河北省廊坊市第一中學(xué) 楊明

通過(guò)對(duì)近幾年高考試卷的研究,發(fā)現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)模塊的考查更注重在數(shù)學(xué)知識(shí)交匯處命題,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合性與應(yīng)用性。解答題中對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)的考查,新高考數(shù)學(xué)試題朝著“重視基礎(chǔ)、強(qiáng)調(diào)綜合、體現(xiàn)應(yīng)用與著力創(chuàng)新”等特點(diǎn)的命題方向發(fā)展。

一、強(qiáng)調(diào)綜合

“綜合性”主要體現(xiàn)在概率統(tǒng)計(jì)模塊的知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)之間的綜合與應(yīng)用,特別是與函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等知識(shí)的交匯,同時(shí)與其他學(xué)科及數(shù)學(xué)思想方法的綜合。

例1數(shù)據(jù)顯示,中國(guó)直播購(gòu)物規(guī)模近幾年保持高速增長(zhǎng)態(tài)勢(shì),而直播購(gòu)物中的商品質(zhì)量問(wèn)題逐漸成為人們關(guān)注的重點(diǎn)。已知某顧客在直播電商處購(gòu)買(mǎi)了n(n∈N*)件商品。

(1)若n=10,且買(mǎi)到的商品中恰好有2件不合格品,該顧客等可能地依次對(duì)商品進(jìn)行檢查。求顧客檢查的前4件商品中不合格品件數(shù)X的分布列。

(2)抽檢中發(fā)現(xiàn)直播電商產(chǎn)品不合格率為0.2。若顧客購(gòu)買(mǎi)的n件商品中,至少有2件合格產(chǎn)品的概率不小于0.998 4,求n的最小值。

解析：(1)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2。

所以X的分布列為表1。

表1

(2)記“顧客購(gòu)買(mǎi)的n件商品中,至少有2件合格產(chǎn)品”為事件A,則P(A)=1-0.2n,由題意可知1-(1+4n)×0.2n≥0.998 4,所以(1+4n)×0.2n≤0.001 6,即(1+4n)×0.2n-4≤1。

設(shè)f(n)=(1+4n)×0.2n-4,則f(n+1)-f(n)=(5+4n)×0.2n-3-(1+4n)×0.2n-4=-16n×0.2n-3＜0,所以f(n+1)＜f(n),因?yàn)閒(5)=21×0.2=4.2＞1,f(6)=25×0.04=1,所以當(dāng)n≥6 時(shí),f(n)≤1成立,所以n的最小值為6。

點(diǎn)評(píng):借助超幾何分布的計(jì)算、分布列的確定及概率中最值問(wèn)題的應(yīng)用等,將概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)與函數(shù)等相關(guān)知識(shí)加以綜合?！熬C合性”不是數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法等的“大雜燴”,而是借助創(chuàng)新情境來(lái)合理創(chuàng)設(shè),充分把學(xué)科間、知識(shí)間、思想方法間的不同要素加以綜合與聯(lián)系。

二、體現(xiàn)應(yīng)用

“應(yīng)用性”的要求主要體現(xiàn)在同學(xué)們能夠以生產(chǎn)生活情境中的實(shí)際問(wèn)題,融入閱讀能力,學(xué)科綜合,應(yīng)用意識(shí)等,借助數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模,綜合邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理的判斷、識(shí)別與決策。

例2數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)組成部分,數(shù)學(xué)建模能力是應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的重要表現(xiàn)。為全面推動(dòng)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的開(kāi)展,某學(xué)校舉行了一次數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)。已知該競(jìng)賽共有60名學(xué)生參加,他們成績(jī)的頻率分布直方圖如圖1所示。

圖1

(1)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,將60分以下的成績(jī)定為不合格,60分以上的成績(jī)定為合格。為科學(xué)評(píng)估該校學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平,決定利用分層隨機(jī)抽樣的方法從這60名學(xué)生中選取10人,然后從這10人中抽取4人參加座談會(huì)。記ξ為抽取的4人中成績(jī)不合格的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望。

(2)已知這60名學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽成績(jī)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ可用樣本平均數(shù)近似代替,σ2可用樣本方差近似代替(用一組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作代表),若成績(jī)?cè)?6分以上的學(xué)生均能得到獎(jiǎng)勵(lì),本次數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽滿分為100分,試估計(jì)此次競(jìng)賽受到獎(jiǎng)勵(lì)的人數(shù)。(結(jié)果根據(jù)四舍五入保留到整數(shù)位)

附:若X～N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3。

解析：(1)由頻率分布直方圖和分層抽樣的方法,可知抽取的10 人中合格的人數(shù)為(0.01+0.02)×20×10=6,不合格的人數(shù)為10-6=4,故ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4。

故ξ的分布列為表2:

表2

(2)由題意可知,μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64。

σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18。

由X服從正態(tài)分布N(64,182),可得P(64-18＜X≤64+18)=P(46＜X≤82)≈0.682 7,則0.682 7)≈0.158 65,P(X＞46)≈0.682 7+0.158 65=0.841 35,60×0.841 35≈50。

所以此次競(jìng)賽受到獎(jiǎng)勵(lì)的人數(shù)為50。

點(diǎn)評(píng):綜合頻率分布直方圖、分層抽樣、正態(tài)分布、隨機(jī)變量的期望與方差等,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用。高考試題設(shè)計(jì)注重實(shí)際應(yīng)用,借助概率統(tǒng)計(jì)的分析結(jié)果,合理作出相應(yīng)的科學(xué)決策。

三、著力創(chuàng)新

“創(chuàng)新性”的要求主要體現(xiàn)在同學(xué)們要具有獨(dú)立思考能力,具備批判性和創(chuàng)新性等思維方式。高考概率統(tǒng)計(jì)模塊的試題經(jīng)常通過(guò)創(chuàng)新情境的探究性或開(kāi)放性來(lái)設(shè)置,或探究應(yīng)用,或開(kāi)放結(jié)論,全面發(fā)展同學(xué)們的個(gè)性,并有效增強(qiáng)其創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用。

例3空氣質(zhì)量指數(shù)AQI與空氣質(zhì)量等級(jí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表3所示:

表3

某場(chǎng)館記錄了一個(gè)月(30天)的情況,如表4所示:

表4

(1)利用表4,估算該場(chǎng)館日平均AQI的值。(利用這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值來(lái)代表對(duì)應(yīng)組中的數(shù)據(jù))

(2)如果把頻率視為概率,且每天空氣質(zhì)量之間相互獨(dú)立,求未來(lái)一周(7 天)中該場(chǎng)館至少有兩天空氣質(zhì)量等級(jí)達(dá)到“優(yōu)或良”的概率。(參考數(shù)據(jù):0.77≈0.082 4,結(jié)果精確到0.01)

(3)為提升空氣質(zhì)量,該場(chǎng)館安裝了2套相互獨(dú)立的大型空氣凈化系統(tǒng)。已知每套凈化系統(tǒng)一年需要更換濾芯數(shù)量情況如表5所示:

表5

已知廠家每年年初有一次濾芯促銷活動(dòng),促銷期內(nèi)每個(gè)濾芯售價(jià)1千元,促銷期結(jié)束后每個(gè)濾芯恢復(fù)原價(jià)2千元。該場(chǎng)館每年年初先在促銷期購(gòu)買(mǎi)n(n≥8,且n∈N*)個(gè)濾芯,如果不夠用,則根據(jù)需要按原價(jià)購(gòu)買(mǎi)補(bǔ)充。試問(wèn):該場(chǎng)館年初促銷期購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)濾芯,使當(dāng)年購(gòu)買(mǎi)濾芯的總花費(fèi)最合理? 請(qǐng)說(shuō)明理由。(不考慮往年剩余濾芯和下一年需求)

解析：(1)由題得125×15+175×6)=115。

(2)一個(gè)月30天中達(dá)到優(yōu)或良的天數(shù)為9,空氣質(zhì)量等級(jí)達(dá)到優(yōu)或良的概率為,所以未來(lái)一周(7 天)中該場(chǎng)館至少有兩天空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)或良的概率為0.3×0.76-0.77≈0.67。

(3)按照這個(gè)數(shù)據(jù),每年需要6 到10 個(gè)濾芯,也就是n=8,9,10,假設(shè)需要為Z,則P(Z=10)=0.5×0.5=0.25,P(Z=9)=0.5×0.3×2=0.3,P(Z≤8)=1-0.25-0.3=0.45,那么當(dāng)n=8 時(shí),會(huì)有花費(fèi)Cn=8的分布為P(Cn=8=1 000n)=P(Z≤8)=0.45,P(Cn=8=1 000n+2 000)=P(Z=9)=0.3,P(Cn=8=1 000n+4 000)=P(Z=10)=0.25,均值E(Cn=8)=0.45×8 000+0.3×10 000+0.25×12 000=9 600,同理算出E(Cn=9)=(0.45+0.3)×9 000+0.25×11 000=9 500,E(Cn=10)=10 000,故買(mǎi)9個(gè)最劃算。

點(diǎn)評(píng):依據(jù)概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)中的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,作出合理的決策,考查了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)和創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí)。設(shè)問(wèn)的開(kāi)放性、答題的多樣性,以及根據(jù)統(tǒng)計(jì)的意義作決策是本題的亮點(diǎn)。

概率統(tǒng)計(jì)模塊的解答題更加貼近生活實(shí)際,以實(shí)際應(yīng)用情境來(lái)設(shè)置相應(yīng)問(wèn)題,同時(shí)情境更加接近于同學(xué)們的日常生活,數(shù)學(xué)應(yīng)用模型更加合理與科學(xué),注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的有機(jī)融合與交匯等。