華 程

（泰州學院數(shù)理學院，江蘇 泰州 225300）

引 言

確定橢圓曲線的整數(shù)點是數(shù)論和算術代數(shù)幾何學的重要問題之一。有關這方面的理論研究成果在現(xiàn)代科技中有著廣泛的應用[1-4]。其中一類典型的橢圓曲線是E(m)，即

式中m為正整數(shù)。

關于式(1)的橢圓曲線整數(shù)點問題，已經(jīng)引起了相關領域?qū)W者的廣泛關注。比如，Zagier[5]提出了橢圓曲線E(31)的整數(shù)點問題。Zhu等[6]運用代數(shù)數(shù)論和p-adic 分析方法找出了E(31)的全部整數(shù)點。吳華明[7]運用有關Pell 方程和二元四次Diophantine 方程的解的性質(zhì)對式(1)的整數(shù)點問題進行研究，發(fā)現(xiàn)當m= 31 時，式(1)僅有整數(shù)點(x,y) =(2,0) 和(28 844 402, ±154 914 585 540 )。管訓貴[8]在文獻[7]的基礎上進一步證明了：若m= 36s2- 5（文獻[7]中“m=p為素數(shù)”這一條件可去除），這里s是使12s2+1 以及6s2- 1 均為素數(shù)的正奇數(shù)，則對于式(1)當m= 31 時 ，僅 有 整 數(shù) 點 (x,y) =(2,0) 和(28 844 402, ±154 914 585 540 )；當m≠31 時，僅有整數(shù)點(x,y) =(2,0)，從而推廣了上述結(jié)果。

本文運用初等數(shù)論方法，對m= 2361 給出了式(1)的全部整數(shù)點，即證明了

定理1橢圓曲線

僅有整數(shù)點(x,y) =(2,0)。

1 若干引理

引理1[9]設是不定方程u2-Dv2=-M(M為正整數(shù))的某結(jié)合類k的基本解是Pell方程x2-Dy2= 1的基本解，則有

引理2不定方程

無整數(shù)解。

證明因為Pell 方程x2- 23y2= 1 的基本解是根 據(jù) 引 理1，若u1+是式(3) 的某結(jié)合類的基本解，則有。但v1= 1,2,…,35，均不適合式(3)，故式(3)無整數(shù)解。證畢。

引理3不定方程

無整數(shù)解。

證明因為Pell 方程x2- 103y2= 1 的基本解是

但v1= 1,2,…,1614，均不適合式(4)，故式(4)無整數(shù)解。證畢。

引理4[9]設是不定方程u2-Dv2=M(M為正整數(shù))的某結(jié)合類k的基本解是Pell 方 程x2-Dy2= 1 的 基 本 解，則 有0 ≤v1≤

引理5[10]設D> 0且非平方數(shù)，則不定方程

至多有2 組正整數(shù)解。若該方程恰有2 組正整數(shù)解，則 當D=24s× 1785，s∈{0,1} 時，(x1,y1)=(169,21-s) 且(x2,y2)=(6 525 617 281,21-s× 6214)；當這里(un,vn)是Pell 方程U2-DV2= 1 的正整數(shù)解。

引理6[11]若式(5)僅有1組正整數(shù)解(x,y)，且正整數(shù)n適合(x,y2)=(un,vn)，則當n是偶數(shù)時，必有n= 2；當n是奇數(shù)時，必有n= 1 或p，這里p是適合p≡3(mod4) 的 奇 素 數(shù)，(un,vn) 是Pell 方 程U2-DV2= 1的正整數(shù)解。

引理7不定方程

無整數(shù)解。

證明根據(jù)引理5，式(6)至多有1 組正整數(shù)解。因為Pell 方程u2- 9476v2= 1 的基本解是u1+設(un,vn)是Pell 方程u2- 9476v2= 1 的任一正整數(shù)解，若式(6)有正整數(shù)解，則必有正整數(shù)n，使得

成立。

容易驗證下列關系成立：

利用式(8)對式(7)取模16 得剩余序列的周期為4，即：0, 4, 8, 12, … ，且 當n≡3(mod4) 時，Y2≡12(mod16)， 不 可 能 ； 又n= 1 時 ，Y2=v1=49 276 704 942 705 268，也不可能。故 2|n。根據(jù)引理6，必有n= 2。因此由式(7)可得

但gcd(u1,v1)= 1，此時無正整數(shù)解Y適合式(9)，故式(6)無整數(shù)解。證畢。

2 定理1的證明

設(x,y)是式(2)的任意整數(shù)點。將式(2)的右邊分解因式得

因為x2+ 2x+ 2361 =(x+ 1)2+2360 > 0，所以由式(10)知x≥2。當x= 2 時，可得式(2)的整數(shù)點為(x,y) =(2,0)。以下僅需考慮x> 2的情況。

令d= g cd(x- 2,x2+ 2x+ 2361)， 則d=g cd(x- 2, 2369) = g cd(x+ 2, 23 × 103) =1 或23 或103或2369。以下對這4種情形進行討論。

情形1若d= 1，由式(10)可知，存在正整數(shù)a,b，使得

由 式 (11) 中 第 二 個 等 式 可 得b2-(x+ 1)2= 2360，即(b+x+ 1)(b-x- 1) = 23×5 × 59。解 之 得x= 48 或x= 112 或x= 292 或x=588。代入式(2)驗證均不滿足，故此情形式(2)無整數(shù)點。

情形2若d= 23，由式(10)可知，存在正整數(shù)a,b，使得

由式(12)中前兩個等式可得

令u= 23a2+ 3，v=b，則式(13)成為

根據(jù)引理2，式(14)無整數(shù)解，故此情形式(2)無整數(shù)點。

情形3若d= 103，由式(10)可知，存在正整數(shù)a,b，使得

由式(15)中前兩個等式可得

令u= 103a2+ 3，v=b，則式(16)成為

根據(jù)引理3，式(17)無整數(shù)解，故此情形式(2)無整數(shù)點。

情形4若d= 2369，由式(10)可知，存在正整數(shù)a,b，使得

由式(18)中前兩個等式可得

若2|a，則 由 式(19)可 知，(3a2+ 1)2≡0(mod16)，a4≡1(mod16)，而2360 ≡0(mod8)，故8|b2，從 而4|b。此時對式(19)取模16，有8 ≡0(mod16)，不可能。因此2|a。 令a= 2c，這里c為正整數(shù)，代入式(19)可得

將式(20)整理得

再 令l= g cd(b+ 12c2+ 1,b- 12c2- 1)。 由式(20)可知，12c2+ 1 與b必同為奇數(shù)，故2|l。假設必 有 素 因 數(shù)p。 由 于l|2b且l|2(12c2+ 1)，故由式(20)知，p是適合p|b，p|(12c2+ 1)以及p2|37 760c4的奇素數(shù)。因為37 760 = 27× 5 ×59，故p|c。但 這 與p|(12c2+ 1) 矛 盾。由 此 可知，l= 2。

由式(21)可知，存在正整數(shù)f、g和t，使得

這里t= 2,10,64,118,320,590,3776或18 880。

下面分別討論以上8種情況。

1）當t= 2時，將式(22)中的前兩式相減得

由式(23)可知,2 ?g。但此時1 ≡-1(mod4)，矛盾。因此式(23)不成立。

2）當t= 10時，將式(22)中前兩式相減得

由式(24)可知,2 ?g。但此時1 ≡-1(mod4)，矛盾。因此式(24)不成立。

3）當t= 64時，將式(22)中的前兩式相減得

由式(25)結(jié)合c=fg整理得

令X= |295f2- 6g2|，Y=g，則式(26)成為

對式(27)取模23，有X2≡19(mod23)，但此時-1，不可能，故此情形式(2)無整數(shù)點。

4）當t= 118時，將式(22)中的前兩式相減得

由式(28)可知,2 ?g。但此時1,13 ≡5(mod16)，矛盾。因此式(28)不成立。

5）當t= 320時，將式(22)中的前兩式相減得

由式(29)可知，2 ?f。但此時1 ≡-1(mod4)，矛盾。因此式(29)不成立。

6）當t= 590時，將式(22)中的前兩式相減得

由式(30)可知，2 ?g。但此時1,13 ≡-7(mod16)，矛盾。因此式(30)不成立。

7）當t= 3776時，將式(22)中的前兩式相減得

由式(31)可知，2 ?f。但此時1,13 ≡5(mod16)，矛盾。因此式(31)不成立。

8）當t= 18 880時，將式(22)中的前兩式相減得

將c=fg代入式(32)整理得

令X= |f2- 6g2|，Y=g，則式(33)成為

根據(jù)引理7，式(34)無整數(shù)解，故此情形式(2)無整數(shù)點。

綜上，式(2)僅有整數(shù)點(x,y) =(2,0)。證畢。