［摘? 要］ 以數(shù)學文化為線索設計“復數(shù)”復習課教學，通過復數(shù)的代數(shù)表示、幾何表示和三角表示等內容建立代數(shù)、幾何、三角等不同領域知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的綜合能力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

［關鍵詞］ HPM；復數(shù)；教學設計；高三復習課

作者簡介：方倩（1993—），碩士研究生，中學一級教師，主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育研究，曾獲華東師范大學基礎教育學科教研聯(lián)盟高中教師教學比賽一等獎、華東師范大學研究生國家獎學金.

設計背景與思路

2018年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出，“在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數(shù)學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數(shù)學在科學技術、社會發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養(yǎng).”［1］教育部考試中心發(fā)布的《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》增加了對數(shù)學文化的要求［2］.

復習課是一種常見的課型，它的特點是知識的系統(tǒng)化和遷移訓練，歸納梳理所學知識，從而在認知結構中形成結構化的知識系統(tǒng)，同時靈活運用所掌握的知識去解決相關問題. 高三的復習課不是簡單的知識回顧，而是使學生的認知水平、數(shù)學能力和素養(yǎng)能夠螺旋上升的復習. 在新課標和高考改革的背景下，在高三專題復習課中以數(shù)學知識作為載體適當巧妙地融入數(shù)學文化，以深化理解作為目標，有助于提升學生的綜合能力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

復數(shù)歷史與應用，展現(xiàn)了數(shù)學學科發(fā)展的動態(tài)性，蘊含著豐富的數(shù)學文化. 復數(shù)的代數(shù)表示、幾何表示和三角表示等內容建立了代數(shù)、幾何、三角等不同領域知識之間的聯(lián)系［3］，體現(xiàn)了數(shù)學內部的普遍關系. 但學習復數(shù)知識后，很多學生認為復數(shù)的代數(shù)形式和復數(shù)的幾何形式是完全不同的兩個概念，且兩者之間沒有關系［4］. 大部分學生能夠解答與高考卷類似的試題，卻無法舉一反三，不能靈活運用學過的復數(shù)幾何形式解答題目，沒有真正理解復數(shù)概念［5］.

鑒于此，筆者基于學生的認知特點，結合高中數(shù)學課程標準的要求，以數(shù)學文化為線索設計“復數(shù)”復習課教學. 擬定教學目標如下：①通過知識回顧，在歷史脈絡中整體性掌握和鞏固復數(shù)的代數(shù)表示、幾何意義和四則運算等基礎知識；②運用復數(shù)知識解決解析幾何等數(shù)學問題，辨析復數(shù)與向量的聯(lián)系與區(qū)別，體會數(shù)學知識間的普遍關系；③了解復數(shù)的三角表示，以及復數(shù)知識與其他學科知識之間的聯(lián)系，感受數(shù)學文化，體會復數(shù)的學科意義與應用價值.

教學設計與實施

教學設計思路如圖1所示.

1. 回溯歷史，夯實基礎

上課伊始，教師播放微視頻帶領學生回顧數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入過程，復習復數(shù)的代數(shù)表示.

師：從視頻中數(shù)系的擴充，可以發(fā)現(xiàn)復數(shù)分為哪兩大類？

生1：實數(shù)和虛數(shù).

師：實數(shù)又可分為什么？虛數(shù)呢？

生2：有理數(shù)和無理數(shù)；純虛數(shù)和非純虛數(shù).

PPT上同步呈現(xiàn)知識點.

師：我們是用怎樣的代數(shù)形式來表示復數(shù)的呢？

生3：z=a+bi.

師：其中a，b都為實數(shù). a叫做復數(shù)z的實部，b叫做復數(shù)z的虛部. 實部和虛部分別記作什么呢？

生4：實部a記作Re（z），虛部b記作Im（z）.

師：非常好！虛部Im是“虛數(shù)”（imaginary number）英語單詞的前兩個字母. 17世紀法國數(shù)學家笛卡兒（R. Descartes，1596—1650）將虛數(shù)稱為“想象中的數(shù)”. 歷史上，最早給復數(shù)幾何解釋的應該是英國數(shù)學家沃利斯（J.Wallis，1616—1703），今天給我們看到圖形表示的是挪威測量員韋塞爾（C.Wessel，1745—1818）.

教師通過微視頻呈現(xiàn)復數(shù)幾何意義的相關史料，讓學生體驗復數(shù)從代數(shù)表示到幾何表示的過程，接受復數(shù)幾何意義的產(chǎn)生.

師：復數(shù)產(chǎn)生以后，因為無法實際表示，數(shù)學家還沒有接受虛數(shù)的存在. 因此，想要接受復數(shù)，就要知道其幾何表示. 我們知道實數(shù)可以在一維的數(shù)軸中表示出來，那么復數(shù)可以表示在數(shù)軸上嗎？如果不可以，我們應該如何操作呢？

生5：再添加一條軸.

師：非常好！韋塞爾為了解決平面與球面多邊形的問題，在實軸的基礎上添加了一條虛軸. 復數(shù)的幾何表示最終是由高斯（C. F. Gauss，1777—1855）完善的. 高斯不僅將復數(shù)表示為復平面上的一點，而且闡述了復數(shù)的幾何加法與乘法.

師：復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）可由有序實數(shù)對（a，b）唯一確定，若將此放在直角坐標系中，可看作什么？

師：非常棒！也就是說將集合A表示的圖象先擴大倍，再逆時針旋轉45°，就可以得到集合B表示的圖象. 可見，用三角形式解決復數(shù)相乘問題就很簡便了.

說明 例4旨在引入復數(shù)三角表示的應用. 通過復數(shù)的三角表示及幾何運算從新的幾何角度切入，能更快更好地解決此類題目，并在復習過程中通過其運算意義，加強學生理解復數(shù)的幾何意義. 除此之外，從代數(shù)角度切入，亦可解決本題，將其作為學生的課后作業(yè)，讓學生在解決過程中對比上述兩種方法，深刻體會復數(shù)三角表示的便利以及復數(shù)的本質.

高中數(shù)學課程標準將“復數(shù)”置于必修課程主題三“幾何與代數(shù)”內，要求學生掌握復數(shù)的表示、運算與幾何意義；復數(shù)的三角表示作為新增的選學內容，將平面向量、三角函數(shù)、解析幾何與復數(shù)完美地融合在一起，使學生進一步體會到幾何與代數(shù)之間的密切關系［6］.

4. 課堂小結，感悟價值

教師帶領學生從知識層面、思想方法層面和情感價值層面小結本節(jié)課.

（1）知識層面：以史為線，帶領學生復習復數(shù)的代數(shù)表示、幾何表示與三角表示，聯(lián)絡解析幾何、向量以及三角函數(shù)等知識，形成并完善數(shù)學知識網(wǎng)絡；（2）思想方法層面：融入數(shù)形結合思想、轉化思想；（3）情感價值層面：復數(shù)并不是虛無縹緲的數(shù)，現(xiàn)今已被廣泛應用于流體力學、信號分析等學科. 在復數(shù)的基礎上，數(shù)學家哈密頓構造了四元數(shù)模型，從而產(chǎn)生了物理學中著名的麥克斯韋方程，陳省身說道：“沒有復數(shù)，便沒有電磁學，便沒有量子力學，便沒有近代文明. ”讓學生了解數(shù)系為何擴充，復數(shù)在電磁學、量子力學等領域的價值，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情.

最后，小結時學生給出了令人驚喜的回答：“數(shù)系從實數(shù)系擴充至復數(shù)系的過程，就如世界觀決定方法論，掌握的知識不一樣，解決的問題也就不同了. ”

結語

本節(jié)課以史為線重構復數(shù)的發(fā)展歷程. 首先，運用附加式展示復數(shù)的歷史微視頻，回顧數(shù)系擴充過程，帶領學生復習復數(shù)的相關概念，使學生自己發(fā)現(xiàn)復數(shù)與實數(shù)的異同，揭示復數(shù)的二元性；其次，運用順應式介紹歐拉公式，引導學生自主探索復數(shù)的三角表示以及四則運算規(guī)律.

用復數(shù)的幾何意義將解析幾何、向量和三角等知識有機聯(lián)系在一起，構建知識之諧；以兩個微視頻為載體，帶領學生走過復數(shù)發(fā)展、完善兩個階段，介紹著名的歐拉公式，感受數(shù)學的博大精深，展示數(shù)學文化之魅；結合三角內容的復習，探究復數(shù)的三角表示，讓學生體會探究之樂；從復數(shù)的代數(shù)表示、幾何意義和三角表示的角度去解決例題，產(chǎn)生不同的解題方法（一題多解），培養(yǎng)學生探究與解決問題的能力，體現(xiàn)方法之美；在例題的講解中，用復數(shù)的向量表示和三角表示解決問題，發(fā)展學生數(shù)學運算、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)，同時提升運用轉化思想與數(shù)形結合思想解決問題的能力；學生在復數(shù)的發(fā)展過程中，數(shù)系的擴充一步步解決了小的數(shù)系中不能解決的問題，培養(yǎng)學生勇于探索的精神，體現(xiàn)德育之效.

復數(shù)復習課建立在學生對復數(shù)知識有一定了解的基礎上，但是對復數(shù)實際意義、本質的理解還浮在表面上. 本節(jié)課總體上完成了教學目標，學生對復數(shù)的代數(shù)表示和幾何表示能建立起一定的聯(lián)系，并能轉化為解析幾何問題求解；通過探究復數(shù)的三角表示，深化理解復數(shù)概念；數(shù)學史的融合給復習課注入了新鮮的血液，數(shù)學的動態(tài)發(fā)展讓學生感受到數(shù)學文化的魅力，激勵學生遇到困難時能站在更高的角度去思考問題. 在教學中，欲借助歷史來設計課堂探究，需要對數(shù)學史料有深刻的理解和把握.作為教師，須知其然也應知其所以然，路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索，幫助學生突破原有桎梏，真正理解并接受復數(shù).

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）［Ｍ］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 教育部考試中心. 關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知［EB/OL］. （2016-09-26）［2021-04-01］.

［3］ 汪曉勤，沈中宇. 數(shù)學史與高中數(shù)學教學——理論、實踐與案例［Ｍ］. 上海：華東師范大學出版社，2020.

［4］ A. Panaoura，L.Elia，A.Gagatsis，P. Giatilis.Geometric and algebraic approaches in the concept of complex numbers［Ｊ］. International Jou-rnal of Mathematical Education in Science and Technology，2006.

［5］ 許蕾. 復數(shù)在中學數(shù)學中的教學研究［Ｄ］. 西北大學，2017.

［6］ 閆洪德. 基于數(shù)學抽象過程中的問題驅動探析——以“復數(shù)的三角表示（第一課時）”教學設計為例［Ｊ］. 數(shù)學通訊，2020（16）：19-21.