陳釗，袁航，黃鵬宇，周子龍，王秉

(1.廣西北投公路建設(shè)投資集團(tuán)有限公司，廣西 南寧，530028；2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083；3.中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

近年來(lái)，我國(guó)隧道建設(shè)規(guī)模逐漸擴(kuò)大，截至2019年，我國(guó)公路隧道數(shù)量為19 067 座，同比增長(zhǎng)7.5%；隧道總長(zhǎng)度達(dá)到1 896.66萬(wàn)m，同比增長(zhǎng)10%。隨著隧道建設(shè)規(guī)模的日益擴(kuò)大，隧道施工事故也頻頻發(fā)生。在收集相關(guān)資料和整理文獻(xiàn)[1-3]的數(shù)據(jù)后，對(duì)2005—2019年間我國(guó)隧道施工發(fā)生的136起事故進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，坍塌事故發(fā)生次數(shù)占總事故次數(shù)的70.85%；坍塌事故造成的死亡人數(shù)占總?cè)藬?shù)的48.35%。由此可見，在隧道施工過程中，坍塌事故最經(jīng)常發(fā)生，造成的后果最為嚴(yán)重。對(duì)建設(shè)中的隧道進(jìn)行坍塌安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率等級(jí)評(píng)估，對(duì)現(xiàn)場(chǎng)事故的預(yù)防及安全管控具有重大意義。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)隧道坍塌風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)進(jìn)行了一些創(chuàng)新性研究。亓?xí)再F等[4-5]利用模糊綜合評(píng)價(jià)法對(duì)隧道坍塌進(jìn)行了風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)；王天瑜等[6]運(yùn)用未知測(cè)度理論建立了隧道坍塌風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警系統(tǒng)；楊光等[7]運(yùn)用云模型理論確定不同風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的確定度，由最大確定度判斷隧道塌方等級(jí)。但上述方法多是定性或半定量評(píng)價(jià)，存在很強(qiáng)的不確定性，并且無(wú)法進(jìn)行定量風(fēng)險(xiǎn)概率計(jì)算及事故原因診斷。而貝葉斯網(wǎng)絡(luò)具有很強(qiáng)的概率推算、處理復(fù)雜不確定性信息問題以及進(jìn)行故障診斷的能力，是一種應(yīng)用廣泛的風(fēng)險(xiǎn)概率定量分析方法，目前已經(jīng)在隧道風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)中應(yīng)用廣泛。孫景來(lái)[8]將隧道坍塌事故樹轉(zhuǎn)化為貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，利用專家調(diào)查和案例事故的數(shù)據(jù)得出節(jié)點(diǎn)條件概率用于隧道坍塌評(píng)價(jià)；FENG 等[9]建立了樸素貝葉斯分類器，編制了隧道病害數(shù)據(jù)庫(kù)用于分類器學(xué)習(xí)，將訓(xùn)練好的分類器用于隧道坍塌評(píng)價(jià)；姜洲等[10]結(jié)合專家及歷史數(shù)據(jù)獲得條件概率，利用貝葉斯正向和反向推理計(jì)算運(yùn)營(yíng)隧道滲漏水風(fēng)險(xiǎn)概率并進(jìn)行原因診斷；呂杉[11]利用noisy-gate 模型獲得各節(jié)點(diǎn)的條件概率，構(gòu)建貝葉斯網(wǎng)絡(luò)二態(tài)模型進(jìn)行地鐵隧道施工風(fēng)險(xiǎn)控制；李澤荃等[12]利用以往事故案例中各事件的依賴關(guān)系得到條件概率結(jié)構(gòu)，結(jié)合區(qū)間概率等級(jí)劃分與權(quán)重信心指標(biāo)法計(jì)算事件概率。SUN 等[13-14]建立了多態(tài)模糊貝葉斯網(wǎng)絡(luò)隧道坍塌模型，以模糊函數(shù)對(duì)多狀態(tài)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行描述，根據(jù)專家調(diào)查權(quán)重對(duì)條件概率進(jìn)行賦值；JING 等[15]基于歷史事故統(tǒng)計(jì)和專家經(jīng)驗(yàn)等數(shù)據(jù)開發(fā)了隧道坍塌貝葉斯網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)軟件，并應(yīng)用到實(shí)際的隧道當(dāng)中；陳發(fā)達(dá)等[16]利用云模型歸屬各節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)，構(gòu)建了基于云貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的泥水盾構(gòu)隧道開挖面穩(wěn)定性研究模型；吳賢國(guó)等[17]將可對(duì)不確定信息進(jìn)行有效融合的證據(jù)理論引入貝葉斯網(wǎng)絡(luò)先驗(yàn)概率的確定過程中，對(duì)條件概率進(jìn)行賦值設(shè)計(jì)，開展了盾構(gòu)下穿既有隧道的安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。然而，上述研究對(duì)于貝葉斯條件概率結(jié)構(gòu)的確定大多采用歷史數(shù)據(jù)和專家逐一決策、平均集成相結(jié)合或?qū)＜乙罁?jù)自身經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行主觀賦值設(shè)計(jì)的方法，這些方法忽略了專家在專業(yè)領(lǐng)域、知識(shí)背景、認(rèn)知程度等諸多方面的差異，這種差異會(huì)造成過度決策或決策不足，并且平均集成各專家數(shù)據(jù)缺乏科學(xué)依據(jù)[18-19]；同時(shí)，專家決策過多不僅實(shí)用性低，而且會(huì)造成條件概率確定過程計(jì)算效率低、主觀性較強(qiáng)，導(dǎo)致最終風(fēng)險(xiǎn)概率誤差較大，難以較好地實(shí)現(xiàn)隧道坍塌風(fēng)險(xiǎn)控制與預(yù)警。

考慮目前貝葉斯網(wǎng)絡(luò)隧道坍塌風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)中存在的專家決策次數(shù)多、主觀性大、條件概率計(jì)算效率低、誤差大等不足，本文將權(quán)重與DS證據(jù)理論引入貝葉斯網(wǎng)絡(luò)條件概率的確定過程。利用DS證據(jù)理論有效融合部分特殊狀態(tài)條件概率的不同專家決策信息源；結(jié)合各節(jié)點(diǎn)事件的權(quán)重和特殊節(jié)點(diǎn)狀態(tài)下的條件概率定義“狀態(tài)危險(xiǎn)貢獻(xiàn)值”用于求解所有的條件概率，對(duì)條件概率確定過程進(jìn)行改進(jìn)，以期更好地實(shí)現(xiàn)隧道坍塌風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)。

1 基本方法與風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)模型構(gòu)建

1.1 改進(jìn)條件概率的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)

一個(gè)完整的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)由根節(jié)點(diǎn)X、中間節(jié)點(diǎn)M、葉節(jié)點(diǎn)T、根節(jié)點(diǎn)先驗(yàn)概率P(X)以及條件概率[P(M|X)，P(T|M)]這幾部分組成。如圖1 左上角為一個(gè)簡(jiǎn)單的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)間有條件關(guān)系的互為父子節(jié)點(diǎn)；如X為M的父節(jié)點(diǎn)，T為M的子節(jié)點(diǎn)，各節(jié)點(diǎn)通過條件概率聯(lián)系在一起，條件概率反映了父子節(jié)點(diǎn)間的連接強(qiáng)度關(guān)系。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的本質(zhì)是概率的推理計(jì)算，節(jié)點(diǎn)T的發(fā)生概率可通過下式求得：

為了與實(shí)際情況對(duì)應(yīng)，需將貝葉斯網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)進(jìn)行安全狀態(tài)劃分，不同的安全狀態(tài)對(duì)應(yīng)實(shí)際中各事件的不同風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)。對(duì)于某個(gè)子節(jié)點(diǎn)，其父節(jié)點(diǎn)的所有安全狀態(tài)組合數(shù)對(duì)應(yīng)該父子節(jié)點(diǎn)間的條件概率組數(shù)。在條件概率的確定過程中，傳統(tǒng)方法全部的條件概率都是依靠專家決策確定的，對(duì)于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，節(jié)點(diǎn)狀態(tài)分類少的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，專家決策次數(shù)較少，但是對(duì)于隧道坍塌這種多因素導(dǎo)致的事故，其貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，根節(jié)點(diǎn)安全狀態(tài)分類較多，按照傳統(tǒng)的方法，對(duì)所有安全狀態(tài)組合進(jìn)行一一枚舉，專家進(jìn)行逐一決策，其條件概率超過萬(wàn)組，需要專家決策超過萬(wàn)次，這在實(shí)際中很難辦到，并且節(jié)點(diǎn)狀態(tài)微小變動(dòng)而導(dǎo)致的條件概率變化幅度較小，這在專家決策中很難準(zhǔn)確地體現(xiàn)，因此，需要對(duì)條件概率確定過程進(jìn)行改進(jìn)。圖1所示為子節(jié)點(diǎn)M1與其父節(jié)點(diǎn)X1，X2和X3之間傳統(tǒng)方法與改進(jìn)方法條件概率確定過程。假設(shè)子節(jié)點(diǎn)M1包含0和1這2種安全狀態(tài)，父節(jié)點(diǎn)X1，X2和X3均包含0，1 和2 這3 種安全狀態(tài)，共有27 組條件概率，每組包含2 個(gè)概率。圖1 中，表示不同安全狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)Xi(i=1，2，3)，M b1(b=0，1)表示不同安全狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)M1，b表示節(jié)點(diǎn)M1的安全狀態(tài)取值；表示條件概率，其中，q=1，2，…，27表示條件概率的組數(shù)，b=0或1 分別表示M1處于狀態(tài)0 或1；wi(i=1，2，3)表示節(jié)點(diǎn)Xi權(quán)重；Δj(j=1，2)表示節(jié)點(diǎn)整體的狀態(tài)危險(xiǎn)貢獻(xiàn)值。

從圖1可以看出：選擇同一安全狀態(tài)組合的特殊條件概率進(jìn)行專家決策，這種狀態(tài)組合的信息復(fù)雜度最小，最容易進(jìn)行決策，因而可以提高專家決策的可信度，然后根據(jù)同一狀態(tài)組合的條件概率，結(jié)合節(jié)點(diǎn)的權(quán)重，定義狀態(tài)危險(xiǎn)貢獻(xiàn)值，可以求出所有狀態(tài)組合的條件概率，采用這種方法時(shí)，專家決策的次數(shù)等于根節(jié)點(diǎn)安全狀態(tài)的最大值，從而減少專家決策次數(shù)，降低了主觀性，減小了誤差。

圖1 改進(jìn)條件概率的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)內(nèi)涵圖Fig.1 Bayesian networks intension graph with improved conditional probability

1.2 基于改進(jìn)條件概率的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)模型

基于改進(jìn)條件概率的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險(xiǎn)概率求解的技術(shù)路線如圖2所示，主要包括3 個(gè)階段：1)確定風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系及各指標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)；2)構(gòu)建貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并確定根節(jié)點(diǎn)先驗(yàn)概率及改進(jìn)的條件概率這2部分貝葉斯網(wǎng)絡(luò)參數(shù)；3)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)概率推理及分析，計(jì)算葉節(jié)點(diǎn)的概率并由葉節(jié)點(diǎn)的概率反向推算根節(jié)點(diǎn)的后驗(yàn)概率。

圖2 改進(jìn)條件概率的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險(xiǎn)概率計(jì)算技術(shù)路線圖Fig.2 A technical roadmap for risk probability calculation in Bayesian networks with improved conditional probability

1.2.1 風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系確定

通過參考文獻(xiàn)[20-22]、分析歷史坍塌事故數(shù)據(jù)以及專家經(jīng)驗(yàn)，確定導(dǎo)致隧道坍塌的二級(jí)風(fēng)險(xiǎn)事件主要包括5 個(gè)方面，分別涉及隧道的水文條件、安全管理能力、圍巖穩(wěn)定性、地質(zhì)條件、設(shè)計(jì)方案合理性?；撅L(fēng)險(xiǎn)事件劃分如下：水文條件包括區(qū)域年均降雨量、地下水狀態(tài)、滲水狀態(tài)、周圍水體情況；安全管理能力包括作業(yè)人員經(jīng)驗(yàn)、安全管理人員配備情況、安全投入、歷史事故情況；圍巖穩(wěn)定性包括圍巖強(qiáng)度、巖層傾角、巖體完整性系數(shù)；地質(zhì)條件包括巖溶發(fā)育情況、地質(zhì)符合性、巖爆水平、偏壓、斷層破碎帶和隧道埋深；設(shè)計(jì)方案合理性包括洞口形式、隧道全長(zhǎng)、開挖斷面形式、施工步距、循環(huán)進(jìn)尺。

將指標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)狀態(tài)與事件在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中安全狀態(tài)對(duì)應(yīng)起來(lái)，可分為3狀態(tài)事件和4狀態(tài)事件。對(duì)于3 狀態(tài)事件，用0，1 和2 分別代表安全、一般、危險(xiǎn)這3種風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)狀態(tài)；對(duì)于4狀態(tài)事件，用0，1，2和3分別代表安全、一般、較危險(xiǎn)、危險(xiǎn)這4種風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)狀態(tài)。將基本風(fēng)險(xiǎn)事件分為定性事件和定量事件2大類。對(duì)于定量事件，其安全狀態(tài)依據(jù)是定量的數(shù)值區(qū)間，參考文獻(xiàn)[6-7，17，21-23]中的分類標(biāo)準(zhǔn)對(duì)其進(jìn)行安全狀態(tài)劃分。表1所示為定量事件安全狀態(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn)，其中，施工步距的劃分標(biāo)準(zhǔn)考慮的是圍巖襯砌到掌子面距離。

表1 定量事件安全狀態(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn)Table 1 Criteria for security-state division of quantitative events

對(duì)于定性事件，其分類標(biāo)準(zhǔn)是定性的語(yǔ)言描述，參考文獻(xiàn)[23]采用10分制進(jìn)行評(píng)判，對(duì)于4狀態(tài)事件，其劃分結(jié)果為安全[7.5～10]、一般[5～7.5)、較危險(xiǎn)[2.5～5)、危險(xiǎn)[0～2.5)；對(duì)于3狀態(tài)節(jié)點(diǎn)，其劃分結(jié)果為安全[7～10]、一般[3～7)、危險(xiǎn)[0～3)；定性事件由專家根據(jù)實(shí)際條件對(duì)照定性描述標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行打分。表2所示為定性事件安全狀態(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn)，其中開挖斷面和洞口形式這2類指標(biāo)事件分類標(biāo)準(zhǔn)的描述是確定性的，其所屬安全狀態(tài)是唯一確定的，其概率為1，并且依據(jù)實(shí)際情況可以準(zhǔn)確地判斷其所處的安全狀態(tài)，因此無(wú)須進(jìn)行打分評(píng)判。

表2 定性事件安全狀態(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn)Table 2 Criteria for security-state division of qualitative events

1.2.2 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)構(gòu)建

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)模型由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)參數(shù)2部分組成，因此，需要進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和概率參數(shù)確定。首先，根據(jù)評(píng)價(jià)指標(biāo)和風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)劃分，確定貝葉斯網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)狀態(tài)，將基本風(fēng)險(xiǎn)事件作為根節(jié)點(diǎn)，二級(jí)風(fēng)險(xiǎn)事件作為中間節(jié)點(diǎn)，隧道坍塌作為葉節(jié)點(diǎn)，根節(jié)點(diǎn)安全狀態(tài)劃分如1.2.1節(jié)，中間節(jié)點(diǎn)以及葉節(jié)點(diǎn)的安全狀態(tài)均以4狀態(tài)來(lái)考慮。參數(shù)確定分為2部分，先驗(yàn)概率通過聯(lián)系云確定；改進(jìn)的條件概率依據(jù)專家決策信息，通過DS 證據(jù)理論和基本權(quán)重值共同確定，具體過程如下文所述。

1)根節(jié)點(diǎn)先驗(yàn)概率確定。

云模型能夠反映樣本實(shí)際指標(biāo)分布情況，并能實(shí)現(xiàn)評(píng)價(jià)指標(biāo)與評(píng)價(jià)等級(jí)間的確定和不確定關(guān)系統(tǒng)一定量描述。聯(lián)系云是云模型的拓展，能夠解決區(qū)間分布的評(píng)價(jià)指標(biāo)在實(shí)際中應(yīng)用的局限性。聯(lián)系云由以期望值Ex為分界點(diǎn)的左、右2個(gè)不同特征的云滴構(gòu)成。利用聯(lián)系云構(gòu)建根節(jié)點(diǎn)各安全狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)云族，標(biāo)準(zhǔn)云數(shù)字特征(Ex，En，He，a，k)計(jì)算公式為[24]

式中：i=0或1分別表示左半支和右半支云滴情況；Ex，En和He分別為左半支或右半支聯(lián)系云的期望值、熵和超熵；Lmax和Lmin分別為區(qū)間的上、下限；ki為a'i相對(duì)應(yīng)的分布密度函數(shù)的階數(shù)；a'i為聯(lián)系云修正后的半?yún)^(qū)間長(zhǎng)度；為以En為期望；為方差生成的正態(tài)隨機(jī)數(shù)；ai為聯(lián)系云半?yún)^(qū)間長(zhǎng)度。

若評(píng)價(jià)指標(biāo)分類標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間值隨著風(fēng)險(xiǎn)增大而增加，該區(qū)間的左、右半?yún)^(qū)間長(zhǎng)度為

若評(píng)價(jià)指標(biāo)分類標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間值隨著風(fēng)險(xiǎn)增大而減少，該區(qū)間的左、右半?yún)^(qū)間長(zhǎng)度為

云滴基于數(shù)字特征(Ex，En，H，a，k)和云滴數(shù)N產(chǎn)生，云滴x隸屬度μ(x)計(jì)算公式為[24]

式中：a'為聯(lián)系云修正后的半?yún)^(qū)長(zhǎng)度。

利用正向云發(fā)生器計(jì)算根節(jié)點(diǎn)屬于各安全狀態(tài)的隸屬度。首先輸入節(jié)點(diǎn)各安全狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)云數(shù)字特征(Ex，En，He，a，k)及節(jié)點(diǎn)的實(shí)際取值x，然后生成以En為期望，He為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)隨機(jī)數(shù)E′n，最后依據(jù)式(5)計(jì)算得到節(jié)點(diǎn)實(shí)際值屬于各安全狀態(tài)的隸屬度，通過多次生成隨機(jī)數(shù)，避免隨機(jī)性帶來(lái)的不確定性誤差，最后求出平均隸屬度。各安全狀態(tài)之間相互獨(dú)立，因此根節(jié)點(diǎn)屬于各安全狀態(tài)之間的隸屬度之間相互獨(dú)立，且屬于各狀態(tài)的隸屬度和不為1，而在概率論中，一個(gè)事件屬于其所有可能發(fā)生狀態(tài)的先驗(yàn)概率和應(yīng)為1，因此，利用隸屬度—概率[16]轉(zhuǎn)換公式將隸屬度轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的概率作為貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的先驗(yàn)概率：

式中：μ(x)i(i=1，2，…，n)為節(jié)點(diǎn)屬于不同安全狀態(tài)的隸屬度；P[μ(x)i]表示節(jié)點(diǎn)屬于不同安全狀態(tài)的先驗(yàn)概率。

2)改進(jìn)條件概率確定。

條件概率考慮的是子節(jié)點(diǎn)在其所有父節(jié)點(diǎn)處于不同狀態(tài)組合下發(fā)生的可能性。考慮子節(jié)點(diǎn)對(duì)某一個(gè)父節(jié)點(diǎn)的影響程度，即可得到父子節(jié)點(diǎn)事件之間的權(quán)重關(guān)系，以往的條件概率計(jì)算過程中未考慮節(jié)點(diǎn)權(quán)重的作用。利用兩兩比較法構(gòu)建判斷矩陣用于計(jì)算權(quán)重向量w，具體計(jì)算方法同文獻(xiàn)[25]。

DS 證據(jù)理論是由Dempster 提出，后經(jīng)過Shafer 改進(jìn)，故稱為DS 證據(jù)理論。證據(jù)理論是概率理論的一種推廣，是一種處理融合不確定信息問題的理想工具。其主要定義如下：

定義1：識(shí)別框架。設(shè)某一節(jié)點(diǎn)X，對(duì)于該節(jié)點(diǎn)所有可能發(fā)生的狀態(tài)用一個(gè)集合θ(X)來(lái)表示，θ(X)中的各元素代表的狀態(tài)是兩兩互斥的，稱這樣的集合θ(X)為節(jié)點(diǎn)X的識(shí)別框架。

定義2：基本概率分配函數(shù)m。概率函數(shù)m∈[0，1]，若滿足條件：

其中：A為θ(X)的任一子集，則稱m(A)為θ(X)上的基本概率分配函數(shù)。

定義3：合成規(guī)則。設(shè)m1(A)，m2(B)為θ(X)上的兩個(gè)相互獨(dú)立的不同信息源得到的基本概率分配值，集合A和B中元素分別為Ai和Bj，為了同時(shí)利用來(lái)自相互獨(dú)立的不同信息源，DS 證據(jù)理論按照下式[18]求得2組數(shù)據(jù)融合后的概率分配值m(Ck)：

定義4：信度函數(shù)與似然函數(shù)。在識(shí)別框架θ(X)下，依據(jù)融合后的概率分配值m(Ck)，框架θ(X)中任一元素x的條件概率可通過下式量綱一化處理求出[18]：

式中：Ck(k=1，2，…)為集合C中的元素；Bel(x)為似然函數(shù)，表示融合后信息對(duì)x為真的最低信任程度；Pl(x)為信度函數(shù)，表示融合后信息對(duì)x為真的最高信任程度；π為信度函數(shù)與似然函數(shù)的折合因子。

對(duì)于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的任意一組子節(jié)點(diǎn)M與其父節(jié)點(diǎn)X1，X2，…，Xn，若子節(jié)點(diǎn)安全狀態(tài)取值表示為b(b=0，1，2，…，k)，每個(gè)父節(jié)點(diǎn)安全狀態(tài)取值表示為ai(i=1，2，…，n；ai=0，1，2，…，m)，則父節(jié)點(diǎn)一共有(m+1)n種安全狀態(tài)組合，對(duì)應(yīng)有(m+1)n組條件概率，每組條件概率中包含子節(jié)點(diǎn)的(k+1)種安全狀態(tài)情況，則條件概率共有(k+1)(m+1)n個(gè)。選取父節(jié)點(diǎn)X均處于同一安全狀態(tài)的特殊狀態(tài)組合進(jìn)行專家決策，建立如表3所示的專家決策知識(shí)矩陣，一共需進(jìn)行(m+1)次專家決策。

表3 專家決策知識(shí)矩陣Table 3 Expert decision knowledge matrix

表3 中，Pai(Mb)(ai=0，1，2，…，m；b=0，1，2，…，k)表示父節(jié)點(diǎn)全部處于ai安全狀態(tài)這種組合時(shí)，子節(jié)點(diǎn)M分別屬于k+1種安全狀態(tài)b的條件概率，其滿足；θ(M)為定義1的屬于子節(jié)點(diǎn)M條件概率的識(shí)別框架，即為集合…，m)。知識(shí)矩陣中的“1”表示元素與自身比較，“0”表示2 元素之間未進(jìn)行比較，2，…，k)表示專家e對(duì)該元素與識(shí)別框架θ(M)進(jìn)行相對(duì)發(fā)生可能性推斷的決策值，該元素相對(duì)于識(shí)別框架發(fā)生可能性越高，表明該元素在識(shí)別框架中所占比例越高，所代表的基本概率就越大。采用2-6標(biāo)度法進(jìn)行賦值[19]，極端可能發(fā)生和一般可能發(fā)生分別賦值為6 和2，否則根據(jù)相對(duì)發(fā)生可能性給出介于6和2之間的整數(shù)。

按照下面公式求出專家e決策知識(shí)矩陣的最大特征值對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量作為識(shí)別框架θ(M)的基本概率分配函數(shù)m(xi)(i=1，2，…，k+2)。

式中：m(xi)(i=1，2，…，k+1)表示集合θ(M)中第i個(gè)元素xi的基本概率分配值；m(xi)(i=k+2)表示識(shí)別框架θ(M)的基本概率分配值。

將所有專家各自決策的識(shí)別框架θ(M)基本概率分配函數(shù)按照式(7)進(jìn)行逐一融合，得到識(shí)別框架θ(M)綜合基本概率分配值mˉ，通過式(8)可以求出識(shí)別框架中各單個(gè)元素的條件概率。按照上述步驟可求出父節(jié)點(diǎn)全部處于同一安全狀態(tài)組合時(shí)子節(jié)點(diǎn)屬于各安全狀態(tài)的條件概率，這些特殊狀態(tài)組合信息復(fù)雜度最少、決策過程最簡(jiǎn)單、主觀性最低、可信度最高。由上述方法求得的m+1 種特殊狀態(tài)條件概率集合依次序表示如下：{P0(M0)，P0(M1)，P0(M2)，…，P0(Mk)}，{P1(M0)，P1(M1)，P1(M2)，…，P1(Mk)}，{P2(M0)，P2(M1)，P2(M2)，…，P2(Mk)}，……，{Pm(M0)，Pm(M1)，Pm(M2)，…，Pm(Mk)}。對(duì)于其余的[(m+1)n-m-1]種狀態(tài)組合的條件概率，若繼續(xù)采用專家決策，不僅增加專家決策量，同時(shí)效率低下；而且由于各節(jié)點(diǎn)安全狀態(tài)的共同變化導(dǎo)致信息復(fù)雜度增加，決策難度增加，導(dǎo)致這些變化很難通過專家決策準(zhǔn)確地體現(xiàn)出來(lái)。故其余的條件概率求解過程不依靠專家決策，采用一種結(jié)合節(jié)點(diǎn)權(quán)重與安全狀態(tài)之間聯(lián)系的方法求解。

令第1個(gè)集合中的各元素分別與剩下m個(gè)集合中對(duì)應(yīng)元素相減，定義狀態(tài)危險(xiǎn)貢獻(xiàn)值集合Δr(r=1，2，…，m)為

Δr(r=0，1，2，…，m)為“r”狀態(tài)危險(xiǎn)貢獻(xiàn)值，表示由于父節(jié)點(diǎn)安全狀態(tài)惡化對(duì)條件概率變化的貢獻(xiàn)值。Δr(r=0，1，2，…，m)為所有父節(jié)點(diǎn)整體的變化量，而權(quán)重反映了單個(gè)父節(jié)點(diǎn)對(duì)子節(jié)點(diǎn)的影響程度，因此，結(jié)合各節(jié)點(diǎn)權(quán)重將整體狀態(tài)危險(xiǎn)貢獻(xiàn)值按下式分配給每個(gè)節(jié)點(diǎn)：

式中：a1，a2，…，an表示節(jié)點(diǎn)X1，X2，…，Xn的安全狀態(tài)取值。

1.2.3 風(fēng)險(xiǎn)概率推理及分析

按照1.1節(jié)中所述的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)基本原理，對(duì)應(yīng)的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)正向推理葉節(jié)點(diǎn)Tq(q=0，1，2，…)的概率P(Tq)可通下式求得：

式中：Π為父節(jié)點(diǎn)集合表示方式，0，1，2，…，αi)分別表示不同狀態(tài)下的中間節(jié)點(diǎn)和根節(jié)點(diǎn)，其中bj和ai分別表示節(jié)點(diǎn)M和X的安全狀態(tài)取值，…，αi)為根節(jié)點(diǎn)Xi處于ai安全狀態(tài)時(shí)的先驗(yàn)概率。

在已知葉節(jié)點(diǎn)T的安全狀態(tài)Tq的概率時(shí)，結(jié)合貝葉斯網(wǎng)絡(luò)反向推理可求得根節(jié)點(diǎn)安全狀態(tài)為時(shí)的后驗(yàn)概率后驗(yàn)概率反映了根節(jié)點(diǎn)對(duì)葉節(jié)點(diǎn)的重要度，因此可以進(jìn)行故障原因診斷，后驗(yàn)概率最大的根節(jié)點(diǎn)是導(dǎo)致葉節(jié)點(diǎn)發(fā)生的最主要原因。后驗(yàn)概率可通過下式[26]求得：

2 實(shí)例分析

2.1 工程概況

本文依托廣西壯族自治區(qū)來(lái)賓市G355 蒙山至金秀公路老山隧道工程。擬建老山隧道工程概況見表4。隧道施工段，圍巖主要由殘坡積粉質(zhì)黏土和強(qiáng)中風(fēng)化砂巖、砂巖夾泥質(zhì)、砂巖夾頁(yè)巖組成，屬巖土組合圍巖。粉質(zhì)黏土層較薄，呈硬塑狀，結(jié)構(gòu)較松散。下伏強(qiáng)中風(fēng)化砂巖、砂巖夾泥質(zhì)、砂巖夾頁(yè)巖，局部裂隙發(fā)育，巖體破碎，穩(wěn)定性較差。圍巖巖體較破碎，節(jié)理裂隙發(fā)育，呈碎裂狀結(jié)構(gòu)，圍巖有不穩(wěn)定因素，易發(fā)生冒頂片幫事故，隧道開挖后洞室以淋雨?duì)畛鏊疄橹?，?qiáng)降雨后局部可能會(huì)出現(xiàn)小股狀涌水現(xiàn)象，導(dǎo)致在隧道開挖過程中，可能會(huì)發(fā)生嚴(yán)重塌方、冒頂事故，因此需提前進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。

表4 隧道工程概況一覽表Table 4 Overview list of tunnel works

2.2 隧道坍塌貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)構(gòu)建

根據(jù)1.2.1 節(jié)中所建立的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)體系，結(jié)合工程實(shí)際、現(xiàn)場(chǎng)專家經(jīng)驗(yàn)以及施工單位歷史數(shù)據(jù)，建立的隧道坍塌貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

2.3 隧道坍塌貝葉斯參數(shù)確定

2.3.1 先驗(yàn)概率確定

結(jié)合老山隧道的地質(zhì)水文條件以及施工現(xiàn)場(chǎng)資料，得到隧道坍塌的基本事件中的定量型事件的基本參數(shù)，同時(shí)，結(jié)合表2的定性描述分類標(biāo)準(zhǔn)對(duì)隧道現(xiàn)場(chǎng)的定性事件進(jìn)行賦分。隧道開挖斷面形式(X18)采用單洞雙車道，屬于安全狀態(tài)2，洞口形式(X20)為豎井，屬于安全狀態(tài)1，這2 個(gè)節(jié)點(diǎn)事件無(wú)須進(jìn)行賦分計(jì)算，各根節(jié)點(diǎn)事件的取值或得分見表5。

表5 根節(jié)點(diǎn)事件取值及得分Table 5 Event value and score of root node

依據(jù)表1和表2中的安全狀態(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn)，利用式(2)～(4)求出根節(jié)點(diǎn)事件的各安全狀態(tài)標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)系云特征值，依據(jù)式(5)和式(6)計(jì)算基本事件屬于各安全狀態(tài)的隸屬度以及對(duì)應(yīng)于各安全狀態(tài)的先驗(yàn)概率，結(jié)果如表6所示。

表6 根節(jié)點(diǎn)事件先驗(yàn)概率Table 6 Prior probability of root node event

2.3.2 條件概率確定

根據(jù)圖3中貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)關(guān)系結(jié)構(gòu)，邀請(qǐng)廣西工程技術(shù)研究設(shè)計(jì)院的1 位地質(zhì)專家、1 位路橋?qū)＜摇? 位巖土專家以及2 位安評(píng)師對(duì)基本節(jié)點(diǎn)事件進(jìn)行兩兩重要性判斷后得到各節(jié)點(diǎn)事件的權(quán)重如表7。

圖3 隧道坍塌風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Bayesian network structure diagram for risk evaluation of tunnel collapse

邀請(qǐng)5位專家對(duì)根節(jié)點(diǎn)全部處于同一安全狀態(tài)這種特殊狀態(tài)組合的條件概率識(shí)別框架進(jìn)行決策判斷，建立知識(shí)矩陣。按照式(9)求出知識(shí)矩陣的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量將其作為識(shí)別框架的基本概率分配函數(shù)，利用式(7)對(duì)5位專家決策的基本概率分配函數(shù)進(jìn)行融合，按照式(8)求出識(shí)別框架中各元素最終的概率分配值，作為條件概率，表8所示為專家對(duì)葉節(jié)點(diǎn)T與其父節(jié)點(diǎn)M1，M2，M3，M4，M5間條件概率決策后計(jì)算出的同一安全狀態(tài)下的條件概率。結(jié)合表7中的基本權(quán)重按照式(10)求得各父節(jié)點(diǎn)的條件概率的狀態(tài)危險(xiǎn)貢獻(xiàn)值，由式(11)可求出所有狀態(tài)組合下的條件概率。

表7 節(jié)點(diǎn)事件權(quán)重Table 7 Weight of node event

表8 節(jié)點(diǎn)T與M間特殊狀態(tài)組合條件概率Table 8 Conditional probability of special state combination between nodes T and M

2.4 隧道坍塌風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)結(jié)果及分析

按照“公路橋梁和隧道工程施工安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估指南(試行)”標(biāo)準(zhǔn)將隧道坍塌嚴(yán)重程度劃分為4級(jí)，隧道坍塌發(fā)生概率也分為4個(gè)級(jí)別，按照坍塌嚴(yán)重程度與風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率的組合，將隧道坍塌風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)劃分為四級(jí)：低度(Ⅰ級(jí))、中度(Ⅱ級(jí))、高度(Ⅲ級(jí))、極高(Ⅳ級(jí))，見表9。

依據(jù)表9的分類標(biāo)準(zhǔn)，將貝葉斯網(wǎng)絡(luò)葉節(jié)點(diǎn)的4 種安全狀態(tài)與標(biāo)準(zhǔn)中的4 種劃分等級(jí)進(jìn)行對(duì)應(yīng)，根據(jù)基本事件先驗(yàn)概率以及改進(jìn)的條件概率，依據(jù)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)正向推理式(12)計(jì)算得到中間節(jié)點(diǎn)事件的發(fā)生概率以及隧道不同坍塌程度的風(fēng)險(xiǎn)概率如表10所示。

表10 節(jié)點(diǎn)M和T的風(fēng)險(xiǎn)概率Table 10 Risk probability of nodes M and T

依據(jù)表9 的隧道坍塌風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)，4 種坍塌破壞程度與其對(duì)應(yīng)的發(fā)生概率組合所得的風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)均為高度風(fēng)險(xiǎn)(Ⅲ級(jí))，且發(fā)生輕微程度的坍塌和發(fā)生較大程度坍塌風(fēng)險(xiǎn)的概率較大，分別達(dá)0.327 6 和0.288 0，為可能發(fā)生的概率區(qū)間，由此可得到該隧道坍塌的風(fēng)險(xiǎn)為高度風(fēng)險(xiǎn)水平，需采取風(fēng)險(xiǎn)消減措施以降低安全風(fēng)險(xiǎn)，評(píng)價(jià)結(jié)果與老山隧道坍塌專項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估結(jié)果以及現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際開挖情況一致，通過現(xiàn)場(chǎng)的詳細(xì)勘察發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)場(chǎng)開挖的過程中，新開挖的掌子面不穩(wěn)定，掉塊現(xiàn)象頻繁且較嚴(yán)重，破壞工作面以及砸傷施工人員，這與評(píng)價(jià)結(jié)果中的發(fā)生輕微坍塌的風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)一致；當(dāng)開挖面臨近斷層破碎帶、或有巖體破碎、節(jié)理發(fā)育、地下水作用等不良地質(zhì)因素影響時(shí)，隧道多次發(fā)生局部坍塌，圍巖變形量大幅超過安全值，局部初期支護(hù)結(jié)構(gòu)變形嚴(yán)重，給隧道施工帶來(lái)極大的影響。

表9 風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)劃分表Table 9 Classification of risk levels

對(duì)隧道坍塌事故原因進(jìn)行診斷有利于辨別安全管控的重點(diǎn)，從而有效地預(yù)防隧道坍塌事故的發(fā)生，利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的反向推理可進(jìn)行事故原因診斷。依據(jù)表10 中隧道發(fā)生較大程度坍塌所計(jì)算出的概率作為條件，根據(jù)式(13)進(jìn)行貝葉斯網(wǎng)絡(luò)反向推斷，計(jì)算隧道坍塌處于狀態(tài)2且發(fā)生概率為0.288 0 時(shí)，各根節(jié)點(diǎn)事件處于最危險(xiǎn)狀態(tài)的后驗(yàn)概率，結(jié)果見圖4。

由圖4 可見：統(tǒng)計(jì)概率為可能發(fā)生(≥3%)區(qū)間及以上的節(jié)點(diǎn)事件進(jìn)行排序，節(jié)點(diǎn)事件的發(fā)生概率由高到低排序?yàn)閄16，X9，X22，X21，X23，X2，X4，X15，X12和X3，因此，隧道施工安全管控的順序應(yīng)照此順序進(jìn)行。斷層破碎帶X16、圍巖強(qiáng)度X9、施工開挖循環(huán)進(jìn)尺X22、施工步距X21這4種事件對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)概率較大，是導(dǎo)致隧道發(fā)生較大程度坍塌事故的致因組合，因此，上述4種事件應(yīng)作為隧道施工中的重點(diǎn)安全管控事件。

圖4 根節(jié)點(diǎn)事件后驗(yàn)概率Fig.4 Posterior probability of root node event

為了驗(yàn)證改進(jìn)的條件概率求解方法的準(zhǔn)確性，將該方法與全部利用專家決策求得條件概率的傳統(tǒng)方法計(jì)算出隧道不同坍塌程度的風(fēng)險(xiǎn)概率進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖5所示。

圖5 2種方法的隧道坍塌風(fēng)險(xiǎn)概率Fig.5 Tunnel collapse risk probability of two methods

傳統(tǒng)方法即所有的條件概率結(jié)構(gòu)由專家進(jìn)行一一決策，且對(duì)多位專家的決策意見利用求和平均的方式進(jìn)行綜合。由圖5 可以看出：2 種方法的結(jié)果存在較大差異，本文方法計(jì)算出隧道發(fā)生輕微坍塌的概率最高，而傳統(tǒng)方法則是發(fā)生較大坍塌概率最高；本文方法計(jì)算得到的隧道坍塌風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)結(jié)果為4種坍塌程度風(fēng)險(xiǎn)級(jí)別均統(tǒng)一為高度風(fēng)險(xiǎn)(Ⅲ級(jí))，與實(shí)際相符；而傳統(tǒng)方法的結(jié)果為輕微坍塌和一般坍塌處于中度風(fēng)險(xiǎn)(Ⅱ級(jí))，較大坍塌處于極高風(fēng)險(xiǎn)(Ⅳ級(jí))，嚴(yán)重坍塌處于高度風(fēng)險(xiǎn)(Ⅲ級(jí))，最終的結(jié)果偏向于中度風(fēng)險(xiǎn)(Ⅱ級(jí))。

由結(jié)果可知，傳統(tǒng)方法的評(píng)價(jià)結(jié)果離散性大且趨向于中度風(fēng)險(xiǎn)(Ⅱ級(jí))，這與實(shí)際不符，造成評(píng)價(jià)結(jié)果離散型較大的原因是因?yàn)閷＜业臎Q策次數(shù)過多，不同的專家對(duì)同一狀態(tài)的決策結(jié)果相差較大且沒有對(duì)相差較大的結(jié)果進(jìn)行分析并剔除其中的不良決策結(jié)果，導(dǎo)致專家決策信息冗余、錯(cuò)亂，誤差較大。本文方法計(jì)算條件概率時(shí)所用專家決策次數(shù)少，主觀誤差小，且運(yùn)算步驟更為簡(jiǎn)單，計(jì)算效率大幅提高。

3 結(jié)論

1)改進(jìn)了貝葉斯條件概率的求解過程。將能夠?qū)Q策對(duì)象表達(dá)偏好信息的知識(shí)矩陣引入專家決策的過程中，將各位專家提供的知識(shí)矩陣作為主觀條件概率信息的提取手段與信息載體，選取同一安全狀態(tài)組合情況下的條件概率進(jìn)行決策，并結(jié)合DS證據(jù)理論對(duì)專家決策信息進(jìn)行融合，提出一種結(jié)合權(quán)重與狀態(tài)危險(xiǎn)貢獻(xiàn)值的方法確定條件概率。

2)將風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)方法應(yīng)用到本工程，確定該隧道的坍塌風(fēng)險(xiǎn)程度級(jí)別為高度風(fēng)險(xiǎn)(Ⅲ級(jí))，得到的結(jié)果與實(shí)際情況以及該隧道開挖坍塌風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估報(bào)告的結(jié)果相吻合，驗(yàn)證了該概率計(jì)算方法的可行性。通過反向推理進(jìn)行坍塌事故原因診斷，確定斷層破碎帶、圍巖強(qiáng)度、施工開挖循環(huán)進(jìn)尺、施工步距事件是導(dǎo)致隧道坍塌的主要致因組合。

3)將本文方法計(jì)算的概率結(jié)果與傳統(tǒng)方法計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，結(jié)果表明本文方法在減少專家決策次數(shù)、降低主觀性、提高計(jì)算效率的同時(shí)，準(zhǔn)確性也更高。