湖北省天門中學(xué) 白敦亮

概率統(tǒng)計(jì)的壓軸題經(jīng)常以決策判斷的開放性問題來巧妙設(shè)置,全面考查數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng),以及創(chuàng)新意識(shí),從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行科學(xué)創(chuàng)新與判斷,為決策或判斷提供理論支持。

一、概率統(tǒng)計(jì)中的決策問題

例1某蛋糕店計(jì)劃按天生產(chǎn)一種面包,每天生產(chǎn)量相同,生產(chǎn)成本每個(gè)6 元,售價(jià)每個(gè)8元,未售出的面包降價(jià)處理,以每個(gè)5元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完,該蛋糕店記錄了30天這種面包的日需求量(單位:個(gè)),整理得表1:

表1

(1)若該蛋糕店一天生產(chǎn)30 個(gè)這種面包,以記錄了30天的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天的利潤不少于60元的概率。

(2)該蛋糕店想提高該面包的銷售利潤,員工甲和乙分別提出兩種方案。甲的方案:保持一天生產(chǎn)30個(gè)這種面包;乙的方案:加大產(chǎn)量一天生產(chǎn)31個(gè)這種面包。

根據(jù)以上30 天日需求量的日平均利潤來決策哪一種方案收益更好。

解析：(1)當(dāng)天需求量n＜30 時(shí),當(dāng)天的利潤y=8n+5(30-n)-6×30=3n-30,當(dāng)天需求量n≥30時(shí),當(dāng)天的利潤y=8×30-6×30=60,故當(dāng)天的利潤y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式為N*。則日利潤表為表2:

表2

故當(dāng)天的利潤不少于60 元的概率P=

表3

點(diǎn)評(píng):根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)中的相關(guān)知識(shí)來對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的具體方案進(jìn)行決策,是此類壓軸題中比較常見的類型,關(guān)鍵是抓住概率或統(tǒng)計(jì)中相關(guān)的變量及對(duì)應(yīng)的幾何意義來解答。

二、概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的交匯問題

例2為有效防控新冠疫情從境外輸入,中國民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8日起實(shí)施航班熔斷機(jī)制,即航空公司同一航線航班,入境后核酸檢測結(jié)果為陽性的旅客人數(shù)達(dá)到一定數(shù)量的民航局對(duì)其發(fā)出“熔斷”指令,暫停該公司該航線的運(yùn)行(達(dá)到5個(gè)暫停運(yùn)行1周,達(dá)到10個(gè)暫停運(yùn)行4周),并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調(diào)整用于其他航線,“熔斷期”結(jié)束后,航空公司方可恢復(fù)每周1班航班計(jì)劃。已知某國際航空公司A航線計(jì)劃每周有一次航班入境,該航線第一次航班被熔斷的概率是,且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是,未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是。一條航線處于“熔斷期”的原計(jì)劃航班不記入該航線的航班次數(shù),記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為pn。

(1)求p2;

(3)求數(shù)列{pn}的前n項(xiàng)和Tn,并說明Tn的實(shí)際意義。

點(diǎn)評(píng):該題是以概率或統(tǒng)計(jì)知識(shí)為背景,利用數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式或遞推公式、求和公式等來綜合應(yīng)用,借助研究數(shù)列相關(guān)知識(shí),反饋概率統(tǒng)計(jì)中的方案決策等實(shí)際應(yīng)用問題。

三、統(tǒng)計(jì)與線性回歸分析的交匯問題

例32022年6月的某一周,“東方甄選”直播間的交易額共計(jì)3.5億元,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表4:

表4

(1)通過分析,發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)(系數(shù)精確到0.01)加以說明;

(2)利用最小二乘法建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.1),并預(yù)測下一周的第一天(即第8天)的交易額。

因?yàn)榻灰最~y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.98,說明交易額y與t具有很強(qiáng)的正線性相關(guān),從而可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關(guān)系。

點(diǎn)評(píng):對(duì)于此類線性回歸方程問題的求解,可以借助統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)分析,合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的線性回歸模型,結(jié)合對(duì)應(yīng)的信息加以合理的決策、預(yù)測或判斷。

預(yù)計(jì)今后高考對(duì)概率統(tǒng)計(jì)中的創(chuàng)新性問題的考查,主要是以實(shí)際生活為背景的統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與概率的綜合,這符合新課標(biāo)對(duì)應(yīng)用性考查的要求。