宜賓學(xué)院人工智能與大數(shù)據(jù)學(xué)院 (644000) 覃 淋

巴中職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育學(xué)院 (636000) 喻曉婷

1 引 言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》在“教材編寫(xiě)建議”中指出，“要體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯體系，揭示數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程……創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，展示數(shù)學(xué)概念、結(jié)論、應(yīng)用的形成發(fā)展過(guò)程．”數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值也得到了理論與實(shí)踐兩個(gè)層面的普遍認(rèn)同．美國(guó)數(shù)學(xué)史家卡約里(FlorianCajori，1859-1930)認(rèn)為“數(shù)學(xué)史是使面包和黃油更加可口的蜂蜜”，在其著作《AHistoryofMathematics》(1926)中指出：“如果用歷史軼事點(diǎn)綴枯燥的計(jì)算和證明，學(xué)生的興趣就會(huì)大大增加．…… 通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歷史的介紹，能夠讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)并不是一門(mén)呆板乏味的學(xué)科，而是一門(mén)不斷進(jìn)步且生動(dòng)有趣的學(xué)科.”有學(xué)者從概念、文化、動(dòng)機(jī)三個(gè)層面討論了數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，指出數(shù)學(xué)史具有幫助學(xué)生拓寬視野、增加興趣、創(chuàng)造學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、促進(jìn)學(xué)生思考等教育價(jià)值．?dāng)?shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)史具有知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂(lè)、能力之助、文化之魅、德育之效等多元的教育價(jià)值和文化價(jià)值．

“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”是人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二第4章《數(shù)列》4.3節(jié)的內(nèi)容，是“等差數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)和解決一類(lèi)求和問(wèn)題的重要基礎(chǔ)和有力工具．等比數(shù)列模型在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，蘊(yùn)含了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》中要求學(xué)生“探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系．”

本文通過(guò)選取歷史上的素材，設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題，將數(shù)學(xué)史上不同地區(qū)、不同民族關(guān)于等比數(shù)列求和公式的多種推導(dǎo)方法融入課堂教學(xué)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的歷程，感受數(shù)學(xué)的文化多元性，領(lǐng)略數(shù)學(xué)文化的魅力，形成動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀(guān)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；并通過(guò)數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)積極的情感態(tài)度，營(yíng)造人性化的課堂，在潛移默化中實(shí)施數(shù)學(xué)學(xué)科德育，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)．

2 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，呈現(xiàn)問(wèn)題

首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等內(nèi)容．然后提出19世紀(jì)初，美國(guó)數(shù)學(xué)家亞當(dāng)斯(D.Adams，1773-1864)的著作《學(xué)者算術(shù)》中的妻子問(wèn)題：我赴圣地伊夫斯，路遇一男攜七妻，一妻各自負(fù)七袋，每袋都裝七貓咪，貓咪又把七仔生，同去圣地共幾何？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生很容易想到把每項(xiàng)算出來(lái)，再相加．接著教師再用PPT呈現(xiàn)“棋盤(pán)問(wèn)題”，教師再向?qū)W生提問(wèn)，“如何計(jì)算棋盤(pán)上的麥?？倲?shù)？”

在學(xué)生交流討論的同時(shí)，教師播放制作的微視頻介紹等比數(shù)列求和問(wèn)題的歷史以及歷史上一些著名的等比數(shù)列求和問(wèn)題．

2.2 合作交流，探究規(guī)律

教師通過(guò)課前制作的微視頻，介紹等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)的可能思路．引導(dǎo)學(xué)生分小組進(jìn)行探究．小組討論后，請(qǐng)各組代表分別上臺(tái)展示．

小組一：(錯(cuò)位相減法)利用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)公式，學(xué)生的思路如下：

小組二：(古埃及的方法)由等比數(shù)列的定義，找到前n項(xiàng)與前n-1項(xiàng)的關(guān)系，得到二者的等量關(guān)系，學(xué)生思路如下：

小組六：(幾何推導(dǎo)法之一)假設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)a1>0，公比為q>0，學(xué)生的推導(dǎo)思路如下：

如圖1，在一個(gè)正切值為公比q的直角三角形中，在底邊作出長(zhǎng)度為a1的線(xiàn)段，再作垂線(xiàn)段交于斜邊，那么垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度為a2=a1q；再?gòu)慕稽c(diǎn)出發(fā)，作長(zhǎng)度為a2的與底邊平行的線(xiàn)段，然后再向上作垂線(xiàn)交于斜邊，則垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度為a3=a2q；以此類(lèi)推，直到第n-1步，作長(zhǎng)度為an-1的與底邊平行的線(xiàn)段，然后再向上作垂線(xiàn)交于斜邊，則垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度為an=an-1q．底邊的長(zhǎng)度為a1+a2+…+an-2+an-1，另一直角邊的長(zhǎng)度為a2+a3+…+an-1+an．從而有q=

圖1

圖2

2.3 教師總結(jié)規(guī)律

2.4 應(yīng)用規(guī)律

隨后，教師要求學(xué)生利用求和公式解決一些問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用性．

問(wèn)題1 某國(guó)王征兵，規(guī)定第一個(gè)村子征兵1人，第二個(gè)村子征兵2人，第三個(gè)村子征兵4人，第四個(gè)村子征兵8人，以此類(lèi)推，直到第三十個(gè)村子，問(wèn)：一共征兵多少人？(阿爾昆《敏銳青年之命題》)

問(wèn)題2 今有出門(mén)，望見(jiàn)九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色．問(wèn)共幾何？(《孫子算經(jīng)》)

問(wèn)題3 遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增．共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭燈幾盞？(《算法統(tǒng)宗》)

2.5 總結(jié)提升

本節(jié)課學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，從古巴比倫泥版上的分財(cái)產(chǎn)問(wèn)題，經(jīng)歷了古埃及人、《幾何原本》、印度數(shù)學(xué)家、中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)家，再到歐拉《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中的錯(cuò)位相減法，領(lǐng)略了歷史上等比數(shù)列求和公式的不同精彩證法．同學(xué)們?cè)诒竟?jié)課中學(xué)習(xí)了多種數(shù)學(xué)思想方法：特殊到一般的思想、方程的思想、數(shù)學(xué)結(jié)合的思想、分類(lèi)討論的思想，同時(shí)也培養(yǎng)同學(xué)們的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．并且通過(guò)對(duì)不同文明中等比數(shù)列求和公式的不同推導(dǎo)方法的介紹，讓我們多了一個(gè)觀(guān)察角度，多了一種表達(dá)方式，多了一種研究手段．

3 學(xué)生反饋

課后，對(duì)全班41名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．80%的學(xué)生聽(tīng)懂了本節(jié)課的內(nèi)容，極少部分基礎(chǔ)較差的學(xué)生覺(jué)得本節(jié)課課堂容量有些大．95%的學(xué)生喜歡本節(jié)課中數(shù)學(xué)史融入課堂的教學(xué)方式，希望老師在以后的教學(xué)中也多采用這樣的方式進(jìn)行教學(xué)．

學(xué)完本節(jié)課后，學(xué)生會(huì)想到的關(guān)鍵詞有：巴比倫泥版、紙草書(shū)、《孫子算經(jīng)》、《幾何原本》、《算法統(tǒng)宗》、歐拉、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史等．

關(guān)于本節(jié)課中印象最深的內(nèi)容，學(xué)生的典型回答有：古埃及人的計(jì)算方法非常巧妙，但我們也不能完全局限于他們的思路；歷史讓人穿越迷霧，感受到了數(shù)學(xué)的脈動(dòng)；解決同一問(wèn)題常常有不同的方法，讓人大開(kāi)眼界；歷史上的數(shù)學(xué)問(wèn)題很有意思，很多公式的發(fā)明創(chuàng)造，都是數(shù)學(xué)家為了解決實(shí)際問(wèn)題的而創(chuàng)造的；數(shù)學(xué)公式并不是憑空產(chǎn)生的；數(shù)學(xué)文化博大精深，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)上也做出了很大貢獻(xiàn)．

學(xué)生的這些回答，正如法國(guó)數(shù)學(xué)教育家J.Swetz所言：“在數(shù)學(xué)問(wèn)題求解中可選取歷史上不同時(shí)期、不同文化的一些數(shù)學(xué)名題．這些名題及其解答提供了實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想方法，并蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)家為之奮斗的曲折歷程與苦樂(lè)體驗(yàn)，展現(xiàn)了生動(dòng)而廣闊的人文背景．”

關(guān)于本節(jié)課中等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題的歷史印象對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幫助和啟示，學(xué)生的典型回答有：今天一節(jié)課的內(nèi)容是古人幾千年智慧的結(jié)晶；數(shù)學(xué)史、歷史數(shù)學(xué)名題既可以增加課堂的趣味性，又可以幫助記憶、理解公式；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家不畏艱險(xiǎn)、刻苦專(zhuān)研的精神；課堂上應(yīng)該多介紹一些關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史，擴(kuò)充背景有利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)史讓數(shù)學(xué)變得有意思；同一個(gè)問(wèn)題，從不同的思路出發(fā)，都可以解決問(wèn)題．

課后訪(fǎng)談表明，學(xué)生對(duì)于第一次在數(shù)學(xué)課堂中深入接觸數(shù)學(xué)史，感覺(jué)比較新鮮，知道了等比數(shù)列求和問(wèn)題古已有之，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展史的了解，感受到了數(shù)學(xué)史對(duì)自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幫助，并且認(rèn)為數(shù)學(xué)史的融入活躍了課堂氣氛，增加了課堂的趣味性，也激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣．同時(shí)也認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與不同的學(xué)科之間都有著密切的聯(lián)系．在課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)史為學(xué)生提供了許多探究的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷“火熱的思考”，變?yōu)椤皵?shù)學(xué)家”，把數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”出來(lái)．學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，既拓寬了視野，又體會(huì)了“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)的喜悅．

4 結(jié) 語(yǔ)

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，教材中介紹的“錯(cuò)位相減法”具有較強(qiáng)的技巧性，如無(wú)教師引導(dǎo)，學(xué)生很難想到．對(duì)學(xué)生而言，這樣的知識(shí)是不“自然”的．我們基于HPM的視角，設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，從學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引起認(rèn)知沖突，搭設(shè)“腳手架”，使得公式的產(chǎn)生變得自然，揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)之諧；通過(guò)古今方法的比較，呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法之美；將歷史與現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系，同時(shí)為學(xué)生提供了探究的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體驗(yàn)了探究之樂(lè)；以故事的形式讓學(xué)生用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生解決問(wèn)題的能力，達(dá)成了能力之助．通過(guò)對(duì)不同文明中等比數(shù)列求和問(wèn)題的介紹，凸顯人文元素，將歷史與現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)與科學(xué)聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)歷史把數(shù)學(xué)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”，降低了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的外在認(rèn)知負(fù)荷．既培養(yǎng)了學(xué)生的多元文化視角，又滲透了數(shù)學(xué)文化，展示了數(shù)學(xué)文化的魅力．通過(guò)等比數(shù)列求和公式不同時(shí)期的不同推導(dǎo)方法的介紹，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)是不同時(shí)期數(shù)學(xué)家共同努力的智慧成果，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑、追求創(chuàng)新的理性精神，達(dá)成了德育之效．