李靜，張仁崇，*，潘春燕，楊凱

(1.貴州商學院 計算機與信息工程學院，貴陽 550014；2.黔南民族師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，都勻 558000；3.貴州大學 貴州省大數(shù)據(jù)產業(yè)研究院，貴陽 550025)

在實際工程優(yōu)化過程中，涌現(xiàn)出許多設計問題，如鋅精礦混合成分[1]、第四方物流路徑優(yōu)化[2]、魯棒動態(tài)調度[3-4]、電力系統(tǒng)故障診斷[5]、分布式微電網(wǎng)優(yōu)化[6]、水資源管理[7]等，這些問題均被描述為單目標概率約束規(guī)劃(single objective probabilistic constrained programming, SOPCP)，其模型主要有以下5個特征：①隨機變量（噪聲）一般呈復雜或未知分布；②目標函數(shù)在給定置信水平下由概率不等式確定；③約束條件至少含一個概率約束或一個機會約束；④隨機函數(shù)通常是非線性、多模態(tài)或非凸；⑤決策變量通常在非凸區(qū)域取值。SOPCP 由于存在以上特征，導致其難以進行求解。因此，探討出具有效率和效果突出、應用潛力高、抑噪能力強等優(yōu)勢的先進智能優(yōu)化技術求解SOPCP，已成為亟待解決的技術難關。

在噪聲處理方面，若噪聲先驗概率分布已知時，如噪聲服從指數(shù)分布、正態(tài)分布、某些特殊非正態(tài)分布、均勻分布等，則凸性近似[8-9]、對數(shù)凹變換[10]、離散階躍變換[11]等數(shù)學方法能轉化部分SOPCP 為確定性解析模型，從而借助現(xiàn)有規(guī)劃方法和靜態(tài)智能算法求解，但由于模型轉換復雜且需已知先驗概率分布，致使它們在實際應用中受到很大限制。若噪聲分布復雜或未知時，蒙特卡羅隨機模擬因不受限噪聲分布而被廣泛用于SOPCP 的求解中。就其樣本采樣方法而言，重要采樣[12]、拉丁超立方采樣[12]均可處理機會約束，但此類方法實現(xiàn)較為困難且效率低下；靜態(tài)采樣、動態(tài)采樣[13]、自適應采樣[14-20]是處理機會約束和估計目標函數(shù)值的常用方法。靜態(tài)采樣要求所有個體都附加相同且足夠大的樣本量以獲得近似解，盡管該方法簡單，但會導致昂貴的計算資源消耗；動態(tài)采樣要求個體依據(jù)其質量動態(tài)獲取樣本量，該方法樣本總量小、效率高，但設計困難；自適應采樣優(yōu)于靜態(tài)采樣和動態(tài)采樣，其要求個體自適應附加樣本量，即質量越高的個體附加的樣本量越大，反之則個體附加的樣本量越小，這使得其在隨機優(yōu)化的背景下變得越來越流行。

從智能優(yōu)化和工程應用角度來看，SOPCP 的研究成果依據(jù)算法類型主要分為3 類：遺傳算法[1-3,5,7,21-22]、粒子群優(yōu)化算法[6,23-27]和免疫優(yōu)化算法[16-20,28]。遺傳算法是在靜態(tài)采樣下求解SOPCP 問題的一種簡單且實用的優(yōu)化方法，其中個體的適應度通過隨機模擬、模糊模擬、神經網(wǎng)絡及同步擾動隨機逼近等方法來估計，在工程優(yōu)化設計中得到較好的應用，但其計算效率、求解質量和模型逼近還有待改進。例如，Liu[21]采用神經網(wǎng)絡訓練獲取SOPCP 的近似模型，提出了幾種適用于求解SOPCP 的改進混合遺傳算法；盧福強等[2]構建了第四方物流路徑優(yōu)化的SOPCP 模型，引入移民算子增強種群多樣性，且加入精英算子保存最優(yōu)個體，從而獲得改進型遺傳算法求解。

粒子群優(yōu)化算法具有結構簡單、參數(shù)少、效率高等優(yōu)點，在靜態(tài)采樣下與隨機模擬、不確定函數(shù)模擬、神經網(wǎng)絡結合已成為求解SOPCP 問題的替代方法，但該方法效率較低，解質量極大依賴于訓練樣本分布及規(guī)模，全局勘探能力不足。為克服此缺點，肖寧[23]將粒子的慣性權重設置為零，增強局部搜索能力，通過加入隨機粒子豐富粒子群多樣性。此外，粒子群優(yōu)化算法已廣泛應用于可描述為SOPCP 的工程優(yōu)化問題[6,24-27]。

近年來，免疫優(yōu)化算法被初步應用于求解SOPCP問題，且已有少量研究成果。在靜態(tài)采樣方面，段富等[28]利用隨機模擬及神經網(wǎng)絡逼近模型處理目標函數(shù)和機會約束概率值的估計問題，采用雙變異和雙克隆策略，提出改進的克隆選擇算法求解。在自適應采樣方面，張著洪等[16-17]針對一般類型的SOPCP問題，基于備受關注的危險理論，提出2 個具有自適應采樣、繁殖、變異的微種群免疫優(yōu)化算法求解，該方法效率較高，效果令人滿意；同時，張著洪等[18-20]還針對單目標、多目標的概率優(yōu)化問題分別設計了免疫優(yōu)化算法求解，證明免疫優(yōu)化算法求解此類問題具有良好潛力。

除上述算法外，部分其他啟發(fā)式算法在靜態(tài)采樣下亦可有效求解SOPCP 問題，如量子進化算法[29]、帝國競爭算法[30]等。

綜上所述，由于目標函數(shù)和約束條件存在隨機變量，導致SOPCP 的求解一直是個難題。盡管一些智能算法在靜態(tài)采樣下能有效求解，但在效率和求解質量上的缺陷明顯限制了其實際應用；雖然2 個自適應采樣的微種群免疫優(yōu)化算法[16-17]可高效求解SOPCP 問題，但其效率和尋優(yōu)效果需進一步改善。因此，本文從生物免疫系統(tǒng)危險理論的免疫應答中獲取靈感，探討具有參數(shù)少、效率高、進化能力強、噪聲抑制效果好、應用潛力高等優(yōu)點的微種群免疫優(yōu)化算法（micro immune optimization algorithm，μIOA-Ⅲ），同時提出目標值、機會約束的估計法分別高效估算目標值和機會約束的概率值。

本文μIOA-Ⅲ與μIOA[16]、μIOA-Ⅱ[17]借助危險理論啟發(fā)和不同設計靈感，設計微種群免疫優(yōu)化算法求解SOPCP 問題。其中，μIOA 是初次探討問題求解的微種群免疫優(yōu)化算法；μIOA-Ⅱ對μIOA 結構的復雜性和適應性進行改進，設計新變異策略提高解搜索能力，使用新的排序方法劃分種群，將個體支配概念擴展到一般情況，引入個體生命周期模型防止劣質個體在進化過程中停留太久；在μIOA-Ⅱ的基礎上，μIOA-Ⅲ構建新生命周期模型，基于此模型引入交叉算子加強群體內個體間信息交流，設計變異策略增加算法搜索能力，同時改進機會約束概率值的誤差幅度和設計目標值的近似誤差幅度，提出2 個新方法分別估計機會約束概率值和目標值。

1 問題描述與概率估計

1.1 問題描述

考慮如下SOPCP 問題:

其中：p?i(x)為 pi(x)在 樣本量ni(x)下的估計值；I{·}為指示函數(shù)，若條件為假則取0，反之取1；Δi(x)為改進的誤差幅度，其設計如下：

式中：u(1+δ)/2表 示標準正態(tài)分布 的(1+δ)/2 分位數(shù)，δ ∈(0,1)；ψi(x) 為 pi(x)與 p?i(x)的絕對誤差幅度[14]，為更貼近真實誤差幅度，被改進為 Δi(x)。一旦樣本量ni(x)增大，則誤差幅度 Δi(x)將變小，這有助于設計算法1 ，使個體自適應附加樣本量高效獲取估計值 p?i(x)，并 給 出 經驗約束 違 背 量 Γ(x)。若 Γ(x)=0，稱x 為經驗可信解，經算法2 可快速獲得 x的經驗目標值 f?(x)；反之，則稱x 為經驗非可信解。為有效比較候選解x 和y，引入如下經驗支配概念[17]。

定義1 對于候選解 x,y ∈D，如果其滿足下列4 個條件之一，則稱x 經驗支配y（簡記 x ?y）：

1)Γ(x)=0=Γ(y)∧f?(x)＜f?(y)。

2)Γ(x)=0 ＜Γ(y)。

3)0 ＜Γ(x)＜Γ(y)。

4)0 ＜Γ(x)=Γ(y)∧G(x)＜G(y)。

在以上4 個條件中，若x 和y 滿足條件4)，此時可用G(x)和G(y)確定x 和y 的經驗支配關系。

定義2 x*∈D稱為SOPCP 問題的經驗最優(yōu)可信解，如果對于 ? x ∈D ，均有 x*?x。

1.2 噪聲處理

由于目標函數(shù)和約束函數(shù)存在分布未知或復雜的隨機向量，SOPCP 問題極難或不能轉化為解析模型，而隨機模擬卻是處理此類隨機規(guī)劃問題的有效工具。根據(jù)大數(shù)定律可知，樣本量足夠大時，機會約束的概率值和目標函數(shù)的估計值均逼近真實值，但不可避免會導致高計算復雜度；反之，每個候選解都附加一個小樣本量，非可信解易被誤認為是可信解，且優(yōu)質和劣質的候選解難以辨別，使得優(yōu)化質量嚴重受到噪聲影響。為快速計算機會約束的概率值和目標函數(shù)的估計值，現(xiàn)提出以下2 種估計算法。

1.2.1 概率值估計

為快速有效地判定候選解x 是否經驗可信，提出了機會約束概率值估計法。算法設計中，先計算確定約束的約束違背量 H(x)，在固定小樣本量下快速初始估計所有機會約束的概率值 p?i(x)。若x 不滿足確定約束條件，則判定x 為非可信解；否則，借助誤差幅度 Δi(x) ，自適應采樣更新所有估計值 p?i(x)，在較大樣本量下使 p?i(x)逼近真實值，依式(1)計算經驗約束違背量 Γ(x)，判定x 是否為經驗可信解。

算法1 機會約束概率值估計法。

同時更新 Δi(x) ，置 ni(x)←ni(x)+M。

步驟4.7 若i ＜ I，則i ←i +1，并轉步驟4.2。

步驟4.8 若l ＜ I，則轉步驟4.1；否則，轉步驟5。

步驟5 置 δ ←δmin，依據(jù)式(3)重新計算誤差幅度 Δi(x)，i=1, 2,···, I；依據(jù)式(1)計算經驗約束違背量Γ (x)，并輸出Γ (x)。

注：δmax和δmin選取較大值，δmax避免非可信個體因采樣不足被誤判為經驗可信，且個體可信的概率至少為δmin。

在以上描述中，該算法的計算復雜度主要取決于步驟3 和步驟4，其在最壞情況下為O(ITmax+J+K)。步驟4 被設計自適應控制并賦予各機會約束不同樣本量，使算法縮減樣本總量并快速更新估計值 p?i(x)；若x 不滿足確定約束條件或不滿足某個機會約束條件或明顯滿足所有機會約束條件，抑或是滿足終止條件時，經步驟5 計算并輸出 Γ(x)有效判定候選解x 經驗可信性。此外，樣本量 Tβi被設計與 βi有 關，若概率值 pi(x)與 置信水平 βi接近1（或0）時，則估計值 Δi(x)將非常小，極易使非可信解x 在式(1)下因采樣不足被誤判為經驗可信解，此時x被要求在較大樣本量 Tβi下 更新估計值 p?i(x)。

1.2.2 目標值估計

為抑制噪聲對目標函數(shù)的影響，提出目標值估計法。該算法在小樣本量下，借助蒙特卡羅隨機模擬，通過線性、加權、繼承等方式強化噪聲抑制效果，初始快速估計所有經驗可信解x 的經驗目標值f?(x)；在樣本量上限Mn下，借助目標值近似誤差幅度 Λ(x)辨析個體間優(yōu)劣關系，并基于此設計自適應采樣更新經驗目標值 f?(x)，使 f?(x)逼近真實值。

算法2 目標值估計法。

步驟 1 輸入?yún)?shù)：群體 Q={x1,x2,···,x|Q|}，置信水平 α，樣本量m、Mn，參數(shù)δmax，m＜＜Mn。

步驟 2 置 m (xi)←m，δ ←δmax，i=1, 2,···, |Q|。

步驟 3 估計Q 中每個B 細胞x 的經驗目標值。

步驟 3.1 令 s=m(x)；隨機產生s 個樣本向量ζk及其觀測值 f?s(x,ζk)(1≤ k ≤ s)，采用蒙特卡羅隨機模擬估計B 細胞 x的 目標值 f?s(x)。

步驟 3.3 借助數(shù)理統(tǒng)計[31]，將 F?(x)- f?2(x)作為fˉ(x)經 驗目標值的近似偏差平方和，進而設計fˉ(x)和 f?(x)的 誤差幅度 Λ(x)如下：

步驟 4.5 i←i+1，若i ≤ |Q|，轉步驟4.3。

步驟 4.6 若 j＜|Q|，轉步驟4.1。

步驟 5 輸出Q 中全體B 細胞 x的經驗目標值f?(x)。

注：δmax選取較大值，利于設計算法自適應分配樣本，并避免劣質個體在小樣本下被誤判為優(yōu)質個體。

以上算法描述中，步驟3 經蒙特卡羅隨機模擬和式(5)線性化初步抑制噪聲獲取估計值 f?s(x)；再經式(6)繼承、加權方式增強抑噪效果更新估計值f?(x)；設計 F?(x)經式(7)繼承、加權方式獲得，進而設計目標值近似誤差幅度 Λ(x)(見式(8))。步驟4 被設計使群體內所有個體循環(huán)依據(jù)經驗目標值的誤差幅度辨析其優(yōu)勢，并自適應附加樣本量更新經驗目標值；若個體與群內其他個體的目標值偏差較大使其易于辨析，其目標值可在小樣本量下估計；反之，其目標值在較大樣本量下估計。

2 危險理論與微種群免疫優(yōu)化算法

2.1 危險理論

危險理論[32]是一種新流行的免疫學理論，與傳統(tǒng)“自我-非我”模型區(qū)分異己的免疫理論應答機理不同。該理論認為，免疫應答啟動僅取決于機體內受損、凋亡細胞（即感染細胞）釋放的危險信號，對機體無害的內源、外源物質不作應答。具體而言，當機體內正?；蛏p弱的細胞非正常凋亡或因外源物質受損時，免疫系統(tǒng)發(fā)送信號1 給輔助性T 細胞，發(fā)送信號0 激活抗原呈遞細胞（APC）釋放信號2，輔助性T 細胞接收信號1、信號2 后被完全激活產生淋巴因子，促使機體發(fā)生免疫應答清理感染細胞，幫助機體恢復健康。免疫系統(tǒng)包括3 種細胞，即未感染、易感染和已感染細胞。

2.2 算法設計

以上危險理論的描述過程，為研究智能算法求解SOPCP 問題提供思路和靈感，μIOA-Ⅲ的運行機制如圖1 所示。初始評價是經算法1 判定個體是否經驗可信，在固定小樣本量下經算法2 估計經驗可信個體的目標值；群體分割是依據(jù)個體的經驗約束違背量和經驗目標值，將進化群分割成3 個子群：已感染、易感染和未感染子群。各子群個體依據(jù)其質量實施克隆變異，質量越高的個體繁殖克隆越多，且交叉概率、變異概率及變異幅度越??；同時，采用交叉算子加強各子群個體間的信息交流，促進協(xié)同進化，經變異產生多樣、高質量的新個體。經初始評價后篩選優(yōu)質的新個體，在較大樣本量下與對應父代個體重新評價并比較，隨機生成新個體替換進化已達生命周期的個體，產生新進化群體。

圖1 μIOA-Ⅲ 的流程Fig.1 Flowchart of μIOA-Ⅲ

為便于算法的描述，結合以上SOPCP 問題和圖1，將此問題視為危險信號，候選解視為B 細胞?；诖?，μIOA-Ⅲ的描述如下。

算法3 μIOA-Ⅲ。

步驟 1 輸入?yún)?shù)：樣本量m、M，群體規(guī)模N，置信水平 α、βi，參數(shù)W，最大迭代數(shù)Gmax，m ≤ M，1≤ i ≤I。

步驟 2 初始化：置n←1，產生N 個隨機B 細胞的初始群體 A={x1,x2,···,xN}，生存時間 w (xi)←0。

步驟 3 經驗約束違背量：經算法1 估算群體A 中所有B 細胞 x的 經驗約束違背量 Γ(x)。

步驟 4 經驗目標值：Mn←(M+m)[2-cos(πn/Gmax)]；在小樣本量 M1下經算法2 獲取A 中所有經驗可信B 細胞 x的經驗目標值 f?(x)。

步驟 5 排序：借助定義1 的經驗支配，優(yōu)劣排序A中所有B 細胞，其中排在最前的B 細胞質量最好。

步驟 6 群體分割：A 中第1 個經驗可信B 細胞視為已感染細胞構成子群B1，其余經驗可信B 細胞視為易感染細胞構成子群B2；所有經驗非可信B 細胞視為未感染細胞構成子群B3。

步驟 7 克隆：群體A 中第i 個B 細胞繁殖N-i+1個克隆。

步驟 8 交叉與變異。

步驟 8.1 交叉、變異概率：B 細胞 x的變異概率 pm(x)、交叉概率 pc(x)分別設計如下：

步驟 9 初始評價：Ci中每個B 細胞經算法1估算其經驗約束違背量；Ci中經驗可信B 細胞在小樣本量M1下經算法2 估計其經驗目標值，i =1,2,···,N。

步驟 10 重新評價并更新生存時間。

步驟 10.1 重新評價：xi與其對應子群Ci中最優(yōu)B 細胞 zi構成優(yōu)質子群Di；若Di中的2 個B 細胞均為經驗可信B 細胞，需經算法2 在較大樣本量Mn下重新估計經驗目標值，i =1,2,···,N。

步驟 10.2 精英選擇與更新生存時間：選擇每個子群Di中最優(yōu)B 細胞 yi構成群體E；其中，若Di的2 個B 細 胞 zi,xi滿 足 zi?xi，則 yi=zi，w(yi)←0；否則，yi=xi，w(yi)←w(xi)+1。經步驟5，優(yōu)劣排序E 中所有B 細胞。

步驟 10.3 重置生存時間：若已感染B 細胞y1生存時間 w(y1)達 到生命周期W+N，重置 w(y1)←0；若易感染B 細胞 y2生 存時間 w(y2)達到生命周期W+N-1，重置 w(y2)←0；若易感染或未感染B 細胞yi生存時間 w (yi)達到生命周期W+N-i+1，則隨機生成新B 細胞替換，經算法1 和算法2 初始評價新B 細胞，重置 w (yi)←0，i =3,4,···,N。

步驟 10.4 再次重新評價：若步驟10.3 隨機生成新經驗可信B 細胞，則群體E 中所有經驗可信B 細胞經算法2 在較大樣本量 Mn下重新估計經驗目標值；經步驟5，優(yōu)劣排序E 中所有B 細胞。

步驟 11 群體E 構成新進化群A；若Gmax≤n，則輸出A 中最優(yōu)質的B 細胞，結束；否則n←n+1，轉步驟5。

在以上μIOA-Ⅲ算法描述中，步驟6 將群體A分割成3 類感染子群，經步驟7 使不同質量個體有差異繁殖克隆。步驟8 構建生命周期模型，基于此模型設計自適應的交叉與變異概率、變異分布指數(shù)；采用交叉算子促進群體間個體的信息交流，以及多項式變異、非均勻變異指導個體展開多方向進化，產生多樣性豐富、質量高的子代個體。設計步驟10 篩選子代最優(yōu)個體與對應父代個體，在較大樣本量下更新經驗目標值，有效辨析并挑選優(yōu)質個體，隨機產生新個體替換達到生命周期的劣質個體，獲得多樣性足夠的新進化種群A。在設計中，進化個體僅1 次經算法1 估算其經驗約束違背量，使遠離約束邊界的個體用小樣本量估算，提高算法運行效率；邊界可信鄰域內的個體用較大樣本量估算，使個體經驗可信性不因采樣不足被誤判，利于搜索優(yōu)質個體。

2.3 計算復雜度

經由以上μIOA-Ⅲ描述，其計算復雜度主要由步驟5、步驟8～步驟10 確定。步驟5 排序的計算復雜度為O(Nlog2N)；步驟7 至多克隆S=(N+1)N/2個，步驟8 執(zhí)行交叉變異后的計算復雜度為O(pS)，步驟9 初始評價的計算復雜度為O(S(M12(log2M1+log2S)+ITmax+J+K))，步驟10 重新評價和排序的計算復雜度為O(NMn2log2Mn+ Nlog2N)。μIOA-Ⅲ在最壞情形下的計算復雜度為

由上述分析可知，μIOA-Ⅲ的計算復雜度由Mn、Tmax、N、p、I、J、K 確定，主要取決于 Tmax、Mn和N；Tmax和Mn主要依賴于樣本量M，Mn隨算法運行逐漸增大。因此，為使μIOA-Ⅲ高效率運行，M 和N 被要求取較小值。

3 數(shù)值實驗

本文所有實驗均在Windows XP 系統(tǒng)配置為CPU/2.20 GHz、RAM/1.99 GB 的Visual C++平臺上進行。為分析μIOA-Ⅲ的算法性能，包括解質量、搜索效率和噪聲抑制能力，選取代表性的、競爭性的智能優(yōu)化算法SSGA-A[33]、SSGA-B[33]、FROFI[34]、C2oDE[35]、SPSO[23]、GA[21]、μIOA[16]及μIOA-Ⅱ[17]，在2 個理論測試問題、2 個工程問題上與μIOA-Ⅲ充分測試比較。以上算法具有相同的終止準則，即最大迭代次數(shù)為300。為降低隨機因素對算法分析的影響，各算法對每個測試問題均獨立運行100 次，輸出的解需在樣本量104下重新評價以使其經驗約束違背量和經驗目標值接近理論值；之后，將獲取的結果用于統(tǒng)計分析。由于μIOA 和μIOA-Ⅱ具有自適應分配樣本量能力，不需要為每個個體分配固定樣本量；其余6 種比較算法的所有個體均附加相同樣本量300[33]，其種群規(guī)模均設置為30；以上8 種比較算法的其他最佳參數(shù)設置均與原文獻相同。

μIOA-Ⅲ的主要可調參數(shù)為種群規(guī)模N、樣本量M、生命周期參數(shù)W。由于μIOA-Ⅲ是微種群優(yōu)化算法，要求種群大小N 取較小的值(2～6 之間)[18,36]，特別是N=5 的小種群算法已有相關研究[18,36-38]。樣本量M 直接影響算法搜索效果和效率，若取值過小，噪聲抑制效果不理想，解質量受影響；相反，算法效率低。W 是控制個體生存時間的參數(shù)，若W很大，劣質個體將長時間停留；相反，獲得一些有價值個體易消失，可取值在4～6 之間。經過實驗測試后，設置N=5，m=2，M=10，W=5，δmin=0.99，δmax=0.99。

3.1 理論實驗

問題1 多分布非線性概率優(yōu)化問題[21]。

此問題常被用于測試算法的降噪能力、搜索效果[21,23,28,39]，其包含3 個連續(xù)決策變量 ( x1,x2,x3)，9 個服從均勻分布、正態(tài)分布或指數(shù)分布的隨機變量；目標函數(shù)和2 個約束函數(shù)是非線性的且受3 種噪聲影響，致使候選解 x是 否可信難以確定，目標值fˉ(x)難以準確估計，問題求解難度極大。9 種算法獨立求解此問題100 次的統(tǒng)計結果如表1 所示，目標值的箱線圖和平均搜索曲線如圖2 和圖3 所示。表1中：min 為最小值，max 為最大值，mean 為平均值，St.Dev 為均方差，CI 為置信區(qū)間，IAE 為平均約束違背量，F(xiàn)R 為100 個最優(yōu)解中經驗可信解的比率，AR 為平均運行時間。圖3 中，縱軸表示第n 次迭代時100 個最小經驗目標值的平均值。

圖2 問題1 的箱線圖Fig.2 Box plots for problem 1

圖3 問題1 的搜索曲線Fig.3 Search curves for problem 1

表1 問題1 的統(tǒng)計結果比較Table 1 Comparison of statistical results for problem 1

由表1 第7 列和第8 列可知，所有算法經100 次獨立運行后都能找到可信解，其中，μIOA-Ⅲ、μIOA-Ⅱ和μIOA 在每次運行中均能找到可信解，C2oDE 次之，其他比較算法僅能找到部分可信解，且在某些次運行中有很小的約束違背量。表1 第2 列～第5 列顯示，所有算法均獲得相近的目標值，表現(xiàn)出穩(wěn)定的搜索性能。但結合第7 列約束違背量，μIOA-Ⅲ、μIOA-Ⅱ、μIOA 尋到最優(yōu)解是可信的，使其解質量相對較好；比較算法FROFI 有時難以尋到可信解，即使獲得的目標值較大，其解的質量也相對較差。因此，從解質量的角度來看，μIOA-Ⅲ和μIOA-Ⅱ解質量最好，μIOA 次之且優(yōu)于FROFI、C2oDE、SSGA-A、SGA-B，SPSO 較差。結合圖2、圖3及以上分析獲知，μIOA-Ⅲ可快速、穩(wěn)定求解上述問題，且解質量高。以上分析說明，9 種不同算法均能抑制噪聲對解搜索的影響，主要原因歸結為：①μIOA-Ⅲ、μIOA-Ⅱ和μIOA 針對約束條件、目標函數(shù)存在的噪聲，分別設計相應的自適應采樣策略抑制噪聲；②其他比較算法在個體附加相同的固定大樣本容量（300）下，可以控制噪聲對算法尋優(yōu)的影響。

此外，表1 第9 列清楚地說明μIOA-Ⅲ在執(zhí)行效率方面優(yōu)于其他比較算法，至少是SSGA-A 和SSGA-B的5 倍、FROFI 的12 倍、SPSO 的30 倍、C2oDE 和GA 的40 倍；盡管μIOA-Ⅱ和μIOA 也是快速的搜索算法，但效率不如μIOA-Ⅲ。

問題2 多模態(tài)概率約束優(yōu)化問題。

此問題是通過修改高度非線性的多模態(tài)約束優(yōu)化問題[39]而獲得的，包含3 個連續(xù)決策變量(x1,x2,x3)，存在的7 個服從正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布或對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量，極大影響候選解可信性的判定和目標值的估計。此問題可用于測試算法是否有效抑制噪聲，是否有效判定候選解可信性，以及全局搜索、跳出局部搜索的能力。與上述實驗一樣，每種算法直接求解該問題獲得的統(tǒng)計結果如表2 所示，而對應的箱線圖和平均搜索曲線分別如圖4 和圖5 所示。

表2 問題2 的統(tǒng)計結果比較Table 2 Comparison of statistical results for problem 2

圖4 問題2 的箱線圖Fig.4 Box plots for problem 2

圖5 問題2 的搜索曲線Fig.5 Search curves for problem 2

由表2 第7 列和第8 列獲知，所有算法均能搜尋到可信解，其中μIOA-Ⅲ、μIOA-Ⅱ和μIOA 找到可信解的概率最高，但μIOA-Ⅱ、μIOA 有時難以找到可信解。同時，結合第4 列平均目標值可知，μIOA-Ⅲ、μIOA-Ⅱ和μIOA 獲得滿意的目標值；盡管C2oDE、GA、SPSO 的平均目標值占優(yōu)，但其部分最優(yōu)解不滿足約束條件，使得解質量相對較差，因此噪聲抑制、約束處理能力需要改進。結合第5 列均方差、第6 列置信區(qū)間及圖4 表明，μIOA-Ⅲ和比較算法有相近的穩(wěn)定性，但μIOA-Ⅲ和C2oDE 解搜索的穩(wěn)定性最好。結合以上分析和圖5 可知，μIOA-Ⅲ求解上述多模態(tài)概率約束優(yōu)化問題，算法搜索穩(wěn)定、收斂速度快且所獲解質量高。

就平均運行時間而言，μIOA-Ⅲ的執(zhí)行效率最高，μIOA-Ⅱ、μIOA 次之；μIOA-Ⅲ的效率至少是SSGA-A 和SSGA-B 的3 倍、FROFI 的7 倍、SPSO和GA 的11 倍、C2oDE 的23 倍。

3.2 工程應用

問題3 飼料混合成分問題。

此問題是通過修改原4 維飼料混合成分優(yōu)化模型[33]獲得的，飼料主要由大麥、燕麥、芝麻片、花生粉混合獲得且所占比例為 x1、x2、x3、x4，原料中蛋白質含量百分比為隨機變量 ξ1、ξ2、ξ3、ξ4，脂肪含量百分比為2.3、5.6、11.1、1.3，每噸原料成本為24.55、26.75、39.00、40.50 荷蘭盾；在每噸飼料需求5%脂肪、21%蛋白質的條件下，構建以成本最小化為目標函數(shù)在噪聲環(huán)境下求解。該問題存在5 個不同分布特征的隨機變量，特別是噪聲強度較大的 ξ3對解搜索的質量有很大影響，可以測試算法對含噪聲的線性規(guī)劃問題的應用能力。所有算法分別執(zhí)行100 次求解此問題，統(tǒng)計結果如表3 所示，相應的箱線圖和平均搜索曲線如圖6 和圖7所示。

表3 問題3 的統(tǒng)計結果比較Table 3 Comparison of statistical results for problem 3

圖6 問題3 的箱線圖Fig.6 Box plots for problem 3

圖7 問題3 的搜索曲線Fig.7 Search curves for problem 3

經由表3 的IAE 和FR 值可知，μIOA-Ⅲ和μIOA-Ⅱ每次運行均找到可信解，μIOA 次之(99%)，C2oDE和SPSO 找到可信解的概率低且平均約束違背量略大，說明以上算法在尋找可信解的過程中，μIOA-Ⅲ、μIOA-Ⅱ和μIOA 能有效抑制噪聲干擾，C2oDE 和SPSO 的搜索性能受噪聲干擾大。經由IAE、FR、mean的值及圖6 可知，μIOA-Ⅲ和C2oDE 的平均目標值最小，但C2oDE 因多數(shù)最優(yōu)解違反約束條件獲得較小的平均目標值最小，使得其解質量相對較差。為此，μIOA-Ⅲ求解上述問題獲得的解質量優(yōu)于其他算法。進一步，結合St.Dev、CI 的值及圖7 表明，μIOA-Ⅲ和比較算法有相近的搜索效果和穩(wěn)定性，但μIOA-Ⅲ相對更好，且具有良好的收斂性。

在執(zhí)行效率方面，μIOA-Ⅲ、μIOA-Ⅱ、μIOA 的執(zhí)行效率最高，SSGA-A 和SSGA-B 高于FROFI、SPSO、GA，C2oDE 效率最低。

問題4 混凝土泵車設計的費效權衡問題[40]。

為優(yōu)化混凝土泵車設計，文獻[40]選取底盤、臂架和泵送系統(tǒng)等重要部件中12 個關鍵設計參數(shù)，以泵車生命周期效能LCE 最大、費用LCC 最小構造目標函數(shù)獲得SOPCP 問題。此問題包含4 個連續(xù)設計參數(shù) (x1,x3,x4,x11)、8 個整型設計參數(shù)(x2,x5,···,x10,x12)，其中4 個整型設計參數(shù)和費用LCC 受方差較大的噪聲影響，加之目標函數(shù)、約束函數(shù)是高度非線性，致使在大決策空間內尋求問題最優(yōu)解變得極為困難，該問題可以測試算法對復雜噪聲環(huán)境下工程問題的應用能力。實驗與上述方式相同，各算法所得的統(tǒng)計結果如表4 所示，箱形圖和平均搜索曲線分別如圖8 和圖9 所示。

表4 問題4 的統(tǒng)計結果比較Table 4 Comparison of statistical results for problem 4

圖8 問題4 的箱線圖Fig.8 Box plots for problem 4

圖9 問題4 的搜索曲線Fig.9 Search curves for problem 4

從表4 中IAE 和FR 值可以看出，所有算法在每次運行中都能找到可信解。由mean 值，所有算法所獲最優(yōu)的平均目標值之間存在微小差異，即解質量沒有明顯差異；但由圖8 可看出，μIOA-Ⅲ、μIOA-Ⅱ、μIOA、C2oDE 及SPSO 的解質量最好且算法搜索更加穩(wěn)定。進一步，由圖9 表明，9 種算法求解該問題均是收斂的。

此外，效率是明顯不同，由AR 值看出，μIOA-Ⅲ的效率最高，其效率稍優(yōu)于μIOA-Ⅱ、μIOA，至少是其他算法的2.9 倍以上，而C2oDE、SPSO 和GA 需要更多的時間來尋找最優(yōu)解。

3.3 靈敏度分析

μIOA-Ⅲ主要有3 個可調參數(shù)：N、M、W，選擇多模態(tài)概率約束優(yōu)化問題2 來測試算法的搜索性能是否在很大程度上依賴于它們參數(shù)的設置。為此，N、M、W 組成如表5 所示的7 種不同的參數(shù)組合，充分測試算法對參數(shù)設置的敏感性；算法在每種參數(shù)組合下獨立運行100 次，得到的統(tǒng)計結果如表5 所示。

經由表5 可知，μIOA-Ⅲ在7 種參數(shù)組合下均獨立運行100 次求解多模態(tài)概率約束優(yōu)化問題，每次都能以很高的概率尋到滿意的可信最優(yōu)解，且解質量相近，表明算法μIOA-Ⅲ對參數(shù)N、M、W 的敏感度不高。在相同的迭代次數(shù)下，當生命周期參數(shù)W 增大時，局部搜索能力增強，解質量略微提高；當群體規(guī)模N、樣本量M 增大時，解質量提高，效率降低；當樣本量M 減小時，算法抑制噪聲能力降低，使算法有時難以尋到可信解。為此，綜合考慮算法的抑噪效果、尋優(yōu)能力、運行效率，選取參數(shù)組合：N=5 , M=10, W=5。

表5 μIOA-Ⅲ在不同參數(shù)設置下求解問題2 的統(tǒng)計結果比較Table 5 Comparison of statistical results for solving problem 2 of μIA-Ⅲ in different parameter settings

4 結 論

單目標概率約束規(guī)劃問題是一類具有綜合工程應用背景的隨機規(guī)劃難題，為此，受生物免疫學中危險理論運行機制啟發(fā)，設計了微種群免疫優(yōu)化算法（μIOA-Ⅲ）求解。經理論分析和實驗分析，得出以下結論：

1) 危險理論是探索智能優(yōu)化算法求解SOPCP問題的一種有用的生物啟發(fā)理論。

2) μIOA-Ⅲ的計算復雜度主要取決于群體規(guī)模、機會約束和目標函數(shù)的樣本量上限。

3) μIOA-Ⅲ可以穩(wěn)定、高效地搜索到滿意質量的解，具有種群小、可調參數(shù)少、自適應性強等特點，是求解SOPCP 問題的一種有競爭力和應用潛力的優(yōu)化算法。

4) μIOA-Ⅲ中機會約束概率值估計法能自適應為SOPCP 問題中各機會約束分配不同數(shù)量的樣本，以有效抑制噪聲干擾并估計概率值；目標值估計法能自適應為進化種群各個體分配不同數(shù)量的樣本，以有效抑制噪聲干擾并估算目標值。

5) μIOA-Ⅲ引入個體生命周期、交叉算子及自適應的交叉與變異概率、多項式變異、非均勻變異、分布指數(shù)等，可以有效增強算法進化能力。

此外，盡管該算法具有一些優(yōu)異的性能，特別是其運行效率，但其工程應用仍需進一步研究。