周太平，朱 哲

（浙江省嘉興市秀洲區(qū)教育研究和培訓中心；浙江師范大學教育學院）

數(shù)軸是體現(xiàn)數(shù)形結合思想的重要工具，能夠直觀反映數(shù)的大小、順序、正負信息等，是建立坐標系的基礎.在初中數(shù)學教學中，教師幫助學生正確理解數(shù)軸的概念是很有必要的.實際教學中，教師是如何理解數(shù)軸的？如何處理教材中的數(shù)軸知識呢？我們又應該對數(shù)軸教學有怎樣的分析和改進呢？本文對此進行探討.

一、教學中存在的認識數(shù)軸的誤區(qū)

對于數(shù)軸，即規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，其中，原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素.據(jù)此，教師在教學過程中往往會給出如下畫數(shù)軸的方法：（1）畫直線，取原點；（2）標正方向；（3）選取單位長度再標數(shù).從而畫出如圖1所示的比較標準的數(shù)軸．

圖1

對于圖2，根據(jù)數(shù)軸的表述，有很多教師認為它不是數(shù)軸，因為沒有標明原點和單位長度.對于圖3也一樣，理由是沒有標明原點和正方向.還有教師認為，數(shù)軸一定是水平方向的，豎直方向的、斜方向的不是數(shù)軸．產(chǎn)生這些誤區(qū)的原因，主要在于這些教師對建立數(shù)軸的必要性、數(shù)軸三要素和數(shù)軸抽象的理解不到位.在七年級教學中，教師要求學生畫數(shù)軸時必須畫出三要素，這種要求在學生初學數(shù)軸時是必要的.但是教師對數(shù)軸的理解不能這樣片面.對于數(shù)軸，它的三要素缺一不可，但并不是必須畫出來.如圖3所示的圖形，從數(shù)字的排列看，右邊一定是正方向，1左邊一個單位的位置就一定是原點，因此這個圖形已經(jīng)給出了數(shù)軸的三要素，應該是數(shù)軸．規(guī)定正方向，并不要求一定向右或者必須畫出箭頭來，因此可以間接規(guī)定而不畫出來．

圖2

圖3

厘清這些認識，教師需要先明確數(shù)軸的作用，正確理解數(shù)軸的三要素和數(shù)軸概念的本質(zhì)，結合學生現(xiàn)有的心理發(fā)展水平和知識結構，根據(jù)概念形成教學的理解，基于理解數(shù)學、理解學生和理解教學來思考如何設計數(shù)軸的教學過程.解決好這些問題，我們就能很好地實施數(shù)軸概念的教學．

二、從“三個理解”角度對數(shù)軸概念教學進行再認識

從理解數(shù)學、理解學生、理解教學的角度對數(shù)軸概念教學進行再認識，從而優(yōu)化教學設計，促進學生對數(shù)軸概念的掌握和理解.

1.正確理解數(shù)軸

數(shù)軸是數(shù)學的核心概念之一，不僅是學習相反數(shù)、絕對值等知識的重要工具，也是學習不等式解法、函數(shù)等內(nèi)容的必要知識基礎.理解數(shù)軸，需要體會數(shù)軸的作用、數(shù)軸的三要素規(guī)定的必要性和合理性.

（1）明確數(shù)軸的作用.

數(shù)軸是我們研究數(shù)的性質(zhì)的重要工具，因此要以合理使用為主要目的.利用數(shù)軸，我們可以從整體上認識數(shù)的概念，包括數(shù)的大小，實數(shù)的有序性和稠密性，無理數(shù)的存在性，數(shù)與點的對應關系，坐標，等等.數(shù)軸的作用主要體現(xiàn)在以下幾方面.

①數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)與點的對應關系.

直線是連續(xù)的，實數(shù)集也具備相應的連續(xù)性，把每個點都對應唯一一個實數(shù)的直線稱為數(shù)軸，這樣實數(shù)就和數(shù)軸上的點一一對應了.在初中階段，我們應該理解實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應關系.

②數(shù)軸反映了數(shù)的大小與點的順序關系.

利用這種關系能夠比較兩個數(shù)的大小，也可以說明不同點在數(shù)軸上的位置不同.這里需要強調(diào)原點的分界作用，給解不等式提供了一定的經(jīng)驗基礎.在理解數(shù)的大小的基礎上，還要強化數(shù)可以根據(jù)數(shù)軸進行排序，可以按從小到大排序，也可以按從大到小排序，可以等間距排序，也可以變間距排序，為數(shù)列的學習提供經(jīng)驗基礎．

③數(shù)軸有助于理解數(shù)學概念.

很多數(shù)學概念可以通過數(shù)軸幫助理解，這里可以提出一些創(chuàng)新性的概念，也可以直觀地理解舊概念.例如，理解平均數(shù)時，可以把這些數(shù)表示在數(shù)軸上，再看這些數(shù)的位置與平均數(shù)的位置之間的關系.從平均數(shù)對應的點所處的具體位置來理解什么時候需要求平均數(shù)；還可以用平均數(shù)解釋一組數(shù)據(jù)的其他性質(zhì)，定義對稱數(shù)、等距數(shù)等新概念，為絕對值等概念的學習提供經(jīng)驗基礎．

④數(shù)軸可以解決一些實際問題的表述.

將實際問題表述到數(shù)軸上，建立已知和未知的聯(lián)系，從而達到解決實際問題的目的.小學階段，實際問題的線段圖表述的是定量水平，若將線段改成數(shù)軸，可以用“數(shù)形結合”方法來解決一些實際問題，也可以解決一些抽象的數(shù)學問題．

例如，如圖4，在一條筆直的公路上有7個村莊，其中A，B，C，D，E，F(xiàn)離城市的距離分別為4，10，15，17，19，20（單位：km），而村莊G正好是AF的中點.現(xiàn)要在某個村莊建一個活動中心，使各村到活動中心的路程之和最短，探索活動中心的建造位置.

圖4

假設以城市處為原點，向右為正方向，點P為活動中心，則點A，B，G，C，D，E，F(xiàn)，P分別表示數(shù)4，10，12，15，17，19，20，x，于是這7個村莊到活動中心的距離之和就可以表示為：|x-4|+|x-10|+|x-12|+|x-15|+|x-17|+|x-19|+|x-20|，經(jīng)過直觀分析可以得到：當x取15時，這7個村莊到活動中心的距離之和最小.

（2）正確理解數(shù)軸的三要素.

數(shù)軸的三要素——原點、單位長度和正方向是規(guī)定一個確定數(shù)軸的必要條件.這里用的詞是“規(guī)定”，所以這種規(guī)定是有必要性的.沒有明確的規(guī)定，數(shù)與直線上的點就不會出現(xiàn)一一對應的關系，規(guī)定了三要素就可以用點的位置關系直觀地描述數(shù)的大小關系．

①原點.

原點是基準點，畫數(shù)軸時，我們在直線上任意取一個點確定為原點，這個點把這條直線分成兩條射線.原點表示的數(shù)是“0”，“0”表示起點，是正負數(shù)的分界點，由射線的方向可以體會從原點往左或往右時數(shù)的大小變化趨勢.在教學中，教師需要讓學生充分地從數(shù)和形兩個方面感知原點的確定對數(shù)軸上的數(shù)的表示的影響，體會數(shù)與形之間的聯(lián)系.

②正方向.

正方向是指實數(shù)從小到大的方向.我們一般要求向右為正方向，但這不能讓學生理解為正方向只能是向右.直線在平面上是任意方向的，因此數(shù)軸的方向可以指向任意方向，而不是左右兩個方向，更不是只有向右的方向才是正方向.但基于現(xiàn)實問題情境和后續(xù)平面直角坐標系等知識學習的需要，我們通常規(guī)定從原點向右（或上）為正方向，從原點向左（或下）為負方向.

③單位長度.

單位長度是規(guī)定了表示1的點與原點的距離.規(guī)定了0和1，就可以唯一確定2，3，4，…，在反方向上，可以唯一確定-1，-2，-3，….這樣就確定了每一個實數(shù)的唯一位置，它體現(xiàn)了數(shù)系擴充的思想．我們強調(diào)的單位長度，是抽象的單位1，把誰看作單位1，要看具體的實際問題.它不僅包括物理中的長度單位，還應該包括任意長度.

2.正確理解學生

學生在小學階段就學過數(shù)軸，數(shù)（整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)）可以用數(shù)軸上的點來表示，應用數(shù)軸可以比較數(shù)的大小，等等.有了小學階段這些初步的數(shù)軸知識，到初中階段就應該提升學生對數(shù)軸的理性認識和對數(shù)域擴充的理解.由于學生對剛剛學習的正負數(shù)概念的理解還不深刻，加上數(shù)軸和數(shù)之間對應的抽象性，造成了學生理解上存在困難.

學生對數(shù)軸的直觀認知容易與生活中直線方向上物體的位置、溫度計等相聯(lián)系，學生也比較容易理解將有理數(shù)用數(shù)軸上的點表示.但學生比較難理解數(shù)軸上的點與實數(shù)的一一對應關系，這就需要教師強化引入過程，突出幾何直觀.將數(shù)軸的學習過程通過由溫度計、行程路線圖等提煉出數(shù)軸的一般結構，建立有理數(shù)與直線上點的對應關系.在這個提煉過程中，強化將數(shù)直觀地表示在直線上的經(jīng)歷，同時強調(diào)在直線上可以具體地研究數(shù)的性質(zhì)，使得學生能夠主動建構數(shù)軸的概念，解決理解上的難點.

3.正確理解數(shù)軸教學

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》關于第四學段中對“數(shù)軸”相關的描述是這樣的：理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，了解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應.因此，教學中，“數(shù)軸”第1課時的課堂教學目標可以設定為：（1）通過對溫度計等生活中的實物進行觀察和思考，抽象出數(shù)軸的三要素；（2）能夠根據(jù)數(shù)軸的三要素正確畫出數(shù)軸；（3）能借助實例探索有理數(shù)與實數(shù)上的點的對應關系，并在“點與數(shù)的對應”過程中體會數(shù)形結合思想.對于數(shù)軸，教學的重點和難點應該是通過一系列的感知活動使學生理解建立數(shù)軸的必要性，并抽象出數(shù)軸的概念，體會原點作為數(shù)軸基準點的特殊地位，以及正方向、單位長度對數(shù)的對應關系的作用及數(shù)形結合思想．

三、基于“三個理解”的數(shù)軸概念教學案例及分析

數(shù)軸概念教學中的理解數(shù)學，即理解數(shù)軸，也就是要正確理解數(shù)軸的概念.而數(shù)軸概念的核心就是“三要素”的內(nèi)涵：原點是區(qū)分方向的基準，單位長度是一個統(tǒng)一標準的度量線段單位，正方向需要結合現(xiàn)實中的“相反意義的量”和“相反方向”來理解.在此基礎上設置教學目標，體現(xiàn)以“概念形成”的方式設計教學的基本環(huán)節(jié)，通過設計適當?shù)膯栴}情境來引導學生體會數(shù)形結合思想.

1.教學案例

下面以浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》七年級上冊“1.2數(shù)軸”中對數(shù)軸概念的引入和對“三要素”理解的教學過程為例進行闡述.

觀察：仔細觀察溫度計的示數(shù)，它有什么特點？你會讀溫度計上的示數(shù)嗎？

生1：有均勻的刻度，有數(shù)字，有零刻度.

生2：零刻度以上是零上溫度，零刻度以下是零下溫度.

生3：它有方向，上正下負.零刻度以上用正數(shù)表示，如零上20°C記作+20°C；零刻度以下用負數(shù)表示，如零下5°C記作-5°C.

……

【設計意圖】學生通過觀察溫度計的示數(shù)，分析溫度計的示數(shù)結構，討論并直觀感受溫度計上的三要素（零刻度線、均勻刻度值、溫度高低方向），經(jīng)歷第一次抽象，將溫度計的刻度、零刻度線、溫度的高低抽象出數(shù)軸的三個要素（原點、單位長度、正方向）.

操作：在一條東西向的馬路上，有一個汽車站牌，汽車站牌東3m和6m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站牌西3m和4m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫圖表示這一情境．

師生活動：學生畫圖、討論、交流.

生4：用一條直線將汽車站牌、柳樹、楊樹、槐樹和電線桿串起來，把它們分別看成一個個點表示在這條直線上.

生5：在直線的右端標上箭頭，規(guī)定向右為東.

師：規(guī)定的目的是什么？這與我們前面學過的知識有聯(lián)系嗎？

生5：是為了能區(qū)分東邊和西邊，它和前面表示相反意義的量有關.

生6：把最東邊的和最西邊的兩棵樹之間的距離平均分為5份，每個單位長度為2 m.

師：畫圖時，用什么長度作為一個單位呢？

生7：用1cm可以，1.5 cm也可以，只要是相等的距離而且能表示這些點就可以了.

生8：把汽車站牌作為基準點，以2 cm為單位長度，基準點右邊距離汽車站牌1.5個單位、3個單位的點分別是柳樹和楊樹，基準點左邊距離汽車站牌1.5個單位、2個單位的點分別是槐樹和電線桿.

師：基準點這個說法很好！能不能以其他點為基準點呢？

(4) 施工工藝與質(zhì)量。盾構施工不可避免地將擾動土體，如盾構施工狀況、施工管理、襯砌背后同步注漿等都會使土體結構的應力應變狀態(tài)發(fā)生較大變化。

生8：用其他點作為基準點也可以，表示是不是會復雜一點？

師：基準點是參考，是作為確定其他數(shù)據(jù)位置的“參照”，是為了更加簡潔、方便地表示它們的位置，大家可以嘗試一下不同的基準點的選取方法.

【設計意圖】學生將問題場景中的情況進行作圖分析，作圖的分析過程中涉及原點的選擇、刻度的設置、正方向的設定等問題，思考的過程就是對數(shù)軸三要素理解和再認識的過程.學生在作圖中思考、感悟數(shù)軸三要素的必要性，在抽象過程中強化對數(shù)軸概念中三要素的理解.

合作：教師展示部分學生的作圖情況，并組織大家討論圖5～8的圖形都能清楚地表示題目中的這個情境嗎？（規(guī)定：單位長度為1m，向右為東邊.）

圖5

圖6

圖7

生9：圖5、圖6沒有基準點，好像不可以？……

生9在猶豫.

生10反駁：圖5、圖6是可以的.雖然沒有標基準點，但很顯然圖5中站牌的位置就是0的位置，圖6中電線桿左邊一個單位處就是基準點.

生11：我也同意生10的說法，因為已經(jīng)規(guī)定了向右為正方向，所以這幾個圖都可以很清楚地表示它們之間的相對位置.就像圖8中雖然沒有標箭頭，但我們看趨勢就知道向右為正方向.

圖8

……

師：上面四個圖形清晰地表示了題目中的情境，生10和生11對三要素的理解也是正確的.但圖5和圖6是不完整的數(shù)軸畫法，作圖時我們還是需要像圖8一樣標出原點、單位長度和正方向.

【設計意圖】學生怎樣畫數(shù)軸，怎樣把數(shù)表示在數(shù)軸上，怎樣把數(shù)軸上的點用數(shù)表示出來，這些關鍵點的解決都需要對數(shù)形結合的理解，需要建立數(shù)與點的對應關系.合作環(huán)節(jié)中，通過對學生所作圖形的展示、辨析，從多角度對三要素進行辨析，使學生強化概念理解，掌握規(guī)范作圖.

2.案例分析

在這個教學片斷中，學生是自主發(fā)現(xiàn)“三要素”（基準點、方向和與單位長度）在刻畫事物相對位置中的作用的，感悟到用直線上的點來表示數(shù)的便利，經(jīng)歷用0表示“基準點”，并借助負數(shù)概念引入表示“相反意義的量”的體驗.教師在學生經(jīng)歷過這些認知、沖突和思考后，再進行數(shù)軸概念的歸納，數(shù)軸三要素的必要性和畫圖規(guī)定的要求就水到渠成了，這樣的概念理解才會合情合理、自然生成.

理解概念是理解概念教學的前提.概念的理解需要重視概念的自然生長，因需要而定、以變化而成、從解決而用.無論是人教版教材、蘇科版教材中的情境“馬路上的故事”，還是浙教版教材、北師大版教材中的情境“溫度計”，數(shù)軸概念的引入都是結合學生的生活實際，從學生已有的知識經(jīng)驗中生長出來，解決用數(shù)來刻畫位置的問題.數(shù)軸概念的教學還需要關注概念引入的合理性，使學生感受用數(shù)刻畫位置的必要性.弗賴登塔爾認為要將數(shù)軸作為一種形象化工具.數(shù)軸教學中，教師要引導學生將數(shù)軸的這種形象、直觀與抽象性結合，引導學生感悟建立數(shù)軸的意義和規(guī)定三要素的必要性．

理解學生是促進概念教學實施的重要條件.概念的形成或者同化都需要抽象和概括，它是一個數(shù)學建模的過程.而現(xiàn)階段的學生的抽象能力正好處在相對薄弱的時候，創(chuàng)設符合學生認知規(guī)律的情境，重視新舊知識之間的聯(lián)系就很重要和必要.教師在教學設計時，需要在理解學生的基礎上理解數(shù)軸和數(shù)軸教學.這樣的教學設計才能夠提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生運用數(shù)軸解決各種數(shù)學問題的能力．

基于“三個理解”的概念教學需要從“理解”的角度來思考教學定位、確定教學內(nèi)容、優(yōu)化教學方法、設計教學流程，不斷實踐、反思，使概念教學更合理、自然、流暢、有效.