李儒瓊，黃立新，陳 純

（上海中僑職業(yè)技術(shù)大學(xué)，上海）

前言

隨著機(jī)械行業(yè)越來(lái)越向重型化發(fā)展，加工大模數(shù)高精度螺傘齒輪帶來(lái)的制造瓶頸也越來(lái)越突出，因此，采用通用五軸加工中心加工大模數(shù)高精度的螺旋錐齒輪是一種較好的解決方案。

在實(shí)際的螺旋錐齒輪傳動(dòng)中，輪齒上各點(diǎn)到節(jié)錐頂點(diǎn)的距離始終是不變的，故其齒廓曲線應(yīng)該是以節(jié)錐頂點(diǎn)為球心的球面曲線，這就為球面漸開(kāi)線理論在模型設(shè)計(jì)方面提供了科學(xué)依據(jù)。現(xiàn)有的齒輪問(wèn)題研究文獻(xiàn)中，早期關(guān)于齒輪的研究主要是涉及齒輪幾何特性和設(shè)計(jì)參數(shù)方法[1-4]，Tsai 和Chin 提出了一個(gè)用于錐齒輪的齒面建模方法[1]，Al-daccak[2]等人提出了基于精確的球面漸開(kāi)線曲線的建模方法，目前，弧齒錐齒輪的造型方法主要有以下二種：一種是以微分幾何和空間嚙合原理為基礎(chǔ), 通過(guò)復(fù)雜的坐標(biāo)變換和矩陣運(yùn)算得到齒面方程, 由齒面方程獲得大量齒面離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，再由數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合出齒面模型，另一種方法是直接運(yùn)用三維造型軟件進(jìn)行實(shí)體建模。其中多以背錐上的平面漸開(kāi)線代替理論的球面漸開(kāi)線繪制近似的幾何模型[4]，當(dāng)球面半徑R 與齒輪的模數(shù)之比越小時(shí), 誤差就越大[5]，且較難實(shí)現(xiàn)參數(shù)化。

為解決齒輪通用數(shù)控加工問(wèn)題，本研究從齒輪數(shù)控加工的需要出發(fā)，提出一種螺旋錐齒輪的精確建模方法，具體過(guò)程可表述為，通過(guò)建立螺旋錐齒輪齒面參數(shù)方程，然后由齒形曲面與齒坯幾何體裁剪得到精確輪冠齒型。從而為齒輪加工數(shù)控編程提供精確的幾何模型。

1 基于齒向線和齒廓線的齒形參數(shù)建模

1.1 作為齒向線的基圓錐螺旋線方程

定義螺旋線是一條阿基米德螺旋線[6]。如圖1 所示，根據(jù)螺旋線的定義，基錐面上的任意一點(diǎn)一邊勻速向上運(yùn)動(dòng)一邊隨母線繞軸線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡就是一條基圓錐面上的螺旋曲線。其中動(dòng)點(diǎn)k 處的切線與母線的夾角為其螺旋角β，則螺旋線可以用方程表示為：

圖1 基圓錐螺旋線

式中：βn為基圓上小端處的螺旋角；α 為壓力；δ 為基錐角；m 為齒輪設(shè)計(jì)模數(shù)；z 為齒數(shù)。

1.2 作為齒廓線的漸開(kāi)線方程

理論上，滿足嚙合定律的曲線均可以成為齒輪嚙合的齒廓，工程上經(jīng)常采用擺線，圓弧線，漸開(kāi)線等，但基于漸開(kāi)線在傳動(dòng)設(shè)計(jì)中的明顯的優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中，漸開(kāi)線齒廓應(yīng)用更為廣泛。漸開(kāi)線形成原理見(jiàn)圖2。

圖2 漸開(kāi)線形成原理

其參數(shù)方程為：

式中：r 是基圓M點(diǎn)徑矢；β*是漸開(kāi)線上一點(diǎn)P 處的法矢。

1.3 基于齒向線和齒廓線的齒面矢量方程

將螺旋錐齒輪齒面參數(shù)方程由齒向線u 線和齒廓線v 線進(jìn)行參數(shù)表示，則螺旋錐齒輪的齒面表達(dá)見(jiàn)圖3。

圖3 螺旋線漸開(kāi)線齒面的矢量表示

此螺旋齒面方程可表達(dá)為式（6）：

1.4 齒面形成過(guò)程

在圖4 中，螺旋錐齒輪齒面方程矢量可表達(dá)為：

在局部坐標(biāo)系下形成的齒面見(jiàn)圖4（a），圖中，rφ為螺旋線在任一點(diǎn)o1處的徑矢，過(guò)空間點(diǎn)o1的法面，在法面內(nèi)以o1為圓心，r 為基圓半徑做漸開(kāi)線，所形成的齒面是距離分度錐為r 并具有螺旋線和漸開(kāi)線特征的曲面，見(jiàn)文獻(xiàn)[5]。

圖4

由于這里的螺旋線和漸開(kāi)線方程都是在局部坐標(biāo)系下獲得，所以，齒面方程求解就變成為將局部坐標(biāo)系下的曲面方程轉(zhuǎn)換為絕對(duì)坐標(biāo)系下的方程問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程實(shí)際變成一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換過(guò)程，首先，將漸開(kāi)線由s1{o1，x1，y1，z1}變換到s2{o2，x2，y2，z2}，然后將齒面每一點(diǎn)由坐標(biāo)系s2{o2，x2，y2，z2}變換到s{o，x，y，z},變換的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換見(jiàn)圖4（b），設(shè)變換過(guò)程矩陣為M02，變換方程表示為：

最終的曲面方程是由圖4（b）繞z2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)δ角度獲得。即由坐標(biāo)系s3{o3，x3，y3，z3}轉(zhuǎn)為s{o，x，y，z}，見(jiàn)圖4（c）。設(shè)變換過(guò)程矩陣為M23。最后，由式（15）即可求得螺旋錐齒輪的齒面方程。

1.5 齒面計(jì)算示例

設(shè)在輔助坐標(biāo)系s3{o3，x3，y3，z3}中，漸開(kāi)線表達(dá)式為：

根據(jù)文獻(xiàn)[5]可求得變換矩陣M02，M23分別為：

這 里α，β，γ，α1，β1，γ1；α2，β2，γ2分 別 是坐標(biāo)系｛O2，x2，y2，z2｝的x2，y2，z2與絕對(duì)坐標(biāo)系{O，x，y，z}的x，y，z 軸的夾角。

式中：δ 參數(shù)意義見(jiàn)圖5。

圖5 漸開(kāi)線的形成與坐標(biāo)變換

將式（17），式（18），式（16）代入式（15）即可求得螺旋錐齒輪左齒面方程。

同理可得出右齒面方程。

2 螺旋錐齒輪輪齒的生成方法

（1）通過(guò)三維建模軟件生成齒坯模型（本研究采用UG 軟件）。利用UG 表達(dá)式輸入齒輪各參數(shù)，生成三維模型，導(dǎo)入由式（19）得到的曲面點(diǎn)數(shù)據(jù)，分別在三維軟件中產(chǎn)生成左右齒面（見(jiàn)圖6）。

圖6 曲面點(diǎn)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的輪齒左右曲面

（2）通過(guò)面切割實(shí)體，剪裁出單個(gè)齒。裁剪齒形見(jiàn)圖7。

圖7 裁剪齒形

（3）最后，構(gòu)造出數(shù)控編程加工需要的三維實(shí)體模型。齒槽體見(jiàn)圖8。

圖8 齒槽體

3 結(jié)論

本研究應(yīng)用微分幾何理論，依據(jù)齒輪傳動(dòng)原理，采用螺旋線和漸開(kāi)線特性的曲線，構(gòu)建了螺旋錐齒輪的精確曲面模型，其過(guò)程主要有螺旋齒面的參數(shù)方程矢量表示方法，齒面點(diǎn)數(shù)據(jù)的坐標(biāo)變換，通過(guò)坐標(biāo)系的分解可以很直觀的理解復(fù)雜的空間變換問(wèn)題，并獲得了螺旋錐齒輪精確的數(shù)學(xué)模型，最后通過(guò)三維軟件完成了具有數(shù)控加工特點(diǎn)的齒輪實(shí)體建模，為復(fù)雜齒輪采用通用數(shù)控加工方法提出了可行解決方案。