■河南省漯河高級中學(xué) 秦曉燕

一、選擇題(本題共12 小題,每小題5分,共計60 分。在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求。)

1.下列問題是組合問題的是( )。

A.2023年暑假,小明和他的4位同學(xué)分別到5 所大學(xué)去參觀研學(xué),不同的參觀方案有多少種?

B.2022年卡塔爾足球運動會期間,5 名志愿者被分別分到5個不同的時間段進(jìn)行服務(wù),有多少種情況?

C.集合{1,2,3,4,5,6,7}的含有3個元素的子集有多少個?

D.從高二(6)班的45名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目,有多少種選法?

2.已知n,m為正整數(shù),且n≥m,則下列選項中錯誤的是( )。

A.該二項展開式中含x的項是第二項

B.該二項展開式中含x的項系數(shù)是2 023×2 022

C.該二項展開式中二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和相等

D.該二項展開式中不含有理項

4.北京冬奧會之后,5 位體育愛好者報名參加自由式滑雪,速度滑冰,單板滑雪3個項目的培訓(xùn),每人只報其中一個項目,則有( )種不同的報名方案。

5.將4位新老師安排到A,B,C三所學(xué)校去任教,每所學(xué)校至少1人,則不同的安排方案的種數(shù)是( )。

A.72 B.36 C.24 D.18

6.設(shè)n為正整數(shù),的展開式中存在常數(shù)項,則n的最小值為( )。

A.3

B.4

C.5

D.6

7.“天宮空間站”是我國自主建設(shè)的大型空間站,其基本結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、實驗艙Ⅰ和實驗艙Ⅱ三個部分。假設(shè)有5名航天員(3男2 女)在天宮空間站開展實驗,其中天和核心艙安排3人,實驗艙Ⅰ與實驗艙Ⅱ各安排1人,且兩名女航天員不在一個艙內(nèi),則不同的安排方案種數(shù)為( )。

A.10 B.14 C.30 D.36

8.五世紀(jì),數(shù)學(xué)家祖沖之估計圓周率π的范圍是:3.141 592 6<π<3.141 592 7,為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就,把3.141 592 6稱為“祖率”,這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就。某數(shù)學(xué)愛好者在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時,打算將“祖率”的8位數(shù)字3,1,4,1,5,9,2,6進(jìn)行某種排列得到密碼。如果排列時要求兩個1之間必須隔2個不同的數(shù)字,且2個1不能放到首末兩個位置,那么該數(shù)學(xué)愛好者可以設(shè)置的不同密碼有( )個。

A.240 B.360

C.3 600 D.2 160

9.從7個人中選5人負(fù)責(zé)元旦三天假期的值班工作,其中第一天和第三天均安排2人,第二天安排1 人,且人員不重復(fù),則不同安排方式的種數(shù)可表示為( )。

10.給如圖1所示的5 塊區(qū)域A,B,C,D,E涂色,要求同一區(qū)域用同一種顏色,有公共邊的區(qū)域使用不同的顏色,現(xiàn)從紅、黃、藍(lán)、綠、橙5種顏色中選4種顏色去涂色,選出的4種顏色要用完,則不同的涂色方法有( )。

圖1

A.120種 B.840種

C.720種 D.600種

11.已知(x-1)4+2x5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5,則a3=( )。

A.-2 B.2 C.4 D.12

二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共計20分。)

14.甲、乙、丙三人參加社區(qū)義工活動,每人從編號為1到6的社區(qū)中任選一個,所選社區(qū)編號數(shù)各不相同且不相鄰,則不同的選擇方案的種數(shù)為____。

15.152023除以8的余數(shù)為____種。

16.某賽季足球比賽的計分規(guī)則是:勝一場,得3分;平一場,得1分;負(fù)一場,得0分。一球隊打完15 場,積33 分,若不考慮順序,該隊勝、平、負(fù)的情況共有____種。

三、解答題(本大題共6小題,第17題10分,其他題每題12分,共計70分。解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。)

17.(本小題10分)荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾說過“數(shù)學(xué)是冰冷的美麗,而其背后有火熱的思考”。自然數(shù)的隨意排列就是一種美,如:“漸升數(shù)”、“傘數(shù)”“凹數(shù)”“波浪數(shù)”等,其中“漸升數(shù)”是指除最高數(shù)位上的數(shù)字外,其余每一個數(shù)字均比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如13 456和35 678都是五位“漸升數(shù)”)。

(1)求三位“漸升數(shù)”的個數(shù);

(2)如果把所有的五位“漸升數(shù)”按照從小到大的順序排列,求第110個五位“漸升數(shù)”。

18.(本小題12分)已知(1+mx)n(m∈R,n∈N)的展開式滿足____。

①二項式系數(shù)之和為32;

②含x3項的系數(shù)為80;

③第三項與第四項二項式系數(shù)相等。

從這三個條件中選擇兩個合適的條件補(bǔ)充到橫線處,求解下列問題。

(1)求m,n的值;

(2)求(1+mx)n(1-x)3展開式中含x3的系數(shù)。

19.(本小題12 分)將10 個完全相同的球放入編號為1,2,3,4的4個盒子中。

(1)若要求每個盒子至少放一個球,則一共有多少種放法?

(2)若每個盒子可放任意個球(含0個),則一共有多少種放法?

(3)4號盒子不放球,要求其他3個盒子放的球的個數(shù)都不小于其編號數(shù),則一共有多少種放法?

20.(本小題12分)2022年11月疫情封控期間,某高中高二年級線上學(xué)習(xí),每個班的家長都積極配合,參與到班級管理當(dāng)中,若某班某一天共有8位家長報名參與到當(dāng)天的早讀、上午課堂、下午課堂、晚修的管理,其中1位家長被安排管理早讀,其余7位家長被安排到上午課堂、下午課堂、晚修三個時段管理。

(1)將剩下的7 位家長被安排到上午課堂、下午課堂、晚修三個時段管理,要求每個時段至少有1人,共有多少種不同安排方法?

(2)線上學(xué)習(xí)結(jié)束后,班主任為了感謝這8位家長,召開線上會議對家長表示感謝,若8位家長先后進(jìn)入會議,A、B兩位家長相鄰進(jìn)入會議,且都不是第一個,也不是最后一個進(jìn)入會議,問這8 位家長進(jìn)入會議時間的不同排序方式有多少種。

(3)若n=15,求系數(shù)最大時的項數(shù)。

(2)利用組合及組合數(shù)的定義解釋(1)中公式的實際意義;