羅春蓮

（廈門海洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院航海學(xué)院，福建 廈門 361012）

畸形波是一種具有大波高、能量高度集中的波浪[1]。發(fā)生時(shí)將嚴(yán)重破壞海洋結(jié)構(gòu)物，嚴(yán)重威脅著人們的生命安全?？茖W(xué)家們開始致力于對(duì)畸形波的研究，并取得了豐碩的成果。Mori等人[2]基于YURA港的波浪數(shù)據(jù)，分析得到畸形波波高與有義波高的最大比值約為2.6；Sand 等人[3]基于北海的波浪數(shù)據(jù)，分析得到畸形波波高與有效波高的最大比值約為2.9。

現(xiàn)階段有關(guān)有限水深和深水畸形波的規(guī)律研究多從B-F 不穩(wěn)定性出發(fā)。Whitham[4]基于B-F 不穩(wěn)定性推導(dǎo)了守恒型方程，Chu 等人[5]修正了Whitham 方程。Osborne 等人[6]基于三階非線薛定諤方程研究畸形波，結(jié)果表明畸形波是以B-F 不穩(wěn)定性模式存在的。張運(yùn)秋[7]改用4 階NLS 方程，并基于偽譜法，對(duì)畸形波進(jìn)行數(shù)值模擬，模擬了更大波陡的畸形波。

上述研究表明，三階性薛定諤可較好地描述畸形波的演化過(guò)程。為更簡(jiǎn)便地對(duì)非線性方程進(jìn)行研究，避免使用理論方法研究非線性方程的困難性[8]。本文主要通過(guò)數(shù)值求解NLS 方程，探討了畸形波生成前后的演化過(guò)程，揭示了畸形波的演化規(guī)律及頻率規(guī)律。

1 NLS 方程

作為本文研究的理論背景，對(duì)三階非線性薛定諤方程的推導(dǎo)作闡述[9]。連續(xù)性條件：

動(dòng)力學(xué)邊界條件：

運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件：

水底邊界條件：

有限水深條件，式（4）轉(zhuǎn)化為以下形式：

方程（4）和（5）依據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開，展開到三階。

引入尺度變量：

φ和η以ε的展開為：

多尺度展開如下：

將式（9）、（10）和（11）代入式（1）、（2）、（3）和（4）中，推導(dǎo)得式（12）和（13）。

其中，∣A∣為復(fù)波包，φ10為平均流勢(shì)。

當(dāng)?/?y1=0 時(shí)，可得如下三階非線性薛定諤方程（NLSE）：

本文采用偽譜方法求解NLS 方程，其中，偽譜法隱含了周期為2π的空域，周期性條件如下：

A(t,x)的傅里葉變換及逆變換（0＜t＜2π）如下所示：

2 呼吸子解畸形波演化的數(shù)值模擬

基于呼吸子解畸形波[1（0]式24），對(duì)NLSE數(shù)值求解，研究畸形波在有限水深的演化過(guò)程。

其中，td表示無(wú)因次時(shí)間。

圖1 畸形波的復(fù)波包絕對(duì)值

圖1 給出了2 種算例下畸形波復(fù)波包絕對(duì)值在不同時(shí)刻的演化過(guò)程。研究表明：在有限水深下，畸形波生成時(shí)，波高瞬間增大；畸形波消失時(shí)，波高瞬間減小，生成和消失具有快速性；算例1中，初始波幅為0.1時(shí)，最大波幅約為0.3，算例2 中，初始波幅為0.3 時(shí)，最大波高約為0.9，2 個(gè)算例皆表面畸形波生成時(shí)刻，最大波幅約為平均波幅的3 倍，這也與其他學(xué)者研究的相對(duì)應(yīng)。

3 畸形波的時(shí)頻能量研究

基于上述2 種算例的數(shù)值模擬，結(jié)合小波變化，進(jìn)一步研究畸形波從生成到消失過(guò)程中，開始位置（x1=-100），聚焦位置（x2=0），消散位置（x3=100）的能量和頻率變化。

算例1 與算例2 的能量特征分析表明：畸形波生成前（x1=-100），能量較小，畸形波生成處（x2=0），能量增大，畸形波消失處（x3=100），能量減??；算例2 的初始波幅是算例1 的3 倍，而算例2 譜峰度最大值是算例1 的7 倍，這表明初始波幅越大，畸形波生成時(shí)的能量越大。

同時(shí)，算例1 與算例2 的時(shí)頻特征分析表明：畸形波生成前（x1=-100）、畸形波生成處（x2=0）和畸形波消失處（x3=100），波浪能量始終集中在f=0.5Hz 處，頻率無(wú)變化。

4 結(jié)語(yǔ)

1.本文基于偽譜法，通過(guò)傅里葉變換和逆變換，將非線性NLS 方程簡(jiǎn)化為離散化的常微分方程組，實(shí)現(xiàn)方程的求解，并進(jìn)一步研究呼吸子解畸形波在有限水深中的演化規(guī)律和時(shí)頻能量特征。

2.研究表明：在有限水深下，畸形波生成時(shí)，波高瞬間增大；畸形波消失時(shí)，波高瞬間減小，生成和消失具有快速性；畸形波生成時(shí)刻，最大波幅約為平均波幅的3 倍，時(shí)頻能量譜顯示能量集中程度隨波高的增大而增大，畸形波消失時(shí)，能量集中程度隨波高的減小而減小，但波浪能量始終集中在f=0.5Hz 處，頻率無(wú)變化。