季 昀，段 杭，孟亞運，王 霄，李同春

(1.國家能源局大壩安全監(jiān)察中心，浙江 杭州 310014；2.中國電建集團華東勘測設(shè)計研究院有限公司，浙江 杭州 310014；3.中國三峽建工(集團)有限公司白鶴灘工程建設(shè)部，四川 成都 610041；4.中國電建集團中南勘測設(shè)計研究院有限公司，湖南 長沙 410014；5.淮安市水利勘測設(shè)計研究院有限公司，江蘇 淮安 223001；6.河海大學(xué)水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210024)

0 引 言

結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析，或稱為結(jié)構(gòu)可靠度靈敏度分析，是結(jié)構(gòu)可靠度分析的重要組成部分。通過結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析，可以得到各輸入隨機變量分布參數(shù)的變化引起失效概率變化的不同程度，從而確定各參數(shù)對結(jié)構(gòu)安全影響的重要程度，為工程設(shè)計、施工和管理供有益的指導(dǎo)與反饋。

依據(jù)結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析的定義，不難得到一次二階矩法等結(jié)構(gòu)可靠度算法所對應(yīng)的敏感性分析公式。然而，由于一次二階矩等方法僅適用于功能函數(shù)為顯式的情況，而重力壩等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠度分析功能函數(shù)通常為隱式函數(shù)，此時，基于一次二階矩法的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析公式將不再適用。作為一種新興的代理模型方法(Metamodel，Model of model)，隨機響應(yīng)面法采用隨機多項式[1](一般為Hermite正交多項式)作為響應(yīng)面函數(shù)，相比于經(jīng)典響應(yīng)面法所采用的序列多項式，具有明確的數(shù)學(xué)意義和理論證明的收斂特性[2]。近年來，隨機響應(yīng)面法及基于隨機響應(yīng)面法的非侵入式隨機有限元法在工程結(jié)構(gòu)可靠度分析中得到了一定的推廣和應(yīng)用[3-7]。然而，目前尚未出現(xiàn)有關(guān)結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面法敏感性分析及其應(yīng)用方面的文獻。Sudret[8]采用隨機多項式進行了系統(tǒng)敏感性分析，但其研究的對象是物理系統(tǒng)，且對應(yīng)的敏感性分析研究本質(zhì)上屬于方差分析的范疇，與結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析的定義并不相同。Isukapalli[9]在其博士論文中研究了“Coupling of the SRSM with sensitivity analysis methods”，并編寫了相關(guān)計算程序SRSM-ADIFOR。但是，Isukapalli的研究僅僅是得到了隨機響應(yīng)面方程對于各隨機變量的偏導(dǎo)公式，而結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析真正需要求解的應(yīng)是失效概率對于各隨機變量及其特征參數(shù)的偏導(dǎo)公式。

一般地，由于隨機響應(yīng)面法的基本變量均為標準正態(tài)隨機變量，故可以將隨機響應(yīng)面法與幾何法結(jié)合起來求解結(jié)構(gòu)可靠指標和失效概率。本文將推導(dǎo)幾何法與隨機響應(yīng)面法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析公式，并應(yīng)用于工程實例。

1 基于一次二階矩方法的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析

一次二階矩法在均值點將功能函數(shù)進行展開，在應(yīng)用時具有諸多的局限性[10]。但是，作為最早出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)可靠度計算方法，該方法概念清晰，便于闡述結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析的概念。因此，在介紹基于隨機響應(yīng)面法的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析理論前，首先給出基于一次二階矩方法的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析計算公式及其推導(dǎo)過程。

一般情況下，可以認為失效概率與可靠指標具有如下一一對應(yīng)的關(guān)系

Pf=1-Φ(β)

(1)

式中，Pf為失效概率；Φ(·)為標準正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)；β為可靠指標。

由式(1)，可得

(2)

式中，φ(·)為標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)；其他各變量含義同前。

當輸入基本隨機變量向量x相互獨立且功能函數(shù)為線性時，有

(3)

(4)

式中，μxi為輸入隨機變量xi的均值；ai為線性功能函數(shù)g的表達式中xi所對應(yīng)的系數(shù)；σg為功能函數(shù)g的標準差。則失效概率Pf對于均值μxi和標準差σxi的敏感性可表示為

(5)

(6)

當基本隨機變量向量x中各變量相互獨立且功能函數(shù)為非線性時，可得失效概率Pf對于均值μxi和標準差σxi的敏感性為

(7)

(8)

2 基于隨機響應(yīng)面法的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析

隨機響應(yīng)面法是一種全局響應(yīng)面法，因而基于該方法的敏感性分析是具有實際物理意義的，而以經(jīng)典響應(yīng)面法(序列多項式響應(yīng)面法)為代表的局部響應(yīng)面法通常并不具有這樣的特性。此外隨機響應(yīng)面法的基本變量均為標準正態(tài)隨機變量，可以方便地將隨機響應(yīng)面法與幾何法結(jié)合起來求解結(jié)構(gòu)可靠指標和失效概率。

對任意設(shè)計變量b(可以代表任一隨機變量的均值或標準差)，結(jié)構(gòu)的失效概率對其敏感性可表述為

(9)

式中，b為任意設(shè)計變量；其余各符號含義同前。

當在結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面法中采用幾何法計算結(jié)構(gòu)的可靠指標時，可靠指標的求解可等效表述為幾何法中的約束問題。當分析結(jié)構(gòu)失效概率對設(shè)計變量b的敏感性時，有

(10)

式中，ξ為結(jié)構(gòu)的輸入隨機變量向量為輸入變量向量x經(jīng)一定的變量轉(zhuǎn)換運算得到一組新的標準正態(tài)隨機空間內(nèi)的隨機變量向量，且ξ=(x-μx)/σx={ξ1，ξ2，…，ξn}T；其他各符號含義同前。

δβ=?ξL(ξ)δξ

(11)

式中，δβ為可靠指標β相對于變量b的變分；δξ為輸入隨機變量向量ξ相對于變量b的變分；L(ξ)=(ξTξ)1/2；?ξL(ξ)表示L(ξ)對于正態(tài)分布的隨機向量ξ的矢量導(dǎo)數(shù)。

δg=?bgδb+?ξgδξ=0

(12)

式中，?bg為極限狀態(tài)方程g在點ξ*和b0處對不同取值的變量b構(gòu)成的向量b的矢量導(dǎo)數(shù)；?ξg為極限狀態(tài)方程g在點ξ*和b0處對輸入隨機向量ξ的矢量導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)非線性規(guī)劃的相關(guān)理論，上式須在b*處滿足Kuhn-Tucker條件，而這可以通過引入拉格朗日乘子λ來實現(xiàn)。于是，式(10)所示的約束問題最終轉(zhuǎn)化為

?ξL(ξ)+λ?ξg(ξ)=0

Subject toZ=g(ξ*，b0)=0

(13)

由式(12)，易得

?bgδb=-?ξgδξ

(14)

將式(14)代入式(13)，可得

?ξLδξ=λ?bgδb

(15)

綜上，可靠指標對于任意變量b的敏感性可表示為

(16)

式(16)中的拉格朗日乘子λ可以由Kuhn-Tucker條件?ξL(ξ)+λ?ξg(ξ)=0求得。對該方程兩邊同取歐式范數(shù)(2-范數(shù))，有

(17)

由于拉格朗日乘子λ為負實數(shù)，因此有

(18)

當上述推導(dǎo)過程中的變量b表示為任一輸入隨機變量ξi(i=1，2，…，n)的均值時，有

(19)

(20)

故可靠指標β對于輸入隨機變量向量的均值的敏感性計算公式可表示為

(21)

同理，若將變量b表示為任一輸入隨機變量ξi(i=1，2，…，n)的標準差時，類似可得

(22)

式(21)、式(22)與式(3)、式(4)在形式上是一致的，這表明，式(3)、式(4)為式(21)、式(22)的一種特殊形式。類似地，可得采用幾何法的結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面中失效概率Pf對于均值μxi和標準差σxi的敏感性計算公式為

(23)

(24)

顯然，式(23)與式(24)結(jié)果均為無量綱的數(shù)值，可以用于衡量失效概率對于不同輸入隨機變量的敏感性。如用隨機響應(yīng)面函數(shù)替代式(23)和式(24)中的極限狀態(tài)方程g，即得到幾何法與隨機響應(yīng)法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)可靠度算法的敏感性分析公式。

3 算例驗證及工程應(yīng)用

3.1 算例——非線性方程

(25)

式中，ξ1、ξ2均為標準正態(tài)隨機變量，分別由結(jié)構(gòu)輸入隨機變量x1、x2轉(zhuǎn)化而來。

令ξ={ξ1，ξ2}，x={x1，x2}，則有

(26)

式中，μx為輸入隨機變量向量x的均值向量，且μx={1 000，250}；μx為輸入隨機向量x的標準差向量，且σx={200，37.5}。

可以認為，隨機響應(yīng)面法擬合得到的功能函數(shù)即為結(jié)構(gòu)實際的功能函數(shù)。則求得結(jié)構(gòu)功能函數(shù)分別對各基本變量ξi(i=1，2)的偏導(dǎo)表達式如下

(27)

(28)

采用幾何法求得標準正態(tài)空間內(nèi)的設(shè)計驗算點為ξ={ξ1，ξ2}={0.625 6，-2.244 9}，將其代入式(27)和式(28)，分別得到在設(shè)計驗算點附近結(jié)構(gòu)功能函數(shù)對各基本隨機變量ξi(i=1，2)的偏導(dǎo)數(shù)分別為-3.103和6.596 3。

于是，不難得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)對輸入隨機變量的2-范數(shù)為

(29)

根據(jù)前述推導(dǎo)得到的采用幾何法的結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面敏感性分析公式，求得結(jié)構(gòu)失效概率對各輸入隨機變量的均值敏感度如式(30)和式(31)所示，對標準差的敏感度如式(32)和式(33)所示。

(30)

(31)

(32)

(33)

由式(30)和式(31)可見，在設(shè)計驗算點附近，結(jié)構(gòu)失效概率將隨著輸入隨機變量x1均值的增加而增大，隨著輸入隨機變量x2均值的增加而減小；當隨機變量x1和x2的標準差增加(或稱隨機變量的變異系數(shù)增加)時，結(jié)構(gòu)的失效概率都會增加。

由文獻[11]中對輸入隨機變量x1和x2的描述可知，x1為懸臂梁所受荷載，x2為懸臂梁的截面尺寸。由此可以認為，該懸臂梁的結(jié)構(gòu)失效概率將隨著荷載均值的增加而增大，隨著截面尺寸均值的增加而減小，符合工程經(jīng)驗認識。同時，荷載與截面尺寸的標準差的增大(或稱變異系數(shù)的增大)將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效概率的增大，也即結(jié)構(gòu)可靠指標減小。

3.2 工程應(yīng)用——重力壩

某水電站位于柬埔寨的Kamchay河干流，擋水建筑物為混凝土重力壩，最大壩高112 m，壩頂寬6.0 m，壩體上游面84m高程以上為豎直面以下坡度為1∶0.3；下游面折坡點高程為145.00 m，折坡點以下坡度為1∶0.75。

選取最大壩高斷面(5號壩段)進行分析，該壩段建基面高程為41 m，壩頂高程為153 m，壩底寬97 m，上游正常蓄水位150 m。建立該壩段的二維有限元分析網(wǎng)格模型，壩基在上下游方向各延伸200 m，壩基深度取為200 m，有限元網(wǎng)格模型如圖1所示。根據(jù)壩體混凝土所采用的型號，壩體彈性模量取值范圍為21.5～25.5 GPa；試驗得到的壩基巖體彈性模量取值范圍為3～8 GPa。利用實測位移監(jiān)測數(shù)據(jù)對其進行反演分析后，得到該壩段的壩體彈性模量均值為21.88 GPa，壩基彈性模量均值為4.64 GPa。參考類似工程，假定壩體彈模Ec、壩基彈模Er及大壩上游水位Hu3個隨機變量的變異系數(shù)分別取為0.15、0.20、0.06，如表1所示。

圖1 重力壩有限元網(wǎng)格模型

表1 各隨機變量統(tǒng)計特性

采用非侵入式隨機有限元法(隨機響應(yīng)面法+有限元法)進行結(jié)構(gòu)可靠度分析時的計算流程如圖2所示。

圖2 基于非侵入式隨機有限元法的結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面法計算流程

根據(jù)圖2所示的計算流程，首先，建立本實例的重力壩壩踵抗拉可靠度功能函數(shù)為

Z=g(x)=g(Hu，Ec，Er)=6.79-wt

(34)

式中，x為輸入隨機變量向量；wt為重力壩壩踵的拉應(yīng)力區(qū)寬度，m。

與式(34)意義類似，如果壩踵的拉應(yīng)力區(qū)是連續(xù)的，可以以壩基面上距離壩踵6.79 m處的垂直向應(yīng)力σy的正負來形成重力壩的抗拉功能函數(shù)

Z=g(x)=-σy

(35)

式中，σy為壩基面上距離壩踵7/100壩底寬度處的垂直向應(yīng)力，應(yīng)力符號以拉為正，以壓為負。

顯然，由于引入了有限元分析，得wt到關(guān)于輸入隨機變量向量x的顯式表達式是比較困難的，因此，式(34)與式(35)所示的功能函數(shù)均為隱式方程。

將輸入的非標準正態(tài)分布隨機變量向量x=(x1，x2，x3)轉(zhuǎn)換為服從N(0，12)的標準正態(tài)隨機向量ξ=(ξ1，ξ2，ξ3)，其中，x1代表大壩上游水位Hu；x2代表壩體彈性模量Ec；x3代表壩基彈性模量Er。

應(yīng)用自編結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面法程序，得到重力壩抗拉可靠度的二階隨機響應(yīng)面函數(shù)如式(36)所示。經(jīng)驗算，二階隨機響應(yīng)面函數(shù)和三階隨機響應(yīng)面函數(shù)精度相差較小，故選擇二階隨機響應(yīng)面函數(shù)用于重力壩結(jié)構(gòu)抗拉可靠度計算是合適的。

(36)

以式(36)作為重力壩結(jié)構(gòu)抗拉可靠度的功能函數(shù)，應(yīng)用幾何法求得重力壩抗拉可靠指標為1.629，對應(yīng)的失效概率為5.17%。標準正態(tài)空間的設(shè)計驗算點為[-0.765，-0.387，-1.385]，將其轉(zhuǎn)換至原始變量空間為[143.115 m，20.609 GPa，3.355 GPa]。

求得結(jié)構(gòu)功能函數(shù)分別對各基本變量ξi(i=1，2，3)的偏導(dǎo)

(37)

(38)

(39)

采用幾何法，得到標準正態(tài)空間內(nèi)的設(shè)計驗算點為ξ=(-0.765，-0.387，-1.385)，將其代入式(37)～式(39)，得到在設(shè)計驗算點附近結(jié)構(gòu)功能函數(shù)分別對各基本變量ξi(i-1，2，3)的偏導(dǎo)數(shù)依次為89.573 1、45.247 0和161.992 3。

于是，不難得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)對輸入變量向量偏導(dǎo)的2-范數(shù)為

(40)

根據(jù)前述推導(dǎo)得到的采用幾何法的結(jié)構(gòu)可靠度隨機響應(yīng)面敏感性分析公式，求得結(jié)構(gòu)失效概率對各輸入隨機變量的均值敏感度如式(41)～式(43)所示，對標準差的敏感度如式(44)～式(46)所示。

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

分析式(41)～(43)可知，在設(shè)計驗算點處，該重力壩的結(jié)構(gòu)抗拉失效概率對于各輸入隨機變量均值的敏感性排序為：壩基彈性模量Er>壩體彈性模量Ec>大壩上游水位Hu。同時，結(jié)構(gòu)抗拉失效概率對于各輸入隨機變量均值的敏感度均為負值，這說明在設(shè)計驗算點處，壩基彈性模量越大、壩體彈性模量越大或大壩上游水位越高(設(shè)計驗算點處的上游水位為143.115 m，低于正常蓄水位150 m)都將降低結(jié)構(gòu)的抗拉失效概率。

分析式(44)～(46)可知，在設(shè)計驗算點處，該重力壩的結(jié)構(gòu)抗拉功能函數(shù)對于各輸入隨機變量標準差的敏感性排序為：壩基彈性模量Er>大壩上游水位Hu>壩體彈性模量Ec。同時，結(jié)構(gòu)抗拉失效概率對于各輸入隨機變量標準差的敏感度均為正值，這說明在設(shè)計驗算點處，壩基彈性模量變異越大、壩體彈性模量變異越大或大壩上游水位波動越大都將增加結(jié)構(gòu)的抗拉失效概率。

綜上所述，壩基彈性模量的均值與標準差對其抗拉可靠度最為敏感。因此，建議通過補強灌漿等方式提高壩基的彈性模量，可以顯著提高該重力壩結(jié)構(gòu)抗拉可靠指標。

4 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了幾何法與隨機響應(yīng)面法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析公式，并應(yīng)用于工程實例，得到了相關(guān)結(jié)論。研究表明：

(1)本文給出的基于隨機響應(yīng)面法和幾何法的結(jié)構(gòu)可靠度敏感性分析公式可有效分析和比較失效概率和可靠指標對于各隨機變量的敏感程度。

(2)將本文給出的計算公式應(yīng)用于懸臂梁和某重力壩結(jié)構(gòu)可靠度分析的實例，收到了良好的效果，得到了有益的結(jié)論。對于該重力壩，壩基彈性模量的均值與標準差對其抗拉可靠度最為敏感。因此，本文建議通過補強灌漿等方式提高壩基的彈性模量，可顯著提高其壩踵抗拉可靠指標。