姜鴻雁，徐德同

（江蘇省無錫市蠡園中學；江蘇省中小學教學研究室）

2022年中考是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022年版）》）正式頒布后的第一次中考.《標準（2022年版）》在學業(yè)質(zhì)量和考試命題方面有諸多新理念、新思考、新導向.為了分析《標準（2022年版）》的導向引領(lǐng)作用，我們選取了49份2022年中考數(shù)學試卷，針對其中涉及“圖形的性質(zhì)”內(nèi)容的試題，比對《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）與《標準（2022年版）》的異同，對考查內(nèi)容和命題特點進行分析，并對中考復(fù)習教學提出建議，以期對一線教學有所幫助.

一、考查內(nèi)容分析

《標準（2022年版）》將義務(wù)教育階段的數(shù)學課程內(nèi)容劃分成數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個領(lǐng)域.其中，“圖形與幾何”領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標”三個主題.下面結(jié)合2022年中考相關(guān)試題，將《標準（2022年版）》對“圖形的性質(zhì)”的學業(yè)要求、內(nèi)容要求，以及兩個版本課程標準的對比分析進行簡要闡述.

1.學業(yè)要求及分析

（1）“圖形的性質(zhì)”學業(yè)要求.

《標準（2022年版）》對第四學段（7～9年級）“圖形的性質(zhì)”的學業(yè)要求如下：了解點、線、面、角的概念，掌握三角形、平行四邊形、多邊形、圓的概念.知道圖形的特征、共性與區(qū)別，理解線段長短的度量，探究并理解角度大小的度量，理解兩條直線平行或垂直的關(guān)系，形成和發(fā)展抽象能力；在直觀理解和掌握圖形與幾何基本事實的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷得到和驗證數(shù)學結(jié)論的過程，感悟具有傳遞性的數(shù)學邏輯，形成幾何直觀和推理能力；經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，增強動手能力，能想象出通過尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力.

在第四學段，“圖形與幾何”領(lǐng)域主要以點、線、面、角、三角形、四邊形和圓為主要研究對象.從微觀角度，通過研究圖形的性質(zhì)形成推理能力，在直觀理解和從基本事實出發(fā)推理的過程中，感悟有因果性的數(shù)學邏輯，發(fā)展有條理地表達的能力.從中觀角度，圖形的性質(zhì)可以從圖形變化和量化分析的角度加以應(yīng)用，進一步發(fā)展空間想象能力和創(chuàng)新意識，所以研究“圖形的性質(zhì)”離不開“圖形的變化”和“圖形與坐標”，三個主題有機構(gòu)成“圖形與幾何”領(lǐng)域.進一步地，“圖形的變化”內(nèi)容也少不了對圖形的定性分析和定量刻畫.代數(shù)式、方程、函數(shù)等是刻畫數(shù)量關(guān)系的有效手段，因此，“圖形與幾何”與“數(shù)與代數(shù)”有著千絲萬縷的聯(lián)系.從宏觀角度，我們生活在豐富的圖形世界里，成長在源遠流長的歷史長河中，所以在數(shù)學以外的其他方面也離不開圖形的性質(zhì)，所有這些“特質(zhì)”注定“圖形的性質(zhì)”內(nèi)容在中考命題中舉足輕重.

（2）分值占比、題型和難易程度.

從分值的占比看，49份樣本試卷中，“圖形與幾何”領(lǐng)域的分值一般占卷面總分值的42%左右.其中，“圖形的性質(zhì)”內(nèi)容的分值占“圖形與幾何”領(lǐng)域的65%左右，有的甚至達75%，最低達到了50%.倘若考慮以“數(shù)與代數(shù)”為主的試題涉及“圖形的性質(zhì)”這個因素，則“圖形的性質(zhì)”分值占比會更高.

從考查的題型來看，選擇題、填空題、解答題（包括運算、作圖、操作探究、綜合與實踐等）各類題型中都有“圖形的性質(zhì)”的“蹤跡”（臺灣卷解答題中沒有出現(xiàn)“圖形的性質(zhì)”）.從試題的難易程度來看，“圖形的性質(zhì)”相關(guān)試題在基礎(chǔ)題、中檔題、較難題中均有涉及，還有一些壓軸題以“圖形的性質(zhì)”為主，結(jié)合其他知識，綜合考查學生解決問題的能力.

2.內(nèi)容要求及分析

點、線、面、角是構(gòu)成幾何圖形的基本要素.“圖形的性質(zhì)”是以相交線與平行線、三角形、四邊形、圓為主體圖形的縱向知識結(jié)構(gòu)，同時，是在研究這些圖形的性質(zhì)及圖形與圖形關(guān)系的基礎(chǔ)上，以定義、命題、定理為主的橫向推理系統(tǒng).學生以學習具體圖形為抓手形成幾何直觀和空間想象能力，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

“兩點之間線段最短”及“角的大小是指兩條邊張開的程度”分別揭示了線段和角的基本屬性，能對線段和角度比較大小、計算和差是對學生的基本要求，但直接考查這部分內(nèi)容的試題并不多.2022年全國各地區(qū)中考試卷中，涉及該部分內(nèi)容的亮點試題有：臺灣卷第16題（詳見例2）；河北卷第13題以五邊形的不穩(wěn)定性為外在表現(xiàn)形式進行命制，主要考查兩點之間線段最短；吉林長春卷第23題第（4）小題是以“兩點確定一條直線”為問題解決打開思路（詳見例8）.這說明這部分內(nèi)容雖然難度不大，但內(nèi)涵豐富.

相交線與平行線是通過角與角之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系進行刻畫的；垂線段的長度是指點到直線的距離；平行線基本事實Ⅱ是推導平行線的性質(zhì)定理和判定定理的基礎(chǔ).多地試卷中以選擇題和填空題的形式考查這部分內(nèi)容，基礎(chǔ)題居多.其中，河北卷第11題以學生熟悉的練習本線條夾角不能直接測量為問題情境，呈現(xiàn)多種解決問題的方案，考查平行線的性質(zhì)，體現(xiàn)在問題解決的過程中運用轉(zhuǎn)化思想及推理的必要性.江蘇常州卷第6題以行人過斑馬線的實際生活情境為命題背景，考查垂線段最短，體現(xiàn)生活讓人“知其然”，數(shù)學能讓人“知其所以然”，這就是說理的意義與價值.

在“圖形的性質(zhì)”內(nèi)容中，三角形、四邊形、圓的研究歷程基本一致.首先，從概念或相關(guān)概念出發(fā)，分析構(gòu)成它們的基本元素及其相關(guān)元素——線段（邊、中線、高線、角平分線、中位線、對角線、弦等）、角（內(nèi)角、外角、圓周角、圓心角等）之間的關(guān)系，在研究關(guān)系的過程中掌握圖形的性質(zhì)與判定，在解決問題的過程中體現(xiàn)性質(zhì)與判定的應(yīng)用價值.其次，在從一般到特殊的過程中深入認識圖形.例如，從一般三角形到特殊三角形，從一般四邊形到平行四邊形再到特殊平行四邊形，在這個過程中，感受概念的外延越來越小，內(nèi)涵越來越豐富.最后，三角形是研究其他圖形的基礎(chǔ)，所以研究三角形之間的關(guān)系也是“圖形的性質(zhì)”不可或缺的部分，包括全等三角形及全等變換、相似三角形、三角函數(shù)（相似三角形、三角函數(shù)屬于“圖形的變化”主題）等.由49份樣本試卷可以看出，這部分內(nèi)容是“圖形的性質(zhì)”的內(nèi)核，綜合考查學生的閱讀理解、遷移轉(zhuǎn)化能力，以及幾何直觀、空間觀念、推理能力、抽象能力等素養(yǎng).

對于“定義、命題、定理”，要了解它們的意義，結(jié)合實例區(qū)分命題的條件和結(jié)論，能夠識別互逆命題，了解反例的作用等.在49份樣本試卷中，江蘇無錫卷以選擇和填空兩種題型考查“命題”；北京卷第20題、江西卷第19題分別考查三角形內(nèi)角和定理、圓周角定理的證明；寧夏卷第26題考查勾股定理的證明、應(yīng)用與推廣，體現(xiàn)中考命題回歸教材.數(shù)學命題是對數(shù)學結(jié)果的描述，如浙江杭州卷第9題對命題的考查不局限于“圖形的性質(zhì)”，而是推廣到了“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域.

3.兩個版本課程標準的對比分析

《標準（2022年版）》是《標準（2011年版）》的延續(xù)與發(fā)展，前者更加注重素養(yǎng)立意，對“圖形的性質(zhì)”中部分概念的行為動詞進行調(diào)整，尺規(guī)作圖相關(guān)要求變化較大，四邊形部分增加了對梯形的學習要求.2022年中考試卷中有以梯形為背景命制的試題，主要與三角函數(shù)的應(yīng)用相結(jié)合，本文不再敘述.

（1）對部分概念的行為動詞變化的分析.

“了解”和“理解”是描述結(jié)果目標的行為動詞，也是學習者對知識、概念或原理的心理意義建構(gòu)的過程.“了解”是指從具體實例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認或舉例說明對象.“理解”是指能描述對象的由來、內(nèi)涵和特征，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系.相比之下，“理解”比“了解”深刻，對學生的學習要求更高.《標準（2022年版）》將等腰三角形的概念、直角三角形的概念、兩條平行線之間的距離、點與圓的位置關(guān)系等由《標準（2011年版）》中的“了解”提升為“理解”，進一步突顯了三角形、四邊形和圓這部分內(nèi)容在初中數(shù)學中的核心地位.

（2）尺規(guī)作圖的變化分析.

尺規(guī)作圖是《標準（2011年版）》“圖形的性質(zhì)”的第6組成部分，除5種基本作圖外，還包括利用基本作圖作三角形、三角形的外接圓和內(nèi)切圓、圓的內(nèi)接正方形和正六邊形等，并要求了解作圖的道理.

《標準（2022年版）》保留上述作圖要求，并將其與其他內(nèi)容進行整合.將“作一條線段等于已知線段”前置到第二學段（小學3～4年級）；將“作一個角等于已知角”和“作一個角的平分線”整合到點、線、面、角部分；將“作一條線段的垂直平分線”和“過一點作已知直線的垂線”整合到相交線與平行線部分；將利用基本作圖作三角形融合到三角形部分；將外接圓、內(nèi)切圓等作圖融入到圓的部分.除此之外，增加了“過直線外一點作這條直線的平行線”和“過圓外一點作圓的切線”，后者是選學內(nèi)容.

對于這些變化，我們認為，《標準（2011年版）》關(guān)注作圖的基本技能，也注重作圖過程中的邏輯推理，《標準（2022年版）》將基本作圖整合到相關(guān)知識之中，這既是對作圖技能及蘊含其中的邏輯推理要求的延續(xù)，又是對作圖的結(jié)果與過程進行的綜合分析與思考，加強幾何直觀.學生先直觀感受圖形的存在性，再研究所作圖形的合理性，并在研究圖形合理性的過程中，反思作圖過程的邏輯性，使幾何直觀和推理能力相輔相成、螺旋上升，促使數(shù)學核心素養(yǎng)悄然落地.

49份樣本試卷中，考查尺規(guī)作圖的試卷有30份，分值從2～10分不等，涉及多種題型，試題呈現(xiàn)方式多樣，以“適當給出作圖語言和作圖痕跡，繼續(xù)完成作圖或解決其他問題”的形式居多，如西藏卷第8題、內(nèi)蒙古包頭卷第18題等；也有直接要求完成指定作圖任務(wù)的試題，如廣東廣州卷第22題、廣西北部灣經(jīng)濟區(qū)卷第21題等；還有將數(shù)學史與尺規(guī)作圖相結(jié)合的試題，如甘肅蘭州卷第22題（詳見例9）等.此外，湖南長沙卷第10題、湘潭卷第12題，江蘇南通卷第21題、蘇州卷第14題、連云港卷第16題、泰州卷第25題、揚州卷第26題、無錫卷第24題等均從不同角度考查了尺規(guī)作圖.

二、命題特點分析

圖形的性質(zhì)強調(diào)通過實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎(chǔ)上，從基本事實出發(fā)推導圖形的幾何性質(zhì)和定理.研究圖形的性質(zhì)始于實驗和直觀，因此生活情境和數(shù)學活動中產(chǎn)生的問題，以及由問題引發(fā)的思考都是研究圖形的性質(zhì)的出發(fā)點，基本思想方法是分析、解決問題的出路.因此，問題情境的自然、問題意識的體現(xiàn)、通性通法的運用，是2022年中考“圖形與幾何”領(lǐng)域命題的主旋律.下面分別從生活情境、數(shù)學活動、問題研究、問題結(jié)構(gòu)、辯證思考、數(shù)學文化6個方面分析“圖形的性質(zhì)”命題的特點、導向與創(chuàng)新.

1.源于生活情境，立足考查“四基”

從49份樣本試卷中我們可以看到，玩具（不倒翁、七巧板、鐵環(huán)等）、學具（三角尺、量角器）、日常生活用品（衣架、時鐘）、日常生活場景（廣場雕塑、過馬路）等，都是中考試題中常采用的問題情境.在學生熟悉的情境中，考查學生的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗（即“四基”），公平、公正、合理.

例1（北京卷）如圖1，利用工具測量角，則∠1的大小為（ ）.

圖1

（A）30° （B）60°

（C）120° （D）150°

答案：A.

考查目標：角的度量.

命題意圖：對于生活中不能直接測量的一些角（包括幾何體的平面角），如何利用數(shù)學的知識和原理來解決呢？可運用“對頂角相等”這一基礎(chǔ)知識，利用熟悉的工具——量角器，解決此類問題，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想.

命題評價：角的度量體現(xiàn)了角的本質(zhì)，是角這一基本圖形的重要考點.此題是基礎(chǔ)題，既考查基本概念，又指向積累基本活動經(jīng)驗，積淀創(chuàng)新意識.蘇科版教材、人教版教材中都有類似習題.此題引導教學回歸教材、回歸生活，這是今后中考命題的導向，也是評價改革的趨勢.

例2（臺灣卷）緩降機是火災(zāi)發(fā)生時避難的逃生設(shè)備，圖2是廠商提供的緩降機安裝示意圖，圖中呈現(xiàn)在三樓安裝緩降機時，使用此緩降機直接緩降到一樓地面的所需繩長（不計安全帶）.若某棟建筑的每個樓層高度皆為3米，則根據(jù)如圖2所示的安裝方式在該建筑八樓安裝緩降機時，使用此緩降機直接緩降到一樓地面的所需繩長（不計安全帶）為多少米？（說明：原題單位是“公尺”，此處改成“米”.）

圖2

（A）21.7 （B）22.6

（C）24.7 （D）25.6

答案：A.

考查目標：線段之間的和差關(guān)系.

命題意圖：此題以工程設(shè)備安裝為背景命題.學生經(jīng)過閱讀、觀察、抽象的思維過程，提煉解題實質(zhì)是判斷樓層高度、安全帶、繩長等“線段”間的和差關(guān)系，并進行有關(guān)計算.結(jié)合生活實際，可以直觀發(fā)現(xiàn)變化的是樓房層數(shù)與繩長，其他“線段”長度不變，由這個基本活動經(jīng)驗可計算得在八樓安裝緩降機所需的繩長.

命題評價：線段之間的和差關(guān)系是研究圖形與圖形之間數(shù)量關(guān)系的起點.此題將這一知識融合在生活實際之中，體現(xiàn)課程目標中的應(yīng)用意識.另外，若深入思考，不妨設(shè)樓層n與繩長S（米），充分運用積累的活動經(jīng)驗，可以得到S與n之間具有如下數(shù)量關(guān)系：S=3（n-1）+1.6-0.5-0.4，即S=3n-2.3（樓層高度在城市消防能力范圍內(nèi)）.在從特殊到一般的基本思想方法的引領(lǐng)下，可以發(fā)現(xiàn)新的“生長點”.由此，此題跨越“圖形與幾何”“數(shù)與代數(shù)”兩個領(lǐng)域，同時可見“工程安裝問題”與數(shù)學學科的跨學科融合的端倪.

在2022年全國各地區(qū)中考試卷中，從真實的生活情境中提煉數(shù)學模型，立足考查“四基”的同時，考查學生抽象能力、推理能力的試題有很多.例如，江蘇連云港卷第7題以鐘表為背景考查圓中陰影部分面積的計算，河南卷第22題以傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”為背景考查切線的性質(zhì)及三角形的有關(guān)計算等主干知識.通過這些源于生活情境的試題，充分體現(xiàn)了數(shù)學知識在生活中的廣泛應(yīng)用性.

2.基于數(shù)學活動，注重考查“四能”

數(shù)學活動是以“做數(shù)學”為支架，學生通過折紙、裁剪、實驗等真實體驗獲得數(shù)學概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題的過程.通過“做數(shù)學”的活動，學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力能夠得到有效提升.以數(shù)學活動為背景的試題是2022年中考試卷中一道亮麗的風景線.

例3（河北卷）如圖3，將△ABC折疊，使邊AC落在邊AB上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的（ ）.

圖3

（A）中線 （B）中位線

（C）高線 （D）角平分線

答案：D.

考查目標：此題考查三角形中的重要線段——三角形的角平分線.

命題意圖：通過折紙“做數(shù)學”，考查三角形的角平分線這一基礎(chǔ)知識，檢測學生發(fā)現(xiàn)問題的能力.

命題評價：此題是基礎(chǔ)題，通過折紙活動考查基本概念，直指數(shù)學活動可以為概念教學提供直觀感受，引導學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，為概念教學設(shè)計提供了思路.

例4（河南卷）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.

（1）操作判斷.

操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；

操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM，BM.

根據(jù)以上操作，當點M在EF上時，寫出圖4（a）中一個30°的角：_____.

（2）遷移探究.

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片ABCD按照圖4（a）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ.

①如圖4（b），當點M在EF上時，∠MBQ的度數(shù)為______，∠CBQ的度數(shù)為______；

②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖4（c），判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖4

（3）拓展應(yīng)用.

在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ=1cm時，直接寫出AP的長.

答案：（1）∠BME（或∠MBP或∠ABP或∠MBC）；

（2）①15°，15°；②∠MBQ=∠CBQ，理由略；

考查目標：此題考查矩形、正方形、直角三角形的基本性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等核心知識，以及建立方程模型解決問題的能力.

命題意圖：此題重點考查學生在數(shù)學活動中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.例如，通過如圖4（a）所示的操作活動，可得E是AB中點，BP是∠ABM的平分線，在Rt△BEM中，由，易得∠BME=30°.這些都是引發(fā)學生發(fā)現(xiàn)問題的“點”.再如，由圖4（b）獲得的結(jié)論在圖4（c）中依然成立.對于第（2）小題第①問的結(jié)論，學生可以通過活動（如度量）或直觀觀察獲得，而第②問則體現(xiàn)猜想之余證明的價值.在拓展應(yīng)用環(huán)節(jié)，點Q相對于點F有兩種位置，考查學生的直觀想象能力和嚴謹?shù)乃季S品質(zhì).

命題評價：此題以“做數(shù)學”為媒介，考查直角三角形全等的判定、勾股定理、三角形的邊角關(guān)系等主干知識，注重綜合考查學生的“四能”.第（1）小題的答案多樣而具有開放性；第（2）小題中觀察猜想與邏輯推理并存，體現(xiàn)了“讓不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的課程基本理念；第（3）小題中，點Q的位置具有多樣性，體現(xiàn)了思維的嚴謹性.而在Rt△PDQ中，結(jié)合勾股定理建立方程模型得出AP的長，則是模型觀念的體現(xiàn).在49份樣本試卷中，通過數(shù)學活動考查學生“四能”的試題有很多，題型也多樣，如山西卷第22題、吉林卷第22題等.

3.展示問題研究過程，體現(xiàn)學科本質(zhì)

《標準（2022年版）》提出，學生通過“圖形的性質(zhì)”的學習，感悟幾何體系的基本框架，即通過定義確定論證的對象，通過基本事實確定論證的起點，通過證明確定論證的邏輯，通過命題確定論證的結(jié)果，并運用結(jié)果解決新的問題.例如，山東青島卷第21題展示了研究圖形的性質(zhì)的一般路徑“圖形定義—性質(zhì)探究—性質(zhì)應(yīng)用”，通過問題研究厘清“等高三角形”的來龍去脈，體現(xiàn)數(shù)學學科的本質(zhì).2022年中考試卷中還有一些試題以展示問題研究過程的方式，從另一個角度體現(xiàn)了數(shù)學學科的本質(zhì).

例5（江蘇·揚州卷）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？

【初步嘗試】如圖5（a），已知扇形OAB，試用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；

【問題聯(lián)想】如圖5（b），已知線段MN，試用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；

【問題再解】如圖5（c），已知扇形OAB，試用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分.（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡.）

圖5

答案：（1）如圖6（a），OP為所求；

（2）如圖6（b），△MPN為所求；

（3）如圖6（c），圓弧CD為所求.

圖6

考查目標：此題考查作已知角的角平分線、作已知線段的垂直平分線、已知底邊和底邊上的高作等腰三角形的尺規(guī)作圖，以及扇形面積計算、等腰直角三角形中的邊角關(guān)系、相似三角形的性質(zhì).

命題意圖：此題由扇形面積公式想到作角平分線完成“初步嘗試”.對于“如何以扇形圓心為圓心作圓弧將扇形面積等分”這個具有挑戰(zhàn)性的新問題，在嘗試中畫弧，在幾何直觀中聯(lián)系相似三角形類比“相似扇形”，在邏輯推理、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法的引領(lǐng)之下，推導兩個扇形的半徑之比為，由此聯(lián)想到等腰直角三角形，最終實現(xiàn)問題解決.

命題評價：準確理解數(shù)學思想是把握數(shù)學學科本質(zhì)的重要內(nèi)涵，科學認識數(shù)學方法可以深刻理解數(shù)學本質(zhì)的學科底蘊.以問題提出為引導，在嘗試、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化等一系列思維活動中體現(xiàn)數(shù)學學科的內(nèi)涵和底蘊.問題意識是學生適應(yīng)未來社會發(fā)展應(yīng)具備的能力，類似具有濃厚問題意識的試題在2022年中考試卷中并不少見，如陜西卷第26題等.

4.開放問題結(jié)構(gòu)，著眼創(chuàng)新意識

創(chuàng)新意識是未來公民必備的素養(yǎng)，是學生適應(yīng)未來社會發(fā)展的需要.勇于探索一些開放性的、非常規(guī)的實際問題或數(shù)學問題，有利于學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng).

例6（遼寧·大連卷）綜合與實踐.

問題情境：數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖7（a），在△ABC中，D是AB上一點，∠ADC=∠ACB.求證：∠ACD=∠ABC.

獨立思考：（1）試解答王老師提出的問題.

實踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.

“如圖7（b），延長CA至點E，使CE=BD，BE與CD的延長線相交于點F，點G，H分別在BF，BC上，BG=CD，∠BGH=∠BCF.在圖中找出與BH相等的線段，并證明.”

問題解決：（3）數(shù)學活動小組同學對上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當∠BAC=90°時，若給出△ABC中任意兩邊長，則圖7（b）中所有已經(jīng)用字母標記的線段長均可求.該小組提出下面的問題，試解答.

“如圖 7（c），在（2）的條件下，若∠BAC=90°，AB=4，AC=2，求BH的長.”

圖7

答案：（1）略；

（2）EF=BH，證明略；

考查目標：三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì).

命題意圖：面對第（2）小題開放式的結(jié)論，如何憑借直觀猜想的結(jié)論“EF=BH”構(gòu)造全等三角形進行說理是解題的關(guān)鍵，善于發(fā)現(xiàn)、運用已有的條件是“從無到有”構(gòu)造的前提.對于第（3）小題，要在確定性思想引導下，運用勾股定理、相似三角形的相關(guān)知識解決問題.

命題評價：此題考查學生的幾何直觀、推理能力，以及在充分分析問題基礎(chǔ)上的創(chuàng)新能力.創(chuàng)新是從無到有的智慧，善于運用歸納類比，發(fā)現(xiàn)研究對象之間的關(guān)系，大膽猜想、小心論證的思維品質(zhì)都是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的前提，設(shè)計開放的問題結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的重要途徑.此題中涉及的知識綜合性較強，對學生直觀想象、邏輯推理、構(gòu)造創(chuàng)新的能力要求較高，具有較強的選拔功能.2022年中考數(shù)學試題涉及條件開放和結(jié)論開放兩種形式.結(jié)論開放的試題有北京卷第27題、新疆卷第23題等，條件開放的試題有云南卷第11題、江蘇南通卷第14題等.另外，例6以“確定”的方式刻畫全等三角形的本質(zhì)，類似的試題還有河北卷第16題，這有利于發(fā)展學生深度思考的能力.

5.動靜辯證思考，彰顯思維品質(zhì)

“圖形與幾何”領(lǐng)域的三個主題是一個有機的整體.“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”“圖形與坐標”分別從演繹證明、運動變化、量化分析的角度研究圖形的基本性質(zhì)與相互關(guān)系：對于看似靜態(tài)的圖形的性質(zhì)，從變化的角度思考；面對圖形的變化，從中發(fā)現(xiàn)不變的（靜態(tài)）規(guī)律，并從量化角度對其進行刻畫.“靜”時“動”看，“動”中見“靜”（變中不變）的辯證思想讓思維的靈活性、深刻性躍然紙上.

例7（江蘇·泰州卷）如圖8，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，O為內(nèi)心，過點O的直線分別與邊AC，AB相交于點D，E.若DE=CD+BE，則線段CD的長為_________.

圖8

考查目標：三角形的內(nèi)心、角平分線性質(zhì)、等腰三角形的判定、相似三角形的性質(zhì).

命題意圖：此題從三角形內(nèi)心的性質(zhì)出發(fā)，由角平分線與平行線組合得到的等腰三角形這一基本圖形，可以發(fā)現(xiàn)當DE∥BC時符合題意.直線DE可以看作繞點O旋轉(zhuǎn)，當DE⊥AB時也符合題意，運用角平分線的性質(zhì)定理和相似三角形的性質(zhì)等可求得CD的長.

命題評價：此題重在考查基礎(chǔ)知識、基本技能與基本活動經(jīng)驗.將直線DE看作繞點O旋轉(zhuǎn)，直觀想象存在另一種情況，是此題不漏解的保障，也是思維靈活性的體現(xiàn)，考查學生的直觀想象能力.上海卷第17題、貴州貴陽卷第25題等與此題有異曲同工之處.

例8（吉林·長春卷）如圖9，在?ABCD中，AB=4，，點M為邊AB的中點.動點P從點A出發(fā)，沿折線AD-DB以每秒個單位長度的速度向終點B運動，連接PM.作點A關(guān)于直線PM的對稱點A′，連接A′P，A′M.設(shè)點P的運動時間為t秒.

圖9

（1）點D到邊AB的距離為_______；

（2）用含t的代數(shù)式表示線段DP的長；

（3）連接A′D，當線段A′D最短時，求△DPA′的面積；

（4）當M，A′，C三點共線時，直接寫出t的值.

答案：（1）3；

考查目標：此題考查等腰三角形的“三線合一”、平行四邊形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、圓的定義、勾股定理等基礎(chǔ)知識，以及分類討論等基本思想方法.

命題意圖：在點P運動的過程中，DP的長隨點P在折線AD-DB上位置的變化而變化，故解此題需要分類討論.在軸對稱變換中，始終存在的數(shù)量關(guān)系是MA′=MA=2，由圓的定義，可得點A′始終在以點M為圓心、2為半徑的圓上運動，這是變化中不變的規(guī)律，是順利解決問題的基本保障.

命題評價：對靜態(tài)的描述從動態(tài)的角度思考，從動態(tài)的表象下發(fā)現(xiàn)不變（靜態(tài)）的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系，都是思維深刻性的體現(xiàn).類似試題有安徽卷第10題、天津卷第24題、四川成都卷第26題等.另外，變化中不變的數(shù)量關(guān)系常用函數(shù)來刻畫，2022年中考中將圖形的性質(zhì)與函數(shù)相結(jié)合的試題有很多，不再贅述.

6.融入數(shù)學文化，凸顯育人導向

數(shù)學的思想方法、理性精神、發(fā)展歷史及數(shù)學中蘊含的美等都是數(shù)學文化的重要組成部分，也是人類文明的重要組成部分，這些都是寶貴的育人資源.

例9（甘肅·蘭州卷）綜合與實踐.

問題情境：我國東周到漢代一些出土實物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎（wèi）范、芯組成的鑄型（如圖10），它的端面是圓形.圖11是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：如圖11（a），將“矩”的直角尖端A沿圓周移動，直到AB=AC，在圓上標記A，B，C三點；如圖11（b），將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在點A，B上，“矩”的另一條邊與圓的交點標記為點D，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點，連接AD，BC相交于點O，即O為圓心.

圖10

圖11

問題解決：（1）試根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心O.如圖12（a），點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB=AC，試作出圓心O.（保留作圖痕跡，不寫作法.）

類比遷移：（2）小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O.如圖12（b），點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，試作出圓心O.（保留作圖痕跡，不寫作法.）

拓展探究：（3）小梅進一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存在誤差，用平時學的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差.如圖12（c），點A，B，C是⊙O上任意三點，試用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O.（保留作圖痕跡，不寫作法.）試寫出你確定圓心的理由：_______.

圖12

答案：第（1）小題所作圖形如圖13（a）所示；

第（2）小題所作圖形如圖13（b）所示；

第（3）小題所作圖形如圖13（c）所示.理由：三角形任意兩條邊垂直平分線的交點是三角形外接圓圓心.

圖13

考查目標：此題考查90°的圓周角所對的弦是直徑、直徑是過圓心的弦、不共線的三個點確定一個圓、三角形外心的性質(zhì)，以及作已知線段的垂直平分線.

命題意圖：通過情境中的“矩”激活基礎(chǔ)知識點——90°的圓周角所對的弦是直徑.在活動中，一步步將問題一般化、結(jié)果精確化.同時，作圖過程也從只用直尺畫圖過渡到尺規(guī)作圖，實現(xiàn)對不共線的三個點確定一個圓的基礎(chǔ)知識及相關(guān)尺規(guī)作圖技能的考查.

命題評價：學生在閱讀中了解歷史，與古人智慧碰撞，在活動中從模仿到質(zhì)疑再到創(chuàng)新，在作圖中思考數(shù)學原理.完成這項“綜合與實踐”的過程也是理性精神培育、愛國主義熏陶的過程.

將數(shù)學史、數(shù)學美、地方文化融入2022年中考命題的試題有甘肅武威卷第21題、貴州貴陽卷第8題等.山東青島卷第12題融入藝術(shù)家埃舍爾的作品，顯現(xiàn)跨學科學習的趨勢.例9是對蘇科版教材九年級上冊“5.4圓周角”第58頁課后練習題的改編，這再次表明教材是中考命題的重要資源.回歸教材、研究教材、挖掘教材資源是廣大一線教師的“必修課”.

三、復(fù)習教學建議

通過對2022年中考“圖形的性質(zhì)”部分試題特點的分析，可以看到中考命題具有關(guān)注“四基”“四能”、注重通性通法、凸顯育人導向等特點，這為提高中考復(fù)習的效能提供了指導作用.筆者結(jié)合實踐對中考復(fù)習教學提出以下幾點建議.

1.豐富的教學資源是提高中考復(fù)習效果的源泉

提起中考復(fù)習的教學資源，一線教師容易聯(lián)想到各類教輔資料、各地中考模擬試卷、中考試題和信息技術(shù)資源輔助解題等.其實，除了這些，還有很多的資源值得開發(fā)與運用.

教學活動是師生之間在一定的教學場景（教室、數(shù)學活動場所）中進行的雙邊活動，包括師生、生生之間的語言、肢體、眼神、思維的交會與碰撞.教學的場景、教師的肢體語言等都可以成為課堂教學的資源，中考復(fù)習課也不例外.例如，青海卷第6題通過雙手擺出的手勢（如圖14）直觀、形象地表達了基本圖形“三線八角”，不僅能夠讓學生溫習基礎(chǔ)知識，增強課堂教學的趣味性，而且能培養(yǎng)學生的直觀想象力，彰顯教師的教學智慧.再如，復(fù)習勾股定理時，筆者從前臂與上臂垂直的狀態(tài)開始（如圖15），在前臂繞肘關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)到與上臂分別構(gòu)成銳角、鈍角，將直角三角形的三邊關(guān)系推廣到銳角三角形、鈍角三角形的三邊關(guān)系，通過形象、生動的肢體語言帶領(lǐng)學生復(fù)習了基礎(chǔ)知識，拓寬了知識的外延，為學生高中階段余弦定理的學習打好基礎(chǔ)，學生對知識的理解因課堂的生動形象而深刻.

圖14

圖15

糾正學生的錯誤是中考復(fù)習的重要環(huán)節(jié).幫學生查漏補缺、助學生提升能力、教學生規(guī)范答題的過程，也應(yīng)該是教師自我反思的良機.因此，學生的錯誤是中考復(fù)習的重要資源.例如，筆者在帶領(lǐng)學生復(fù)習“定義、命題、定理”時，有很多學生認為“同位角相等是真命題”，導致這個結(jié)果的原因值得深思.從學生的角度來看，是學生的基礎(chǔ)知識存在漏洞，錯誤地認為同位角是兩個角之間的數(shù)量關(guān)系；從教師的角度來看，可能與教師平時不規(guī)范的教學語言有關(guān)系.教師常以節(jié)約時間為由，在復(fù)習“圖形的性質(zhì)”時，描述定理不夠規(guī)范，這在無形之中帶給學生的負面影響不容小覷.實際上，這與數(shù)學學科嚴謹、理性的特征格格不入，所以糾正學生的錯誤，對學生是鞏固基礎(chǔ)知識、基本技能，對教師是反思教學行為.教師規(guī)范的教學語言和行為是課堂教學的基本要求，精湛的教學技藝是課堂教學不懈的追求.

教材是專家團隊集體智慧的結(jié)晶，其中的情境、例題和習題等都是教材編寫專家經(jīng)過千錘百煉思考的結(jié)果，是課堂教學也是中考復(fù)習過程中的好幫手，理應(yīng)成為中考復(fù)習的寶貴資源.前述例1、例3、例4、例9等中考試題中都有各版本教材例、習題的“影子”，它們?yōu)閺V大一線教師的中考復(fù)習教學指明了方向.

2.知識的整體化、結(jié)構(gòu)化設(shè)計是提高中考復(fù)習效率的保障

《標準（2022年版）》在教學建議中提出要整體把握教學內(nèi)容，注重教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，注重教學內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián).這無論在新授課還是復(fù)習課中都應(yīng)該踐行，中考復(fù)習中便應(yīng)如此.中考第一輪復(fù)習是對基礎(chǔ)知識點進行“拉網(wǎng)式”的溫習，也是進一步建立知識點之間聯(lián)系的后建構(gòu)過程，這需要教師對全學段知識進行通盤考慮，在整體化、結(jié)構(gòu)化的教學中引領(lǐng)學生形成知識鏈、編織知識網(wǎng).“圖形的性質(zhì)”內(nèi)容的復(fù)習也不例外.

筆者以線段的復(fù)習為例說明知識的結(jié)構(gòu)化設(shè)計.首先，從研究“圖形的性質(zhì)”的基本路徑開始設(shè)計問題串：線段的表示方法有哪些？比較線段大小的方法有哪些？關(guān)于線段的性質(zhì)有哪些？其次，延續(xù)線段的性質(zhì)——軸對稱性和中心對稱性，復(fù)習線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，以及尺規(guī)作圖；再次，順延線段的中點，引領(lǐng)學生聯(lián)想與線段的中點有關(guān)的圖形，自我建構(gòu)以“線段”為中心的知識網(wǎng)絡(luò)；最后，以經(jīng)典例題體現(xiàn)相關(guān)知識的應(yīng)用.圖16是學生以線段為中心繪制的知識結(jié)構(gòu)圖.

圖16 以線段為中心的知識結(jié)構(gòu)圖

圖形的性質(zhì)是復(fù)習的第一節(jié)課，對接下來的復(fù)習方式具有引領(lǐng)作用.學生要以此為“模板”，類比復(fù)習角、三角形、四邊形和圓的相關(guān)知識.經(jīng)歷這個過程后，學生不會覺得溫習這些知識是簡單的重復(fù)，而是感嘆數(shù)學知識緊密相關(guān).重要的是，學生的結(jié)構(gòu)化思維方式在中考復(fù)習的過程中進一步得到培養(yǎng)，復(fù)習的效益在無形之中得到提升.綜觀一些綜合性較強的中考壓軸題，無一不是多種圖形的性質(zhì)、多個領(lǐng)域知識之間的相互融合.因此，結(jié)構(gòu)化思維方式是學生適應(yīng)未來發(fā)展需要具備的關(guān)鍵能力之一.

3.設(shè)計有效的數(shù)學活動是提升中考復(fù)習效能的重要途徑

《標準（2022年版）》在“課程實施”的評價建議中提出“適當提高應(yīng)用性、探究性和綜合性試題的比例”的要求.對照2022年中考試題，可以發(fā)現(xiàn)以操作實踐為背景、問題意識為導向的數(shù)學活動試題有很多.數(shù)學學習的過程是感悟抽象、推理、模型等數(shù)學思想的過程，以問題解決為目標指向的數(shù)學活動有利于數(shù)學思想方法的形成.因此，在中考復(fù)習中，以數(shù)學活動為媒介，將基礎(chǔ)知識、基本原理融入問題解決，有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.那么，對于“圖形的性質(zhì)”這一主題如何組織學生活動呢？

筆者認為，要聚焦知識、方法、目標，精心組織活動過程，關(guān)注學生活動動態(tài)，活動形式可大可小，微小時可以將活動嵌入解決一個綜合題的過程中.例如，筆者曾在引領(lǐng)學生解決一道中考綜合題時，設(shè)計微活動：“尺規(guī)作圖：過直線外一點作已知直線的垂線.要求：方法盡可能多，并說明作圖道理”.在追問與學生之間的相互影響下，學生在15分鐘內(nèi)給出了6種作圖方法（詳見參考文獻［5］）.活動中，復(fù)習線段垂直平分線定理、等腰三角形三線合一、直徑所對的圓周角是直角等具體知識點，學生感悟到了直觀想象、轉(zhuǎn)化、推理等基本思想的力量.重要的是，學生驚嘆看似熟悉的作圖活動卻也如此精彩紛呈，被自己的創(chuàng)新所感動.這種積極的學習情感有助于中考復(fù)習效能的提升.

數(shù)學活動常常是開放的問題結(jié)構(gòu)，或條件開放，或結(jié)果開放，這有利于學生的思維向縱深發(fā)展，有利于學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng).中考復(fù)習階段，筆者曾設(shè)計測量、折紙等數(shù)學活動.例如，在“測量學校操場旗桿的高度”這一數(shù)學活動中，學生在測量環(huán)境不斷改變的過程中不斷挑戰(zhàn)、不斷創(chuàng)新.在設(shè)計測量方案的過程中溫習了全等三角形、相似三角形、三角函數(shù)等知識.活動中，通過向?qū)W生講述關(guān)于測量的歷史故事，拓寬了學生的視野，增強了學生的學習興趣.在這個過程中，學生發(fā)揮著主體作用，抽象能力、模型觀念、推理能力等素養(yǎng)得到發(fā)展.

4.注重數(shù)學文化的滲透是中考復(fù)習增效的催化劑

中考復(fù)習的過程是整合知識的過程，是提煉數(shù)學思想方法的過程，也是考驗學生意志品質(zhì)的過程.教師不僅要幫學生夯實基礎(chǔ)知識，培育學生的思維品質(zhì)，還要播種數(shù)學文化，滋養(yǎng)學生心靈，讓學生感受到數(shù)學的魅力.

面對高強度的中考復(fù)習節(jié)奏，學生難免會感到有壓力、情緒低落.對此，教師可以適時地向?qū)W生講述數(shù)學家的故事，滋潤學生的心靈，給予學生戰(zhàn)勝困難的勇氣.例如，當學生遇到困難時，教師可以為學生講述徐光啟和利瑪竇合譯《幾何原本》的故事，徐光啟以“吾迎難，難自消微，必成之”的精神翻譯了《幾何原本》的前6卷，給后人留下了豐厚的文化遺產(chǎn).再如，在復(fù)習勾股定理時，教師可以向?qū)W生介紹清代數(shù)學家華蘅芳在十幾歲時便用二十幾種方法證明了勾股定理，通過實例讓學生感受數(shù)學家刻苦鉆研的精神.事實表明，學生喜歡聽故事，這些數(shù)學家的勵志故事可以提升學生學習的興趣，傳遞積極向上的精神力量，培育良好的品格，有利于中考復(fù)習的有效開展.

數(shù)學文化內(nèi)涵豐富，對于數(shù)學的歷史、數(shù)學家的故事、數(shù)學的文本閱讀等，教師可以適時融入中考復(fù)習教學中，這不僅是迎接中考檢測的必要準備，也是培育學生優(yōu)秀品格的重要過程.

四、典型模擬題

1.下列選項中的四個三角形，各有一邊長為6，一邊長為8，若第三邊分別為6，8，10，12，則面積最大的三角形是（ ）.

答案：C.

2.如圖17，正方形ABCD中.

（1）在圖17中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作等邊三角形DHG，使點G，H都在正方形的邊上.（不寫作法，保留作圖痕跡.）

圖17

（2）在（1）的條件下，若AB=4，則DH的長為_____.

答案：（1）所作圖形如圖18所示；

圖18

3.在數(shù)學活動課上，小明用一張長方形紙片，通過剪、折等活動，發(fā)現(xiàn)了一系列有趣的結(jié)論.活動準備：將一張長方形紙片裁剪成一張最大的正方形紙片和一張矩形紙片，再將裁剪成的正方形紙片和矩形紙片分別裁剪成4張一樣大小的正方形紙片和2張等寬的矩形紙片（按如圖19所示的虛線裁剪）備用.

圖19

活動1：取其中一張矩形紙片，將它折成如圖20所示的V形圖案，則重疊部分的三角形形狀是______；

圖20

活動2：如圖21，將兩張等寬矩形紙片交叉重疊，重疊部分的四邊形形狀是_______；

圖21

活動3：如圖22，取一張正方形紙片（正方形ABCD）沿虛線對折，再過點D將頂點A折到折痕上的點A′，則∠A′DC的度數(shù)為_______，若再沿A′C折疊紙片得折痕A′C，則△A′DC的形狀是_______；

圖22

活動4：在活動3的啟發(fā)之下，另取一張正方形紙片，按如下步驟折紙：

如圖23，①對折正方形紙片，得折痕GH，并展開；

圖23

②過點D將點A折疊到折痕GH上的點A′；

③過點D將邊CD折疊至與DA′重合，折痕為DE；

④過點E將EC折疊至與DE重合，折痕為ME，寫出DM與CM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

活動5：如圖24，等邊三角形DPQ的三個頂點都在正方形的邊上，我們把這樣的等邊三角形叫做正方形的內(nèi)接等邊三角形，也是一張正方形紙片能折出的最大等邊三角形.再取一張正方形紙片折一折，并畫出示意圖.

圖24

答案：活動1：等腰三角形；

活動2：菱形；

活動3：60°，等邊三角形；

活動4：DM=2CM，理由略；

活動5：折紙步驟如圖25所示.

圖25

4.閱讀：我國古代幾何學歷史悠久.田畝丈量、天文觀測、測高望遠都是我國幾何學的主要起源.古代數(shù)學家依據(jù)面積測量、勾股運算等，總結(jié)經(jīng)驗成果，形成了“出入相補”的一般原理，即把圖形分割成若干塊，則各部分面積的和等于原來圖形面積.魏晉時期偉大數(shù)學家劉徽所著的《海島算經(jīng)》是一部測高望遠的專著，他依據(jù)出入相補原理，運用“矩立表”（古代測量儀）達到望高、知遠、測深的目的.

（1）走近古代數(shù)學家.

如圖26，在矩形ABCD中，點O為對角線AC上任意一點，過點O分別作AB，BC的平行線PQ，SR，試找到圖中面積相等的矩形，并證明.

圖26

（2）與古代數(shù)學家思維碰撞.

《海島算經(jīng)》首題“望海島”：“今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何.”其大致含義是：如圖27，現(xiàn)觀測海島，兩個測量儀（DE，F(xiàn)G）的高都為3丈，之間的距離（EG）為1000步，且在同一條直線上.從第一個測量儀（DE）處后退123步（EH），島峰、測量儀末端、人目在同一直線上（A，D，H共線）；從第二個測量儀（GF）處后退127步（GI），島峰、測量儀末端、人目在同一直線上（A，F(xiàn)，I共線），求島高（AB）及前測量儀（DE）與海島之間的距離（BE）.（注：1丈約為2步.）

圖27

①劉徽在專著中給出海島高（AB）的計算公式：，（前表去島）公式：，試運用（1）的結(jié)論證明這兩個公式；

②解決《海島算經(jīng)》首題.

答案：（1）SDO=SOB（“SDO”表示矩形DPOS的面積，下同），證明略.

（2）①如圖28，補全矩形.

圖28

公式1：由（1）得，SCE=SMK，SCG=SJP.

所以SDG=SJP-SMK.

所以DE·EG=MD·（GI-EH）.

公式2：因為SCE=SMK，

所以BE·DE=MD·EH.

②島高（AB）為1506步，前測量儀（DE）與海島之間的距離（BE）30750步.