|G|的最大公因數(shù).1993 年，T.Yoshida 在文獻[2]中推廣了Frobenius 定理，將循環(huán)群換成了有限交換群.同一年T.Asai 和T.Yoshida 在文獻[3]中提出了如下猜想：

對任意有限群A和B，均有

其中，A′是A的換位子群.

文獻[4—9]分別計算了二面體群D2n、擬二面體群QD2n、Sylowp-子群為循環(huán)群的10pn階非交換群G10pn、模群Mpm等群間的同態(tài)個數(shù).對于pm階模群到2nq階亞循環(huán)群的同態(tài)個數(shù)目前未見相關(guān)文獻報道.本文具體計算這兩類群的同態(tài)個數(shù)，并驗證其滿足T.Asai 和T.Yoshida 猜想.

由文獻[4]知：稱Mpm為pm階的模群(p為素數(shù)，m≥3 為正整數(shù))，如果

由文獻[8]知：稱Gn，2q為2nq階亞循環(huán)群(q為奇素數(shù)，n為正整數(shù))，如果

本文中所考慮的Mpm和Gn，2q都是有限群，(u,v)表示整數(shù)u與v的最大公因數(shù)，[u,v]表示整數(shù)u與v的最小公倍數(shù)，φ表示Euler 函數(shù).

1 預(yù)備知識

引理1設(shè)Mpm為pm階模群，則

證明任取，由換位子群的定義知

引理3設(shè)Gn，2q為2nq階亞循環(huán)群，則

證明因為ab=ba-1，所以有aib=ba-i，進而有

因此引理3 成立.

引理4[8]設(shè)Gn，2q為2nq階亞循環(huán)群，則

特別地，若j=q，則°(aibj)=2；若j≠q，則°(aibj)=2q.

引理5[10]設(shè)G和是兩個有限群，Hom(G,)是G到的所有群同態(tài)構(gòu)成的集合.則任取g∈G和θ∈Hom(G,)，恒 有°(gθ)| °(g)，其中°(g)是g在G中的階，°(gθ)是gθ在中的階.

2 主要定理及其證明

定理2.1設(shè)p為素數(shù)且p=2，m≥3 為正整數(shù)，則

當(dāng)2?n時，下面按4 種假設(shè)來證明：

假設(shè)2.1.1 設(shè)θ：M2m→Gn,2q(x→1,y→1)，則θ為群同態(tài).

顯然，此時θ為平凡同態(tài)，所以此時群同態(tài)θ只有一種選擇.

假 設(shè)2.1.2 設(shè)θ：M2→mGn,2q(x→akbq,y→aibq)，其中0 ≤k,i

可得ai-k=ak-i，所以(ai-k)2=1，解得i=k.

故θ為群同態(tài)，所以此時群同態(tài)θ有n種選擇.

假設(shè)2.1.3 設(shè)θ：M2m→Gn,2q(x→1,y→aibq)（0 ≤i

證明與假設(shè)2.1.2 類似，此時群同態(tài)θ有n種選擇.

假設(shè)2.1.4 設(shè)θ：M2m→Gn,2q(x→akbq,y→1)，其中0 ≤k

證明與假設(shè)2.1.2 類似，此時群同態(tài)θ有n種選擇.

當(dāng)2|n時，也按下面4 種假設(shè)來證明：

假 設(shè)2.1.5設(shè)θ：M2m→Gn,2q(x→ak,y→ai)，其中0≤k,i

另一方面

從而

故θ為群同態(tài).

假設(shè)2.1.6 設(shè)θ：M2m→Gn,2q(x→akbq,y→aibq)（0 ≤k,i

另一方面

當(dāng)t1≡0(mod 2)或s2≡0(mod 2)時，顯然

當(dāng)t1≡1(mod 2)與s2≡1(mod 2)時，因 為(ai-k)2=1，所以

從而

故θ為群同態(tài).

因 為yθ有2 種選擇，從而xθ有n種選擇.所以此時群同態(tài)θ有2n種選擇.

假設(shè)2.1.7 設(shè)θ：M2m→Gn,2q(x→ak,y→aibq)（0 ≤k,i

證明與假設(shè)2.1.6 類似，此時群同態(tài)θ有2n種選擇.

假設(shè)2.1.8設(shè)θ：M2m→Gn,2q(x→akbq,y→ai)（0 ≤k,i

證明與假設(shè)2.1.6 類似，此時群同態(tài)θ有2n種選擇.

定理2.2設(shè)p為奇素數(shù)且p=q，m≥3 為正整數(shù)，則

當(dāng)q?n時，有如下假設(shè)：

假設(shè)2.2.1 設(shè)θ：Mqm→Gn,2q(x→bl,y→bj)（0 ≤l,j

故θ為群同態(tài).所以此時群同態(tài)θ有q2種選擇.

當(dāng)q|n時，有如下假設(shè)：

假 設(shè)2.2.2 設(shè)θ：Mqm→Gn,2q(x→akbl,y→aibj)（0≤k,i

另一方面

從而

故θ為群同態(tài).

定理2.3設(shè)p為奇素數(shù)且p≠q，n≥3 為正整數(shù)，則

當(dāng)p?n時，有°(xθ)|1，°(yθ)|1，由Gn,2q中 元素的性質(zhì)可知

當(dāng)p|n時，有°(xθ)|(pm-1,n)，°(yθ)|p，由Gn,2q中元素的性質(zhì)可知

當(dāng)p?n時，有如下假設(shè)：

假設(shè)2.3.1 設(shè)θ：Mpm→Gn,2q(x→1,y→1)，則θ為群同態(tài).

顯然此時θ為平凡同態(tài)，所以此時群同態(tài)θ只有一種選擇.

當(dāng)p|n時，有如下假設(shè)：

假 設(shè)2.3.2 設(shè)θ：Mpm→Gn,2q(x→ak,y→ai)（0 ≤k,i

故θ為群同態(tài).

下面對定理2.1—2.3 的結(jié)論驗證T.Asai &T.Yoshida 猜想.

定理2.4設(shè)p為素數(shù)且p=2，m≥3 為正整數(shù)，則

證明由引理2 知 |M2m/M′2m|=2m-1，易知亞循環(huán)群|Gn,2q|=2nq.

由定理2.1 知，當(dāng)2?n時，

即M2m到Gn,2q的同態(tài)個數(shù)滿足T.Asai &T.Yoshida 猜想.

定理2.5設(shè)p為奇素數(shù)且p=q，m≥3 為正整數(shù)，則

證明由引理2 知 |Mqm/M′qm|=qm-1，易知亞循環(huán)群|Gn,2q|=2nq.

由定理2.2 知，當(dāng)q?n時，

即Mqm到Gn,2q的同態(tài)個數(shù)滿足T.Asai &T.Yoshida 猜想.

定理2.6設(shè)p為奇素數(shù)且p≠q，m≥3 為正整數(shù)，則

由定理2.3 知，當(dāng)p?n時，

當(dāng)p|n時，

即Mpm到Gn,2q的同態(tài)個數(shù)滿足T.Asai &T.Yoshida 猜想.