宋清雪 唐耀宗

(喀什大學(xué) 新疆喀什 844000)

1 引言

國內(nèi)生產(chǎn)總值是用來判斷經(jīng)濟(jì)實(shí)力的一個重要指標(biāo)。新疆地處我國西北部，亞歐大陸中心，是我國對外開放的重要門戶，也是我國絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶建設(shè)的核心區(qū)。加強(qiáng)新疆經(jīng)濟(jì)建設(shè)對我國經(jīng)濟(jì)長期可持續(xù)發(fā)展和增強(qiáng)西部地區(qū)自我發(fā)展能力具有重要的戰(zhàn)略意義。而正確預(yù)測新疆GDP有利于判斷新疆經(jīng)濟(jì)實(shí)力。因此，正確預(yù)測新疆GDP對我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展十分重要。

利用繪圖軟件繪出新疆GDP的變化趨勢如圖1所示。從圖1可以發(fā)現(xiàn)，1985—1999年新疆GDP呈現(xiàn)緩慢上升狀態(tài)。1999年9月，中共十五屆四中全會決定實(shí)施西部大開發(fā)戰(zhàn)略，支持中西部地區(qū)和少數(shù)民族地區(qū)加快發(fā)展。2000年以后，新疆GDP進(jìn)入快速增長階段。

圖1 1985—2018年新疆GDP趨勢

在現(xiàn)有研究中眾多學(xué)者對于GDP預(yù)測的方法大有不同。部分學(xué)者采用單一模型對GDP進(jìn)行預(yù)測，張淑紅等(2014)[2]基于河南省1978—2010年人均GDP指數(shù)，建立了線性自回歸模型，對“十二五”時期河南省人均GDP指數(shù)進(jìn)行了預(yù)測，結(jié)果表明，所建立的模型具有較好的預(yù)測效果。洪艷等(2016)[3]基于插值擬合了1978—2014年國內(nèi)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)，并預(yù)測2015—2017年國內(nèi)生產(chǎn)總值，然后將預(yù)測值與對應(yīng)年份的實(shí)際GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。田梓辰等[5](2018)利用拉格朗日插值與改進(jìn)的拉格朗日插值函數(shù)分別對灰色GM(1,1)模型進(jìn)行了背景值的重構(gòu)，并利用該模型對新疆近十年的GDP進(jìn)行預(yù)測。還有部分學(xué)者采用組合預(yù)測模型對GDP進(jìn)行預(yù)測，王莎莎等(2009)[8]在ARIMA、混合時間序列和GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上,利用全國經(jīng)濟(jì)發(fā)展數(shù)據(jù)建立一個組合預(yù)測模型，并把其應(yīng)用于我國GDP的預(yù)測，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出組合預(yù)測模型更有優(yōu)勢。熊志斌[9](2011)充分發(fā)揮ARIMA模型和NN模型在線性空間和非線性空間的預(yù)測優(yōu)勢，據(jù)此將GDP時間序列的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)分解為線性自相關(guān)主體和非線性殘差兩部分，并用ARIMA模型預(yù)測序列的線性主體，NN模型對其非線性殘差進(jìn)行估計，然后構(gòu)建GDP時間序列預(yù)測模型與算法，最終集成為整個序列的預(yù)測結(jié)果。

從以上研究可以發(fā)現(xiàn)，各學(xué)者主要采用單一模型和定權(quán)組合預(yù)測模型預(yù)測GDP。本文選取1985—2020年的新疆GDP作為研究對象，采用定權(quán)組合預(yù)測模型和變權(quán)組合預(yù)測模型對其進(jìn)行建模分析，并利用建立的模型對新疆GDP進(jìn)行預(yù)測。通過比較預(yù)測均方根誤差，選出更具有優(yōu)勢，預(yù)測值更準(zhǔn)確，誤差更小的模型供相關(guān)部門進(jìn)行新疆GDP預(yù)測。

2 研究方法

2.1 單一模型

2.1.1 ARIMA模型

ARIMA模型是時間序列預(yù)測分析中的一種常用模型。一般情況下，ARIMA模型具有如下時間序列結(jié)構(gòu)，簡記為ARIMA(p,d,q)模型：

式(1)中，?d=(1-B)d;Φ(B)=1-φ1B-???-φpBp為平穩(wěn)可逆ARMA(p,q)模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式，Θ(B)=1-θθ1B-???-θqBq為平穩(wěn)可逆ARMA(p,q)模型的移動平滑系數(shù)多項(xiàng)式。ARIMA(p,d,q)模型的一般表示方法為：

2.1.2 曲線估計模型

在變量相關(guān)關(guān)系分析中，如果因變量y與自變量x是非線性關(guān)系，就可以通過變量變化轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，則可以采用曲線估計來擬合因變量與自變量之間的函數(shù)。常見的曲線估計模型主要有二次曲線模型、對數(shù)曲線模型、三次曲線模型、指數(shù)曲線模型、冪函數(shù)模型等。在預(yù)測新疆GDP的研究中，本文主要運(yùn)用了二次曲線模型，只對二次曲線模型進(jìn)行詳細(xì)介紹。二次曲線模型方程表示形式為：

變量變換后二次曲線模型對應(yīng)的線性方程為：

式(3)(4)中，y為因變量，x為自變量，ai為系數(shù)，x1=x2。

2.2 組合預(yù)測模型

組合預(yù)測是利用某種方法將多個單一模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行加權(quán)綜合，從而構(gòu)建組合預(yù)測模型，對需要預(yù)測的對象進(jìn)行預(yù)測。組合預(yù)測的數(shù)學(xué)語言描述如下：

設(shè){xj}，j= 1,2,...,n為一組觀測數(shù)據(jù)，分別用k個模型對該觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，得到每個單一模型的預(yù)測值為fi，i= 1,2,...,k，ωi表示第i個模型在組合預(yù)測模型中的權(quán)重。組合預(yù)測值可以表示為：

確定模型的權(quán)系數(shù)是建立組合預(yù)測模型的關(guān)鍵。一般情況下，確定模型的權(quán)系數(shù)有定權(quán)與變權(quán)兩種方式。確定定權(quán)系數(shù)的方法主要有等權(quán)重法、方差倒數(shù)法、殘差倒數(shù)法等?，F(xiàn)主要運(yùn)用方差倒數(shù)法和二次規(guī)劃法確定定權(quán)組合預(yù)測模型的權(quán)系數(shù)。

由于GDP會受到社會生產(chǎn)力，資源環(huán)境改變，相關(guān)外部刺激政策等多種因素的影響，其變化趨勢并不是一成不變的。本文為提高模型預(yù)測的準(zhǔn)確性，采用變權(quán)組合預(yù)測模型，其權(quán)系數(shù)按以下方法確定：

設(shè)預(yù)測年份前兩年新疆GDP實(shí)際值分別為y1、y2，ARIMA模型預(yù)測的前兩年新疆GDP預(yù)測值為f11、f12，曲線估計模型預(yù)測的前兩年新疆GDP預(yù)測值為f21、f22，兩個單一模型在變權(quán)組合預(yù)測模型中的權(quán)重為ω1、ω2。用于預(yù)測當(dāng)年新疆GDP的變權(quán)組合預(yù)測模型的權(quán)系數(shù)求解公式如下：

依此類推，便可以得到用于預(yù)測其他年份的組合預(yù)測模型的權(quán)系數(shù)。由于該組合預(yù)測模型的權(quán)系數(shù)是隨著時間變化而變化的，因此，稱該模型為變權(quán)組合預(yù)測模型。

3 實(shí)證分析

本文從國家統(tǒng)計局中選取1985—2020年新疆GDP作為研究數(shù)據(jù)，為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測精度，現(xiàn)將已有數(shù)據(jù)分為兩部分，一部分用于建模的擬合數(shù)據(jù)1985—2018年新疆GDP，另一部分用于預(yù)測的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)2019—2020年新疆GDP。

3.1 ARIMA模型結(jié)果

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，新疆GDP序列具有明顯遞增趨勢，因此該序列屬于非平穩(wěn)序列。利用RStudio軟件建立ARIMA(2,2,2)模型：

3.2 曲線估計模型結(jié)果

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，新疆GDP大致呈拋物線式或指數(shù)式增長。本文利用RStudio軟件建立二次曲線模型：

式(8)中y為新疆GDP，t為時間，其中t=1對應(yīng)1985年，t=2對應(yīng)1986年，依此類推。

3.3 組合預(yù)測模型結(jié)果

3.3.1 定權(quán)組合預(yù)測模型結(jié)果

本文利用RStudio軟件和方差倒數(shù)法得到定權(quán)組合預(yù)測模型的權(quán)系數(shù)為：ω1=0.542，ω2=0.458，則定權(quán)組合預(yù)測模型為：

式(9)中，f1為時間序列模型的預(yù)測值；f2為二次曲線模型的預(yù)測值。

本文利用Python軟件和二次規(guī)劃法得到定權(quán)組合預(yù)測模型的權(quán)系數(shù)為：ω1=0.537，ω2=0.463，則定權(quán)組合預(yù)測模型為：

3.3.2 變權(quán)組合預(yù)測模型結(jié)果

本文利用Python軟件和變權(quán)二次規(guī)劃法得到預(yù)測2019年新疆GDP的變權(quán)組合預(yù)測模型的權(quán)系數(shù)為：ω1=0.580，ω2=0.420。預(yù)測2019年新疆GDP的變權(quán)組合預(yù)測模型為：

預(yù)測2020年新疆GDP的變權(quán)組合預(yù)測模型的權(quán)系數(shù)為：ω1=0.201，ω2=0.799。預(yù)測2020年新疆GDP的變權(quán)組合預(yù)測模型為：

3.4 結(jié)果分析

本文為選出預(yù)測更準(zhǔn)確的模型來預(yù)測新疆GDP，采用均方根誤差對模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行分析。均方根誤差表達(dá)式為：

式(13)中，n為樣本量，ei為第i個模型預(yù)測值與實(shí)際值的相對預(yù)測誤差。

利用模型預(yù)測2019—2020年新疆GDP，預(yù)測值及均方根誤差如表1所示。

表1 新疆GDP預(yù)測值及相對預(yù)測誤差匯總表

從表1可以發(fā)現(xiàn)，三個模型2019—2020年新疆GDP相對預(yù)測誤差均小于3%。運(yùn)用RStudio軟件得到三個模型的平均絕對百分比誤差為2.29%，2.30%，1.44%，可見三個模型的預(yù)測效果顯著。但用于預(yù)測新疆GDP的五個模型中，變權(quán)組合預(yù)測模型的均方根誤差最小。

3.5 預(yù)測

基于上述研究可以發(fā)現(xiàn)，變權(quán)組合預(yù)測模型的均方根誤差最小，預(yù)測更準(zhǔn)確。因此，利用RStudio軟件和變權(quán)組合預(yù)測模型對2021—2025年新疆GDP進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表2所示。

表2 2021—2025年新疆GDP預(yù)測值

從表2可以發(fā)現(xiàn)，未來五年新疆GDP值一直在增長。預(yù)計到2025年新疆GDP已經(jīng)增長到19305.76億元。

本文利用繪圖軟件繪出2021—2025年新疆GDP預(yù)測趨勢如圖2所示。

圖2 1985—2025年新疆GDP趨勢

從圖2可以發(fā)現(xiàn)，2021—2025年新疆GDP近似呈直線式增長，且增長速度較快，從15187.14億元上升到19305.76億元，平均每年增長823.72億元。

4 結(jié)語

本文以1985—2018年新疆GDP數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，基于ARIMA模型和二次曲線模型建立定權(quán)組合預(yù)測模型和變權(quán)組合預(yù)測模型。利用建立的模型對2019—2020年新疆GDP進(jìn)行預(yù)測，然后將預(yù)測值與對應(yīng)年份的新疆實(shí)際GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行比較并計算出均方根誤差。結(jié)果顯示，幾種組合預(yù)測模型預(yù)測值的均方根誤差均小于3%。但通過對比這幾種組合預(yù)測模型預(yù)測值與實(shí)際值之間的均方根誤差可以發(fā)現(xiàn)，用于預(yù)測新疆GDP的組合預(yù)測模型中，變權(quán)組合預(yù)測模型預(yù)測值的均方根誤差更小，預(yù)測結(jié)果也更好。因此采用變權(quán)組合預(yù)測模型預(yù)測2021—2025年新疆GDP，發(fā)現(xiàn)未來五年內(nèi)的新疆GDP值呈現(xiàn)遞增趨勢，且增長較快。