■湖北省監(jiān)利市實驗高級中學 黃尚鵬

2022年高考湖南卷第14題以拍籃球為情景,綜合考查動能定理、變力做功、動量定理等主干知識,是一道典型的動量與能量結(jié)合的力學綜合題。這道題(1)(2)問的難度不大,直接利用物理規(guī)律列式求解即可,(3)問需要利用遞推法推導出數(shù)列的通項公式,運用數(shù)學知識求解物理問題。下面深入探究這道力學計算題的求解方法,供同學們參考。

一、對高考原題的分析與解答

題目：如圖1甲所示,質(zhì)量為m的籃球從離地H高度處由靜止下落,與地面發(fā)生一次非彈性碰撞后反彈至離地h的最高處。設(shè)籃球在運動過程中所受空氣阻力的大小是籃球所受重力的λ倍(λ為常數(shù),且0＜λ＜且籃球每次與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比相同,重力加速度大小為g。

(1)求籃球與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比。

(2)若籃球反彈至離地h的最高處時,運動員對籃球施加一個向下的壓力F,使得籃球與地面碰撞一次后恰好反彈至離地h的高度處,力F隨高度y的變化如圖1乙所示,其中h0已知,求F0的大小。

圖1

(3)籃球從離地H高度處由靜止下落后,每次反彈至最高點時,運動員拍擊一次籃球(拍擊時間極短),瞬間給其一個豎直向下、大小相等的沖量I,經(jīng)過N次拍擊后籃球恰好反彈至離地H高度處,求沖量I的大小。

解析：(1)籃球從離地H高度處由靜止下落至地面的過程中,設(shè)籃球與地面碰撞的碰前速率為v前,根據(jù)動能定理得(mg-,解得籃球從與地面發(fā)生一次非彈性碰撞后到反彈至離地h的最高處的過程中,設(shè)籃球與地面碰撞的碰后速率為v后,根據(jù)動能定理得解得v后=因此籃球與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比

說明：由題意知籃球與地面發(fā)生的碰撞為非彈性碰撞,則解得,這與題目中給出的常數(shù)λ的范圍一致。

(2)籃球反彈至離地h的最高處時,運動員對籃球施加一個向下的壓力F,力F隨高度y的變化圖像與橫軸圍成的圖形的面積表示變力F所做的功。籃球從離地h高度處下落至地面的過程中,設(shè)籃球與地面碰撞的碰前速率為v1,根據(jù)動能定理得(mg-λmg)h+籃球再次反彈至離地h高度處的過程中,設(shè)籃球與地面碰撞的碰后速率為v2,根據(jù)動能定理得- (mg+因為籃球每次與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比相同,即所以(mg-λmg)h+,解得F0=

(3)籃球從離地H高度處由靜止下落后,每次反彈至最高點時,運動員拍擊一次籃球,瞬間給其一個豎直向下、大小相等的沖量I,由于拍擊時間極短,重力的沖量可以忽略不計,設(shè)擊球瞬間籃球獲得的速度為v0,選豎直向下為正方向,根據(jù)動量定理得I=mv0,即每次擊球瞬間籃球獲得的速度為定值。如圖2所示,設(shè)籃球從離地H高度處由靜止下落后,第一次反彈至最高點運動員拍擊籃球后,下落過程中的下落高度記為h0=h,著地速率為v1,反彈速率為v1＇,反彈后上升的最大高度為h1;第二次反彈至最高點運動員拍擊籃球后,下落過程中的下落高度為h1,著地速率為v2,反彈速率為v2＇,反彈后上升的最大高度為h2;…;第n次反彈至最高點運動員拍擊籃球后,下落過程中的下落高度為hn-1,著地速率為vn,反彈速率為vn＇,反彈后上升的最大高度為hn。

圖2

第n次反彈至最高點運動員拍擊籃球后,在籃球下落的過程中,根據(jù)動能定理得在籃球反彈后上升的過程中,根據(jù)動能定理得-(mg+籃球與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比解得hn=代入得令,則hn=phn-1+q(n≥1,h0=h),即數(shù)列{hn}為一階線性遞推數(shù)列。求數(shù)列{hn}的通項公式可以采用以下兩種方法。

方法一：構(gòu)造等比數(shù)列法。引入待定常數(shù)α,使hn-α=p(hn-1-α),則hn=phn-1+(1-p)α,對比遞推公式hn=phn-1+q,再令(1 -p)α=q,解得故數(shù)列{hn-α}是以h0-α=h-α為首項,p為公比的等比數(shù)列。因此hn-α=pn(h0-α)=pn(h-α),即hn=pn(h-α)+α。

方法二：累加相消法。將遞推公式hn=phn-1+q(n≥1,h0=h)兩邊同時除以pn得,則,將以上n式相加得,根據(jù)等比數(shù)列求和公式得,則令即,將上式兩邊同時乘以pn得hn=pn(h-α)+α。

已知經(jīng)過N次拍擊后籃球恰好反彈至離地H高度處,即hn=H,代入數(shù)列{hn}的通項公式得(h-α)+α,解得α=又有因此

說明：(3)問要求經(jīng)過N次拍擊后籃球恰好反彈至離地H高度處,即要求運動員每次拍擊籃球后反彈上升的最大高度越來越大,此過程具體是如何實現(xiàn)的呢? 根據(jù)數(shù)列{hn}的通項公式hn=pn(h-α)+α,其中p=＜1 可知,pn是遞減的,要使hn遞增,則需pn的系數(shù)h-α＜0,即要求h＜,解得另外,令n→∞,則pn→0,hn→α=,即當時,運動員每次拍擊籃球后籃球反彈上升的最大高度hn遞增,但hn有極限,不會無限增大。

二、對高考原題的評析

本題(1)問考查動能定理的應(yīng)用(也可以運用運動學公式和牛頓第二定律聯(lián)立求解),(2)問在考查動能定理的基礎(chǔ)上進一步考查計算變力做功的一種常用方法——面積法,即力F隨高度y的變化圖像與橫軸圍成的圖形的面積表示變力F所做的功,(1)(2)兩問都很基礎(chǔ),不偏不怪。(3)問的難度較大,考查了一種重要的數(shù)學方法——遞推法,考查利用數(shù)學知識解決物理問題的能力。所謂遞推法,即當問題中涉及的物理過程較多,且各物理過程具有相同的特點和遵循相同的規(guī)律時,可選取有代表性的任一物理過程分析,得出聯(lián)系相鄰物理過程的相關(guān)物理量的遞推關(guān)系式,再根據(jù)遞推關(guān)系式求解相關(guān)物理量的通項公式,從而達到解決問題目的的一種科學思維方法。構(gòu)造等比數(shù)列法和累加相消法是求遞推數(shù)列通項公式的常用方法,由數(shù)列的遞推公式求通項公式需要抓住遞推數(shù)列的遞推關(guān)系,分析結(jié)構(gòu)特征,進行合理變形。

三、探究籃球自由彈跳過程中運動的總路程

變式探究1：將本題(3)問改為籃球從離地H高度處由靜止下落后,每次反彈至最高點時,讓籃球在空中自由彈跳直到最終靜止于地面上,求籃球自由彈跳過程中運動的總路程。

解析：根據(jù)上述得出的遞推公式hn=可知,若籃球每次反彈至最高點時,運動員并不拍擊籃球,即令v0=0,則hn=(n≥1,h0=h),顯然數(shù)列{hn}是以h0=h為首項,p=＜1為公比的等比數(shù)列。因此hn=pnh0=故籃球在空中自由彈跳過程中運動的總路程s=H+2(h0+h1+h2+…+hn-1+…),根據(jù)等比數(shù)列求和公式得

變式探究2：將本題改為質(zhì)量為m的籃球從離地H高度處由靜止下落,與地面發(fā)生一次彈性碰撞后反彈至離地h的最高處。設(shè)籃球在運動過程中所受空氣阻力的大小恒定,且籃球每次與地面的碰撞為彈性碰撞,求籃球在空中自由彈跳過程中運動的總路程。

解析：籃球從離地H高度處由靜止下落,與地面發(fā)生一次彈性碰撞后反彈至離地h的最高處,設(shè)籃球在運動過程中所受空氣阻力大小為f,對此全過程應(yīng)用動能定理得mg(H-h)-f(H+h)=0,解得f=設(shè)籃球在空中自由彈跳過程中運動的總路程為s,對自由彈跳的全過程應(yīng)用動能定理得mgH-fs=0,解得

說明：變式探究2 與變式探究1 得出的結(jié)果完全相同。事實上用遞推法同樣可以證明變式探究2情形下籃球每次反彈后上升的最大高度仍然是以h0=h為首項,p=為公比的等比數(shù)列,因此籃球在這兩種自由彈跳過程中運動的總路程相同。

證明：籃球第n次反彈至最高點后,在籃球下落的過程中,根據(jù)動能定理得(mgf)hn-1=在籃球反彈后上升的過程中,根據(jù)動能定理得-(mg+f)hn=0-若籃球每次與地面的碰撞為彈性碰撞,則vn＇=vn,聯(lián)立以上各式解得hn=,將代入得hn=